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等式性质与不等式性质
1.3
1.掌握等式性质.
2.会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质，并能简单应用．
1.3 等式性质与不等式性质........................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：两个实数比较大小的方法...........................................3
考点2：等式的基本性质...................................................3
考点2：不等式的基本性质.................................................3
二、分类题型................................................................5
题型一 比较两个数(式)的大小..............................................5
题型二 不等式的性质......................................................6
题型三 不等式性质的综合应用..............................................7
三、课堂总结：知识图谱......................................................8
四、分层训练：课堂知识巩固..................................................9一、主干知识
考点1：两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 (a∈R，b>0)
考点2：等式的基本性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
考点3：不等式的基本性质
性质1 对称性：a>b⇔ b < a ；性质2 传递性：a>b，b>c⇒ a > c ；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ac > bc ；a>b，c<0⇒ ac < bc ；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ a ＋ c > b ＋ d ；性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ac > bd ；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
【常用结论归纳】
1、不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；
2、常用不等式
1．若ab>0，且a>b⇔<.2．若a>b>0，m>0⇒<；若b>a>0，m>0⇒>.二、分类题型
题型一 比较两个数(式)的大小
【例题精析1】 若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q
【例题精析2】 (2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
(3)函数的单调性法．
【对点精练1】 已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
【对点精练2】 已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M>N B．M<N
C．M＝N D．不能确定
【对点精练3】 eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．题型二 不等式的性质
【例题精析3】 设实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析4】 3．（多选）已知 均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 则 . B．若 则 .
C．若 ，则 D．若 ，则
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
【对点精练4】 （2023·广东惠州·统考模拟预测）已知实数 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【对点精练5】 (多选)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是( )
A.> B．bac>abc C．(1－c)a<(1－c)b D．log (a＋c)>log (b＋c)
b a题型三 不等式性质的综合应用
【例题精析5】 已知 ， ，则6x＋5y的取值范围为______．
【例题精析6】 （2023·全国·高三专题练习）已知实数 ,则 的取值范围是________.
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
【对点精练6】 已知角 满足 ， ，则 的取值范围是__________．
【对点精练7】 已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点精练8】 （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知实数 x，y满足 则
（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•泸县校级模拟）已知 ，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
2．（2022•河南一模）已知 ，且 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
3．（2022•沈阳模拟）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
4．（2022•西安一模）若 ， ， ， 为实数，则下列命题正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．（2021•天津）已知 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021•石嘴山二模）已知 ，下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．7．（2021•房山区一模）已知 ， ，且 ，则下列各式中一定成立的是
A． B． C． D．
8．（2021•绵阳模拟）若 ， ，则以下结论正确的有
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021•市中区校级模拟）已知实数 ， ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
10．（多选）（2022•岳麓区校级三模）若 ， ， ，则 的可能取值有
A． B． C． D．
11．（多选）（2022•沈河区校级模拟）下列说法正确的是
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C． ，则 D．若 ，则
12．（多选）（2022•佛山模拟）下列命题为真命题的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
13．（多选）（2022•聊城一模）设 ，且 ，则
A． B． C． D．
14．（多选）（2022•呼伦贝尔二模）已知 为自然对数的底数），则
A． B． C． D．15．（多选）（2022•惠州一模）对于实数 ， ， ，下列结论正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
16．（多选）（2022•天河区校级三模）如果 ， ，那么下面一定成立的是
A． B． C． D．
1．（2022•临澧县校级模拟）若正实数 ， 满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
2．（2021•泸州模拟）若 ，则
A． B． C． D．
3．（2019•厦门一模）已知 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
4．（2015•朝阳区模拟）若 ，则下列不等式正确的是A． B．
C． D．
5．（多选）（2022•聊城三模）已知实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
6．（多选）（2021•河北二模）已知 ，则下列不等式成立的有
A． B． C． D．
7．（多选）（2021•张家口二模）已知 ，则下列选项一定正确的是
A． B．
C． D．
8．（2020•西宁模拟）设 ， ，则 ， 的大小关系为 ．
1．（2022•凤阳县校级三模）定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，若函数
， ， 的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．2．给出下列命题：
①已知 ， ， 都是正数，且 ，则 ；
②已知 是 的导函数，若 ， ，则 （1） （2）一定成立；
③命题“ ，使得 ”的否定是真命题；
④“ ，且 ”是“ ”的充要条件．
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
