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3.3 一元一次不等式的应用
课标要点
1.掌握列一元一次不等式解实际应用题的基本步骤，能从生活情境中提取不等关系。
2.能区分实际问题中的等量关系与不等关系，准确列出一元一次不等式。
3.会求解不等式并结合实际意义检验解集，能根据题意取整数解、非负解等符合实际的解。
4.能解决取值范围、方案选择、最值决策等常见不等式实际问题，建立不等模型思想。
学习重难点
重点：
1.找准实际问题中的不等关系，正确列出一元一次不等式；
2.掌握不等式应用题的解题流程；
3.结合实际情境确定合理取值。
难点：
1.识别题目中的不等关键词，准确区分不等关系与等量关系；
2.根据实际约束条件对不等式解集进行取舍，正确取整数解；
3.复杂情境下的最优方案分析与建模。
知识点
用一元一次不等式解决实际问题
第三章
一元一次不等式
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1. 用一元一次不等式解决实际问题的步骤：
审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、
“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
设：设出适当的未知数；
列：根据题中的不等关系，列出不等式；
解：解所列的不等式；
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案。
2. 常见的不等号：
符号
实际意义
＜
小于、不足
＞
大于、超过、高出
≤
不大于、不超过、至多、最多
≥
不小于、不低于、至少、最少
≠
不相等
随学随练
1．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150 元/件，
标价为250 元/件．现准备打x 折销售这种商品，且每件利润不得低于50 元，则根据题意可列不等式为
（ ）
A．250 ⋅
𝑥
10 −150 ≤50
B．250 ⋅
𝑥
10 −150 ≥50
C．250𝑥+ 150 ≥50
D．250𝑥−150 ≤50
【答案】B
【详解】解：∵商品打𝑥折销售，标价为250 元，
∴实际售价为250 ⋅
𝑥
10元．
易错提醒
1）审题错误，将不等关系当成等量关系列方程；
2）关键词翻译符号出错（至少≥、至多≤最易混淆）；
3）解出解集后，忽略实际情境，未取整数、正数等符合题意的值；
4）作答遗漏限制条件，答案范围扩大或缩小；
5）设未知数语句不规范。
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∵进价为150 元，
∴每件利润为250 ⋅
𝑥
10 −150元．
∵每件利润不得低于50 元，
∴250 ⋅
𝑥
10 −150 ≥50．
2．（25-26 七年级下·陕西延安·期末）端午节是中国四大传统节日之一．某公司计划购入A、B 两款端午节
礼盒共100 件，且购入这两款礼盒的总费用不超过10400 元，已知A、B 两款礼盒的价格分别为80 元/件
和120 元/件，若设该公司购入A 款端午节礼盒𝑥件，则根据题意可列不等式为__________．
【答案】80𝑥+ 120(100 −𝑥) ≤10400
【分析】先得到B 款端午节礼盒的数量，再根据总费用不超过10400 元的条件列不等式即可．
【详解】解：由题意得：该公司购入B 款端午节礼盒(100 −𝑥)件，
则可列不等式为80𝑥+ 120(100 −𝑥) ≤10400．
3．为了奖励考试进步的同学，老师计划购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一个圆规需要5 元，购
买一支钢笔需要10 元．若购买钢笔的数量比购买圆规的数量的一半还少1 个，且购买奖品的总价不超过
310 元，则最多可以购买多少个圆规？
【答案】最多可以购买32 个圆规
【分析】设购买x 个圆规，则购买(
1
2 𝑥−1)支钢笔，根据“购买奖品的总价不超过310 元”列不等式求解．
【详解】解：设购买x 个圆规，则购买(
1
2 𝑥−1)支钢笔，
由题意得：5𝑥+ 10 (
1
2 𝑥−1) ≤310，
解得𝑥≤32，
∴x 最大值为32．
答：最多可以购买32 个圆规．
拓展
实际题型关键词与不等号精准对应对比
1. 实际应用题的核心易错点为关键词与不等号匹配错误，所有限定词汇对应关系整理如下，杜绝符号混
用错用：
题干关键词
对应不等号
取值含义说明
小于、不足
＜
不包含临界数值，取值严格偏小
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大于、超过、高出
＞
不包含临界数值，取值严格偏大
不大于、不超过、至多、最多
≤
包含临界最大值，可等于临界值
不小于、不低于、至少、最少
≥
包含临界最小值，可等于临界值
不相等
≠
两量数值完全不等
活学活用
1．（25-26 八年级下·贵州贵阳·期末）贵阳地铁某站点入口处设置了一条安全提示“携带物品长度不超过1.2
米”，如果设物品长度为𝑥，则能正确表示该提示的不等式为（ ）
A．𝑥> 1.2
B．𝑥< 1.2
C．𝑥≥1.2
D．𝑥≤1.2
【答案】D
【分析】理解“不超过”对应的不等关系．
【详解】解：∵“长度不超过1.2米”表示物品长度小于或等于1.2米，
∴𝑥≤1.2．
2．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）根据“x 的3 倍减去5 不大于2”，可列不等式：________．
【答案】3𝑥−5 ≤2
【详解】解：x 的3 倍为3𝑥，不大于为≤，
∴根据“x 的3 倍减去5 不大于2”，可列不等式：3𝑥−5 ≤2．
3．某服装厂计划生产一种服装，每件成本是60元，售价是80元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其
他开支共为5000元．如果想使生产这种服装的月获利不低于20000元，那么每月至少要生产这种服装多少
件？
【答案】1250件
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设每月生产这种服装 𝑥
件，根据单位利润乘以数量减去开支不低于20000元列不等式求解即可．
【详解】解：设每月生产这种服装 𝑥 件，依题意得，
20𝑥−5000 ≥20000，
20𝑥≥20000 + 5000，
20𝑥≥25000，
𝑥≥1250．
答：每月至少要生产 1250 件．
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拓展
实际应用高频易错点归纳
1. 符号混淆易错：极易混淆“至多、至少”与“大于、小于”，忘记带等号，导致取值范围偏小或偏大，
答案出错。
2. 忽略实际检验易错：不等式求解出的是全体实数范围，但实际问题中人数、个数、长度等必须为正整
数或正数，需舍去不符合实际的解。
3. 审题逻辑易错：习惯性按照方程思路找等量关系，忽略题干中的限制、最值类不等关键词，导致列式
错误。
4. 作答不规范易错：直接书写解集，未结合实际题意转化为文字答案，不符合应用题答题要求。
活学活用
1．在一次数学竞赛中，共有20 道选择题，答对一题得5 分，答错一题扣3 分，不答得0 分．小红有2 道
题未答，设小红答对x 道题．
(1)用含x 的式子表示小红的得分y；
(2)若小红的得分不低于70 分，求x 的取值范围；
(3)小红的得分能达到95 分吗？为什么？
【答案】(1)𝑦= 8𝑥−54
(2)16 ≤𝑥≤18
(3)不能，见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题列方程和不等式
的方法是解题的关键．
（1）先确定答错的题数，再根据得分规则列出得分的表达式．
（2）根据得分不低于70 分列出不等式，求解并结合实际意义确定𝑥的取值范围．
（3）假设得分能达到95 分，列出方程求解，根据𝑥需为整数判断是否能达到．
【详解】（1）解：总题数20，2 道未答，答对𝑥道，答错(20 −2 −𝑥) = (18 −𝑥)道．
𝑦= 5𝑥−3(18 −𝑥)，
𝑦= 5𝑥−54 + 3𝑥，
𝑦= 8𝑥−54；
（2）解：由𝑦≥70，即8𝑥−54 ≥70，
8𝑥≥70 + 54，
8𝑥≥124，
𝑥≥15.5，
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因为𝑥为整数且𝑥≤18，
所以16 ≤𝑥≤18；
（3）解：假设能达到，8𝑥−54 = 95，
8𝑥= 95 + 54，
8𝑥= 149，
𝑥=
149
8 = 18.625，
因为𝑥不是整数，
所以不能达到．
2．某公司计划购买普通医用口罩和𝑁95专业口罩捐赠给湖北，已知𝑁95专业口罩的单价是普通医用口罩的
单价的4 倍，用1200 元购买普通医用口罩可比购买𝑁95专业口罩多600 只．
(1)请问普通医用口罩和𝑁95专业口罩的单价各为多少？
(2)如果该公司计划购买普通医用口罩和𝑁95专业口罩共5 万只，总费用不超过12 万元，通过计算说明最
多可以购买𝑁95专业口罩多少万只？
【答案】(1)普通医用口罩的单价为1.5元，𝑁95专业口罩的单价为6 元；
(2)最多可以购买𝑁95专业口罩1 万只．
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据
不等关系列出不等式．
（1）设普通医用口罩的单价为x 元，则𝑁95专业口罩的单价为4𝑥元，根据数量=总价÷单价，结合用1200
元购买普通医用口罩可比购买𝑁95专业口罩多600 只，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得
出结论；
（2）设可以购买𝑁95专业口罩m 万只，则购买普通医用口罩(5 −𝑚)万只，根据总价=单价×数量，结合总
价不超过12 万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设普通医用口罩的单价为x 元，则𝑁95专业口罩的单价为4𝑥元，
依题意得：
1200
𝑥
−
1200
4𝑥= 600，
解得：𝑥= 1.5，
经检验，𝑥= 1.5是原方程的解，且符合题意，
∴4𝑥= 6．
答：普通医用口罩的单价为1.5元，𝑁95专业口罩的单价为6 元．
（2）解：设可以购买𝑁95专业口罩m 万只，则购买普通医用口罩(5 −𝑚)万只，
依题意得：6𝑚+ 1.5(5 −𝑚) ≤12，
解得：𝑚≤1．
答：最多可以购买𝑁95专业口罩1 万只．
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题型
行程问题
▌例1．张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是4km/h．出发1h后，学校打电话通知张老师
在10min内（含10min）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车
的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？
【答案】48km/h
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设摩托车的速度为𝑥km/h才能保证张老师按时参加
会议，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】解：设摩托车的速度为𝑥km/h才能保证张老师按时参加会议，根据题意得：
10
60 𝑥≥4 × 1 + 4 × 1，
解得： 𝑥≥48，
答：摩托车的速度至少为48km/h才能保证张老师按时参加会议．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·山东青岛·期中）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点150m时他以4 m s
⁄
的速度向终点冲刺，在他身后20m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？设
李明冲刺的速度为𝑥m s
⁄ ，可列出不等式为（ ）
A．
150
4 𝑥> 150 + 20
B．
150
4 𝑥< 150 + 20
C．
150
4 𝑥< 150 −20
D．
150
4 𝑥> 150 −20
【答案】A
【详解】解：设李明冲刺的速度为𝑥m/s，
∵张华离终点150m，冲刺速度为4m/s，
∴张华到达终点的时间为
150
4 s
∵李明在张华身后20m，
∴李明到终点的总路程为(150 + 20)m ，
要使李明在张华之前到达终点，即在张华跑完全程的时间内，李明跑的路程要大于他到终点的总路程，
因此列出不等式为
150
4 𝑥> 150 + 20 ．
▌对点练1-2．甲、乙两车从相距210 千米的A、B 两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60
解题贴士
根据行程公式路程=速度×时间，抓取不等关键词（至少、至多、不超过、不少于），结合路程、速度、时
间的限制关系列不等式，求解速度或时间的取值范围。
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千米/时，乙的行驶速度为30 千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1 小时后发生故障，原地检修
用了30 分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1 小时与甲车相
遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？
【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15 千米/时
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不
等式．设乙车比原来的行驶速度提高m 千米/时，，利用路程=速度×时间，结合乙车再经过不超过1 小时与
甲车相遇，可列出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m 千米/时，
根据题意得：60 × 2 + 30 × 1.5 + (30 + 𝑚) ≥210，
解得𝑚≥15，
∴𝑚的最小值为15．
答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15 千米/时．
题型
工程问题
▌例1．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地600m2，学校
要求完成全部任务的时间不超过3 小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了60m2．若设他们在剩
余时间内每小时平整土地𝑥m2，则根据题意可列不等式为（ ）
A．60 + (3 −0.5)𝑥≥600
B．60 + (3 −0.5)𝑥≤600
C．600 −60𝑥−0.5 ≤3
D．0.5𝑥+ 600 −60𝑥≥3
【答案】A
【分析】利用3 小时完成的任务量不小于600m2列不等式即可．
【详解】解：由题意可得3 小时完成的任务量不小于600m2，
设剩余时间每小时平整𝑥m2，
如果工作3 小时，则3 小时总平整面积为60 + (3 −0.5)𝑥，
可得不等式60 + (3 −0.5)𝑥≥600．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·山西晋中·期中）某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任
务是用100 斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9 斤黄豆，基地要求完成全部任务的时
解题贴士
1）公式：工作量=工作效率×工作时间；
2）根据“完工、不延期、超额完成、至少完成”等条件，列不等式求解。
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间不超4 小时，若设在剩余时间内每小时需磨完𝑥斤黄豆，则可列一元一次不等式为______．
【答案】9 + (4 −0.5)𝑥≥100
【分析】设在剩余时间内每小时需磨完x 斤黄豆，根据完成任务量大于或等于100 列不等式求解即可．
【详解】解：设在剩余时间内每小时需磨完x 斤黄豆，
依题意得：9 + (4 −0.5)𝑥≥100．
▌对点练1-2．某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150 名．根据工程需要，从事乙工种的人数
不少于从事甲工种人数的2 倍，那么从事甲工种的工人最多可招聘多少名？
【答案】
50 名
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意找到各数量间的关系列出不等式是解题的关键．设
甲工种人数为x，则乙工种人数为150 −𝑥，根据乙工种人数不少于甲工种人数的2 倍，列出不等式求解即
可．
【详解】解：设从事甲工种的工人数为x 名，则从事乙工种的工人数为(150 −𝑥)名。
由题意，得150 −x ≥2x，解得x ≤50。
答：从事甲工种的工人最多可招聘50 名．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·辽宁辽阳·期末）随着人工智能技术发展，智能分拣机器人已广泛应用于现
代物流行业．某智能物流分拣机器人，单个机械手平均8 秒分拣一件快递包裹，每台机器人搭载4 个相同
的机械手，若要在1 小时内分拣的包裹数量不少于10000 件，至少需要多少个这样的机器人同时工作？
【答案】至少需要6 个这样的机器人同时工作
【分析】设需要𝑥个这样的机器人同时工作，根据题意，得：
3600
8
⋅4𝑥≥10000，然后进行求解即可．
【详解】解：设需要𝑥个这样的机器人同时工作，根据题意，得：
3600
8
⋅4𝑥≥10000，
解这个不等式，得𝑥≥
50
9 ；
∵𝑥为正整数．
∴𝑥最小取6；
答：至少需要6 个这样的机器人同时工作．
题型
经济问题
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▌例1．（25-26 八年级下·四川成都·期末）“芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦
江的一级支流，2026 年成功入选四川省2025 年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设
深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450 元购买一批垃圾夹与捞网进行
河道治理，其中垃圾夹每个15 元，捞网每个20 元．现已购买16 个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？
设还能购买捞网𝑥个，根据题意列式得（ ）
A．15 × 16 + 20𝑥> 450
B．15 × 16 + 20𝑥< 450
C．15 × 16 + 20𝑥≥450
D．15 × 16 + 20𝑥≤450
【答案】D
【分析】分别表示购买16 个垃圾夹的费用和购买𝑥个捞网的费用，根据总费用不超过450 元列不等式即
可．
【详解】解： 设还能购买捞网𝑥个，根据题意得15 × 16 + 20𝑥≤450．
▌例2．（25-26 八年级下·陕西汉中·期中）某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本
甲种笔记本需10 元，购买一本乙种笔记本需5 元，该班购买甲、乙两种笔记本共35 本，并且购买甲、乙
两种笔记本的总费用不超过300 元，求至多购买多少本甲种笔记本？
【答案】25 本
【分析】设出未知数，结合“费用不超过300 元”建立不等式求解即可．
【详解】解：设购买𝑥本甲种笔记本，则购买(35 −𝑥)本乙种笔记本，
由题意得：10𝑥+ 5(35 −𝑥) ≤300，
解得：𝑥≤25，
答：至多购买25 本甲种笔记本．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件80元的价格购进了
一批哪吒主题的卫衣，标价为每件110元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于
10%，则至多可以打__________折．
【答案】八
【详解】解：设该卫衣打𝑥折销售，
依题意得110 ×
𝑥
10 −80 ≥80 × 10%，
解得𝑥≥8，
即至多可以打八折．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·山西太原·期中）国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充
解题贴士
根据“利润不低于、成本不超过、盈利、亏本”等条件列不等式求解。
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电效率，5 分钟即可补能70%，9 分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新
一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，
某市出租车公司计划采购该车企的A、B 两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A 款车进
价18 万元，每辆B 款车进价10 万元，公司拟用不超过1500 万元的资金购进两款车共120 辆，求最多可
购买多少辆A 款新能源电动汽车？
【答案】37 辆
【分析】设购买x 辆A 款新能源电动汽车，则购买(120 −𝑥)辆B 款新能源电动汽车，根据题意，列出不等
式，即可求解．
【详解】解：设购买x 辆A 款新能源电动汽车，则购买(120 −𝑥)辆B 款新能源电动汽车，根据题意得：
18𝑥+ 10(120 −𝑥) ≤1500，
解得：𝑥≤37.5，
∵x 为整数，
∴x 最大值取37，
答：最多可购买37 辆A 款新能源电动汽车．
▌对点练1-3．（2026·贵州遵义·一模）2025 年12 月为纪念仁怀撤县设市30 周年，仁怀举办了大型无人机
表演，科技走入了我们的生活．某校准备开设无人机驾驶实验课程，打算购买𝐴, 𝐵两种型号的无人机．已
知𝐴型号无人机的单价比𝐵型号无人机单价多2000 元，若购买3 台𝐴型号无人机和2 台𝐵型号无人机需要
21000 元．
(1)求𝐴型号、𝐵型号无人机的单价分别是多少元；
(2)若学校预计用不高于145000 元的资金购买𝐴，𝐵两种型号的无人机共40 台，则最多可以购买𝐴型号无人
机多少台？
【答案】(1)A 型号无人机单价为5000 元，B 型号无人机单价为3000 元；
(2)最多可以购买A 型号无人机12 台．
【分析】（1）设𝐵型号无人机的单价为𝑥元，根据“购买3 台𝐴型号无人机和2 台𝐵型号无人机需要21000
元”，列一元一次方程求解即可；
（2）设购买𝐴型号无人机𝑦台，根据费用不高于145000 元列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设𝐵型号无人机的单价为𝑥元，则𝐴型号无人机的单价为(𝑥+ 2000)元，
由题意得：3(𝑥+ 2000) + 2𝑥= 21000，
解得：𝑥= 3000，
则𝑥+ 2000 = 5000，
答：A 型号无人机单价为5000 元，B 型号无人机单价为3000 元；
（2）解：设购买𝐴型号无人机𝑦台，则购买𝐵型号无人机(40 −𝑦)台，
由题意得：5000𝑦+ 3000(40 −𝑦) ≤145000，
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解得：𝑦≤12.5，
∵𝑦是整数，
∴𝑦的最大取值为12，
答：最多可以购买A 型号无人机12 台．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·云南昭通·期末）2025 年亚洲冬季运动会在哈尔滨举办，某文创商铺准备采
购“滨滨”“妮妮”两款纪念玩偶．经核算，5 个“滨滨”和4 个“妮妮”的进货总价为1120 元，4 个“滨滨”和8 个
“妮妮”的进货总价为1280 元．
(1)求“滨滨”和“妮妮”两款玩偶的进货单价分别是多少元；
(2)该商铺将“滨滨”售价定为200 元/个，“妮妮”售价定为110 元/个，计划两款玩偶共购进200 个且全部售
完．若总盈利不低于6500 元，求至少需要购进“滨滨”多少个？
【答案】(1)“滨滨”的进货单价为160 元，“妮妮”的进货单价为80 元
(2)若总盈利不低于6500 元，至少需要购进“滨滨”50 个
【分析】（1）设“滨滨”的进货单价为𝑥元，“妮妮”的进货单价为𝑦元，再由5 个“滨滨”和4 个“妮妮”的进货
总价为1120 元，4 个“滨滨”和8 个“妮妮”的进货总价为1280 元列方程，再解方程即可；
（2）设购进“滨滨”𝑎个，则购进“妮妮”(200 −𝑎)个，由总获利不低于6500 元，再列不等式，再解不等式
即可．
【详解】（1）解：设“滨滨”的进货单价为𝑥元，“妮妮”的进货单价为𝑦元，根据题意，得
{5𝑥+ 4𝑦= 1120
4𝑥+ 8𝑦= 1280
解得{𝑥= 160
𝑦= 80
答：“滨滨”的进货单价为160 元，“妮妮”的进货单价为80 元．
（2）解：设购进“滨滨”𝑎个，则购进“妮妮”(200 −𝑎)个，
根据题意，得(200 −160)𝑎+ (110 −80)(200 −𝑎) ≥6500，
解得𝑎≥50，
答：若总盈利不低于6500 元，至少需要购进“滨滨”50 个．
题型
分配方案问题
▌例1．（25-26 八年级上·山东济南·期末）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买
解题贴士
1）设分配数量为未知数，根据物资总数、人数限制，列出不等式；
2）求出解集后，结合实际只能取正整数解，枚举所有可行分配方案。
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到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5 元．其中甲商店的优惠条件是：从第1 张开始就按标价的八五折
销售；乙商店的优惠条件是：购买10 张以上，从第11 张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量
为𝑥张（𝑥为正整数），在甲商店购买的总费用为𝑦1元，在乙商店购买的总费用为𝑦2元．
(1)求𝑦1与𝑥之间的函数关系式，以及当𝑥> 10时𝑦2与𝑥之间的函数关系式；
(2)若小明购买的贺卡数量大于10 张，选择哪一家商店更划算？
【答案】(1)𝑦1 = 4.25𝑥；𝑦2 = 3.5𝑥+ 15
(2)当𝑥= 20时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当10 < 𝑥< 20时，选择甲商店；当
𝑥> 20时，选择乙商店
【分析】本题考查了一次函数的应用：
（1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式；
（2）通过比较𝑦1和𝑦2的大小，确定在不同购买数量下选择的情况．
【详解】（1）解：甲商店：𝑦1 = 5 × 0.85𝑥= 4.25𝑥；
乙商店：𝑥> 10时，𝑦2 = 5 × 10 + 5 × 0.7(𝑥−10) = 3.5𝑥+ 15；
（2）解：由𝑦1 = 𝑦2，得4.25𝑥= 3.5𝑥+ 15，
解得𝑥= 20；
由𝑦1 > 𝑦2，得4.25𝑥> 3.5𝑥+ 15，
解得𝑥> 20；
由𝑦1 < 𝑦2，得4.25𝑥< 3.5𝑥+ 15，
解得𝑥< 20．
∵𝑥> 10，
∴当𝑥= 20时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；
当10 < 𝑥< 20时，选择甲商店；
当𝑥> 20时，选择乙商店．
▌例2．（25-26 七年级下·河南濮阳·期末）小明每天上下学的往返路程共10km，上周他坐私家车和乘公交
车两种方式上下学（每天只选择一种交通方式）．已知小明上周（5 天）上下学搭乘的交通工具的碳排放量
共12.8kg，两种交通方式的碳排放数据如下：
交通工具
碳排放量/（kg/km）
私家车
0.27
公交车
0.20
(1)填空：小明每天坐私家车上下学的碳排放量是__________kg，每天乘公交车上下学的碳排放量是
__________kg．
(2)上周小明上下学坐私家车和乘公交车各多少天？
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(3)本周起，小明决定践行绿色出行理念，不再坐私家车上下学，改为每天乘公交车或骑自行车（碳排放量
为零）上下学．若小明本周上下学搭乘的交通工具的碳排放量不高于上周的
1
4，求他这周有哪几种出行方
案？
【答案】(1)2.7，2
(2)上周小明上下学坐私家车4 天，乘公交车1 天
(3)共有两种出行方案：①乘公交车0 天，骑自行车5 天；②乘公交车1 天，骑自行车4 天
【分析】（1）根据“碳排放量×距离”可得每天的碳排放量；
（2）设上周小明上下学坐私家车为x 天，乘公交车为y 天．根据题意列二元一次方程组求解即可；
（3）设本周小明乘公交车的天数为m 天，则骑自行车上下学的天数为(5 −𝑚)天，根据“小明本周上下学
搭乘的交通工具的碳排放量不高于上周的
1
4”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：坐私家车碳排放量：0.27 × 10 = 2.7(kg)；
坐公交车碳排放量：0.2 × 10 = 2(kg)；
（2）解：设上周小明上下学坐私家车为x 天，乘公交车为y 天．根据题意，得：
{
𝑥+ 𝑦= 5
2.7𝑥+ 2𝑦= 12.8
，
解得：{𝑥= 4
𝑦= 1
，
答：上周小明上下学坐私家车4 天，乘公交车1 天；
（3）解：设本周小明乘公交车的天数为m 天，则骑自行车上下学的天数为(5 −𝑚)天，根据题意，得：
2𝑚≤
1
4 × 12.8，
解得𝑚≤1.6，
∵𝑚为非负整数，
∴𝑚= 0或1，
5 −𝑚= 5或4，
∴共有两种出行方案：
①乘公交车0 天，骑自行车5 天；
②乘公交车1 天，骑自行车4 天
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·新疆和田·期末）为深入传承和弘扬和田悠久的历史文化，切实做好青少年
传统文化研学实践教育工作，和田某中学组织本校学生前往和田约特干古城开展研学参观活动．为保障出
行安全有序，学校计划统一租用甲、乙两种型号的客车负责接送学生．经调研测算，3 辆甲型客车与2 辆
乙型客车一次性可运送195 名学生；1 辆甲型客车与1 辆乙型客车一次性可运送75 名学生．
(1)求甲、乙两种型号客车每辆载客人数分别是多少？
(2)本次研学出行，学校计划总共租用甲、乙两种客车合计12 辆，为保证所有参与研学的学生顺利出行，
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要求租用车辆一次性可承载的总人数不少于435 人．则该学校至少需要租用甲型客车多少辆？
【答案】(1)甲型号客车每辆载客人数为45 名，乙型号客车每辆载客人数为30 名
(2)5 辆
【分析】（1）设甲型号客车每辆载客人数为𝑥人，乙型号客车每辆载客人数为𝑦人，根据题意列方程组解决
即可；
（2）设该学校租用甲型客车m 辆，则租用乙型客车(12 −𝑚)辆，列不等式解决即可；
【详解】（1）解：设甲型号客车每辆载客人数为𝑥人，乙型号客车每辆载客人数为𝑦人，由题意得：
{3𝑥+ 2𝑦= 195
𝑥+ 𝑦= 75
，
解得{𝑥= 45
𝑦= 30
，
答：甲型号客车每辆载客人数为45 名，乙型号客车每辆载客人数为30 名；
（2）解：设该学校租用甲型客车m 辆，则租用乙型客车(12 −𝑚)辆．
45𝑚+ 30(12 −𝑚) ≥435，
解得𝑚≥5，
答：该学校至少需要租用甲型客车5 辆．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·海南·期末）某校七年级560 名学生和12 位老师准备乘坐客车去参观历史博
物馆．客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型
A 型
B 型
载客量/人
40
50
租金/元
1000
1200
学校计划租用12 辆客车，那么
(1)最多可以租用多少辆A 型客车？
(2)共有几种租车方案？哪种方案租金最低？
【答案】(1)最多可以租用2 辆A 型客车．
(2)共有3 种租车方案：方案一：租用12 辆B 型客车；方案二：租用1 辆A 型客车，11 辆B 型客车；方案
三：租用2 辆A 型客车，10 辆B 型客车；租用2 辆A 型客车、10 辆B 型客车的租金最低
【分析】（1）设租用x 辆A 型客车，则租用(12 −𝑥)辆B 型客车，根据总载客量要不小于师生总人数建立
不等式求解即可；
（2）根据（1）所求可确定租用A 型客车的数量为0 辆或1 辆或2 辆，据此求出对应方案的租金，比较即
可得到答案．
【详解】（1）解：设租用x 辆A 型客车，则租用(12 −𝑥)辆B 型客车，
由题意得，40𝑥+ 50(12 −𝑥) ≥560 + 12，
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解得𝑥≤2.8，
∵x 为非负整数，
∴x 的最大值为2，
答：最多可以租用2 辆A 型客车；
（2）解：由（1）得租用A 型客车的数量为0 辆或1 辆或2 辆，
当租用0 辆A 型客车时，则租用12 辆B 型客车，此时的租金为1200 × 12 = 14400元，
当租用1 辆A 型客车时，则租用11 辆B 型客车，此时的租金为1000 + 1200 × 11 = 14200元，
当租用2 辆A 型客车时，则租用10 辆B 型客车，此时的租金为1000 × 2 + 1200 × 10 = 14000元，
∵14000 < 14200 < 14400，
∴租用2 辆A 型客车，租用10 辆B 型客车的租金最低；
答：共有3 种租车方案：方案一：租用12 辆B 型客车；方案二：租用1 辆A 型客车，11 辆B 型客车；方
案三：租用2 辆A 型客车，10 辆B 型客车；租用2 辆A 型客车、10 辆B 型客车的租金最低．
▌对点练1-3．（25-26 七年级上·辽宁铁岭·期末）如何下单，最优惠？
如何下单，最优惠？
背
景
随着餐饮消费模式的日益丰富，如何根据不同的优惠策略做出更经济的消费选择，成为一项具有现
实意义的数学应用问题．在本次数学综合与实践课上，老师以“平台点餐优惠方案比较”为主题，引
导同学们运用数学知识分析和解决如下实际问题：
某餐厅打算在M 平台和e 平台根据点餐金额采用不同的优惠策略：
在M 平台实施方案如下表： 在e 平台实施方案如下表：
M 平台一次性点餐
金额
优惠举措
e 平台一次性点餐金额
优惠举措
不超过60 元
无优惠
不超过60 元
无优惠
超过60 元，
但不超过160 元
减10 元
超过60 元，
但不超过160 元
大于60 元的部分，打八
折
超过160 元
减30 元
超过160 元
大于60 元，但不大于160
元的部分，打八折；大于
160 元的部分打六折
问题解决
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问
题
1
小华点了超过60 元，但不超过160 元的午餐，发现在两个平台上优惠后的价格相同，那么小华点
的午餐优惠前的价格是多少？
问
题
2
若小华一次性点餐金额为200 元，请你帮她选择在哪个平台点餐更优惠？并说明理由．
【答案】
问题1：小华点的午餐优惠前的价格是110元；
问题2：解：在𝑒平台点餐更优惠，理由如下：
点餐金额为200元，200 > 160，
在𝑀平台优惠后的价格为200 −30 = 170（元），
在𝑒平台优惠后的价格为60 + (160 −60) × 0.8 + (200 −160) × 0.6 = 164（元），
∵164 < 170，
∴在𝑒平台点餐更优惠．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．
（1）设小华点的午餐优惠前的价格为𝑥元，根据题意列方程求解即可；
（2）分别计算在两个平台优惠后的价格，比较大小，即可求解．
【详解】问题1：
解：设小华点的午餐优惠前的价格为𝑥元，
根据题意得𝑥−10 = 60 + 0.8(𝑥−60)，60 < 𝑥≤160．
解得𝑥= 110．
∴小华点的午餐优惠前的价格是110元．
问题2：略
题型
比赛积分问题
▌例1．（25-26 七年级下·湖南娄底·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对得4分，
解题贴士
根据胜负平对应积分规则，用未知数表示胜、负、平场次，结合总场次、总积分限制（积分不少于、晋
级分数线）列不等式求解。
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不选或选错扣2分．若得分不低于60可得奖，设要得奖至少应选对𝑥道题，则根据题意可列不等式为
（ ）
A．4𝑥+ 2(25 −𝑥) ≥60
B．4𝑥−2(25 −𝑥) ≥60
C．4𝑥−2(25 −𝑥) > 60
D．4𝑥−2(25 −𝑥) ≤60
【答案】B
【分析】读懂题意，找准不等关系，明确得分和扣分的计算规则，得分不低于60 即总得分大于等于60．
【详解】解：∵设要得奖至少应选对𝑥道题，总题数为25 道，
∴不选或选错的题数为(25 −𝑥)道，
选对𝑥道的总得分是4𝑥，不选或选错总共扣分2(25 −𝑥)，
题目要求得分不低于60 分，即总得分满足≥60，
∴根据题意可列不等式为4𝑥−2(25 −𝑥) ≥60．
▌例2．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了7场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一
场得1分，负一场得0分．
(1)若甲队负了2场，则甲队的得分能否为10分？请说明理由；
(2)若乙队保持不败，得分超过15分，求乙队至少胜了多少场？
【答案】(1)不能，理由
设甲队胜了𝑥场，
∵甲队负了2场，
∴平的场次为7 −2 −𝑥= (5 −𝑥)场，
∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，
∴3𝑥+ 5 −𝑥= 10，
解得：𝑥= 2.5，
∵𝑥为非负整数，
∴甲队的得分不能为10分．
(2)5场
【分析】（1）设甲胜𝑥场，则平(5 −𝑥)场，根据得10分列方程求出𝑥= 2.5，根据𝑥为非负整数，即可得出
答案；
（2）设乙胜了𝑦场，根据乙队保持不败，得分超过15分，列不等式，求出𝑦> 4，即可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：设乙胜了𝑦场，
∵乙队保持不败，
∴平的场次为(7 −𝑦)场，
∴3𝑦+ 7 −𝑦> 15，
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解得：𝑦> 4．
∴至少胜5 场．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在一场篮球比赛中，某队罚球得分10 分，投进2 分球
和3 分球共48 个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110 分，则他们至少投进________个3 分球．
【答案】5
【分析】设投进𝑥个3 分球，则投进2 分球的个数为(48 −𝑥)，然后根据题意列不等式求解，并取最小整数
值即可解答．
【详解】解：设投进𝑥个3 分球，则投进(48 −𝑥)个2 分球，
由题意得10 + 3𝑥+ 2(48 −𝑥) > 110，
解得𝑥> 4，
∵𝑥为正整数，
∴𝑥的最小值为5，
即他们至少投进5个3 分球．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）新BA 城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下
表是10 月11 日，温州队所在的𝐴组比赛积分表的部分信息：
A 组积分
排名
队伍
胜负
积分
2
温州队
7 胜0 负
Δ
4
金华队
6 胜2 负
14 分
5
余姚队
5 胜3 负
13 分
6
台州队
4 胜4 负
12 分
(1)求温州队的积分．
(2)温州队所在的𝐴组共有11 支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛
结束后，积分达到37 分，会获得小组冠军，问温州队要获得𝐴组第一至少还要胜几场？
【答案】(1)温州队的积分为14 分
(2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10 场
【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，
读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键．
（1）设胜1 场加𝑥分，负1 场加𝑦分，根据题意列方程即可解答；
（2）设胜𝑎场，负(20 −𝑎)场，根据题意列不等式即可解答．
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【详解】（1）解：设胜1 场加𝑥分，负1 场加𝑦分
由题，得{6𝑥+ 2𝑦= 14
4𝑥+ 4𝑦= 12
解得，{𝑥= 2
𝑦= 1
所以7𝑥= 14（分）
答：温州队的积分为14 分．
（2）解：由题，得温州队一共要进行2 × 10 = 20场比赛
设胜𝑎场，负(20 −𝑎)场
由题，得2𝑎+ (20 −𝑎) ≥37
解得，𝑎≥17
17 −7 = 10，
答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10 场．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·福建福州·期末）学校举办数学知识竞赛，共25 道题，每题都给出3 个答
案，只有一个答案正确，每题选对得4 分，不选或错选倒扣2 分，初赛不低于70 分就能进入复赛，那么
进入复赛的选手至少对了多少道题？
【答案】进入复赛的选手至少对了20 道题
【分析】设答对题数为未知数，根据得分规则和复赛分数要求列一元一次不等式，求解最小正整数解．
【详解】解：设进入复赛的选手答对了x 道题，不选或错选(25 −𝑥)道题，
根据题意可知：4𝑥−2(25 −𝑥) ≥70，
解得：𝑥≥20，
∵x 为非负整数，且0 ≤𝑥≤25，
∴满足条件的x 的最小值为20，
答：进入复赛的选手至少对了20 道题．
题型
阶梯收费问题
▌例1．（25-26 七年级下·重庆云阳·期末）为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用二档分档递增模式，具
体标准如下：每户每月用电量不超过200度时，按第一档单价收费；超过200度时，超过的部分按第二档单
价计费．2026年5月张华家用电220度，缴费112元；李明家用电265度，缴费139元．
解题贴士
1）分段梳理收费标准，先判断用量所在区间，分段计算总费用；
2）根据总费用的上限、下限列不等式，反求用量的取值范围。
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(1)该市规定的第一档电费单价和第二档电费单价分别为多少元/度？
(2)刘生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？
【答案】(1)该市规定的第一档电费单价为0.5元/度，第二档电费单价为0.6元/度
(2)300度
【分析】（1）设该市规定的第一档电费的单价是𝑥元，第二档电费的单价是𝑦元，根据“2026年5月张华家用
电220度，缴费112元；李明家用电265度，缴费139元”，可列出关于𝑥，𝑦的二元一次方程组，解之即可得
出结论；
（2）设刘生家6月份的用电量为𝑚度，根据“刘生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元”列出关于𝑚的
一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设该市规定的第一档电费的单价是𝑥元，第二档电费的单价是𝑦元，
依题意，得：{200𝑥+ (220 −200)𝑦= 112
200𝑥+ (265 −200)𝑦= 139
，
解得：{𝑥= 0.5
𝑦= 0.6
，
答：该市规定的第一档电费单价为0.5元/度，第二档电费单价为0.6元/度；
（2）解：设刘生家6月份的用电量为𝑚度，
∵200 × 0.5 = 100 < 160，
依题意，得：0.5 × 200 + 0.6(𝑚−200) ≤160，
解得：𝑚≤300，
∴他家最大用电量为300度．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·安徽合肥·期末）某市自来水公司实行阶梯式收费，收费标准如表所示：
月用水量𝑎/m3
𝑎≤20
20 < 𝑎≤30
𝑎> 30
收费标准/元· m−3
2.49
3.07
？
9 月份小华家缴纳水费87.8元，小莉家缴纳水费102.4元，并且小华家的用水量恰好是小莉家的
8
9．
(1)若小明家9 月份用水量是𝑥m3（20 < 𝑥≤30），则小明家9 月份需要缴纳的水费为________元（用含𝑥的
代数式表示）；若小明家9 月缴纳的水费不超过74.36元，求小明家9 月用水量最多是多少？
(2)求月用水量大于30m3时的收费标准．
【答案】(1)
3.07𝑥−11.6；小明家9月用水量最多是28m3
(2)
月用水量大于30m3时的收费标准是3.65元/m3
【分析】（1）根据阶梯收费规则，分两段计算水费化简得到代数式，再根据水费限制判断用水量所在区
间，列一元一次不等式求解最大用水量；
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（2）先根据已有的阶梯水费计算结果，判断小华家和小莉家用水量都超过30m3，再设超过30m3后的单价
和小莉家用水量，根据两家水费和用水量的关系列方程组求解单价．
【详解】（1）解：当20 < 𝑥≤30时，
前20m3的水费为20 × 2.49 = 49.8（元），超过20m3部分的水费为3.07(𝑥−20)元．
∴总水费为49.8 + 3.07(𝑥−20) = (3.07𝑥−11.6)元；
若小明家9月缴纳水费不超过74.36元，
当𝑥= 30时总水费为3.07 × 30 −11.6 = 80.5（元），
∵74.36 < 80.5，
∴小明家用水量满足20 < 𝑥≤30．
列不等式得3.07𝑥−11.6 ≤74.36．
解得𝑥≤28．
答：小明家9月用水量最多是28m3．
（2）解：∵30m3的水费为80.5元，小华家缴纳水费87.8元> 80.5元，且小华家用水量是小莉家的
8
9，
∴两家用水量都超过30m3．
设月用水量大于30m3时的收费标准为𝑘元/m3，小莉家用水量为𝑦m3，则小华家用水量为
8
9 𝑦m3，
根据题意列方程组：{
20 × 2.49 + 10 × 3.07 + 𝑘(𝑦−30) = 102.4
20 × 2.49 + 10 × 3.07 + 𝑘(
8
9 𝑦−30) = 87.8
，
化简得：{
𝑘𝑦−30𝑘= 21.9
8
9 𝑘𝑦−30𝑘= 7.3
，
两式相减得
𝑘𝑦
9 = 14.6，
即𝑘𝑦= 131.4．
将𝑘𝑦= 131.4代入𝑘𝑦−30𝑘= 21.9，
得131.4 −30𝑘= 21.9．
解得𝑘= 3.65．
答：月用水量大于30m3时的收费标准是3.65元/m3．
▌对点练1-2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用
水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5
元，超出部分每吨价格为4 元，小亮家上个月用水12 吨，共缴纳水费33 元．
(1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？
(2)若小亮家本月水费预算不超过46 元，那么他家这个月最多能用多少吨水？
【答案】(1)该城市规定的基础用水量是10吨
(2)他家这个月最多能用15.25吨水
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【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据题意找准等量关系正确列出方程和不等
式是解题的关键．
（1）设该城市规定的基础用水量是𝑥吨，列方程得2.5𝑥+ 4(12 −𝑥) = 33，解方程即可得到答案；
（2）设他家这个月最多能用𝑦吨水，列不等式得，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵2.5 × 12 = 30 < 33，
∴小亮家上个月用水量超过了基础用水量，
设该城市规定的基础用水量是𝑥吨，
根据题意列方程得：2.5𝑥+ 4(12 −𝑥) = 33，
解得：𝑥= 10，
答：该城市规定的基础用水量是10吨；
（2）解：设他家这个月最多能用𝑦吨水，
根据题意得：2.5 × 10 + 4(𝑦−10) ≤46，
解得：𝑦≤15.25，
∴他家这个月最多能用15.25吨水．
题型
其他问题
▌例1．（25-26 八年级下·河北保定·期末）嘉嘉制作了一份某市的𝐶𝑖𝑡𝑦𝑤𝑎𝑙𝑘（城市漫步）打卡地图，地图上
的打卡点分为口袋公园和潮流街区两类，这两类加起来共13 个打卡点．其中，口袋公园打卡点的数量不
少于潮流街区打卡点数量的2 倍．若设此城市潮流街区打卡点的数量为x 个，则可得不等式（ ）
A．13 −𝑥< 2𝑥
B．13 −𝑥≤2𝑥
C．13 −𝑥> 2𝑥
D．13 −𝑥≥2𝑥
【答案】D
【分析】先根据总打卡点数量表示出口袋公园打卡点的数量，再根据题目给出的不等关系列出不等式即
可．
【详解】解：∵设潮流街区打卡点数量为𝑥个，两类打卡点共13 个，
∴口袋公园打卡点的数量为(13 −𝑥)个，
又∵口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的2倍，
∴可得不等式13 −𝑥≥2𝑥．
解题贴士
提取题干数量限制关键词，将实际约束转化为不等关系，设未知数列不等式求解，最终结果根据实际场
景取整数、正数。
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▌例2．（25-26 九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m 的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为
18m，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少m（用含x 的代数式表示）．
【答案】平行于墙的一边长为(30 −2𝑥)m，且𝑥> 6．
【分析】本题主要考查了用代数式表示，
用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案．
【详解】解：平行于墙的一边长为(30 −2𝑥)m，且30 −2𝑥< 18，
解得𝑥> 6，
所以平行于墙的一边长为(30 −2𝑥)m，且𝑥> 6．
▌对点练1-1．把5 个体积为3cm3的立方体铅块熔化后，最多能制成多少个体积为2cm3的立方体铅块？设
能制成𝑥个2cm3的立方体铅块，则根据题意可列不等式为________．
【答案】2𝑥≤15（答案形式不唯一）
【分析】根据熔化前后铅的总体积关系，制成的所有小铅块的总体积不超过原来铅块的总体积，据此列出
不等式即可．
【详解】解：原来5个立方体铅块的总体积为5 × 3 = 15(cm3)．
𝑥个体积为2cm3的立方体铅块总体积为2𝑥(cm3)．
熔化后铅的总体积不变，制成铅块的总体积不能超过原有铅块的总体积，因此可得不等式2𝑥≤15．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，书架宽80cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和
语文书．已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多
还可以摆多少本?
【答案】数学书最多还可以摆85 本
【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解题意，设数学书最多还可以摆x 本，由此列式求解即
可．
【详解】解：设数学书最多还可以摆x 本，
1.2 × 10 + 0.8𝑥≤80，
解得，𝑥≤85，
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∴数学书最多还可以摆85 本．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·广东广州·期末）项目主题：低碳出行，从我做起．
背景：为响应国家“碳达峰、碳中和”号召，小华全年出行的碳排放限额100 千克．某月他因出差乘坐飞
机，共产生600 千克碳排放量，为了补偿超额部分，他决定改掉每天自驾私家车的通勤习惯，尽可能改
用其他绿色的出行方式，最大限度降低通勤碳排放量．
信
息
一
碳排放数据（单位：千克/辆·千米）
交通工具
自行车
地铁
公交车
私家车
碳排放量
0
0.03
0.04
0.15
信
息
二
小华一年上班240 天，每天上下班总距离20 千米．
根据以上信息，探索完成以下任务：
(1)任务一：接下来的30 个工作日，小华先骑共享单车上下班7 天，其余时间自驾私家车或乘坐公交车，
经计算这30 天的总碳排放量比原来每天自驾私家车通勤的总碳排放量减少了54 千克．求这30 天他自驾
私家车和乘坐公交车的天数分别是多少？
(2)任务二：完成上述30 天的计划后，小华计划在剩下的210 个工作日中，每天坐地铁或骑共享单车，使
全年工作日（共240 天）的碳排放量不超过100 千克，则他在剩下的210 个工作日中至少需要骑共享单车
多少天？
【答案】(1)这30 天他自驾私家车8 天，乘坐公交车15 天
(2)他在剩下的210 个工作日中至少需要骑共享单车104 天
【分析】（1）设他自驾私家车𝑥天，乘坐公交车𝑦天，由题意得
{
𝑥+ 𝑦+ 7 = 30
20 × 0.15 × 7 + 20 × (0.15 −0.04)𝑦= 54
，进而求解即可；
（2）设他在剩下的210 个工作日需要骑共享单车𝑎天，则坐地铁（210 −𝑎）天，由题意得：
0.15 × 20 × 30 −54 + 0.03 × 20(210 −𝑎) ≤100，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：设他自驾私家车𝑥天，乘坐公交车𝑦天，由题意得：
{
𝑥+ 𝑦+ 7 = 30
20 × 0.15 × 7 + 20 × (0.15 −0.04)𝑦= 54
，
解得{ 𝑥= 8
𝑦= 15
．
答：这30 天他自驾私家车8 天，乘坐公交车15 天．
（2）解：设他在剩下的210 个工作日需要骑共享单车𝑎天，则坐地铁（210 −𝑎）天，
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由题意得：0.15 × 20 × 30 −54 + 0.03 × 20(210 −𝑎) ≤100．
解得𝑎≥103
1
3．
∵𝑎取整数，
∴𝑎≥104．
答：至少需要骑共享单车104 天．
基础通关
1．（25-26 七年级下·广西桂林·期末）某校组织研学活动，将租赁A 型客车和B 型客车共12 辆．已知每辆
A 型客车可乘坐45 人，每辆B 型客车可乘坐35 人，且要求总载客量不超过480 人．设租赁A 型客车x
辆，则下列不等式正确的是（ ）
A．45𝑥+ 35(12 −𝑥) > 480
B．45𝑥+ 35(12 −𝑥) < 480
C．45𝑥+ 35(12 −𝑥) ≥480
D．45𝑥+ 35(12 −𝑥) ≤480
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题思路是先根据总车辆数表示出B 型客车的数量，再根
据总载客量的限制条件列出不等式即可.
【详解】解：∵ 租赁A 型客车𝑥辆，则 租赁B 型客车(12 −𝑥)辆，
∵ 每辆A 型客车可乘坐45人，每辆B 型客车可乘坐35人，
∴ 总载客量为45𝑥+ 35(12 −𝑥)人，
又∵ 要求总载客量不超过480人，
∴ 列出不等式为 45𝑥+ 35(12 −𝑥) ≤480．
2．（25-26 七年级下·湖北孝感·期末）某次知识竞赛共有20 道题，规定每答对一题得5 分，答错或不答都
扣3 分．小明得分要超过70 分，他至少要答对多少道题？设小明答对了𝑥道题，则根据题意可列不等式为
（ ）
A．5𝑥−3(20 −𝑥) ≥70
B．5𝑥−3(20 −𝑥) ≤70
C．5𝑥−3(20 −𝑥) > 70
D．5𝑥−3(20 −𝑥) < 70
【答案】C
【详解】解：设小明答对了𝑥道题，则答错或不答的题数为(20 −𝑥)道，
根据题意得，5𝑥−3(20 −𝑥) > 70．
3．（25-26 七年级下·上海杨浦·期中）谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是
雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是26℃，最低气温是16℃，则当天我市气温𝑡 (℃)满
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足的不等关系为______ ．
【答案】16 ≤𝑡≤26
【分析】直接根据题意表示出t 的取值范围即可．
【详解】解：由题意可得，当天我市气温𝑡 (℃) 满足的不等关系为：16 ≤𝑡≤26
4．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）美国“阿尔忒弥斯2 号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，
绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为3.6 × 105km，飞船在月球轨道附近执行任务（停
留）约48 小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168 小时．设飞船往返的平均速度为
𝑉km/h，则𝑉应满足的不等式是______．
【答案】
2×3.6×105
𝑉
+ 48 ≤168
【分析】先确定往返的路程为2 × 3.6 × 105km，往返的时间为
2×3.6×105
𝑉
小时，停留48 小时，根据总时间不
超过168 小时列不等式即可．
【详解】解：根据时间得：
2×3.6×105
𝑉
+ 48 ≤168．
5．（25-26 七年级下·福建泉州·期中）“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166 千米的
路程，需要不超过2 小时送到，前80 分钟已经走了120 千米，后40 分钟的速度至少为多少才能不延误时
间？
【答案】后40 分钟的速度至少为69km/h才能不耽误时间
【分析】先算出剩余路程和剩余时间，再设后40 分钟的速度为𝑥km/h，根据题意列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，总路程为：𝑆总= 166km，总时间上限：𝑡总= 2h = 120min，已行驶路程：𝑆1 =
120km，已用时间：𝑡1 = 80min，
∴剩余路程：𝑆2 = 𝑆总−𝑆1
= 166 −120
= 46km；
剩余时间：𝑡2 = 𝑡总−𝑡1
= 120 −80
= 40min =
2
3 h，
设后40 分钟的速度为𝑥km/h，
∴𝑥⋅𝑡2 ≥𝑆2
2
3 𝑥≥46
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解得𝑥≥69，
∴后40 分钟的速度至少为69km/h才能不耽误时间．
6．（25-26 七年级下·河南南阳·期中）2026 年2 月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将
“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中
小学生每天综合体育活动不低于2 小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班
级篮球赛，共16 个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3 分，负一场积1 分．某班在15 场比赛中获得的总
积分为39 分，求该班胜了多少场；
(2)投篮评分规则：在3 分线外投篮，投中一球可得3 分；在3 分线上及3 分线内投篮，投中一球可得2
分．某班在其中一场比赛中，共投中27 个球，所得总分不少于58 分，求该班在这场比赛中至少投中了多
少个3 分球．
【答案】(1)胜12 场
(2)4 个
【分析】（1）设该班胜x 场，则负y 场，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设该班这场比赛中投中3 分球𝑚个，2 分球(27 −𝑚)个，根据题意列出不等式，解不等式，求得最小
整数解，即可．
【详解】（1）解：设该班胜x 场，则负y 场，
由题意得{ 𝑥+ 𝑦= 15
3𝑥+ 𝑦= 39
．
解得{𝑥= 12
𝑦= 3
答：该班胜12 场
（2）解：设该班这场比赛中投中3 分球𝑚个，2 分球(27 −𝑚)个
由题意得3𝑚+ 2(27 −𝑚) ≥58
解得𝑚≥4
∴𝑚的最小值是4．
答：该班这场比赛中至少投中4 个3 分球
7．（25-26 八年级上·河北邯郸·期末）在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型
沼气池技术．已知甲种技术处理20 吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25 吨农业有机垃圾所用的
时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2 吨农业有机垃圾．
(1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾；
(2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12 个，要求1 小时内完成不低于100 吨的农业有机垃圾处理任
务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2 倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？
【答案】(1)甲种技术每小时处理8 吨，乙种技术每小时处理10 吨
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(2)新建乙种技术沼气池至少4 个
【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）设甲种技术每小时处理𝑥吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理(𝑥+ 2)吨农业有机垃圾，根据等量关
系列分式方程解答即可；
（2）设新建甲种技术沼气池共𝑎个，则新建乙种技术沼气池共(12 −𝑎)个，根据不等式关系列出一元一次
不等式解答即可．
【详解】（1）解：设甲种技术每小时处理𝑥吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理(𝑥+ 2)吨农业有机垃
圾，则
20
𝑥=
25
𝑥+2，
解得𝑥= 8，
经检验，𝑥= 8是原方程的解且符合题意．
答：甲种技术每小时处理8 吨，乙种技术每小时处理10 吨．
（2）设新建乙种技术沼气池共𝑎个，则新建甲种技术沼气池共(12 −𝑎)个，
10𝑎+ 8 × (12 −𝑎) ≥100，∴𝑎≥2．
∵12 −𝑎≤2𝑎，∴𝑎≥4．
综上可知，𝑎≥4．
答：新建乙种技术沼气池至少4 个．
8．松南学校在“指南针”课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织3 个大号中国结
和4 个小号中国结需用绳24 米；若编织1 个大号中国结和5 个小号中国结需用绳19 米．
(1)求编织1 个大号中国结和1 个小号中国结各需用绳多少米；
(2)松南中学决定编织以上两种中国结共150 个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过550
米，那么该中学最多编织多少个大号中国结?
【答案】(1)编织1 个大号中国结需用绳4 米，编织1 个小号中国结需用绳3 米
(2)该中学最多编织100 个大号中国结
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式
是解题的关键．
（1）设编织1 个大号中国结需用绳𝑥米，编织1 个小号中国结需用绳𝑦米，根据题意列出方程组，求出𝑥, 𝑦
的值即可解答；
（2）设该中学编织𝑚个大号中国结，则编织(150 −𝑚)个小号中国结，根据题意列出不等式，求出𝑚的最
大值即可解答．
【详解】（1）解：设编织1 个大号中国结需用绳𝑥米，编织1 个小号中国结需用绳𝑦米，
由题意得，{3𝑥+ 4𝑦= 24
𝑥+ 5𝑦= 19
，
解得{𝑥= 4
𝑦= 3
，
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答：编织1 个大号中国结需用绳4 米，编织1 个小号中国结需用绳3 米；
（2）解：设该中学编织𝑚个大号中国结，则编织(150 −𝑚)个小号中国结，
由题意得，4𝑚+ 3(150 −𝑚) ≤550，
解得𝑚≤100，
∴𝑚的最大值为100，
答：该中学最多编织100 个大号中国结．
9．（25-26 七年级下·广东惠州·期末）惠东县全力推进乡村振兴，全县两百多个行政村集体收入连续两年超
过十万元．幸福村今年计划采购一批荔枝苗和龙眼苗，用于扩大种植规模．已知购买2 棵荔枝苗和3 棵龙
眼苗需要85 元，购买3 棵荔枝苗和2 棵龙眼苗需要90 元．
(1)求每棵荔枝苗和每棵龙眼苗的价格；
(2)该村计划购买两种树苗共100 棵，且总费用不超过1700 元，那么最多可以购买荔枝苗多少棵？
【答案】(1)
每棵荔枝苗20 元，每棵龙眼苗15 元
(2)
最多可以购买荔枝苗40 棵
【分析】（1）设两种树苗的单价为未知数，根据题干给出的两种购买总费用条件列出二元一次方程组，求
解得到单价；
（2）设荔枝苗的购买数量，根据总费用不超过1700 元的限制列出一元一次不等式，求解得到最大购买数
量．
【详解】（1）解：设每棵荔枝苗的价格为𝑥元，每棵龙眼苗的价格为𝑦元
根据题意可得 {2𝑥+ 3𝑦= 85
3𝑥+ 2𝑦= 90
解得{𝑥= 20
𝑦= 15
答：每棵荔枝苗20 元，每棵龙眼苗15 元；
（2）解：设购买荔枝苗𝑚棵，则购买龙眼苗(100 −𝑚)棵
根据题意可得 20𝑚+ 15(100 −𝑚) ≤1700
解得𝑚≤40
答：最多可以购买荔枝苗40 棵．
10．（25-26 七年级下·四川资阳·期末）炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B 两种型
号的泳衣，进价分别为70 元、50 元，如下表是近两天的销售情况：
销售量/件
销售收入/元
A 型泳衣
B 型泳衣
小学
初中
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第一天
3
4
600
第二天
6
5
975
(1)求A，B 两种型号泳衣的销售单价；
(2)若购进A，B 两种型号的泳衣共50 件，且总进价不超过2900 元．
①最多可以购进A 型号泳衣多少件？
②为使这50 件泳衣完全销售后的总利润超过1340 元，应如何进货？请给出相应的进货方案．
【答案】(1)𝐴型泳衣销售单价为100 元，𝐵型泳衣销售单价为75 元
(2)①最多可以购进𝐴型泳衣20 件；
②购进方案为：方案一，购进𝐴型泳衣19 件，𝐵型泳衣31 件；方案二，购进𝐴型泳衣20 件，𝐵型泳衣30
件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的求解：
（1）设𝐴型泳衣销售单价为𝑥元，𝐵型泳衣销售单价为𝑦元，根据“单价×数量=总价”来列方程组求解；
（2）设购进𝐴型泳衣𝑚件，则购进𝐵型泳衣50 −𝑚件：①根据题意列不等式求解；②根据题意列不等
式，再结合①，求解出𝐴型泳衣可能的数量，再分别计算出不同数量下的𝐵型泳衣的数量即可；
【详解】（1）解：设𝐴型泳衣销售单价为𝑥元，𝐵型泳衣销售单价为𝑦元，
由题意得，
{3𝑥+ 4𝑦= 600
6𝑥+ 5𝑦= 975
，
解得：{𝑥= 100
𝑦= 75
；
答：𝐴型泳衣销售单价为100 元，𝐵型泳衣销售单价为75 元；
（2）解：设购进𝐴型泳衣𝑚件，则购进𝐵型泳衣50 −𝑚件，
①由题意得：
70𝑚+ 50(50 −𝑚) ≤2900，
解得：𝑚≤20；
答：最多可以购进𝐴型泳衣20 件；
②由题意得：
(100 −70)𝑚+ (75 −50)(50 −𝑚) > 1340，
解得：𝑚> 18，
∴18 < 𝑚≤20，
∵𝑚为整数，
∴𝑚的值为19,20，
∴50 −𝑚= 31或30；
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答：购进方案为：方案一：购进𝐴型泳衣19 件，𝐵型泳衣31 件；
方案二：购进𝐴型泳衣20 件，𝐵型泳衣30 件．
素养提升
1．（25-26 七年级下·江苏苏州·期末）某饮品店果汁的价格如下表所示：
杯型
容量（毫升/杯）
价格（元/杯）
小杯
350
8
大杯
500
10
(1)某天该店果汁的总销量为57 升．，收入为1200 元，求这天该店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯？
(2)若某天该店小杯果汁、大杯果汁一共卖了150 杯，且总收入不低于1375 元．那么小杯果汁最多卖多少
杯？
【答案】(1)这天该店小杯果汁卖了60杯，大杯果汁卖了72杯；
(2)小杯果汁最多卖62杯．
【分析】（1）这天该店小杯果汁卖了𝑥杯，大杯果汁卖了𝑦杯，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即
可；
（2）设小杯果汁卖了𝑚杯，则大杯果汁卖了(150 −𝑚)杯，根据题意列出一元一次不等式，据此求解即
可．
【详解】（1）解：这天该店小杯果汁卖了𝑥杯，大杯果汁卖了𝑦杯，
根据题意得{350𝑥+ 500𝑦= 57000
8𝑥+ 10𝑦= 1200
，
解得{𝑥= 60
𝑦= 72
，
答：这天该店小杯果汁卖了60杯，大杯果汁卖了72杯；
（2）解：设小杯果汁卖了𝑚杯，则大杯果汁卖了(150 −𝑚)杯，
根据题意得8𝑚+ 10(150 −𝑚) ≥1375，
解得𝑚≤62.5，
因为𝑚是正整数，
所以𝑚最大取62，
答：小杯果汁最多卖62杯．
2．（25-26 七年级下·河南周口·期末）文房四宝是中华传统文化瑰宝，承载千年东方美学．某文具店销售
A，B 两种规格的文房四宝礼盒，A，B 两种礼盒每套的进价分别为50 元、55 元，下表是近两个月礼盒的
销售情况：
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销售时段
销售数量
销售收入
A 种礼盒
B 种礼盒
第一个月
3 套
5 套
610 元
第二个月
4 套
10 套
1080 元
(1)求A，B 两种规格的文房四宝礼盒每套的售价．
(2)若该文具店准备用不多于2080 元的金额再采购A，B 两种文房四宝礼盒共40 套，求B 种文房四宝礼盒
最多能采购多少套．
(3)在（2）的条件下，商店销售完这40 套文房四宝礼盒能否实现利润为900 元的目标？请说明理由．
【答案】(1)每套A 种文房四宝礼盒的售价为70 元，每套B 种文房四宝礼盒的售价为80 元
(2)B 种文房四宝礼盒最多能采购16 套
(3)商店销售完这40 套文房四宝礼盒不能实现利润为900 元的目标．
理由：假设能实现，根据题意，得(70 −50)(40 −𝑚) + (80 −55)𝑚= 900，
解得𝑚= 20．
∵𝑚≤16，
∴𝑚= 20不符合题意，
∴假设不成立，即在（2）的条件下，商店销售完这40 套文房四宝礼盒不能实现利润为900 元的目标．
【分析】（1）设每套Ａ种礼盒售价为𝑥元，每套B种礼盒售价为𝑦元．根据“3 套Ａ和5 套B共610 元”和“4 套
Ａ和10 套B共1080 元”列二元一次方程组，解方程即可．
（2）设采购B种礼盒𝑚套，则Ａ种礼盒为(40−𝑚) 套．根据题意“总成本不超过 2080 元”列不等式求解即
可．
（3）根据“利润= 900元”列方程(70 −50)(40 −𝑚) + (80 −55)𝑚= 900，解得𝑚= 20．由（2）知𝑚≤
16，不符合题意，故不能实现目标．
【详解】（1）解：设每套A 种文房四宝礼盒的售价为𝑥元，每套B 种文房四宝礼盒的售价为𝑦元．
根据题意，得{ 3𝑥+ 5𝑦= 610
4𝑥+ 10𝑦= 1080
，解得{𝑥= 70
𝑦= 80
．
答：每套A 种文房四宝礼盒的售价为70 元，每套B 种文房四宝礼盒的售价为80 元．
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（2）设采购B 种文房四宝礼盒𝑚套，则采购A 种文房四宝礼盒(40 −𝑚)套．
根据题意，得55𝑚+ 50(40 −𝑚) ≤2080，解得𝑚≤16，
∴B种文房四宝礼盒最多能采购16 套．
（3）略．
3．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）为了发扬中华传统，体验民俗之美，学校举办“书香茶叙”品茗活动，
准备去工艺品店购买“手工茶杯”和“花砖杯垫”两种民俗手工艺品．
第一天无促销活动：
购买2个手工茶杯和6个花砖杯垫共需130元；购买3个手工茶杯所需的钱数和购买4个花砖杯垫所需的钱数
相同．
第二天开展促销活动：
活动一：“清仓打折”：手工茶杯打八折，花砖杯垫打四折；
活动二：“买一送一”：购买一个手工茶杯送一个花砖杯垫．
(1)该店在第一天无促销活动时，手工茶杯和花砖杯垫的销售单价各是多少元？
(2)第二天开展促销活动后，学校决定购买手工茶杯、花砖杯垫共100个，其中手工茶杯不超过50个．购买
手工茶杯的数量在什么范围内时，活动二更实惠．
【答案】(1)手工茶杯的销售单价为20元，花砖杯垫的销售单价为15元
(2)当购买手工茶杯的数量大于45个且小于等于50个时，活动二更实惠
【分析】（1）设手工茶杯的销售单价为𝑥元，花砖杯垫的销售单价为𝑦元，根据题意列方程组，求解即可；
（2）设购买手工茶杯𝑚个，则购买花砖杯垫(100 −𝑚)个，根据题意分别表示出活动一、二的费用再列不
等式求解即可．
【详解】（1）解：设手工茶杯的销售单价为𝑥元，花砖杯垫的销售单价为𝑦元，
依题意列二元一次方程组得{2𝑥+ 6𝑦= 130
3𝑥= 4𝑦
，
解得{𝑥= 20
𝑦= 15
；
答：手工茶杯的销售单价为20元，花砖杯垫的销售单价为15元；
（2）解：设购买手工茶杯𝑚个，则购买花砖杯垫(100 −𝑚)个，
活动一的费用为：20𝑚× 0.8 + 15(100 −𝑚) × 0.4 = (10𝑚+ 600)元，
活动二的费用为：20𝑚+ 15(100 −𝑚−𝑚) = (−10𝑚+ 1500)元，
当10𝑚+ 600 > −10𝑚+ 1500时，
解得𝑚> 45，
又∵0 < 𝑚≤50，
∴45 < 𝑚≤50，
答：当购买手工茶杯的数量大于45个且小于等于50个时，活动二更实惠．
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4．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）某社区响应全民健身号召，积极改造居民健身场地，采购健身器材，
已知每辆健身动感单车800 元，每台音乐智慧跳绳机80 元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案如
下：
甲厂家
买一辆健身动感单车送三台音乐智慧跳绳机
乙厂家
健身动感单车和音乐智慧跳绳机全部按原价8 折优惠
该社区现要购买3 辆健身动感单车和若干台音乐智慧跳绳机，若购买的音乐智慧跳绳机为𝑥台（𝑥≥9），
经计算发现在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多几台？最少几台？
【答案】
要购买的音乐智慧跳绳机最少9 台，最多14 台.
【分析】根据题意列出不等式，求出解集即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得800 × 3 + (𝑥−9) × 80 < 800 × 80％× 3 + 80 × 𝑥× 80％，
解得𝑥< 15．
∵𝑥≥9，
∴9 ≤𝑥< 15，
所以在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多14 台，最少9 台．
5．（25-26 七年级下·广东惠州·期末）根据以下素材，探究并完成任务．
背景
目前，无人机外卖已在深圳、北京、上海、广州、香港实现常态化运营，其中深圳覆盖范围最
广．
素材1
某商店在无促销活动时，若买5 件A 商品，8 件B 商品，共需要
2400 元；若买8 件A 商品，5 件B 商品，共需2280 元．
素材2
该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：
①若消费者用250 元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；
②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
(1)任务1：该商店在无促销活动时，求A，B 商品的销售单价分别是多少元？
(2)任务2：某科技公司计划在促销期间购买A，B 两款商品共30 件，其中A 商品购买𝑎件（0 < 𝑎< 30），
①若使用无人机配送商品，则共需要 元；②若不使用无人机配送商品，则共需要 元．（结果用含
𝑎的代数式表示，要求化简）
(3)任务3：请你帮该科技公司算一算，在任务2 的条件下，购买A 商品的数量在什么范围内时，使用无人
机配送商品更合算？
【答案】(1)该商店在无促销活动时，A 商品的销售单价是160 元，B 商品的销售单价是200 元
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(2)4750 −30𝑎，4800 −32𝑎
(3)当0 < 𝑎< 25时，使用无人机配送商品更合算
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）先确定购买B 商品的数量为(30 −𝑎)件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1 求得的单价，
分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a 的代数式表示；
（3）根据使用无人机配送更合算，建立一元一次不等式，求解不等式并结合a 的范围，确定购买A 商品
数量的范围．
【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时，𝐴商品的销售单价是𝑥元，𝐵商品的销售单价是𝑦元，
由题意得，{5𝑥+ 8𝑦= 2400
8𝑥+ 5𝑦= 2280
，
解得：{𝑥= 160
𝑦= 200
．
答：该商店在无促销活动时，𝐴商品的销售单价是160 元，𝐵商品的销售单价是200 元．
（2）解：由题意得，A 商品购买𝑎件，B 商品购买(30 −𝑎)件，
①若使用无人机配送商品，共需要250 + 160 × 0.75𝑎+ 200 × 0.75(30 −𝑎) = 4750 −30𝑎（元）；
②若不使用无人机配送商品，共需要160 × 0.8𝑎+ 200 × 0.8(30 −𝑎) = 4800 −32𝑎（元）．
（3）解：由题意得：4750 −30𝑎< 4800 −32𝑎，
解得：𝑎< 25，
∵0 < 𝑎< 30，
∴0 < 𝑎< 25．
答：当0 < 𝑎< 25时，使用无人机配送商品更合算．
6．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式
计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17 吨及以下
𝑎
0.50
超过17 吨但不超过30 吨的部
分
𝑏
0.50
超过30 吨的部分
3.00
0.50
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024 年7 月用水15 吨，交水费30 元；8 月份用水26 吨，交水费61 元．
(1)求𝑎，𝑏的值．
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(2)如果今年8 月份小王家计划水费不超过80 元，则小王家这个月用水最多为多少吨？
【答案】(1)𝑎= 1.5, 𝑏= 2.5
(2)小王家这个月用水最多为32吨
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不
等式是关键．
（1）当用水15 吨时，水费为15(𝑎+ 0.5)元，根据水费为30，则列式可求得a 的值；当用水26 吨时，由
所求a 的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于61元减去污水处理费，由此列式计算求得b 的值；
（2）设小王家这个月用水为𝑥吨，根据（1）所求a 与b 的值，列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：当用水15 吨时，水费为15(𝑎+ 0.5)元，则𝑎+ 0.5 = 30 ÷ 15 = 2，
则𝑎= 2 −0.5 = 1.5（元）；
当用水26 吨时，17 吨水的费用为17 × 1.5 = 25.5（元），61 −0.5 × 26 = 48（元），
所以(26 −17)𝑏= 48 −25.5，
得：𝑏= 2.5；
（2）解：设小王家这个月用水为𝑥吨，
17 × 1.5 + (30 −17) × 2.5 + 30 × 0.5 = 73 < 80，则𝑥> 30，
根据题意：73 + (𝑥−30) × (3 + 0.5) ≤80
𝑥≤32，
答：小王家这个月用水最多为32吨．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展．某企业
计划采购一批AI推理加速卡和AI服务器内存条．已知采购5 个AI推理加速卡和2 个AI服务器内存条共需7.6
万元；采购2 个AI推理加速卡和3 个AI服务器内存条共需4.8 万元．
(1)每个AI推理加速卡和每个AI服务器内存条的价格分别是多少万元？
(2)若该企业计划用不超过19 万元的费用购买AI推理加速卡和AI服务器内存条共20 个，最多可以买多少个
AI推理加速卡？（两种商品只可以买整数个）
【答案】(1)每个AI推理加速卡的价格为1.2 万元，每个AI服务器内存条的价格为0.8 万元
(2)最多可以买7 个AI推理加速卡
【分析】（1）设每个AI推理加速卡的价格为𝑥万元，每个AI服务器内存条的价格为𝑦万元，根据题意列出关
于𝑥、𝑦的二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设可以购买𝑚个AI推理加速卡，则可以购买(20 −𝑚)个AI服务器内存条，根据题意列出关于𝑚的一元
一次不等式，解不等式即可得出结果．
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【详解】（1）解：设每个AI推理加速卡的价格为𝑥万元，每个AI服务器内存条的价格为𝑦万元，
由题意得{5𝑥+ 2𝑦= 7.6
2𝑥+ 3𝑦= 4.8
，
解得{𝑥= 1.2
𝑦= 0.8
，
故每个AI推理加速卡的价格为1.2 万元，每个AI服务器内存条的价格为0.8 万元；
（2）解：设可以购买𝑚个AI推理加速卡，则可以购买(20 −𝑚)个AI服务器内存条，
由题意得1.2𝑚+ 0.8(20 −𝑚) ≤19，
解得𝑚≤7.5，
∵𝑚为整数，
∴最多可以买7个AI推理加速卡．
2．（25-26 八年级下·四川成都·期末）2026 年是中国航天事业创建70 周年，4 月24 日，第11 个“中国航天
日”以“七秩问天路，携手探九霄”为主题在四川成都盛大启幕．某校拟购进一批航天模型，若购买1 个A 类
模型和2 个B 类模型共需500 元，购买2 个A 类模型和3 个B 类模型共需800 元．
(1)求A，B 两类模型每个进价分别是多少元？
(2)现计划购进A 类模型数量比B 类模型数量的2 倍还多10 个，且预算不超过10000 元，则最多可购进B
类模型多少个？
【答案】(1)
A 类模型每个进价100 元，B 类模型每个进价200 元.
(2)
最多可购进B 类模型22 个.
【分析】（1）设A类模型的进价是𝑥元，B类模型的进价是𝑦元，根据题意建立二元一次方程组求解，即可解
题；
（2）设购买B类模型𝑚个，则购买A类模型(2𝑚+ 10)个，根据“预算不超过10000 元”建立不等式求解，即
可解题．
【详解】（1）解：设A类模型的进价是𝑥元，B类模型的进价是𝑦元，
根据题意得：{ 𝑥+ 2𝑦= 500
2𝑥+ 3𝑦= 800
，
解得：{𝑥= 100
𝑦= 200
．
答：A类模型的进价是100元，B类模型的进价是200元；
（2）解：设购买B类模型𝑚个，则购买A类模型(2𝑚+ 10)个，
根据题意得：100(2𝑚+ 10) + 200𝑚≤10000，
解得𝑚≤22.5，
∴最大整数𝑚的值为22，
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答：最多可购进B 类模型22 个.
