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学科网（北京）股份有限公司 1 / 3.1 认识不等式 题型一：判断是否为不等式 1．（24-25 八年级下·贵州毕节·阶段练习）给出下面式子：①3 5 ；② 3 0 x+ = ；③ 1 0 x− ；④ 2 3 x + ．其 中不等式有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】依据不等式的定义（用不等号表示不相等关系的式子），对每个式子逐一判断是否为不等式．本题 主要考查不等式的定义，明确不等式是用不等号（、、、、 等）表示不等关系的式子，熟练掌握 该定义是判断式子是否为不等式的关键． 【详解】解：判断①：3 5 ，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断②： 3 0 x+ = ，用“ = ”表示相等关系，是等式，不是不等式． 判断③： 1 0 x− ，用“ ”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断④： 2 3 x+ ，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 综上，①③④是不等式，共3个， 故选 C ． 2．（24-25 八年级下·河南郑州·阶段练习）下列式子中，①2 7 x ；②3 4 x y + ；③3 2 −；④2 3 0 a − ； 学科网（北京）股份有限公司 2 / ⑤ 2 1 x ；⑥ 2 1 a b − ．是不等式的有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．1 个 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的识别，掌握不等式的定义是关键．根据不等式的定义：用不等号连接而成的 式子，即可作出判断． 【详解】解：不等式有：①2 7 x ；③3 2 −；④2 3 0 a − ；⑤ 2 1 x ；⑥ 2 1 a b − ，共5 个． 故选：A． 3． （24-25 八年级下·江西鹰潭·阶段练习）有下列式子：①2025 2024 ；②2 8 0 x − ；③ 12 x = ；④ 2x x ； ⑤ 4 x −．其中是不等式的有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键 是要识别常见不等号：“”、“”、“”、“”、“ ”．根据不等式的定义，进行判断即可． 【详解】解：①2025 2024 ；②2 8 0 x − ；③ 12 x = ；④ 2x x ；⑤ 4 x −，是不等式的有①，②，④， ⑤；共4 个； 故选：C． 4．（24-25 八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各式：①3 0 − ；②2 5 0 x − ；③2 5 x = ；④ 2 2 x xy y − + ； ⑤ 2 1 x y − ；⑥ 3 a ．其中不等式的个数是（ ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．运用不等式的定 义进行判断． 【详解】解：①3 0 − ，是不等式； ②2 5 0 x − ，是不等式； ③2 5 x = ，不是不等式； ④ 2 2 x xy y − + ，不是不等式； ⑤ 2 1 x y − ，是不等式； ⑥ 3 a ，是不等式． 学科网（北京）股份有限公司 3 / 故选：D 5．（24-25 八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①2 0 − ，②2 5 0 x − ，③ 2 b = ，④ 2 x x − ，⑤ 3 2 0 x y + 中，是不等式的有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如< > 常 ? ，，，，）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条 件． 【详解】解：① 2 0 − 使用了“<”，是不等式； ② 2 5 0 x − 使用了“>”，是不等式； ③ 2 b = 是等式，不是不等式； ④ 2 x x − 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 3 2 0 x y + 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 6．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）下列数学式子：①3 0 − ；②2 3 0 x y + ；③ 1 x = ；④ 2 2 2 x xy y − + ； ⑤ 1 3 x+ ；其中是不等式的有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．根据不等式的 定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可． 【详解】解：①3 0 − ，是不等式，符合题意； ②2 3 0 x y + ，是不等式，符合题意； ③ 1 x = ，是等式，不符合题意； ④ 2 2 2 x xy y − + ，是多项式，不符合题意； ⑤ 1 3 x+ ，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有①②⑤，共3 个， 故选：C． 7．（24-25 七年级下·甘肃陇南·期末）下列式子：① 10 x y + = ；② 3 x ；③x y + ；④ 0 x ；⑤ 7 x y − ； ⑥ 3 x 中，属于不等式的个数有（ ） 学科网（北京）股份有限公司 4 / A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义．根据不等式的定义，用符号“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接的式子属于不等 式．逐一判断各式子是否符合条件即可． 【详解】解：① 10 x y + = 是等式，不属于不等式； ② 3 x 含“≥”，属于不等式； ③x y + 没有不等号，是代数式，不属于不等式； ④ 0 x 含“≤”，属于不等式； ⑤ 7 x y − 含“＞”，属于不等式； ⑥ 3 x 含“≠”，属于不等式． 综上，②、④、⑤、⑥共4 个不等式， 故选：C． 题型二：实际应用之列不等式 1． （24-25 七年级下·山东泰安·期末）如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌， 如果他们小轿车速度为km/h v ，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（ ） A． 120 v B．60 100 v C．60 120 v D．60 120 v 【答案】C 【分析】本题主要考查了用不等式表示，根据图示可知车速不低于60，不超过120，再用不等号连接即可． 【详解】解：根据题意，得60 120 v ． 故选：C． 2．（24-25 八年级下·山东·期末）“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高 标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车 高( ) m h 的范围是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 5 / A．0 4.5 h B． 4.5 h C． 4.5 h D．4 5 h 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过4.5m”得：0 4.5 h ， 故选：A． 3．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高 车速和最低车速．如果用v（单位： / h km ）表示汽车的速度，则v 应满足（ ） A． 100 v B． 100 v = C．80 100 v D． 80 v 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意得，80 100 v ， 故选：C． 4． （24-25 八年级下·山西晋中·期中）自2024 年起，国家卫健委启动实施“体重管理年”活动．体重指数（BMI） 是衡量人体胖瘦程度的一个常用标准，计算公式是 ( ) ( ) 2 kg m BMI = 体重 身高 ．如图，14 岁男生 ( ) 2 MI kg / m B 不低于 26.1 为肥胖，则14 岁男生肥胖时BMI 满足的不等关系为（ ） 13～15 岁学龄儿童青少年性别年别BMI 筛查超重与肥胖界值 单位为 2 kg / m 年龄（岁） 男生 女生 超重 肥胖 超重 肥胖 13.0 21.4 25.2 22.2 25.0 学科网（北京）股份有限公司 6 / 13.5 21.9 25.7 22.6 25.6 14.0 22.3 26.1 22.8 25.9 14.5 22.6 26.4 23.0 26.3 15.0 22.9 26.6 23.2 26.6 引自：《学龄儿童青少年超重与肥胖筛查）（WST586-2018） A．BMI 26.1 B．BMI 26.1 C．BMI 26.1 D．BMI 26.1 【答案】C 【分析】本题主要考查了用不等式表示， 根据不低于用“”表示即可． 【详解】解：根据题意，得BMI 26.1 ． 故选：C． 5．（24-25 九年级下·湖南娄底·阶段练习）2024 年7 月31 日，在巴黎奥运会男子100 米自由泳决赛中，中 国选手潘展乐以46 秒40 的成绩打破世界纪录夺得金牌，若将该记录用时记为0t ．若今后的选手要打破该 记录，则比赛用时t 的取值范围为（ ） A． 0 t t B． 0 t t C． 0 t t D． 0 t t 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的表示和意义，熟练掌握不等式的表示和意义是解题的关键．由于记录用时记 为0t ，要打破该记录，即比赛用时要小于记录用时，即 0 t t ． 【详解】解： 记录用时为0t ， 若今后的选手要打破该记录，则比赛用时需 0 t t ． 故选：B． 6．（24-25 七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用( ) km h v 表示 汽车的速度，则v 与30应满足的关系为 ． 学科网（北京）股份有限公司 7 / 【答案】 30 v 【分析】本题主要考查不等式的概念，用不等号将两个整式连接起来所成的式子，叫做不等式．根据题意 可知汽车的速度v 不超过30km/h ，即汽车的速度v 小于等于30km/h ，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意知速度v 不超过30km/h ，即小于等于30km/h ， 故用不等式表示为 30 v ， 故答案为： 30 v ． 题型三：根据文字叙述列不等式 1．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）用不等式表示“a 与b 的平方和不小于它俩积的两倍”为 【答案】 2 2 2 a b ab + 【分析】此题主要考查了列不等式，根据已知得出两数的平方和及两数的积是解题关键．实际问题抽象出 不等式，根据已知表示出两数a，b 的平方和，进而得出这两数的积的两倍，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 2 2 2 a b ab + ， 故答案为： 2 2 2 a b ab + ． 2．（23-24 八年级下·陕西榆林·阶段练习）“x 的3 倍与y 的和是正数”用不等式可表示为 ． 【答案】3 0 x y + 【分析】此题主要考查了列不等式，把正数理解成大于0 是解题关键． 【详解】解：由题意可得：3 0 x y + ． 故答案为：3 0 x y + ． 3．（24-25 六年级下·上海松江·期中）用不等式表示：y 的2 倍减去 4 5 − 的差是一个非负数 ． 【答案】 4 2 0 5 y −− 【分析】根据题意，列出不等式，即可． 【详解】∵y 的2 倍减去 4 5 − 的差是一个非负数， ∴ 4 2 0 5 y −− ， 学科网（北京）股份有限公司 8 / 故答案为： 4 2 0 5 y −− ． 4．（23-24 七年级下·全国·课后作业）根据下列关系列出不等式． (1) 2x 是非负数； (2) x 的相反数与1 的差小于2； (3) x 与7 的和比x 的2 倍小； (4) x 的2 倍与5 的和是正数； (5) a ，b 两数的平方差不小于1． 【答案】(1) 2 0 x (2) 1 2 x −− (3) 7 2 x x + (4) 2 5 0 x + (5) 2 2 1 a b − 【分析】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键． （1）根据不等量关系直接列出不等式即可． （2）根据不等量关系直接列出不等式即可． （3）根据不等量关系直接列出不等式即可． （4）根据不等量关系直接列出不等式即可． （5）根据不等量关系直接列出不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得： 2 0 x （2）解：由题意得： 1 2 x −− （3）解：由题意得： 7 2 x x + （4）解：由题意得：2 5 0 x + （5）解：由题意得： 2 2 1 a b − 5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x 的1 2 与3 的差大于2； (2)4x 与3 的和小于或等于零； (3)a 的2 倍与4 的差是正数； (4)b 的1 2 与c 的和是非负数； (5)x 与17 的和比x 的5 倍小． 学科网（北京）股份有限公司 9 / 【答案】(1) 1 3 2 2 x − (2)4 3 0 x + (3)2 4 0 a − (4) 1 0 2 b c + (5) 17 5 x x + 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据题意列出不等式即可． （3）根据正数是大于0 列出不等式即可． （4）根据非负数即大于等于0 列出不等式即可． （5）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：x 的1 2 与3 的差大于2 即1 3 2 2 x − （2）解：4x 与3 的和小于或等于零， 即4 3 0 x + （3）解：a 的2 倍与4 的差是正数， 即2 4 0 a − （4）解：b 的1 2 与c 的和是非负数， 即1 0 2 b c + （5）解：x 与17 的和比x 的5 倍小， 即 17 5 x x + 6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为300g ，其中，蛋白质含量为 g m ，且不低于净重的0.6% ； (2)某校七年级学生有m 人，八年级学生有n 人，七年级学生人数比八年级的2 倍还要多． 【答案】(1) 300 0.6% m (2) 2 m n 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据蛋白质含量不低于净重的0.6% 列出不等式即可． 学科网（北京）股份有限公司 10 / （2）根据七年级学生人数比八年级的2 倍还要多列出不等式即可 【详解】（1）解：根据题意可知蛋白质含量 300 0.6% m （2）解：根据题意可知： 2 m n 7．（2023 七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x 的1 3 与x 的2 倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300 米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268 元； (4)明天下雨的可能性不小于70% ； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) 1 2 0 3 x x + (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 300 r (3)设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，应有3 4 268 a b + (4)用P 表示明天下雨的可能性，则有 70% P (5)设小明的体重为a 千克，小刚的体重为b 千克，则应有a b 【分析】（1）非正数用“ 0 ”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）1 2 0 3 x x + ； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有 300 r ； （3）设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，应有3 4 268 a b + ； （4）用P 表示明天下雨的可能性，则有 70% P ； （5）设小明的体重为a 千克，小刚的体重为b 千克，则应有a b ． 题型四：根据不等式的解集判断 1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（ ）． A．方程4 8 x + = 和不等式4 8 x + 的解是一样的 B． 2 x = 不是不等式4 5 x 的解 C． 4 x = 是不等式4 15 x 的一个解 学科网（北京）股份有限公司 11 / D． 1 x = 是不等式 2 6 x − 的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行 排除选项． 【详解】解：A、方程4 8 x + = 和不等式4 8 x + 的解是不一样的，故原说法错误； B、 2 x = 是不等式4 5 x 的解，故原说法错误； C、 4 x = 是不等式4 15 x 的一个解，故原说法正确； D、 1 x = 不是不等式 2 6 x − 的解集，故原说法错误； 故选C． 2．（24-25 七年级下·上海松江·阶段练习）某不等式的解集是 2 x −，下列表述不正确的是（ ） A．0 是这个不等式的解． B．3 −不是这个不等式的解． C．大于3 −的数都是这个不等式的解． D．小于3 −的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等 式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是 2 x −， ∴0 是这个不等式的解，故A 不符合题意； B、∵某不等式的解集是 2 x −， ∴3 −不是这个不等式的解，故B 不符合题意； C、∵某不等式的解集是 2 x −， ∴大于2 −的数都是这个不等式的解，大于3 −且小于等于2 −的数不是这个不等式的解，故C 符合题意； D、∵某不等式的解集是 2 x −， ∴小于3 −的数都不是这个不等式的解，故D 不符合题意． 故选：C 3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ） A． 4 y = 是不等式 4 5 y + 的解 B． 2 y = 是不等式2 7 y 的解集 C．不等式2 6 x 的解集是 3 x = D． 2 y = 是不等式3 6 y 的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立 的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等 学科网（北京）股份有限公司 12 / 式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当 4 y = 时， 4 8 5 y + = ，∴ 4 y = 不是不等式 4 5 y + 的解，故不正确； B．∵当 2 y = 时，2 4 7 y = ，∴ 2 y = 是不等式2 7 y 的解而不是解集，故不正确； C．∵2 6 x ，∴ 3 x ，∴不等式2 6 x 的解集是 3 x ，故不正确； D．∵当 2 y = 时，3 6 y = ，∴ 2 y = 是不等式3 6 y 的一个解，故正确； 故选D． 4．（23-24 七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（ ） A． 1 x = 是不等式3 5 x 的解 B． 2 x = 是不等式3 5 x 的唯一解 C． 2 x = 是不等式3 5 x 的解集 D． 2 x = 是不等式3 5 x 的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，x a = ( a 是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满 足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有 且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即 可选出正确答案． 【详解】解：解不等式3 5 x ， 可得 5 3 x ． A.由于 5 1 3 x = ，故 1 x = 不是不等式3 5 x 的解，故选项错误； B.由于 5 2 3 x = ，故 2 x = 是不等式3 5 x 的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于 5 2 3 x = ，故 2 x = 不是不等式3 5 x 的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于 5 2 3 x = ，故 2 x = 不是不等式3 5 x 的一个解，故选项正确； 故选D． 5．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．不等式 0 x 的解是 0 x = B．不等式 0 x 的解是 1 x = − C． 0 x = 是不等式 0 x 的一个解 D． 1 x = −是不等式 0 x 的一个解 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 13 / 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、 0 x = 不是不等式 0 x 的解，故本选项不符合题意； B、不等式 0 x 的解是所有小于0 的数，故本选项不符合题意； C、 0 x = 不满足 0 x ，故本选项不符合题意； D、 1 x = −是不等式 0 x 的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 6．（23-24 七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ） A． 1 x = 是不等式2 3 x 的一个解 B． 1 x = 是不等式2 3 x 的解集 C． 1 x = 是不等式2 3 x 的唯一解 D． 1 x = 不是不等式2 3 x 的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】2 3 x ， 3 2 x ， A、 1 x = 符合条件 3 2 x ，是不等式2 3 x 的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而 1 x = 是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以 1 x = 不是不等式2 3 x 的唯一解，故选项不符合题意； D、 1 x = 符合条件 3 2 x ，是不等式2 3 x 的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 题型五：根据不等式的解集选择正确的不等式 1．（23-24 八年级下·广东茂名·期中） 3 x = 是下列不等式（ ）的一个解． A． 1 0 x− B． 1 4 x+ C．2 3 4 x − D．2 3 10 x+ 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把 3 x = 分别代入各选项判定即可； 【详解】解：A 、当 3 x = 时， 1 2 0 x−= ＞，故本选项不符合题意； B、当 3 x = 时， 1 4 x+ = ，故本选项不符合题意； C 、当 3 x = 时，2 3 3 4 x−= ＜，故本选项不符合题意； D 、当 3 x = 时，2 3 9 10 x+ = ，故本选项符合题意； 学科网（北京）股份有限公司 14 / 故选：D ． 2．（24-25 七年级下·全国·课后作业） 1 x = 不是下列哪个不等式的解（ ） A．2 1 4 x+ B．2 1 0 x− C．2 3 5 x+ D．2 1 1 x − + 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把 1 x = 代入不等式，使不 等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当 1 x = 时，∵2 1 3 4 x+ = ，∴ 1 x = 不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当 1 x = 时，∵2 1 1 0 x −= ，∴ 1 x = 是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当 1 x = 时，∵2 3 5 5 x+ = ，∴ 1 x = 是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当 1 x = 时，∵2 1 1 1 x − + = − ，∴ 1 x = 是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）当 1 x = 时，下列不等式成立的是（ ） A．2 5 3 x − + B．5| | 6 x C．3 1 4 2 x + D．4 5 7 x + 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是解题的关键．把 1 x = 分别代四个选项中，一一验 证不等式两边是否成立，即可判断出答案． 【详解】解：A、 1 x = 时，2 1 5 3 −+ = ，故不符合题意； B、 1 x = 时，5 6 ，故不符合题意； C、 1 x = 时，3 1 4 2 + ，故不符合题意； D、 1 x = 时，4 5 7 + ，故符合题意； 故选：D． 4．（23-24 七年级下·江苏泰州·期末）若 1 x = 是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ） A． 2 x B． 3 x C． 3 x D． 1 x 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、 2 x 中不包含 1 x = ，不符合题意； B、 3 x 中不包含 1 x = ，不符合题意； C、 3 x 中包含 1 x = ，符合题意； D、 1 x 中不包含 1 x = ，不符合题意； 学科网（北京）股份有限公司 15 / 故选：C． 5．（24-25 八年级下·江西抚州·阶段练习）若 2 x = 是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ） A． 3 x B． 3 x C． 2 x D． 1 x 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、 3 x 中包含 2 x = ，符合题意； B、 3 x 中不包含 2 x = ，不符合题意； C、 2 x 中不包含 2 x = ，不符合题意； D、 1 x 中不包含 2 x = ，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25 八年级下·江西鹰潭·阶段练习）下列不等式的解集中，不包括2025 − 的是( ) A． 2026 x − B． 2025 x − C． 2025 x − D． 2026 x − 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的x 的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、 2026 x − 不包括2025 − ，故该选项符合题意； B、 2025 x − 包括2025 − ，故该选项不符合题意； C、 2025 x − 包括2025 − ，故该选项不符合题意； D、 2026 x − 包括2025 − ，故该选项不符合题意； 故选：A． 题型一：新定义下的不等式解集 1．（24-25 七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“*”，规定： 2 a b a b = − ．若关于x 的不等式 3 x m −的 解集为 2 x −，则m 的值为（ ） A．2 B．1 C．2 − D．1 − 【答案】D 【分析】根据定义的新运算得到* 2 3 x m x m = − −，得 3 2 m x − ，由不等式的解集得 3 2 2 m− = −，即可求得 m 的值． 学科网（北京）股份有限公司 16 / 【详解】解： 2 a b a b = − ， * 2 3 x m x m = − −， 得： 3 2 m x − ， 不等式 3 x m −的解集为 2 x −， 3 2 2 m− = −， 解得： 1 m = −， 故选：D． 2．（2025 七年级下·全国·专题练习）定义：给定两个不等式P 和Q，若不等式P 的任意一个解，都是不等 式Q 的一个解，则称不等式P 为不等式Q 的子集．例如：不等式 : 4 P x 是不等式 : 2 Q x 的子集． 请写出不等式 2 x −的一个子集： ． 【答案】 3 x −（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的解集，根据定义写一个任意一个解都是不等式 2 x −的一个解的不等式即 可． 【详解】解：∵ 3 x −的任意一个解都是不等式 2 x −的一个解， ∴不等式 2 x −的一个子集为： 3 x −（答案不唯一）． 故答案为： 3 x −（答案不唯一）． 3．（24-25 七年级下·江苏淮安·期末）对于实数x ，我们把不超过x 的最大整数记作 x ，例如已知 1.5 1 = ， 2.7 3 − = −．若实数x 满足 2 x = −，则实数x 的取值范围是 ． 【答案】2 1 x − − 【分析】本题考查了实数的新定义，根据实数的新定义解答即可求解，理解实数的新定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 2 x = −， ∴2 1 x − −， 故答案为：2 1 x − − 4．（23-24 八年级上·重庆沙坪坝·期中）有两个三位数 100 10 m a b c = + + 和 ( ) 100 10 1 9 ，，，，， = + + n d e f a b c d e f ，若m，n 满足 ( ) 4 4 , 4 ＝+ + + − a d e f b c F m n 为整数时，则称m，n 为最佳“搭档数”， 467 110 p x = + ， ( ) 200 37 0 3 0 4 3 9 ， ， = + + q y z x y z ，若p，q 是最佳“搭档数”， 且q 的各个数位上的数字之和能被12 整除，则p = 学科网（北京）股份有限公司 17 / 【答案】467 或687 【分析】本题考查不定方程整数解的求法，运用了分类讨论的思想，根据位值原则正确改写p 和q 是本题解 题的关键． 先根据q 的数字之和能被12 整除，求出y 和z 的值，然后将p 和q 根据位值原则改写，根据“搭档数”的定 义列出代数式，根据不定方程整数解的求法进行求解即可． 【详解】解：根据q 的各个数位上的数字之和能被12 整除， 可得：2 3 7 2 10 y z y z + + + = + + 能被12 整除， 0 4,3 9 y z ， 3 2 17 + y z 13 2 10 27 + + y z 2 10 24 + + = y z 即 14 2 z y = − ， 3 14 2 9 − y 5 2 11 y 3 y = 或4， 当 3 y = 时， 14 2 3 8 z = −= ， 当 4 y = 时， 14 2 4 6 z = −= ， ( ) ( ) 467 110 100 4 10 6 7 p x x x = + = + + + + ， 当 3, 8 = = y z 时， 200 37 200 3 8 37 645 q y z = + + = + + = ， 根据“搭档数”定义可得： ( ) 4 4 6 4 5 64 65 1 6 7 1 1 x x x x x + + + + + = = + + − − −为整数， 2 x = 或0， 当 4, 6 y z = = 时， 根据“搭档数”定义可得： ( ) 4 4 8 4 3 64 65 1 6 7 1 1 x x x x x + + + + + = = + + − − −为整数， 2 x = 或0， 综上所述， 2 x = 或0， 467 = p 或687． 故答案为：467 或687． 学科网（北京）股份有限公司 18 / 5．（2024 八年级·全国·竞赛）定义运算“ F ”，规定 ( ) 2 1 ax b F x x + = + （其中a b 、均为常数），例如 ( ) 2 2 2 2 2 1 5 a b a b F + + = = + ．已知 ( ) ( ) 1 1 , 2 1 3 F F = = ． (1)求a b 、的值； (2)若关于x 的不等式 ( ) F x t 恰有2 个正整数解，求实数t 的取值范围． 【答案】(1) 4 3. a b = = − ， (2) 9 1 7 t 【分析】（1）根据 ( ) ( ) 1 1 , 2 1 3 F F = = 得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据 ( ) 1 1 3 F = ， ( ) 2 1 F = ， ( ) 9 3 7 F = 以及关于x 的不等式 ( ) F x t 恰有2 个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是 解题的关键． 【详解】（1）解：由 ( ) ( ) 1 1 , 2 1 3 F F = = 得到， ( ) ( ) 1 1 3 3 2 2 1 5 a b F a b F + = = + = = ， 解得 4 3. a b = = − ， （2）由题意可得， ( ) ( ) 2 2 1 5 4 3 5 2 2 1 2 1 2 1 x x F x x x x + − − = = = − + + + ， ∵ ( ) 1 1 3 F = ， ( ) 2 1 F = ， ( ) 9 3 7 F = ，关于x 的不等式 ( ) F x t 恰有2 个正整数解， ∴ 9 1 7 t . 6．（24-25 七年级下·北京延庆·期末）关于x，y 的二元一次方程 0 ax by c + + = （a，b，c 为常数，且 0 abc ）， 若ab c = ，则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”． (1)在①2 3 6 0 x y − + = ；②1 2 1 2 x y − = ；③ 1 0 x y −− + = 中，是“可乘方程”的是 ； (2)若方程(2 ) 3 3( 1) t x y t − − = − 是关于x，y 的“可乘方程”，求t 的值； (3)若 9 2 3 0 ( 7) 2 0 kx y m n x k y m n + + − = + + + + = 是关于x，y 的“可乘方程组”，且1 2 n m − ，直接写出k 的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) 3 2 t = 学科网（北京）股份有限公司 19 / (3) 3 1 4 2 k − − 【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，解不等式． （1）根据“可乘方程”的定义逐一判断即可； （2）根据“可乘方程”的定义建立关于t 的一元一次方程求解即可； （3）先根据“可乘方程组”，得到 9 2 3 7 2 k m n k m n = − + = + ，求出 2 3 3 n k m k = − = + ，再根据1 2 n m − ，得到 ( ) ( ) 1 2 3 3 2 k k − − + ，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：①2 3 6 0 x y − + = ， ( ) 2 3 6 6 − = − ，则①不是“可乘方程”， ②1 2 1 2 x y − = ，即1 2 1 0 2 x y − −= ， ( ) 1 2 1 2 − = −，则②是“可乘方程”， ③ 1 0 x y −− + = ， ( ) ( ) 1 1 1 − − = ，则③是“可乘方程”， 则是“可乘方程”的是②③， 故答案为：②③； （2）解：∵方程(2 ) 3 3( 1) t x y t − − = − 是关于x，y 的“可乘方程”，即方程( ) ( ) 2 3 3 1 0 t x y t − − − − = 是关于x，y 的“可乘方程”， ∴( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 t t − − = − − ，即3 6 3 3 t t −= − + ， 解得： 3 2 t = ； （3）解：∵ 9 2 3 0 ( 7) 2 0 kx y m n x k y m n + + − = + + + + = 是关于x，y 的“可乘方程组”， ∴ 9 2 3 7 2 k m n k m n = − + = + ， 解得： 2 3 3 n k m k = − = + ， ∵1 2 n m − ， 学科网（北京）股份有限公司 20 / ∴ ( ) ( ) 1 2 3 3 2 k k − − + ， ∴ 3 1 4 2 k − − ． 1．（23-24 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（ ） ① 0 m = ；② 1 x ；③1 3 0 2 x + ；④ 2 2 2 a ab b + + ；⑤1 0 x ；⑥1 2 −− A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用 符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“ ”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在① 0 m = ；② 1 x ；③1 3 0 2 x + ；④ 2 2 2 a ab b + + ；⑤1 0 x ；⑥1 2 −−中， 不等式有② 1 x ；③1 3 0 2 x + ；⑤1 0 x ；⑥1 2 −−，共4 个； 0 m = 是等式； ④ 2 2 2 a ab b + + 是代数式． 故选：C． 2．（23-24 八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在Rt ADB △ 中， 90 D ? ? ，C 为AD（不含端点）上一点， 则x 可能是（ ） A．10 B．15 C．18 D．30 【答案】C 【分析】根据 90 D ? ? ， ACB DBC D = + ，得 ACB D ，由 180 ACB ，进而可判断求解； 【详解】解：∵ 90 D ? ? ， ACB DBC D = + ， ∴ ACB D ， 学科网（北京）股份有限公司 21 / ∴ 6 90 x ， ∴ 15 x ， 又∵ 180 ACB ， ∴ 6 180 x ， ∴ 30 x ， ∴x 的可能范围为：15 30 x ． 故选：C． 3．（24-25 七年级下·湖北荆州·阶段练习）如果关于x 的方程2 4 3 5 x a x b + + = 的解是负值，那么a 与b 的关系 是（ ） A． 3 5 a b B． 3 5 b a C．5 3 a b D．5 3 a b 【答案】D 【分析】先解出方程的解，再根据解是负值列式求出a 与b 的关系． 【详解】解：2 4 3 5 x a x b + + = ， 10 5 12 3 x a x b + = + ， 2 5 3 x a b = − ， 5 3 2 a b x − = ， ∵解是负值，∴5 3 0 2 a b − ，即5 3 a b ． 故选：D． 4． （24-25八年级下·江西九江·阶段练习）已知x为整数，且分式2 1 2 x x + − 的值为正整数，则x可取的值有 ． 【答案】7 或3 −或3 【分析】本题考查分式的化简，不等式的应用，一元一次方程． 先根据分式的性质化简分式为 5 2 2 x + − ，然后根据题意得到 5 2 0 2 x + − 且 5 2 x − 为整数，得到关于x 的方程， 进而求解即可． 【详解】解：2 1 2 4 5 5 2 2 2 2 x x x x x + −+ = = + − − − ∵x 为整数，且分式2 1 2 x x + − 的值为正整数， ∴ 5 2 0 2 x + − 且 5 2 x − 为整数， 学科网（北京）股份有限公司 22 / 即 5 2 2 x − − 且 5 2 x − 为整数， ∴ 2 5 x- =? 或 2 1 x− = ， 解得 7 x = 或3 −或3． 故答案为：7 或3 −或3． 5．（24-25 八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限 制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高( ) m x 的范围吗？表示为 ． 【答案】0 5 x 【分析】本题主要考查不等式的定义，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：0 5 x ， 故答案为：0 5 x ． 6．（24-25 七年级下·湖北襄阳·期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起 到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为( ) 220 0.8 − 年龄 ，最低值为 ( ) 220 0.6 − 年龄 ．所以40 岁的人最佳燃脂心率p 的范围为 ．（包括最高值和最低值） 【答案】108 144 p 【分析】根据定义，代入求值，用不等式形式解答即可． 本题考查了求代数式的值，不等式的应用，熟练掌握求值，和不等式的应用是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得，当年龄为40 时， 最佳燃脂心率最高值为( ) 220 0.8 144 40 - ? ，最低值为( ) 220 0.6 108 40 - ? ． 故108 144 p ． 故答案为：108 144 p ． 7．（2025·河南周口·二模）如图，是一个弯曲管道，当AB CD ∥ 时， 60 C = ，为方便维修，AB 可以绕B 点转动：10 （+ 表示顺时针，−表示逆时针），则在转动过程中， B 的度数不可能是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 23 / A．115 B．120 C．125 D．135 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度，不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据平行线的性质求出 180 120 B C = − = ，再根据AB 可以绕B 点转动：10 （+ 表示顺时针，−表 示逆时针），求出在旋转的过程中， B 的范围，即可求解． 【详解】解：∵AB CD ∥ 时， 60 C = ， ∴ 180 120 B C = − = ， ∵AB 可以绕B 点转动：10 ， ∴转动过程中， B 的度数范围为：120 10 120 10 B − + ， 即110 130 B ， ∴ B 的度数不可能是135， 故选：D． 8．（24-25 七年级下·江苏常州·期末）如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15 分钟部分按15 分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收 费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3 小时23 分钟，则停车费分别为4 元和8 元． 学科网（北京）股份有限公司 24 / (1)一辆小型车连续停车5 小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5 小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6 辆，同时连续停车5 小时后共收费70 元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为t 小时，且停车费为12 元，则t 的取值范围是 ． 【答案】(1)7，14 (2)小型车2 辆，大型车4 辆 (3)7.25 24 t 【分析】（1）根据停车收费标准，免费2 小时，后面第1 小时3 元，以后每15 分钟0.5元（不满15 分钟部 分按15 分钟计算，大型车双倍）计算即可； （2）设小型车x 辆，大型车y 辆，列方程组求解即可； （3）计算按0.5元每15 分钟的收费标准收费的时间，再加上免费停车时间和首次收费的1 小时，根据24 小时连续停放只收12 元，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，小型车首1 小时是3 元，超过则每15 分钟0.5元（大型车双倍）， ∵一辆小型车连续停车5 小时，由于前120 分钟免费，因此实际收费是后面2 个小时， ∴费用为3 0.5 8 7 + = （元）， ∵大型车是小型车的双倍， ∴大型车费用为14 元； 故答案为：7；14． （2）设小型车x 辆，大型车y 辆，则 6 7 14 70 x y x y + = + = 解这个方程组，得 2 4 x y = = ， 学科网（北京）股份有限公司 25 / 答：小型车2 辆，大型车4 辆． （3）12 3 9 = + ∵ ，9 0.5 18 = ，且每个小时有4 个15 分钟， ∴1 小时收费以外的时间为18 4 4 5. = 小时（收费期间，不满15 分钟部分按15 分钟计算）， ∵2 1 4.5 7.5 + + = ， ∴7.25 7.5 t ，24 小时连续停放只收12 元， ∴7.25 24 t ． 9．（2024·河北邯郸·二模）如图是一个数学游戏活动，A 、B 、C 分别代表一种运算，运算结果随着运算顺 序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及A 、B 、C 三种运算：②运算过程中自动添加必要的括号） (1)数2 经过A 、B 、C 的顺序运算后，结果是多少？ (2)数a 经过C ，B ，A 的顺序运算后，结果是负数，a 的最小整数是多少？ 【答案】(1) 8 − (2) a 的最小整数是5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的运算，不等式的计算，掌握其运算法则，不等式的性质 是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的混合运算，结合负数列不等式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意， ( ) ( ) 2 2 3 1 − −+ − 4 3 1 = −−− 8 = −； （2）解： ( ) ( ) 1 3 2 a + − − − ( ) ( ) 4 2 a = − − 8 2a = − ， ∵结果是负数， ∴8 2 0 a − ， 解得， 4 a ， ∴a 的最小整数是5． 学科网（北京）股份有限公司 26 / 10．（24-25 六年级下·上海·期中）在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款 情况如下表： 班 级 人数 捐款总额（元） 人均捐款额（元） （1）班 （2）班 合计 80 900 11.25 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60 元； 信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10 元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题： (1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？ (2)六（2）班的学生数至少是多少人？ 【答案】(1)六（1）班的捐款额为420 元，六（2）班的捐款额为480 元 (2)38 人 【分析】（1）设六（1）班的捐款额为x 元，从而可得六（2）班的捐款额为( 60) x + 元，再根据合计总捐款 额为900 元建立方程，解方程即可得； （2）先求出六（1）班学生数最多不超过42 人，再根据合计的学生总人数即可得出答案． 【详解】（1）解：设六（1）班的捐款额为x 元，则六（2）班的捐款额为( 60) x + 元， 由题意得： 60 900 x x + + = ， 解得 420 x = ， 则 60 420 60 480 x+ = + = ， 答：六（1）班的捐款额为420 元，六（2）班的捐款额为480 元； （2）解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10 元， 所以六（1）班学生数最多不超过420 10 42 = （人）， 所以六（2）班学生数至少是80 42 38 − = （人）， 答：六（2）班的学生数至少是38 人．
