文档文本内容
7.1 不等式的性质
思维导图
知识点总结
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
性质1 若a>b，则b<a.
性质2 若a>b，b>c，则 .
性质3 若a>b，则a＋c b＋c.
性质4 若a>b，c>0，则 ；
若a>b，c<0，则 .
性质5 若a>b，c>d，则a＋c b＋d.
性质6 若a>b>0，c>d>0，则ac bd.
性质7 若a>b>0，则an bn(n∈N*).
[常用结论]
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，则a>b <.
(6)可开方性：a＞ ⇔b＞0⇒ (n∈N，n≥2)．
典型例题分析
考向一 比较数(式)的大小
例1 (1)若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.
感悟提升 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
考向二 构造法比较大小例2 (1)若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
(2)若a＝，b＝，c＝，则( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
答案 B
考向三
不等式的基本性质
例3 (1)(多选)(2023·张家口一模)若a＞b，则下列不等式中正确的有( )
A.a－b＞0 B.2a＞2b
C.ac＞bc D.a2＞b2
(2)(多选)(2023·泰州调研)若a＞b＞0＞c，则( )
A.＞ B.＞C.ac＞bc D.a－c＞2
感悟提升 解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值排除法；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂
函数等函数的单调性进行判断.
考向四 不等式性质的综合应用
例 4 (1)已知－1<x<4，2<y<3，则 x－y 的取值范围是________，3x＋2y 的取值范围是
________.
(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________.
感悟提升 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用
不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运
算求解范围.
基础题型训练
一、单选题
1．若 ，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题中成立的是（ ）
A．如果 ， ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ， ，那么
D．如果 ， ，那么
3．已知 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 ，下列不等式中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．若关于x的不等式组 的解集为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设 ， ， ， 为实数，满足 ， ， ， ，则下列不等式正确的是
( )A． B．
C． D．
二、多选题
7．若 ，则下列不等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， 满足 ，且 ，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A． ， B． C． D．
三、填空题
9．不等式组 的解集为________．
10．若 、 满足 ，则 的取值范围是______．
11．已知实数x，y满足 ， ，则 的取值范围是___________．
12．若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是__．
四、解答题
13．（1）已知 ，求证： ；
（2）已知 ，求 的取值范围；
（3）已知 ，求 的取值范围．
14．已知 ， ，且满足 ，则 的取值范围是？15．证明下面的结论：
（1）如果 ， ，且 ，那么 ；
（2）如果 ， ，那么 ；
（3）如果 ， ，那么 ；
（4）如果 ， ， ，那么 .
16．已知 ，求证： ；
提升题型训练
一、单选题
1．若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．-a>-b C． D．
2．若实数 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．5．若 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-c>b-d B．若 ，则a>b
C．若 ，则 D．若 ，则
8．已知 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知 ， ，其中 均为正数，则 的大小关系为______.
10．已知 ， ，则 的取值范围是__________．
11．已知 请比较下面两式大小: ________
12．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖
为m克）．
四、解答题
13．已知 ，求证 .14．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
（1）2x2 3与x 2，x∈R；
（2）a 2与 ，a∈R，且a≠1.
15．已知 ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： ．
16．（1）比较 和 的大小；
（2）已知 ， ，求 的取值范围．
