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3.2 不等式的基本性质
题型一：根据不等式的基本性质判断式子是否正确
1．（24-25 八年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知a
b
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ca
cb
B．a
b
−−
C．
0
a
b
−
D．
3
3
a
b
+ +
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个
数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不
等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析判断即可．
【详解】解：A、不等式a
b
的两边同时乘c ，当
0
c
时，不等号的方向不变，即ca
cb
，故此选项不符
合题意；
B、不等式a
b
的两边同时乘1
−，不等号的方向改变，即a
b
−−，故此选项不符合题意；
C、不等式a
b
的两边同时减去b ，不等号的方向不变，即
0
a
b
−
，故此选项符合题意；
D、不等式a
b
的两边同时加上3，不等号的方向不变，即
3
3
a
b
+ + ，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（24-25 八年级上·湖南邵阳·期末）若x
y
，则下列式子中错误的是（ ）
A．
1
1
x
y
−
−
B．2
2
x
y
−
−
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C．
3
3
x
y
+
+
D．2024
2024
x
y
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加
（或减）去同一个数（式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
根据不等式的性质逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、因为x
y
，所以
1
1
x
y
−
−，故此选项正确，不符合题意；
B、因为x
y
，所以2
2
x
y
−
−
，故此选项错误，符合题意；
C、因为x
y
，所以
3
3
x
y
+
+ ，故此选项正确，不符合题意；
D、因为x
y
，所以2024
2024
x
y
，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25 八年级上·宁夏银川·期末）若m
n
，则各式中正确的是（ ）
A．
3
3
m
n
−
−
B．3
3
m
n
C．
1
1
3
3
m
n
−
−
D．3
3
m
n
−
−
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一
个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同
时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由m
n
可得
3
3
m
n
−
−，原式错误，不符合题意；
B、由m
n
可得3
3
m
n
，原式错误，不符合题意；
C、由m
n
可得
1
1
3
3
m
n
−
−，原式错误，不符合题意；
D、由m
n
可得3
3
m
n
−
−
，原式正确，符合题意；
故选：D．
4．（24-25 七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知x
y
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
3
2
x
y
−
−
B．3
6
3
6
x
y
−
+
−
+
C．
5
5
ax
ay
−
−
D．(
)
(
)
2
2
1
1
a
x
a
y
+
+
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等
式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方
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向改变．据此逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、由不等式的性质可知，
3
3
x
y
−
−或
2
2
x
y
−
−
，即原不等式不一定成立，不符合题意，
选项错误；
B、由不等式的性质可知，3
3
x
y
−
−
，3
6
3
6
x
y
−
+
−
+ ，即原不等式不成立，不符合题意，选项错误；
C、由不等式的性质可知，当
0
a
时，
5
5
ax
ay
−
−；当
0
a =
时，
5
5
ax
ay
−
=
−
；当
0
a
时，
5
5
ax
ay
−
−
；
即原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误；
D、
2
1
0
a +
，由不等式的性质可知，(
)
(
)
2
2
1
1
a
x
a
y
+
+
，原不等式一定成立，符合题意，选项正确；
故选：D．
5．（24-25 七年级下·甘肃天水·期末）若a
b
，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．3
3
a
b
B．
1
1
a
b
−
−
C．
2
2
a
b
D．1 3
1 3
a
b
−
−
【答案】C
【分析】此题考查不等式的性质，根据不等式的基本性质逐项分析，判断是否一定成立
【详解】A. 由a
b
，两边同乘正数3，得3
3
a
b
，一定成立；
B. 由a
b
，两边同减1，得
1
1
a
b
−−，一定成立；
C. 当a 和b 均为负数时，若a
b
，可能
2
2
a
b
，例如
1
2
a
b
= −
= −
，
，此时a
b
，但
2
2
1
4
a
b
=
=
，故不
一定成立；
D. 由a
b
，两边同乘-3 得3
3
a
b
-
-
，再两边加1 得1 3
1 3
a
b
−
−
，一定成立。、；
综上，不一定成立的是选项C，
故选：C
6．（24-25 七年级下·辽宁盘锦·期末） 已知a ，，c 是实数，若a
b
，
0
c
，则( )
A．a
c
b
c
+
+
B．ac
bc
C．
2
2
ac
bc
−
−
D．a
c
b
−
【答案】C
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可．
【详解】解：, ,
a b c 是实数，若a
b
，
0
c
，
a
c
b
c
+ + ，故选项A 错误；
ac
bc
，故选项B 错误；
若a
b
，
0
c
，则
2
0
c ＞，则
2
2
ac
bc
−
−
，故选项C 正确；
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a
c
b c
−−，故选项D 错误．
故选C．
7．（24-25 七年级下·四川广元·期末）下列不等式的变形中，一定正确的是（ ）
A．由x
y
，得
2
2
x
y
−
−
B．由x
y
，得x
y
−−
C．由x
y
，得2
2
x
y
D．由x
y
，得
2
2
x
y
【答案】A
【分析】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”
存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等
号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．
【详解】解：A、由x
y
，得
2
2
x
y
−
−
，正确符合题意；
B、x
y
，则x
y
−−，原写法错误，不符合题意；
C、x
y
，则2
2
x
y
，原写法错误，不符合题意；
D、x
y
，得不到
2
2
x
y
，如
0,
1
x
y
=
= −，此时
2
2
0,
1
x
y
=
= ，显然
2
2
x
y
，原写法错误，不符合题意；
故选：A．
8．（24-25 七年级下·北京·期末）下列几个变形中，正确的是（ ）
A．如果x
y
， 那么
1
1
x
y
−
+
B．如果x
y
， 那么
1
x
y
C．如果x
y
， 那么
2
2
1
1
x
y
m
m
+
+
D．如果x
y
， 那么
2
2
1
1
x
y
m
m
−
−
【答案】C
【分析】本题考查不等式性质，解题的关键在于正确掌握不等式性质．根据“不等式两边同时加减同一个数，
不等号方向不变；不等式两边同时乘除同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘除乘除同一个负
数，不等号方向改变；”逐项分析判断，即可解题．
【详解】解：A、如果x
y
，当
1
x = ，
0
y =
时，1 1 0 1
−+ ，故A 选项不符合题意；
B、如果x
y
，当
1
x = ，
1
y = −时，
1
1
0
1
x
y =
= −
−
，故B 选项不符合题意；
C、如果x
y
，
2
1
0
m +
，那么
2
2
1
1
x
y
m
m
+
+ ，故C 选项符合题意；
D、如果x
y
，当
2
0
m =
时，
2
2
1
1
x
y
m
m
−
−，故D 选项不符合题意；
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故选：C．
9．（24-25 七年级下·四川广元·期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．若
5
5
a
b
−−，则a
b
B．若2
2
a
b
−
，则a
b
−
C．若a
b
，则ac
bc
D．若a
b
，c
d
，则a
c
b
d
+
+
【答案】C
【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的性质：①把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不
等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或
除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A. 由
5
5
a
b
−−，两边同时加5，得a
b
，故A 为真命题；
B. 由2
2
a
b
−
，两边同时除以2（正数），得a
b
−，故B 为真命题；
C. 当
0
c
时，a
b
可推出ac
bc
；但当
0
c
时，不等号方向改变，即ac
bc
；若
0
c =
，则ac
bc
=
，由
于c 的符号不确定，结论不一定成立，故C 为假命题；
D. 由a
b
和c
d
，根据不等式加法性质，相加得a
c
b
d
+
+
，故D 为真命题．
故选：C．
题型二：不等式的基本性质与数轴的关系
1．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）如图，数轴上的点A 与点B 所表示的数分别为a ，b ，则下列不等式成
立的是（ ）
A．
1
1
a
b
+
+
B．a
d
b
d
−
−
C．3
3
a
b
−
−
D．a
b
c
c
【答案】B
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由数轴可得a
b
，利用不等式的性质逐
项判断即可．
【详解】解：由数轴可得a
b
，
两边同时加上1得
1
1
+
+
a
b
，则A 不符合题意，
两边同时减去d 得a
d
b
d
−
−
，则B 符合题意，
两边同时乘以3
−得3
3
a
b
−
−
，则C 不符合题意，
当
0
c
时，a
b
c
c
，则D 不符合题意，
故选：B．
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2．（24-25 八年级下·四川达州·期末）实数, ,
a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．2
2
b
c
−
−
B．ac
bc
C．c
b
a
b
−
−
D．
3
a
c
+
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，观察数轴判断, ,
a b c 的大小关系，然后根据不等式的
基本性质对各个选项的不等式进行判断即可．
【详解】解：A．因为b
c
，所以2
2
b
c
−
−
，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意；
B．因为a
b
，
0
c
，所以ac
bc
，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意；
C．因为c
a
，所以c
b
a
b
−
−，所以此选项的结论正确，故此选项符合题意；
D．因为3
2
a
−
−，3
4
c
，所以0
2
a
c
+
，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（24-25 七年级下·山东临沂·期末）若实数, ,
a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是
（ ）
A．a
c
b
c
+ +
B．ac
bc
C．ab
ac
D．a
b
c
b
+ +
【答案】B
【分析】本题考查了由数轴判断字母的大小，不等式的性质．
由数轴得到
0
c
a
b
，再根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴可知，
0
c
a
b
，
∴a
c
b
c
+
+ ，ac
bc
，ab
ac
，a
b
c
b
+
+
，
故选：B．
4．（24-25 八年级下·山东济南·期末）已知实数m、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确
的是（ ）
A．
3
3
m
n
+
+
B．3
3
m
n
−
−
C．
0
mn
D．
0
m
n
−
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：
0 1
m
n
，A、B 选项均根据不等式的性质判断
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正误即可；C 选项根据有理数的乘法法则进行计算即可；D．根据有理数的加减法则进行判断即可．
【详解】解：观察数轴可知：
0 1
m
n
，
A．
m
n
，
3
3
m
n
+
+ ，此选项的判断错误，故此选项不符合题意；
B．
m
n
，
3
3
m
n
−
−
，此选项的判断错误，故此选项不符合题意；
C．
0
m
，
0
n
，
0
mn
，此选项的判断正确，故此选项符合题意；
D．
0
m
，
0
n
，
0
m
n
−
，此选项的判断错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．（24-25 七年级下·山东德州·期末）已知实数a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的
是（ ）
A．
0
a
b
−
>
B．
3
3
a
b
−
−
C．1
1
3
3
a
b
D．2
2
a
b
−
−
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，不等式的性质，根据数轴上点的位置，得到
0
a
b
，再根据不等式的性质，
进行判断即可．
【详解】解：由数轴可知：
0
a
b
，
∴
0
a
b
−
；故选项A 不成立；
3
3
a
b
−
−；故选项B 成立；
1
1
3
3
a
b
；故选项C 不成立；
2
2
a
b
−
−
；故选项D 不成立；
故选B．
6．（24-25 七年级下·湖北咸宁·期末）若实数a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是
（ ）
A．ac
bc
B．ab
cb
C．a
c
b
c
+ +
D．a
b
c
b
+
+
【答案】B
【分析】此题主要考查不等式的性质、数轴上的点的位置和数值的关系．由数轴可知：
0
a
b
c
且
a
b
c
，再由不等式的性质得出结果即可．
【详解】解：由数轴可知：
0
a
b
c
且a
b
c
，
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A、因为ac
bc
，
0
ac
，
0
bc
，所以ac
bc
，故A 选项错误；
B、因为
0
ab
，
0
cb
，所以ab
cb
，故B 选项正确；
C、因为a
b
，所以a
c
b
c
+
+ ，故C 选项错误；
D、因为a
c
，所以a
b
c
b
+ + ，故D 选项错误．
故选：B．
题型三：利用不等式的基本性质比较两个数的大小
1．
（25-26 七年级上·全国·课后作业）若实数
1
m ，则实数A
m
=
，
2
3
m
B
+
=
，
2
1
3
m
C
+
=
的大小关系是（ ）
A．A
B
C
B．A
C
B
C．B
A
C
D．B
C
A
【答案】B
【分析】本题考查学生对利用不等式比较大小的方法的灵活使用情况，利用作差法分别比较即可．
【详解】解：∵
1
m ，
2
2
2
0
3
3
m
m
A
B
m
+
−
−
=
−
=
，
2
1
1
0
3
3
m
m
A C
m
+
−
−
=
−
=
，
A
B
，A
C
，
而
2
2
1
1
0
3
3
3
m
m
m
B
C
+
+
−
+
−
=
−
=
，
B
C
，
A
C
B
，
故选：B．
2．
（24-25 七年级上·贵州遵义·期中）设
2
4
3
M
x
mx
=
+
−，
2
2
4
2
N
x
mx
=
+
−
，那么M 与N 的大小关系是（ ）
A．M
N
B．M
N
=
C．M
N
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了整式的加减，不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．通过计算M
N
−
，
化简后根据结果的符号判断大小关系．
【详解】解：
(
) (
)
2
2
4
3
2
4
2
M
N
x
mx
x
mx
−
=
+
−
−
+
−
2
2
4
3
2
4
2
x
mx
x
mx
=
+
−−
−
+
2
1
x
= −
−
∵
2
0
x
，
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∴
2
1
1
0
x
−
−−
，
∴
0
M
N
−
，
即M
N
，
选择C．
3．（2025·江苏泰州·二模）已知a
b
，则2 a
−
与3 b
−的大小关系是（ ）
A．2
3
a
b
−
−
B．2
3
a
b
−
= −
C．2
3
a
b
−
−
D．无法比较
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解此题的关键．根据不等式的基本
性质可得出结论．
【详解】解：a
b
，
a
b
−−，
2
3
a
b
−
−，
故选：C．
4．（24-25 七年级上·山东青岛·开学考试）如果0
1
a
，那么a ，1
a ，
2
a 的大小关系是（ ）
A．
2
1
a
a
a
B．
2
1
a
a
a
C．
2
1
a
a
a
D．无法比较
【答案】C
【分析】本题考查了不等式性质，根据不等式性质得到1
1
a ，
2
a
a
，即可解题．
【详解】解：0
1
a
，
1
1
a ，
2
a
a
，
a ，1
a ，
2
a 的大小关系是
2
1
a
a
a
，
故选：C．
5．（23-24 八年级下·辽宁沈阳·期中）已知x
y
，比较2
3
x
−
−与2
3
y
−
−的大小，结果正确的是（ ）
A．2
3
2
3
x
y
−
−
−
−
B．2
3
2
3
x
y
−
−
−
−
C．2
3
2
3
x
y
−
−
= −
−
D．2
3
2
3
x
y
−
−
−
−
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同
一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）
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不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先在x
y
的两边同乘以2
−，变号，再在此基础
上同减去3，不变号，即可得出结果．
【详解】解：x
y
，
2
2
x
y
−
−
，
2
3
2
3
x
y
−
−
−
−，
故选：A．
6．（24-25 八年级下·江西抚州·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空；若m
n
，且(
)
(
)
a
b m
a
b n
−
−
，
则a b ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据不等式的性质分析出
0
a
b
−
即可解答．
【详解】解：由(
)
(
)
a
b m
a
b n
−
−
得，
m
n
可知，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向发生改变，
∴
0
a
b
−
，
即a
b
，
故答案为：．
7．（23-24 七年级下·江苏泰州·期中）已知：
2
2
a
m
mn
n
=
+
+
，
2
b
mn
n
=
−
，
2
2
5
4
2
c
mn
m
n
=
−
−
（m 、n 为
常数且均不为0），比较a 、b 、c 的大小 ．
【答案】a
b
c
【分析】本题考查了不等式的性质，直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所
以代入特殊值也是最好的选择．
代数式的比较，常用的方法是做差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代
入法，考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【详解】解：解法1：令
1
m = ，
0
n =
，
则
1
a = ，
0
b =
，
4
c = −，
∵1
0
4
−，
∴a
b
c
．
解法2：∵
(
) (
)
2
2
2
2
0
a
b
m
mn
n
mn
n
m
−
=
+
+
−
−
=
，
∴a
b
，
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∵
(
) (
)
2
2
2
2
2
5
4
2
4
4
0
b
c
mn
n
mn
m
n
mn
m
n
−
=
−
−
−
−
= −
+
+
，
∴b
c
，
∴a
b
c
．
题型四：根据不等式的性质填空
1．（24-25 八年级下·甘肃天水·阶段练习）（1）用不等号填空：
若a
b
，则
1
a −______
1
b −（依据不等式的基本性质1）；
若a
b
，则2a ______ 2b（依据不等式的基本性质2）；
若a
b
，则3a
−
______ 3b
−
（依据不等式的基本性质3）．
（2）已知a
b
，试比较2025
1
a
−
+ 与2025
1
b
−
+ 的大小．
【答案】（1）；；；（2）2025
1
2025
1
a
b
−
+ −
+
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的
方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：
不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据不等式的性质填空即可；
（2）利用不等式的性质即可比较．
【详解】（1）解：若a
b
，则
1
1
a
b
−
−（依据不等式的基本性质1）；
若a
b
，则2
2
a
b
（依据不等式的基本性质2）；
若a
b
，则3
3
a
b
−
−
（依据不等式的基本性质3）．
故答案为：；；；
（2）∵a
b
，
∴2025
2025
a
b
−
−
（依据不等式的基本性质3），
∴2025
1
2025
1
a
b
−
+ −
+ （依据不等式的基本性质1）．
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知p
q
，用“”或“”填空，并说明依据：
(1)
1
2
p +
________
1
2
q +
(2)
2
p −
_________
2
q −
(3)
2
p
m
+
_________
2
q
m
+
(4) 5 p
−
________ 5q
−
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(5) 3
p ________ 3
q
(6) 4
1
p + ________4
1
q +
【答案】(1)，依据是：不等式的性质1
(2) ，依据是：不等式的性质1
(3) ，依据是：不等式的性质1
(4)，依据是：不等式的性质3
(5) ，依据是：不等式的性质2
(6) ，依据是：不等式的性质2 和性质1
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
（1）根据不等式的性质1 即可得；
（2）根据不等式的性质1 即可得；
（3）根据不等式的性质1 即可得；
（4）根据不等式的性质3 即可得；
（5）根据不等式的性质2 即可得；
（6）根据不等式的性质2 和性质1 即可得．
【详解】（1）解：∵p
q
，
∴
1
1
2
2
p
q
+
+
，依据是：不等式的性质1，
故答案为：．
（2）解：∵p
q
，
∴
2
2
p
q
−
−
，依据是：不等式的性质1，
故答案为：．
（3）解：∵p
q
，
∴
2
2
p
m
q
m
+
+
，依据是：不等式的性质1，
故答案为：．
（4）解：∵p
q
，
∴5
5
p
q
−
−
，依据是：不等式的性质3，
故答案为：．
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（5）解：∵p
q
，
∴3
3
p
q
，依据是：不等式的性质2，
故答案为：．
（6）解：∵p
q
，
∴4
4
p
q
，依据是：不等式的性质2，
∴4
1
4
1
p
q
+
+ ，依据是：不等式的性质1，
故答案为：．
3．（24-25 七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知x
y
，比较3
2
x −
与3
2
y −
的大小．
解：x
y
，且3
0
（已知），
3x________3y （依据：________），
3
2
x −
________3
2
y −
（依据：________）．
（2）若x
y
，比较5
2x
−
与5
2y
−
的大小，并说明理由．
【答案】（1），不等式的性质2，，不等式的性质1；（2）5
2
5
2
x
y
−
−
，理由见解析
【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形．
（1）根据不等式的性质分析即可求解；
（2）根据不等式的性质分析即可求解．
【详解】解：（1）x
y
，且3
0
（已知），
3x 3y （依据：不 等 式 的 性 质 2 ），
3
2
x −
3
2
y −
（依据：不 等 式 的 性 质 1），
故答案为：，不等式的性质2，，不等式的性质1；
（2）5
2
5
2
x
y
−
−
，理由如下：
x
y
，且2
0
−
（已知），
2
2
x
y
−
−
（依据：不等式的性质3），
5
2
5
2
x
y
−
−
（依据：不等式的性质1）．
4．（24-25 八年级下·山西太原·阶段练习）若x
y
，根据不等式的基本性质，用不等号填空：
(1)
2
x+
_______
2
y +
；
(2)1 2x
−
_______1 2
−y ；
(3)
2
xc _______
2
yc
【答案】(1)
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(2)
(3)
【分析】此题考查了不等式的性质．
（1）根据不等式的性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，即可得出答案；
（2）先根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，再根据不等式的性质：
不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，即可得出答案；
（3）据不等式的性质：不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，特殊的情况，当乘以0 时，
则原不等式相等，即可得出答案；
【详解】（1）解：x
y
两边同时加2，即可得到
2
2
x
y
+
+
；
故答案为：；
（2）解：x
y
两边同时乘以2
−得2
2
x
y
−
−
，
两边加1 得1 2
1 2
x
y
−
−
；
故答案为：；
（3）解：x
y
两边同时乘以
2
c ，而
2
c 为非负数，
∴
2
2
xc
yc
£
；
故答案为：．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学的解题过程：
已知a
b
，试比较3
1
−
+
a
与3
1
b
−
+ 的大小．
解：因为a
b
…①
所以3
3
a
b
−
−
…②
故3
1
3
1
a
b
−
+ −
+ …③
问：
(1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
(2)错误的原因是______；
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②
(2)不等号没有改变方向
(3)见解析
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方
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向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
（1）根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案；
（2）根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案；
（3）利用不等式的性质逐步变形即可．
【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误；
（2）解：不等号没有改变方向；
（3）解：∵a
b
，
∴3
3
a
b
−
−
，
∴3
1
3
1
a
b
−
+ −
+ ．
6．
（24-25 七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知
0
n ，试比较：
1
2
m
n
−
与
1
5
m
n
−
的大小．
解：
1
1
2
5
−
−
，
0
n ，
根据不等式的基本性质3，得
1
1
2
5
n
n
−
−
， 第一步
根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m ，得
1
1
2
5
m
n
m
n
−
−
． 第二步
(1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变
(2)见解析
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
（1）根据不等式的性质即可得到答案；
（2）根据不等式的性质即可解答．
【详解】（1）解：一 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
故答案为：一 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（2）解：
1
1
2
5
−
−
，
0
n ，
根据不等式的基本性质3，得
1
1
2
5
n
n
−
−
，
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根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m ，得
1
1
2
5
m
n
m
n
−
−
．
7．（24-25 七年级上·山东青岛·期中）已知
2
2
2
5
1
5
2
A
a
a
B
a
a
=
−
+
=
−
−
,
．
(1)计算：当
0
a =
时，A =______，B =______；当
1
a = 时，A =______，B =______；当
1
a = −时，A =______，
B =______；
(2)猜想：无论a 为何值，A______B 始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）；
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
【答案】(1)1，2
−，2
−，6
−，8，4
(2)＞
(3)见解析
【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法
则是解本题的关键．
（1）分别将
0
a =
，
1
a = ，
1
a = −代入A，B 的代数式求解即可；
（2）观察（1）中结果即可解答；
（3）利用作差的方法比较A，B 的大小．
【详解】（1）解：当
0
a =
时，
2
2
2
5
1
2 0
5 0 1
1
A
a
a
=
−
+ =
−+ = ，
2
2
5
2
0
5 0
2
2
B
a
a
=
−
−
=
−−
= −；
当
1
a = 时，
2
2
2
5
1
2 1
5 1 1
2
A
a
a
=
−
+ =
−+ = −，
2
2
5
2
1
5 1
2
6
B
a
a
=
−
−
=
−−
= −；
当
1
a = −时，
(
)
(
)
2
2
2
5
1
2
1
5
1
1
8
A
a
a
=
−
+ =
−
−−
+ =
，
(
)
(
)
2
2
5
2
1
5
1
2
4
B
a
a
=
−
−
= −
−−
−
=
；
故答案为：1，2
−，2
−，6
−，8，4
（2）解：由（1）可得，当
0
a =
时，A
B
；当
1
a = 时，A
B
；当
1
a = −时，A
B
；
猜想：无论a 为何值，A
B
始终成立．
故答案为：＞
（3）解：
(
) (
)
2
2
2
5
1
5
2
A
B
a
a
a
a
−
=
−
+
−
−
−
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2
2
2
5
1
5
2
a
a
a
a
=
−
+ −
+
+
2
3
a
=
+
∵
2
0
a
，
∴
2
3
3
0
a +
，
∴
0
A
B
−
，
∴A
B
．
题型一：不等式的基本性质中最值问题
1．
（24-25 七年级下·江苏扬州·期末）在一次数学活动课上，老师提出了一个问题：若
3
a
b
+
=
，
1
a ，
2
b −，
求2
3
a
b
+
的取值范围．甲，乙两位同学采用了两种不同的方法解决了这个问题：
甲：
由
3
a
b
+
=
，得
3
a
b
= −
，
由
1
a ，得3
1
b
−，从而2
2
b
−
．
由
3
a
b
+
=
，得
3
b
a
= −
，
由
2
b −，得3
2
a
−
−，从而1
5
a
故2
2
10
a
，6
3
6
b
−
，
所以4
2
3
16
a
b
−
+
．
乙：
由
3
a
b
+
=
，得
3
a
b
= −
，
从而
(
)
2
3
2 3
3
6
a
b
b
b
b
+
=
−
+
=
+
，
由
1
a ，得3
1
b
−，从而2
2
b
−
．
所以4
6
8
b
+
，即4
2
3
8
a
b
+
．
(1) (填“甲”或“乙”)的解法正确；
(2)若
(
a
b
m
−
=
其中m 为常数) ，
2
a
，
1
b −，求3a
b
−的最小值( 用含m 的代数式表示)．
【答案】(1)乙
(2)4
m
+
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【分析】本题考查不等式的性质，列代数式，关键是掌握不等式的性质．
（1）甲的解法：导致范围扩大，因此甲的解法错误，乙的解法：把问题转化为关于b 的式子，结合条件准
确确定范围，因此乙的解法正确．
（2）求出
(
)
2
1
3
a
m
m
−
，得到
(
)
3
3
2
a
b
a
a
m
a
m
−
=
−
−
=
+
．即可得到3a
b
−的最小值．
【详解】（1）解：甲：分别求解不等式后直接相加，忽略了a 和b 的相关性，导致范围扩大，因此甲的解法
错误，
乙：通过代数变形把问题转化为关于b 的式子，结合条件准确确定范围，因此乙的解法正确．
故答案为：乙．
（2）
a
b
m
−
=
，
b
a
m
=
−
，
1
b −
，
1
a
m
−
−，
1
a
m
−，
(
)
2
1
3
a
m
m
−
，
(
)
3
3
2
a
b
a
a
m
a
m
−
=
−
−
=
+
．
3a
b
−的最小值是2 2
4
m
m
+
=
+
．
2．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题．
材料：已知实数x 、y 满足
0
x
y
，求证：
2
2
x
y
．
证明：
x
y
且x ，y 均为正 （已知）
2x
xy
，
2
xy
y
（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
2
2
x
xy
y
（不等式的传递性
．．．）
即
2
2
x
y
，
解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据）
(1)若a
b
，求证：
2
a
b
b
+
；
(2)已知有理数a ，b ，c 满足：
0
a
b
c
+ + =
，
3
c −，5
3
2
0
a
b
c
+
+
．试求a 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
3
2
−
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【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时加上同一个数b 得
2
a
b
b
b
b
+ +
=
，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即
可证明问题．
（2）由条件可得
(
)
5
3
2
2
3
3
0
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
+
+
=
+
+
+
+
=
+
，而b
a
c
= −−，进一步可得2
0
a
c
−
，结合
3
c −可得答案．
【详解】（1）证明：
a
b
，
a
b
b
b
+
+ ，
2
a
b
b
+
，
2
a
b
b
+
；
（2）解：
0
a
b
c
+ + =
，5
3
2
0
a
b
c
+
+
，
(
)
5
3
2
2
3
3
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
+
+
=
+
+
+
+
=
+
，
即3
0
a
b
+
，
又
0
a
b
c
+ + =
，
b
a
c
= −−
3
3
a
b
a
a
c
+
=
−−，
2
0
a
c
−
，
2
3
a
c
−
2
3
a
−，
3
2
a
−
，
a
的最小值是
3
2
−
．
3．
（24-25 九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观
察下列式子：
①
(
)
(
)
2
2
2
4
2
4
4
2
2
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
−
=
+
−
，∵(
)
2
2
0
x +
，∴
(
)
2
2
4
2
2
2
0
x
x
x
+
+
=
+
−
，∴代数式
2
4
2
x
x
+
+
有最小值2
−；
②
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
1
4
1
4
x
x
x
x
x
−
+
+
= −
−
+
+
= −
−
+
，∵(
)
2
1
0
x
−
−
，∴
(
)
2
2
2
3
1
4
4
x
x
x
−
+
+
= −
−
+
，∴代数式
2
2
3
x
x
−
+
+ 有最大值4．
阅读上述材料并完成下列问题：
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20 /
(1)代数式
2
2
3
a
a
−
+ 的最小值为 ；代数式
2
6
4
a
a
−
−
+
的最大值为 ；
(2)求代数式
2
2
4
8
13
a
b
b
a
+
+
−
+
的最小值；
(3)如图，在四边形ABCD中，对角线AC 、BD相交于点O，且AC
BD
⊥
，若
12
AC
BD
+
=
，求四边形ABCD
面积的最大值．
【答案】(1)2；13
(2) 7
−
(3)18
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，不等式的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式分解因式得到
(
)
2
2
2
3
1
2
a
a
a
−
+
=
−
+
，
(
)
2
2
6
4
3
13
a
a
a
−
−
+
= −
+
+
，再仿照题意求
解即可；
（2）利用完全平方公式分解因式得到
(
)
(
)
2
2
2
2
4
8
13
4
2
7
a
b
b
a
a
b
+
+
−
+
=
−
+
+
−
，据此求解即可；
（3）根据
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
=
+
△
△
四边形
，可得
1
2
ABCD
S
AC BD
=
四边形
，设AC
x
=
，则
12
BD
x
=
−
，则可得到
(
)
2
1
6
18
18
2
ABCD
S
x
= −
−
+
四边形
，据此可得答案．
【详解】（1）解：
2
2
3
a
a
−
+
(
)
2
2
1
2
a
a
=
−
+
+
(
)
2
1
2
a
=
−
+
，
∵(
)
2
1
0
a −
，
∴
(
)
2
2
2
3
1
2
2
a
a
a
−
+
=
−
+
，
∴代数式
2
2
3
a
a
−
+ 的最小值为2；
2
6
4
a
a
−
−
+
(
)
2
6
9
4
9
a
a
= −
+
+
+
+
(
)
2
3
13
a
= −
+
+
，
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21 /
∵(
)
2
3
0
a +
，
∴(
)
2
3
0
a
−
+
，
∴
(
)
2
2
6
4
3
13
13
a
a
a
−
−
+
= −
+
+
，
∴代数式
2
6
4
a
a
−
−
+
的最大值为13；
（2）解：
2
2
4
8
13
a
b
b
a
+
+
−
+
(
) (
)
2
2
8
16
4
4
7
a
a
b
b
=
−
+
+
+
+
−
(
)
(
)
2
2
4
2
7
a
b
=
−
+
+
−
，
∵(
)
(
)
2
2
4
0
2
0
a
b
−
+
，
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
4
8
13
4
2
7
7
a
b
b
a
a
b
+
+
−
+
=
−
+
+
−
−，
∴代数式
2
2
4
8
13
a
b
b
a
+
+
−
+
的最小值为7
−；
（3）解：∵AC
BD
⊥
，
∴
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
=
+
△
△
四边形
1
1
2
2
AC OB
AC OD
=
+
(
)
1
2 AC
OB
OD
=
+
1
2 AC BD
=
，
设AC
x
=
，则
12
BD
x
=
−
，
∴
1
2
ABCD
S
AC BD
=
四边形
(
)
1
12
2 x
x
=
−
(
)
2
1
12
36
36
2 x
x
= −
−
+
−
(
)
2
1
6
18
2 x
= −
−
+
，
∵(
)
2
6
0
x −
，
∴
(
)
2
1
6
0
2 x
−
−
，
∴
(
)
2
1
6
18
18
2
ABCD
S
x
= −
−
+
四边形
，
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22 /
∴
ABCD
S四边形
的最大值为18．
4．（24-25 八年级下·四川眉山·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆
分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）
法．如
(
)
(
)
2
2
1
2
2
3
2
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
=
=
−
+
−
−
−
这样分式就拆分成整式(
)
1
x −
和分式
2
1
x −和的形式．根据以上
阅读材料，解答下列问题：
(1)分式
5
2
a
a
+
+
用分离整式法可化为_____________形式．
(2)已知
2
2
2
8
2
a
y
a
+
=
+
，利用分离整式法求y 的取值范围？
(3)若分式
2
5
9
3
2
a
a
a
+
−
+
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：
1
5
11
6
x
y
−
+
−
，求
代数式
2
2
x
y
xy
+
+
的最小值？
【答案】(1)
3
1
2
a
+
+
(2) 2
4
y
(3)27
【分析】本题考查了分式的变形、运算，完全平方公式的应用，解题的关键是应用分离常数法，把所求分
式变形．
（1）按照阅读材料方法，把
5
2
a
a
+
+
变形即可；
（2）用分离常数法，把原式化为
2
4
2
2
a
+
+
，由
2
4
0
2
2
a
+
即可得答案；
（3）用分离常数法，把原式化为
1
5
1
2
a
a
−−
+
，根据已知用a 的代数式表示x、y，进而得出
(
)
(
)
2
2
2
2
1
27
x
x
xy
x
y
xy
a
+
+
=
+
−
=
−
+
，即可得答案．
【详解】（1）解：
(
)
2
3
5
3
1
2
2
2
a
a
a
a
a
+
+
+
=
= +
+
+
+
，
故答案为：
3
1
2
a
+
+
；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
8
2(
2)
4
4
2
2
2
2
a
a
y
a
a
a
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
，
∵
2
2
2
a +
，
∴
2
4
0
2
2
a
+
，
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23 /
∴
2
4
2
2
4
2
a
+
+
，
∴2
4
y
；
（3）解：
2
5
9
3
5 (
2)
(
2)
1
1
5
1
2
2
2
a
a
a a
a
a
a
a
a
+
−
+
−
+
−
=
=
−−
+
+
+
，
∵分式
2
5
9
3
2
a
a
a
+
−
+
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：
1
5
11
6
x
y
−
+
−
，
∴
(
)
5
1
5
11
6
2
a
x
y
a
−=
−
−
= −
+
，
，
∴
2
4
x
a
y
a
=
+
= −+
，
，
∴
(
)(
)
2
6
2
4
2
8
x
y
xy
a
a
a
a
+
=
=
+
−+
= −
+
+
，
，
而
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
36
2
8
2
28
1
27
x
x
xy
x
y
xy
a
a
a
a
a
+
+
=
+
−
=
−−
+
+
=
−
+
=
−
+
，
∵(
)
2
1
0
a −
，
∴（(
)
2
1
27
27
a −
+
，
∴当
1
a = 时，
2
2
x
y
xy
+
+
最小值是27．
5．（24-25 七年级下·江苏连云港·阶段练习）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数
式的一些问题，阅读下列两则材料：
材料一：已知
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，求
m
n
、的值．
解：
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，(
) (
)
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
n
−
+
+
−
+
=
，
(
)
(
)
2
2
4
0
m
n
n
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
0,
4
0
m
n
n
−
−
(
)
(
)
2
2
0,
4
0
m
n
n
−
=
−
=
4
m
n
=
=
．
材料二：探索代数式
2
4
2
x
x
+
+ 与
2
2
3
x
x
−
+
+ 是否存在最大值或最小值？
①
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
2
4
4
2
2
2,
2
0,
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
−
=
+
−
+
+
+
=
+
−
−
．
代数式
2
4
2
x
x
+
+ 有最小值2
−；
②
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
2
1
4
1
4,
1
0
x
x
x
x
x
x
−
+
+
= −
−
+
+
= −
−
+
−
−
，
(
)
2
2
2
3
1
4
4
x
x
x
−
+
+
= −
−
+
．代数式
2
2
3
x
x
−
+
+ 有最大值4．
学习方法并完成下列问题：
(1)代数式
2
6
3
x
x
−
+ 的最___________（填“大”、“小”）值为___________；
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24 /
(2)已知,x y为有理数，且满足
2
3
5
0
x
y
x
+
+
−
=
．若x
y
+
有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）；
若没有最大（或最小）值，请说明理由；
(3)已知
ABC
的三条边的长度分别为, ,
a b c ，且
2
2
74
10
14
a
b
a
b
+
+
=
+
，且c 为正整数，求
ABC
周长的最
小值．
【答案】(1)小，6
−
(2) x
y
+
有最大值，最大值为6
(3)15
【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方的非负性、三角形的三边关系、不等式，熟练掌握完全平方公
式是解题关键．
（1）先利用完全平方公式可得
(
)
2
2
6
3
3
6
x
x
x
−
+
=
−
−
，再根据(
)
2
3
0
x −
可得
2
6
3
6
x
x
−
+
−，由此即可得；
（2）先求出
2
2
5
x
y
x
x
+
= −
−
+ ，再利用完全平方公式可得
(
)
2
1
6
x
y
x
+
= −
+
+
，然后根据(
)
2
1
0
x
−
+
即可
得；
（3）先将已知等式变形为(
)
(
)
2
2
5
7
0
a
b
−
+
−
=
，根据偶次方的非负性可得(
)
2
5
0
a −
=
，(
)
2
7
0
b −
=
，从而
可得
5,
7
a
b
=
=
，再根据三角形的三边关系可得2
12
c
，可得出整数c 的最小值，然后利用三角形的周长
公式求解即可得．
【详解】（1）解：
(
)
(
)
2
2
2
6
3
6
9
6
3
6
x
x
x
x
x
−
+
=
−
+
−
=
−
−
，
∵(
)
2
3
0
x −
，
∴
(
)
2
2
6
3
3
6
6
x
x
x
−
+
=
−
−
−，
∴代数式
2
6
3
x
x
−
+ 的最小值为6
−，
故答案为：小，6
−．
（2）解：∵
2
3
5
0
x
y
x
+
+
−
=
，
∴
2
2
5
x
y
x
x
+
= −
−
+
(
)
2
2
1
6
x
x
= −
+
+
+
(
)
2
1
6
x
= −
+
+
，
∵(
)
2
1
0
x
−
+
，
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25 /
∴(
)
2
1
6
6
x
−
+
+
，
∴
6
x
y
+
，
∴x
y
+
有最大值，最大值为6．
（3）解：∵
2
2
74
10
14
a
b
a
b
+
+
=
+
，
∴
2
2
10
25
14
49
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
5
7
0
a
b
−
+
−
=
，
∵(
)
(
)
2
2
5
0,
7
0
a
b
−
−
，
∴(
)
(
)
2
2
5
0,
7
0
a
b
−
=
−
=
，
∴
5,
7
a
b
=
=
，
∵
ABC
的三条边的长度分别为, ,
a b c ，
∴7
5
7
5
c
−
+ ，即2
12
c
，
∵c 为正整数，
∴整数c 的最小值为3，
∴
ABC
周长的最小值为
3
5 7 3 15
a
b
+ + = + + =
．
题型二：利用不等式的基本性质进行证明
1．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n 四个数中，a
b
，m
n
．
(1)比较2a
−
与2b
−
的大小；
(2)若a、b、m、n 都是正数，利用不等式的基本性质说明：am
bn
．
【答案】(1) 2
2
a
b
−
−
(2)详见解析
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
（1）利用不等式的性质即可求得答案；
（2）利用不等式的性质易得am
bm
，bm
bn
，然后利用不等式的传递性即可证得结论．
【详解】（1）解：解：
a
b
，
两边同时乘以2
−得2
2
a
b
−
−
；
（2）解：
a
b
，m 是正数，
am
bm
，
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m
n
，b 是正数，
bm
bn
，
am
bn
．
2．（24-25 八年级下·福建宁德·期末）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方
法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”．
例如：已知a ，b 为实数，且0
b
a
，求证：1
1
a
b
证明：1
1
a
b
−
= ①______，
0
a
，
0
b
，
0
ab
．
又
b
a
，
0
b
a
−
．（②______）
0
b
a
ab
−
．③______
0
1
1
a
b
．
(1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据）
(2)已知a
b
，且
2
2
a
b
b
a
+
=
+
，求证：
2
ab = −．
【答案】(1)①b
a
ab
−
；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，
或“不等式的性质”）；③1
1
a
b
−
(2)见解析
【分析】本题考查了等式的基本性质、不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
键．
（1）根据不等式的性质补全过程即可；
（2）将式子变形为
(
)
2 b
a
a
b
ab
−
−
=
，再结合a
b
以及等式的基本性质计算即可得解．
【详解】（1）证明：1
1
b
a
a
b
ab
−
−
=
，
0
a
，
0
b
，
0
ab
．
又
b
a
，
0
b
a
−
．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变）
0
b
a
ab
−
．
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27 /
1
1
0
a
b
−
，
1
1
a
b
，
故答案为：①b
a
ab
−
；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，
或“不等式的性质”）；③1
1
a
b
−
；
（2）证明：
2
2
a
b
b
a
+
=
+
，
2
2
a
b
a
b
−
=
−
．
(
)
2
2
2
2
2
b
a
b
a
a
b
ab
ab
−
−
−
=
=
．
(
)
2 b
a
a
b
ab
−
−
=
①．
a
b
，
0
a
b
−
．
等式①的两边同时除以(
)
a
b
−
，得
2
1
ab
−
=
，
2
ab
= −．
3．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）已知有理数a，b，c．
(1)若
0,
2,
0
a
c
a
b
c
=
+
−
=
，求a
b
−的取值范围；
(2)若a，b，c 都是正整数，且a
b
c
+ + 是偶数，请说明：a
b
c
+ −是偶数．
【答案】(1)
2
a
b
−
−
(2)见解析
【分析】本题主要考查了不等式的性质、整式的加减、数的奇偶性等知识点．
（1）由已知可得
2
b
a
c
a
= −+ = −+
，代入a
b
−，可得
2
2
a
b
a
−
=
−，再由
0
a
，得出a
b
−的取值范围；
（2）由, ,
a b c 都是整数，得出2 ,2 ,2
a
b
c 是偶数；再由已知条件可得
(
)
2
a
b
c
a
b
c
c
+
−
=
+
+
−
，由此得证．
【详解】（1）解：
2,
0
c
a
b
c
=
+
−
=
，
2
b
a
c
a
= −+
= −+
，
(
2)
2
2
a
b
a
a
a
−
=
−−+
=
−
，
0
a
，
2
2
2
a
b
a
−
=
−
−，
2
a
b
−
−．
（2）解：（方法一）
, ,
a b c
都是正整数，
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2 ,2 ,2
a
b
c
是偶数，
(
)
2
a
b
c
a
b
c
c
+
−
=
+
+
−
；
a
b
c
+ +
也是偶数，偶数- 偶数= 偶数，
a
b
c
+ −是偶数．
（方法二）
, ,
a b c
都是正整数，且a
b
c
+ + 是偶数，
若a 为偶数，则b
c
+ 也必是偶数，
,b c
为同奇同偶，
b
c
−必是偶数．a
b
c
+ −是偶数．
若a 为奇数，则b
c
+ 也必是奇数，
,b c
为一奇一偶，
b
c
−必是奇数，
a
b
c
+ −是偶数，
综上所述：a
b
c
+ −是偶数．
4．（24-25 七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b 满足
0
b
a
．
(1)利用不等式的基本性质证明1
1
a
b
；
(2)若存在实数c，m，使得c
b
，且1
1
1
m
a
b
c
+
+
=
．
①求证：0
3
ma
；
②当a，b，c，m 均为整数时，求a，b，c 的值．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②
2
a =
，
3
b =
，
6
c = ．
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
（1）根据题意可得
0
ab
，则b
a
ab
ab
，据此可证明结论；
（2）①同理可得
1
1
b
c
，则1
1
1
a
b
c
，则可证明1
1
1
3
a
b
c
a
+
+
，则
3
m
a
，据此可证明结论；②根据①可得
1
ma = 或
2
ma =
，则
1
1
m
a
=
=
或
1
2
m
a
=
=
或
2
1
m
a
=
=
，再讨论a、m 的值求解即可．
【详解】（1）解：∵
0
b
a
，
∴
0
ab
，
∴b
a
ab
ab
，
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∴1
1
a
b
；
（2）解：①∵
0
c
b
a
，
∴
0
bc
，
∴c
b
bc
bc
，
∴
1
1
b
c
，
∵1
1
a
b
，
∴1
1
1
a
b
c
，
∴1
1
1
1
1
1
a
b
c
a
a
a
+
+
+
+
，即1
1
1
3
a
b
c
a
+
+
，
∵1
1
1
m
a
b
c
+
+
=
，
∴
3
m
a
，
∴
3
ma ，
∵
0
c
b
a
，1
1
1
m
a
b
c
+
+
=
，
∴
0
m
，
∴0
3
ma
；
②∵a，m 均为整数，且0
3
ma
，
0
m
，
0
a
，
∴
1
ma = 或
2
ma =
，
∴
1
1
m
a
=
=
或
1
2
m
a
=
=
或
2
1
m
a
=
=
，
当
1
1
m
a
=
=
时，
∵1
1
1
m
a
b
c
+
+
=
，
∴
1
1
1
1
b
c
+
+
= ，即1
1
0
b
c
+
=
，不符合题意；
当
2
1
m
a
=
=
时，
∵1
1
1
m
a
b
c
+
+
=
，
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30 /
∴
1
1
1
2
b
c
+
+
=
，即1
1
1
b
c
+
= ，
∵
1
c
b
a
= ，且c、b 都是整数，
∴
2
c
b
，
∴1
1
1
1
2
1
b
c
b
b
b
+
+
=
，故此种情况不成立；
当
1
2
m
a
=
=
时，
∵1
1
1
m
a
b
c
+
+
=
，
∴1
1
1
1
2
b
c
+
+
= ，即1
1
1
2
b
c
+
=
，
∵1
1
1
1
1
2
2
b
c
b
b
b
+
=
+
=
，
∴
4
b
，
∴
3
b =
，
∴1
1
1
3
2
c
+
=
，
∴
6
c = ；
综上所述，
2
a =
，
3
b =
，
6
c = ．
5．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c 为三个互不相等的有理数．
(1)已知a
b
，试说明：1 3
1 3
a
b
−
−
．
在下列说理中，填空（数学符号或理由）：
解：
a
b
（已知），
3a
−
①
3b
−
（不等式的基本性质3），
1 3
1 3
a
b
−
−
（ ② ）
(2)已知
0,4
2
a
b
c
a
c
b
+
+
+
=
，试说明：b
a
．
【答案】(1)①>；②不等式的基本性质1
(2)b
a
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的
方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：
不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据不等式的性质填空即可；
（2）利用不等式的性质即可比较．
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31 /
【详解】（1）解：解：
a
b
（已知），
3
3
a
b
−
−
（不等式的基本性质3），
1 3
1 3
a
b
−
−
（不等式的基本性质1）
故答案为：①；②不等式的基本性质1．
（2）解：
4
2
a
c
b
+ =
，
2
4
c
b
a
=
−
，
0
a
b
c
+ +
，
(2
4 )
0
a
b
b
a
+
+
−
，
去括号、合并同类项，得3
3
0
b
a
−
，
解得：b
a
．
6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知三个正整数a，b，c 满足a
b
c
，且1
1
1
1
a
b
c
+
+
= ，求a，b，c．
【答案】
2
a =
，
3
b =
，
6
c = ．
【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．先由a
b
c
，且a ，
b ，c 为正整数得1
1
1
a
b
c
，则1
1
1
3
1
a
b
c
a
+
+
= ，1
1
a ，由此可得1
3
a
，则
2
a =
，进而可得1
1
1
2
b
c
+
=
，
同理得2
1
2
b
，则
4
b
，结合a
b
可得
3
b =
，进而再求出c 的值即可．
【详解】解：
a
b
c
，且a ，b ，c 为正整数，
1
1
1
a
b
c
，
1
1
1
3
a
b
c
a
+
+
，
又1
1
1
1
a
b
c
+
+
= ，
3
1
a
，1
1
a ，
3
a
，
1
a ，
即：1
3
a
，
2
a
=
，
将
2
a =
代入1
1
1
1
a
b
c
+
+
= ，得：1
1
1
2
b
c
+
=
，
同理：2
1
2
b
，则
4
b
，
a
b
，
3
b
= ，
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将
3
b =
代入1
1
1
2
b
c
+
=
，得：
6
c = ，
综上所述：
2
a =
，
3
b =
，
6
c = ，
7．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）已知, ,
x y z 都是有理数，
4
x
z
=
−，y
z
．求证：
3
1
4
x
y
y
+
+ ．
【答案】见解析
【分析】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的
基本性质证明即可．
【详解】证明：∵
4
x
z
=
−，
∴
4
z
x
=
+ ，
∵y
z
，
∴
4
y
x
+
，
∴4
3
4
y
y
x
−
+
，
∴4
4
3
y
x
y
+
+
，
∴
4
3
4
x
y
y
+ +
，
即
3
1
4
x
y
y
+
+ ．
8．（2025·福建漳州·模拟预测）已知
0
0
a
b
c
，
，求证：c
c
a
b
．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可．
【详解】证明：∵
0
a
b
，
∴a
b
ab
ab
＞
，
∴1
1
b
a
＞
，
∵
0
c
，
∴c
c
b
a
＜，
即c
c
a
b
．
9．（24-25 七年级下·河南南阳·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领
域也有推理或证明的内容．请利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性．
(1)如果a
b
，c
d
，那么a
c
b
d
+
+
；
(2)如果a 、b 、c 、d 都是正数，且a
b
，c
d
，那么ac
bd
．
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【答案】(1)正确，证明见解析
(2)正确，证明见解析
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
（1）由不等式的性质可得a
c
b
c
+ + ，b
c
b
d
+ +
，则由传递性可得a
c
b
d
+
+
；
（2）由不等式的性质可得ac
bc
，bc
bd
，则由传递性可得ac
bd
．
【详解】（1）证明：∵a
b
，
∴a
c
b
c
+ + ，
又∵c
d
，
∴b
c
b
d
+ +
，
∴a
c
b
d
+
+
；
（2）证明：∵a
b
，c 是正数，
∴ac
bc
．
又∵c
d
，b 是正数，
∴bc
bd
．
∴ac
bd
．
10．（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c 满足
0
a
b
c
+ +
，4
2
a
c
b
+
=
．
(1)求证：b
a
；
(2)若
2
4
1
b
ac
−
= ，求
4
b
a
−
的值．
【答案】(1)见解析
(2)
4
1
b
a
−
= −
【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出
2
4
c
b
a
=
−
是解题
的关键．
（1）根据题意可得
2
4
c
b
a
=
−
，再由
0
a
b
c
+ +
可得
2
4
0
a
b
b
a
+ +
−
，据此可证明结论；
（2）根据
2
4
1
b
ac
−
= ，
2
4
c
b
a
=
−
，可得
(
)
2
4
2
4
1
b
a
b
a
−
−
= ，进一步可得(
)
2
4
1
b
a
−
= ，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵4
2
a
c
b
+
=
，
∴
2
4
c
b
a
=
−
，
∵
0
a
b
c
+ +
，
∴
2
4
0
a
b
b
a
+ +
−
，
∴3
3
0
b
a
−
，
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∴3
3
b
a
，
∴b
a
；
（2）解；∵
2
4
1
b
ac
−
= ，
2
4
c
b
a
=
−
，
∴
(
)
2
4
2
4
1
b
a
b
a
−
−
= ，
∴
2
2
8
16
1
b
ab
a
−
+
= ，
∴(
)
2
4
1
b
a
−
= ，
∴
4
1
b
a
−
= −．
11．（24-25 八年级下·江苏南京·期中）已知
0
a
b
．
(1)比较大小：
2
2
a
b
+
______2ab（填“”“”“”或“ ”）；
(2)求证：
2
2
a
b
ab
a
b
+
+
．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查分式减法，完全平方公式的应用，不等式的性质：
（1）利用完全平方公式可得(
)
2
2
2
2
0
a
b
a
b
ab
−
=
+
−
，即可得出结论；
（2）利用分式减法法则求出
(
)
(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
−
+
−
=
+
+
，再根据题意得到
0
a
b
−
，
0
a
b
+
，即可证明．
【详解】（1）解：∵
0
a
b
，
∴
0
a
b
−
，
∴(
)
2
2
2
2
0
a
b
a
b
ab
−
=
+
−
，
∴
2
2
2
a
b
ab
+
；
（2）证明：∵
2
2
a
b
ab
a
b
+
−
+
(
)
(
)
(
)
2
4
2
2
a
b
ab
a
b
a
b
+
=
−
+
+
(
)
2
2
2
4
2
a
b
ab
ab
a
b
+
+
−
=
+
(
)
2
2
2
2
a
b
ab
a
b
+
−
=
+
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(
)
(
)
2
2
a
b
a
b
−
=
+
；
∵
0
a
b
，
∴
0
a
b
−
，
0
a
b
+
，
∴(
)
(
)
2
0
2
a
b
a
b
−
+
，
∴
2
2
a
b
ab
a
b
+
+
．
12．（24-25 八年级下·江苏南京·期中）已知
0
a
b
．
(1)若
0
m
，求证：b
m
b
a
m
a
+
+
；
(2)若
1
a
b
M
a
b
+
= +
+
，
1
1
a
b
N
a
b
=
+
+
+
，判断M 与N 的大小并证明．
【答案】(1)见解析
(2) M
N
，证明见解析
【分析】本题主要考查了分式的加减计算，不等式的性质，证明b
m
b
a
m
a
+
+
是解题的关键．
（1）利用作差法得到
(
)
(
)
m a
b
b
m
b
a
m
a
a a
m
−
+
−
=
+
+
，再判断出
(
)
(
)
m a
b
a a
m
−
+
的符号即可证明结论；
（2）利用分式的加法计算法则得到
2
1
a
b
ab
N
a
b
ab
+
+
= +
+
+
，根据（1）可证明
2
1
1
a
b
ab
a
b
ab
M
a
b
ab
a
b
ab
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
，
据此可得结论．
【详解】（1）证明：b
m
b
a
m
a
+
−
+
(
)
(
)
(
)
a b
m
b a
m
a a
m
+
−
+
=
+
(
)
ab
am
ab
bm
a a
m
+
−
−
=
+
(
)
(
)
m a
b
a a
m
−
=
+
，
∵
0
a
b
，
0
m
，
∴
(
)
(
)
0
0
m a
b
a a
m
−
+
，
，
∴
(
)
(
)
0
m a
b
b
m
b
a
m
a
a a
m
−
+
−
=
+
+
，
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36 /
∴b
m
b
a
m
a
+
+
；
（2）解：M
N
，证明如下：
∵
1
1
a
b
N
a
b
=
+
+
+
，
∴
(
)
(
)
(
)(
)
1
1
2
1
1
1
a
b
b
a
a
b
ab
N
a
b
a
b
ab
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
，
∵
0
a
b
，
∴
0
0
ab
a
b
+
，
，
∵
1
1
a
b
M
a
b
+
=
+
+
，
∴
1
a
b
ab
M
a
b
ab
+
+
+
+
+
，
又∵
2
1
1
a
b
ab
a
b
ab
M
a
b
ab
a
b
ab
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
，
∴M
N
．
题型三：根据不等式的性质求代数式的取值范围
1．（24-25 七年级下·福建厦门·阶段练习）已知关于x、y 的二元一次方程组
2
5
2
3
3
5
x
y
k
x
y
k
−
=
−
+
=
．
(1)求方程组的解；（用含k 的代数式表示）；
(2)若1
1
k
−
，设
8
S
x
y
=
−
，求S 的取值范围．
【答案】(1)
31
9
11
8
3
11
k
x
k
y
−
=
+
=
(2) 6
0
S
−
【分析】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是
解答本题的关键．
（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）根据
8
S
x
y
=
−
，得出
3 3
S
k
= −−
，再根据1
1
k
−
，即可求解．
【详解】（1）解：
2
5
2
3
3
5
x
y
k
x
y
k
−
=
−
+
=
①
②
，
2
−
②
①：11
8
3
y
k
=
+ ，
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8
3
11
k
y
+
=
，
把
8
3
11
k
y
+
=
代入②，得
8
3
31
9
5
3
11
11
k
k
x
k
+
−
=
−
=
31
9
11
8
3
11
k
x
k
y
−
=
+
=
（2）
8
S
x
y
=
−
31
9
8
3
8
3
3
11
11
k
k
S
k
−
+
=
−
= −
−
1
1
k
−
0
3
3
6
k
−
−−
6
0
S
−
法二：
−
①
②：
8
3
3
x
y
k
−
= −−
3 3
S
k
= −−
1
1
k
−
0
3
3
6
k
−
−−
6
0
S
−
2．（24-25 七年级下·山东临沂·期末）阅读下列材料，并完成相应任务．
探究同向不等式间的相加运算：
例如：已知
3
1
5
2
可得3 5
1 2
+ +
；已知
1
3
0
1
−−
−
，可得1 0
3 1
−+
−−；已知
2
3
1
2
−
，可得2 1
3
2
−+
+
．
我们可以得出结论：一般地，如果
a
b
c
d
，那么a
c
+ ▲b
d
+
．
证明：∵a
b
，∴a
c
b
c
+
+ ．
∵c
d
，∴______，
∴a
c
+ ▲b
d
+
．
任务：
(1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空）
(2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______
(3)已知1
2
x
，2
2
0
y
−
，请直接写出x
y
+
的取值范围．
【答案】(1)
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(2)b
c
b
d
+
+
(3)0
2
x
y
+
【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个
数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据题干信息的提示，猜想结果即可；
（2）根据不等式的性质可得a
c
b
c
+
+ ，b
c
b
d
+
+
，可推出a
c
b
c
b
d
+
+
+
，由此即可证明结论；
（3）先求出1
0
y
−
，再根据（2）的结论，即可得到答案.
【详解】（1）解：根据题干例子可知，材料中“▲”处空缺的内容为：；
故答案为：；
（2）证明：
a
b
，
a
c
b
c
+
+ ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变）
c
d
，
b
c
b
d
+
+
，
a
c
b
d
+ +
．
故答案为：b
c
b
d
+
+
；
（3）解：∵2
2
0
y
−
，
∴1
0
y
−
，
∵1
2
x
，
∴0
2
x
y
+
．
3．（24-25 七年级下·四川眉山·期末）代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进
行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形．
【阅读理解】已知“
2
x
y
−
=
，且
1,
0
x
y
，试求x
y
+
的取值范围”．有如下解法：
解：
(
)
2,
2,
2
2
2
x
y
x
y
x
y
y
y
y
−
=
=
+
+
=
+
+
=
+
．
1,
2
1,
1
x
y
y
+
−
．
0,
1
0,
2
2
0,
0
2
2
2
y
y
y
y
−
−
+
，
即0
2
x
y
+
．
(1)【启发应用】已知4
2
y
x
+
=
，且
2,
6
x
y
−．
①用含x 的式子表示y ，则y =______；
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39 /
②求2y
x
−
的取值范围．
(2)【思维拓展】已知x y
､是整数，3
2
5
3
x
y
+
=
+
，且3
2
30,5
3
41
x
y
+
+
，
2
3
m
x
y
=
−
，求m 的值．
【答案】(1)①2
4
x − ②11
2
2
y
x
−
−
−
(2)3
【分析】本题围绕“等式与不等式的性质综合运用”展开，先考查等式基本性质是等式变形的依据，如移项、
系数化为1 等操作，可实现“用一个变量表示另一个变量”，为代入化简代数式做准备 ．再考查不等式基本
性质（①不等式两边加/减同一个数，不等号方向不变；②不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不
变；③不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变 ）是推导变量取值范围的核心工具，通过对已知
不等式变形，逐步缩小变量范围，结合整数等限定条件确定具体值 ．
（1）①利用等式的基本性质实现变量代换，用x 表示y ，4
2
y
x
+
=
变形得
2
4
y
x
=
−
，
②先把
2
4
y
x
=
−
代入2y
x
−
进行代换，得到(
)
2 2
4
3
8
x
x
x
−
−
=
−；再由已知
2,
6
x
y −
（即2
4
6
x −
−，
解此不等式得
1
x −），确定x 的范围是1
2
x
−
；最后由不等式基本性质，给x 的范围乘3 再减8，推出3
8
x−
（即2y
x
−
）的范围：11
2
2
y
x
−
−
−．
（2）思维拓展，本题题型本质：先依据等式3
2
5
3
x
y
+
=
+
建立变量联系，再结合两个不等式条件确定,x y的
取值范围，利用“ ,x y是整数”限定具体值，进而求出参数m 的值，考查等式变形、不等式求解、整数解筛选
及代数式求值的综合运用 ．
【详解】解：（1）①
2
4
y
x
=
−
②：
2
4,
6
y
x
y
=
−
−
，
2
4
6
x
−
−，
1
x
−，
2
x
，
1
2
x
−
，
2
4
8
3
8
y
x
x
x
x
−
=
−−
=
−
，
3
3
6
x
−
，
11
3
8
2
x
−
−−，即11
2
2
y
x
−
−
−．
（2）
3
2
5
3
x
y
+
=
+
，
5
1
3
y
x
+
=
，
3
2
30
x+
，
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28
3
x
，
5
1
28
3
3
y +
，
27
5
y
，
5
3
41
y +
，
38
5
y
，
27
38
5
5
y
，
2
3
m
x
y
=
−
，
5
1
2
2
3
3
3
y
y
m
y
+
+
=
−
=
，
37
16
15
5
m
，
x y
､是整数，
m
为整数，
3
m
= ．
4．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）【探索发现】
（1）已知x
y
、满足
9
11
1
4
5
3
x
y
x
y
−
= −
−
=
①
②；
①求x
y
−
的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路．
②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求6
7
x
y
−
的值吗？请根据智能机器人的提示，先求,
m n的值，再求
6
7
x
y
−
的值．
【解决问题】
（2）若x
y
、满足
3
2
2
4
5
2
1
x
y
t
x
y
t
−
= +
+
=
−
，t 为常数且1
3
t
−
，则6
19
x
y
+
的取值范围是_______．
【答案】（1）①见详解，②6
7
11
x
y
−
= −
；（2）11
6
19
5
x
y
−
+
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41 /
【分析】本题主要考查加减消元法解一元二次方程组，整体代入法求代数式的值，以及不等式的性质，解
题的关键是熟悉整体代入的应用．
（1）①小明的解法首先利用加减消元法求得x 和y，再代入求得 代数式的值；小红采取整体代入法求解即
可；
②根据题意化简得6
7
x
y
−
(
)
(
)
9
4
11
5
m
n x
m
n y
=
+
−
+
，列出方程组求得n 和m，再代入代数式计算即可；
（2）设
(
)
(
)
6
19
3
2
4
5
x
y
n
x
y
m
x
y
+
=
−
+
+
，列出方程组求解得到n 和m，将6
19
4
7
x
y
t
+
=
−
，结合不等式
的性质求得11
4
7
5
t
−
−
，即可知6
19
x
y
+
的取值范围．
【详解】解：（1）①小明
9
11
1
4
5
3
x
y
x
y
−
= −
−
=
①
②，解得
38
31
x
y
= −
= −
，
则
(
)
38
31
7
x
y
−
= −
−−
= −；
小红
2
②
得8
10
6
x
y
−
=
，
则
2
−
①
②
得
7
x
y
−
= −；
②设
(
)
(
)
6
7
9
11
4
5
9
11
4
5
x
y
m
x
y
n
x
y
xm
my
xn
ny
−
=
−
+
−
=
−
+
−
(
)
(
)
9
4
11
5
m
n x
m
n y
=
+
−
+
，
则
9
4
6
11
5
7
m
n
m
n
+
=
+
=
，解得
2
3
m
n
=
= −
，
那么，
(
)
(
)
(
)
6
7
2 9
11
3 4
5
2
1
3 3
11
x
y
x
y
x
y
−
=
−
−
−
=
−
−
= −
；
（2）
(
)
(
)
6
19
3
2
4
5
x
y
n
x
y
m
x
y
+
=
−
+
+
，
则
3
4
6
2
5
19
n
m
n
m
+
=
−
+
=
，解得
2
3
n
m
= −
=
，
那么，
(
)
(
)
6
19
2
2
3 2
1
4
7
x
y
t
t
t
+
= −
+
+
−
=
−
，
∵1
3
t
−，
∴11
4
7
5
t
−
−
，
则6
19
x
y
+
的取值范围是11
6
19
5
x
y
−
+
．
5．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）利用不等式的性质解下列不等式：
(1) 3
9
x
−
；
(2)7
6
20
x
x
+
．
【答案】(1)
3
x −
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(2)
20
x
【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据不等式的性质，解不等式，即可求解；
（1）根据不等式性质3，不等号的两边同时除以3
−，不等号的方向改变，即可求解．
（2）根据不等式性质1，不等号的两边同时减去6x ，不等号的方向不变，即可求解．
【详解】（1）解：3
9
x
−
不等号的两边同时除以3
−，得：
3
x −；
（2）解：7
6
20
x
x
+
不等号的两边同时减去6x ，得
20
x
1．（24-25 七年级下·河南许昌·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．若m
n
，则
2
2
m
n
B．若m
n
，则
2
2
m
n
C．若
2
2
m
n
=
，则m
n
=
D．若
3
3
m
n
=
，则m
n
=
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．若m
n
，设
5
m =
，
6
n = −，则
2
2
m
n
，故选项错误；
B．若m
n
，设
5
m =
，
5
n = −，则
2
2
m
n
=
，故选项错误；
C．若
2
2
m
n
=
，设
2
2
25
m
n
=
=
，则
5
m = ，
5
n = ，当
5
m =
，
5
n = −时，m
n
，故选项错误；
D．若
3
3
m
n
=
，则m
n
=
，成立，故选项正确．
故选：D．
2．（24-25 七年级下·江苏无锡·期末）已知三个数a，b，c 满足
2
0,3
2
0
a
b
c
a
b
c
+
+
=
−
+
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
3
0
−
a
b
B．4
3
0
a
c
−
C．
2
0
a
b
−
D．4
0
b
c
+
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的变形与不等式的推理，解题的关键是通过已知条件对式子进行合理变形，再
结合不等式性质判断结论．
先由
2
0
a
b
c
+
+ =
得出c 关于a 、b 的表达式，代入3
2
0
a
b
c
−
+
化简，再逐一分析选项．
项即可．
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【详解】由
2
0
a
b
c
+
+ =
，可得
2
c
a
b
= −−
．
将
2
c
a
b
= −−
代入3
2
0
a
b
c
−
+
：
则3
2
(
2 )
0
a
b
a
b
−
+ −−
，
去括号得3
2
2
0
a
b
a
b
−
−−
，
化简为
2
0
a
b
−
，所以选项C 错误；
虽然
2
a
b
，但若
0
b
，可能存在
3
a
b
=
（例如
-1
b =
，
3
a = - ），与B 项
3
0
−
a
b
矛盾，故
3
0
−
a
b
不一定
成立，所以选项A 错误；
4
3
0
a
c
−
，代入
2
c
a
b
= −−
，得7
6
0
a
b
+
，
当
0
b
时，可能不成立（例如
1
b = ，
1
a = ），故不一定成立．所以选项B 错误；
由
2
0
a
b
c
+
+ =
可得
2
a
b
c
= −
−，将其代入3
2
0
a
b
c
−
+
：
即3( 2
)
2
0
b
c
b
c
−
−
−
+
，
去括号得6
3
2
0
b
c
b
c
−
−
−
+
，
合并同类项得8
2
0
b
c
−
−
，两边同时除以2
−，
得4
0
b
c
+
，所以选项D 正确．
故选：D．
3．（2025·河北邯郸·三模）若
4 3
2
2025
m
n
x
y
−
−
+
=
是关于x，y 的二元一次方程，且
0
mn
，5
3
m
n
−
−
−，
则m
n
+
的值是（ ）
A．4
−
B．2
C．4
D．2
−
【答案】B
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2 个未知数，未知数的项的次数是1 的
整式方程．根据二元一次方程的定义得到
4
3
1
2
1
m
n
−
=
−
=
，求出
1
m = ，
3
n = ，然后由
0
mn
，5
3
m
n
−
−
−
得到
1
m = −，
3
n = ，进而求解即可．
【详解】解：∵
4 3
2
2025
m
n
x
y
−
−
+
=
是关于x，y 的二元一次方程，
得：
4
3
1
2
1
m
n
−
=
−
=
，
解得：
1
m = ，
3
n = ，
∵
0
mn
，
∴
1
m = −，
3
n = 或
1
m = ，
3
n = −，
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44 /
∵5
3
m
n
−
−
−，
当
1
m = −，
3
n = 时，
1 3
4
m n
−
= −−= −，符合题意；
当
1
m = ，
3
n = −时，
1 3
4
m
n
−
= +
=
，不符合题意；
∴
1
m = −，
3
n = ，
∴
1 3
2
m
n
+
= −+ =
．
故选：B．
4．（24-25 八年级下·山东聊城·期中）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
3
b
c
+
B．
0
a
c
−
C．ac
bc
D．2
2
a
b
−
−
【答案】B
【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a，b，c 的正负，然后判断即可，解
题的关键是结合数轴判断判断，，的正负及知识点的应用．
【详解】由数轴可得3
2
a
−
−，2
1
b
−
−，3
4
c
，
A、
3
b
c
+
，原选项判断错误，不符合题意，
B、
0
a
c
−
，原选项判断正确，符合题意，
C、ac
bc
，原选项判断错误，不符合题意，
D、2
2
a
b
−
−
，原选项判断错误，不符合题意，
故选：B．
5．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要
略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若x 为任意数，取不大于x 的最大整数记为
x ，取x 与
x 的差记为x ．例：
(
)
5
5
5
5
3
2
4
4
4
4
4
−
= −
−−
= −
−−
=
．若4
5
a
，则
2.7
a −−
的值可以为（ ）
A．2
−
B．1.5
−
C．0.5
D．1
【答案】C
【分析】本题考查了新定义运算，不等式的性质，根据新定义可得
2.7
4
0.3
4.3
a
a
a
−−
=
−
−
=
−
，进而根据
4
5
a
，得出0.3
4.3
0.7
a
−
−
，即可求解．
【详解】解：∵4
5
a
∴
4
a
a
a
a
=
−
=
−
，
(
)
(
)
2.7
2.7
2.7
2.7
3
0.3
−
= −
−−
= −
−−
=
∴
2.7
4
0.3
4.3
a
a
a
−−
=
−
−
=
−
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∵4
5
a
∴0.3
4.3
0.7
a
−
−
故选：C．
6．（2024·四川攀枝花·中考真题）P、Q、R、S 四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下
面示意图所示，则四人体重的大小关系为（）
A． q
p
s
r
B．r
s
q
p
C．p
q
s
r
D．r
s
p
q
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，由题意得：
p
s
q
s
p
r
q
r
p
s
+
+
+
=
+
①
②
③
，通过不等式的性质求解即可，掌握不等式
的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
p
s
q
s
p
r
q
r
p
s
+
+
+
=
+
①
②
③
，
由③得：r
p
s
q
=
+ −
④，
把④代入②中得：
q
s
p
p
s
q
+
+
+ −，
2
2 ,
q
p
,
q
p
0,
q
p
−
由③得：q
p
s
r
−
= −，
0,
s
r
−
,
s
r
,
q
p
s
r
故选：A．
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46 /
7．
（24-25七年级下·山东临沂·期末）任意实数x ，
x 表示不超过x 的最大整数．例如：2
1
=
，
2.5
3
−
= −．若
2
x =
，
4
y =
，则
x
y
+
所有可能的值为 ．
【答案】6 或7
【分析】本题考查了新定义运算，由新定义得2
3
x
，4
5
y
，结合不等式的基本性质及新定义，即可
求解．
【详解】解：
2
x =
，
4
y =
，
2
3
x
，
4
5
y
，
6
8
x
y
+
，
6
x
y
+
=
或7 ；
故答案为：6 或7．
8．（24-25 七年级下·福建龙岩·期末）若6
3
12
2
a
b
c
=
+
=
，且
2
b −，
9
c
，设
2
t
a
b
c
=
+ −，则t 的取值范
围为 ．
【答案】3
1
t
−−
【分析】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解2
2
b
−
及
1
2
2
t
b
=
-
是解本题的关键．由条
件可得3
12
18
b+
，先求解b 的取值范围，再把
2
t
a
b
c
=
+ −化为
1
2
2
t
b
=
-
，再结合不等式的基本性质可得
答案．
【详解】解：6
3
12
2
a
b
c
=
+
=
，
9
c
，
∴3
12
18
b+
，
解得：
2
b
， 而
2
b −，
2
2
b
−
，
∵6
3
12
2
a
b
c
=
+
=
，
1
3
2,
6
2
2
a
b
c
b
=
+
=
+ ，
∴
2
t
a
b
c
=
+ −
1
3
=2
2 +
6
2
2
b
b
b
骣
骣
琪
琪
+
-
+
琪
琪
桫
桫
3
4
6
2
b
b
b
= + + -
-
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1
2
2 b
=
−
，
2
2
b
−
，
1
1
1
2 b
−
，
1
3
2
1
2b
−
−
−，
∴t 的取值范围是：3
1
t
−−．
故答案为：3
1
t
−−．
9．（23-24 八年级下·全国·单元测试）已知
1
8
x
y
，
，若x 的最小值是a，y 的最大值是b，则a
b
+
= ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据“”“ ”的意义求出a 和b 的值成为解题的关键．
先根据“”“ ”的意义求出a 和b 的值，然后计算即可．
【详解】解：∵
1
x ,
∴x 的最小值是
1
a = ,
∵
8
y
,
∴y 的最大值是
8
b =
,
∴
1 8
9
a
b
+
= + =
.
故答案为：9.
10．
（24-25 七年级下·江苏盐城·阶段练习）对于任意实数x ，符号
x 表示不超过x 的最大整数，例如
3.2
3
=
，
4.1
5
−
= −，记
y
x
x
=
−
，当5.5
4.5
x
−
−
，则y 的范围为 ．
【答案】0
1
y
【分析】本题主要考查了不等式组的应用．分两种情况：当5
4.5
x
−
−
时，当5.5
5
x
−
−时，结合新定
义，分别求出y 的取值范围，即可求解．
【详解】解：当5
4.5
x
−
−
时，
5
x = −，
此时
5
5
4.5
5
x
x
−+
−
−
+
，
即0
0.5
y
；
当5.5
5
x
−
−时，
6
x = −，
此时
5.5
6
5
6
x
x
−
+
−
−+
，
即0.5
1
y
；
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综上所述，y 的范围为0
1
y
．
故答案为：0
1
y
11．（24-25 八年级下·江西抚州·阶段练习）仿例：已知
0
a
，试比较2a 与a 的大小．
方法一：解：∵2
1
，
0
a
，∴2a
a
．
方法二：解：2a
a
a
−
=
．
∵
0
a
，∴2
0
a
a
−
，∴2a
a
．
根据仿例，请解答：
(1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）；
(2)已知
0
a
，试比较2a与a 的大小．要求两种方法解答．
【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
(2)2a
a
【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较2a 与a 的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可．
（1）根据不等式的性质填空即可；
（2）利用不等式的性质即可比较．
【详解】（1）解：∵2
1
，
0
a
，
∴2a
a
（不等式的基本性质2 ）．
故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（2）解：方法一：∵2
1
，
0
a
，
∴2a
a
；
方法二：2a
a
a
−
=
．
∵
0
a
，
∴2
0
a
a
−
，
∴2a
a
．
12．（24-25 七年级下·福建厦门·期末）在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴
趣，其游戏规则是：有30 张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝
下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之
和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表
所示．
卡片编号
A，B
B，C
C，D
D，B
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两数和
m
2
m+
3
m−
4
m+
【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】
(1)比较卡片A 和C 的大小，说明理由；
(2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由．
【答案】(1)卡片A 小于卡片C，理由见解析
(2)B 卡片最大，理由见解析
【分析】本题考查整式的加减，不等式的性质，掌握“求差法”比较大小是解题的关键．
（1）由题意可得A
B
m
+
=
①，
2
B
C
m
+
=
+ ②，将
−
①
②得到
2
0
A C
−
= −
即可求解；
（2）同（1）思路，比较出B
D
，D
C
，即可解答．
【详解】（1）解：卡片A 小于卡片C，理由如下：
由题意可得A
B
m
+
=
①，
2
B
C
m
+
=
+ ②，
−
①
②，得
2
0
A C
−
= −
，
∴A
C
（2）解：B 卡片最大，理由如下：
由题意可得
3
C
D
m
+
=
−③，
4
B
D
m
+
=
+ ④，
∵A
B
m
+
=
①，
2
B
C
m
+
=
+ ②，
∴
−
②
③，得
5
0
B
D
−
=
，即B
D
，
−
④
②，得
2
0
D
C
−
=
，即D
C
，
由（1）由A
C
，
∴B
D
C
A
，
∴B 卡片最大．
13．（24-25 八年级下·江苏盐城·期末）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
分式与糖水浓度
在生活中，有这样司空见惯的现象．
现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜；
用数学知识解释：设原来的糖水总质量是g
a ，其中含有g
b 糖（
0
a
b
），则糖水的浓
度为b
a ．
①如果加入
g
m 水，糖水的浓度变为________．因为糖水变淡，可以得到不等式________；
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50 /
②如果加入g
n 糖，糖水的浓度变为________．因为糖水变甜，可以得到不等式________；
现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变．
用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有
1g
a
，
2g
a
糖水，分别含糖
1g
b
，
2g
b
．它们浓度
相同，则有
1
2
1
2
b
b
k
a
a
=
=
．
……
任务1：直接写出小明笔记当中的“________”处空缺的内容．
任务2：证明②中的不等式．
任务3：将现象2 中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说
明其中的道理．
任务4：请运用现象1 中的结论证明：
设a，b，c 是
ABC
三边的长，则1
2
a
b
c
b
c
a
c
a
b
+
+
+
+
+
．
【答案】任务1：①
b
a
m
+
，
b
b
a
m
a
+
；②b
n
a
n
+
+
，b
n
b
a
n
a
+
+
；任务2：见解析；任务3：见解析；任务4：
见解析
【分析】本题考查不等式的应用，本题根据糖水浓度变化的规律，完成填空、证明及应用．
任务1 直接应用现象1 的结论；
任务2 需通过分式变形证明不等式；
任务3 需利用浓度相同的条件推导混合后的浓度；
任务4 则需综合运用糖水不等式及三角形三边关系进行证明．
【详解】解：任务1：①
b
a
m
+
，
b
b
a
m
a
+
．
②b
n
a
n
+
+
，b
n
b
a
n
a
+
+
．
任务2：
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
b
n
b
a b
n
b a
n
n a
b
a
n
a
a a
n
a a
n
+
+
−
+
−
−
=
=
+
+
+
．
∵
0,
0
a
b
n
，
∴
0,
0
a
b
a
n
−
+
，
∴(
)
0
(
)
n a
b
a a
n
−
+
，
∴
0
b
n
b
a
n
a
+
−
+
，
∴b
n
b
a
n
a
+
+
．
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任务3：∵
1
2
1
2
b
b
k
a
a
=
=
，
∴
1
1
b
a k
=
，
2
2
b
a k
=
，
∴
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
b
b
a k
a k
k a
a
a
a
a
a
a
a
k
=
=
＋
＋
＋
＋
＋
＋
．
任务4：由现象1 得：
2
a
a
a
a
b
c
b
c
a
b
c
+ +
+
+ +
①
2
b
b
b
a
b
c
a
c
a
b
c
+ +
+
+ +
②
2
c
c
c
a
b
c
a
b
a
b
c
+ +
+
+ +
③
则①＋②＋③得
2(
)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+ +
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+ +
，
即1
2
a
b
c
b
c
a
c
a
b
+
+
+
+
+
．
