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2025-2026 学年蚌埠市 A 层高中第一次联考高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】集合 ， ，
则 .
故选：C
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】全称性命题的否定是特称性命题，所以命题“ ”的否定是“ ”.
故选：C.
3. 对于实数 ，“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考
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学科网（北京）股份有限公司查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B
考点：不等式的性质
点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
4. 若不等式 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】注意到 ，根据不等性质直接计算即可.
【详解】由 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 的取值范围为 ，
故选：D.
5. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解
集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得 且 ，然后代入不等式 ，即可得到结
果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知， 是关于 的方程 的两实根，且 ，
则 ，解得 ，
则不等式 可化为 ，
即 ，所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故选：A
6. 若正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由正实数 满足 ，则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：A.
7. 集合 或 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. 且 B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分 ， 和 ，三种情况讨论，结合 ，列出不等式，即可求解.
【详解】当 时，不等式 ，即为 不成立，即 ，满足 ；
当 时，不等式 ，解得 ，即 ，
要使得 ，则满足 ，解得 ；
当 时，不等式 ，解得 ，即 ，
要使得 ，则满足 ，解得 ，
综上可得， ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
8. 已知集合 ，对于集合 中的任意元素 和
， 记 ． 其 中
表示 两个数的最小数，例如 ．若集合 ，均满足
，则 中元素个数最多为（ ）
A. 4 B. 5 C. 15 D. 16
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】分析得 和 同时为 时 ， 和 至少有一个为 时 ，要使
，则 的所有元素的 位置至多有 个 ，讨论得到集合 元素个数的最值．
【详解】依题意，对于 中元素 和 ，
当 和 同时为 时 ，当 和 至少有一个为 时 ，
要使 的一个子集 中任两个不同元素 、 ，均满足 ，
设集合 中的元素记为 ，则 的所有元素的 位置至多有一个 ，
若 位置为 ，其它位置为 的元素有 个，
若 全为 的有 个，
综上， 中元素最多有 个．
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知集合 ，集合 ，下列关系正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据集合 的定义判断，注意集合中代表元形式．
【详解】由已知集合 ，集合 是由抛物线 上的点组成的集合，
A正确，B错，C正确，D正确，
故选：ACD．
【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．
10. 已知命题 ，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】AD
【解析】
【分析】解不等式 ，根据逻辑关系得出不等式所表示范围的包含关系，即可得出答案.
【详解】由 ，解得 .设 ，
所以，设命题 成立的一个必要不充分条件所表示的范围为 ，则 ，
由 ，且 ，故AD满足题意，
选项B，不满足 ；
选项C， 不是 的真子集，不满足题意.
故选：AD.
11. 下列说法正确的为（ ）
A. 若 ，则 的最大值是
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 已知 ， ，且 ，则 的最小值是
D. 已知 ，则 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【
分析】根据基本不等式及对勾函数单调性分别判断各选项.
【详解】A选项： ， ，则 ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，A选项正确；
B选项：由 ，设 ，则 ，
又函数 在 上单调递增，
则当 ，即 时， 取得最小值为 ，B选项错误；
C选项：由已知 ， ，且 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，C选项正确；
D选项：由 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，D选项错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合 ，则 的子集个数为__________．
【答案】8
【解析】
【详解】由题意，集合 中有三个元素，则集合 的子集个数为 .
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学科网（北京）股份有限公司的
13. 若命题： 是真命题，则实数 取值范围是______．
【答案】 .
【解析】
【详解】试题分析：命题：“对 ， ”是真命题.当 时，则有 ；当
时，则有 且 ，解得 .综上所示，实数 的取值范围
是 .
考点：1.全称命题；2.不等式恒成立
14. 设 ，若 时均有 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】当a＝1时，不等式不可能恒成立；当a≠1，若对任意的x＞0时均有
，则构造函数y＝（a﹣1）x﹣1，y＝x2﹣3ax﹣1，与x轴交于同一点，代
1 2
入可得答案．
【详解】当a＝1时，代入题中不等式得 ，明显不恒成立，舍．
当a≠1，构造函数y＝（a﹣1）x﹣1，y＝x2﹣3ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．
1 2
在函数y＝（a﹣1）x﹣1中，令y＝0，得M（ ，0）；
1
在函数y＝x2﹣3ax﹣1，∵x＞0时，均有 成立，
2
又∵y＝x2﹣3ax﹣1开口向上，随着 的增加，y＞0成立，所以a﹣1＞0.
2 2
∴y＝x2﹣3ax﹣1显然过点M（ ，0），代入得：（ ）2﹣3a• ﹣1＝0，
2
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学科网（北京）股份有限公司解之得：a＝ 或a＝0（舍去）．
故答案为： .
【点睛】本题考查的知识点为函数不等式恒成立问题，函数的图象和性质，分类讨论思想，数形结合思想，
属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，
并进行解答．
问题：若___________，求实数 的所有取值构成的集合 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当根据题意，分别求得 和 ，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）选择①：分 和 ，两种情况讨论，集合补角和并集的运算，即可求解；
选择②：由 ，得到 ，分 和 ，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求
解；
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学科网（北京）股份有限公司选择③：分 和 ，两种情况讨论，结合交集和补集的运算，即可求解.
【小问1详解】
解：当 ，可得 ，
由方程 ，即 ，解得 或 ，即 ，
所以 .
【小问2详解】
解：若选择①：由（1）知 ，
当 时，此时 ，此时 ，满足 ；
当 时，集合 ，
要使得 ，则 或 ，解得 或 ，
综上可得，集合 .
若选择②：由 ，可得 ，
当 时，此时 ，满足 ；
当 时，集合 ，则满足 或 ，解得 或 ，
综上可得，集合 .
若选择③：当 时，此时 ，满足 ；
当 时，集合 ，则满足 或 ，解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上可得，集合 .
16. 设命题 对任意 ，不等式 恒成立；命题 存在 ，使得不等式
成立．
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）由全称命题为真，即 恒有 成立，求出左侧最小值，应用一元二
次不等式求参数范围；
（2）由特称命题为真，即 使 能成立，求出左侧最小值求得参数，再由
有且仅有一个真命题确定参数范围.
【小问1详解】
若 为真命题，即 恒有 成立，
所以 恒成立，故 ，
所以 ；
【小问2详解】
若 为真，即 使 能成立，
所以 ，当 时最小 为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 为假，则 ，
结合（1），若 为真，则 ，故 为假，则 或 ，
所以 真 假，则 ， 假 真，则 ，
综上，若 有且只有一个是真命题，只需 或 .
17. 已知
（1）求ab的最大值；
（2）求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式得到关于 的不等式，整体换元解不等式得 范围，再分析等号取到条
件即可；
（2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得.
【小问1详解】
由 ，
可得 ，当且仅当 时等号成立.
令 ，则 ，即 ，
解得 ，又 ，则 .
则 ，
当且仅当 时等号成立.
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学科网（北京）股份有限公司故 的最大值为 .
【小问2详解】
由 ，
得 ，且 ，
则
.
当且仅当 ，即 时等号成立.
故 的最小值为 .
18. 已知二次函数
（1）若 的解集为 ，解关于 的不等式 ；
（2）若 且 ，求 的最小值；
（3）若 ，且对任意 ，不等式 恒成立，求 最的小值．
【答案】（1）不等式 的解集为 .
（2） 的最小值为 ；
（3） 的最小值为 .
【解析】
【分析】（1）由条件可得 是方程 的解，由此可求 ，结合一元二次不等式解法求
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学科网（北京）股份有限公司的解集；
（2）由已知可得 ，结合基本不等式求结论；
（3）由条件可得 ，由此可得 ，换元并结合基本不等式可求其最小值.
【小问1详解】
由已知 的解集为 ，且 ，
所以 是方程 的解，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以不等式 可化为 ，
所以 ，
故不等式 的解集为 .
【小问2详解】
因为 ，
所以
因为 ，所以 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司即当且仅当 ， 时等号成立；
所以 的最小值为 ；
【小问3详解】
因为对任意 ，不等式 恒成立，
所以 ， ，
所以 ， ，
，
令 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
即当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 .
19. 设集合 是至少有两个元素的实数集，集合 且 ，称集合 为集
合 的积集．
（1）当 时，写出集合 的积集 ；
（2）若 是由4个正实数构成的集合，求其积集 中元素个数的最小值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若 是由4个有理数构成的集合，积集 ，求集合
中的所有元素之和．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ；
（2）不妨设 ，推出 中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到 中元素
个数最小值为5；
（3） 中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时 中没有两个数互为相反数，
的绝对值互不相等，不妨设 ，由此求出 ，
.
【小问1详解】
，故 ，
，
故 ；
【小问2详解】
是由4个正实数构成的集合，
不妨设 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，故 中的元素个数大于等于5，
当 时，此时 ，
故 中元素个数最小值为5；
【小问3详解】
由条件可知，对于一个4元集合 ，
中的元素个数最多的情况为 ，是6个互不相同的数，
同时 中没有两个数互为相反数，因此 中没有两个数互为相反数，
由此知， 的绝对值互不相等，不妨设 ，
则 中最小的与次小的两个数分别为 与 ，
最大与次大的两个数分别为 与 ，
从而必有 ，
于是 ，
所以 ，
当 时， ，解得 ，
又 为有理数，不合要求，舍去，
当 ，解得 ，满足要求，
易得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司经检验，均满足要求，故 ，
集合 中的所有元素之和为 .
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
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学科网（北京）股份有限公司
