文档文本内容
专题 08 不等式（组）中参数的重难点汇编（五大题型）
重难点题型归纳
【题型一：根据不等式的性质求参数取值范围】
【题型二：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】
【题型三：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】
【题型四：根据不等式的解集确定字母的取值范围】
【题型五：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】
【题型一：根据不等式的性质求参数取值范围】
1．若关于x的不等式(m−1)x>m−1的解集为x<1，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1 B．m>1 C．m<1 D．m<0
【答案】C
【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解．
【详解】解：根据题意得m−1<0，
∴m<1，
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等
号的方向发生改变．
1
2．已知关于x的不等式(a+2)x<1的解集为x> ，则a的取值范围为 ．
a+2
【答案】a<−2
1
【分析】根据不等式的基本性质，由不等式(a+2)x<1的解集为x> ，可得：a+2<0，据此求出a
a+2
的取值范围即可．
1
【详解】解：∵不等式(a+2)x<1的解集为x>
a+2
∴a+2<0
∴a的取值范围为：a<−2
故答案为：a<−2．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的
关键．
3．若(m−1)x>(m−1)的解集是x<1，则m的取值范围是 ；
【答案】m<1
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵(m−1)x>(m−1)的解集是x<1，
∴m−1<0，
解得：m<1．
故答案为：m<1．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4．关于x的不等式(2−k)x>2k−4的解集为x<−2，则k的取值范围是 ．
【答案】k>2/2<k
【分析】根据不等式的性质和不等式的解集求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式(2−k)x>2k−4的解集为x<−2，
∴2−k<0，解得k>2，
故答案为：k>2．
【点睛】本题考查已知不等式的解集求参数，熟练掌握不等式的性质是解答的关键，注意不等式的性
质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变．
5．不等式(a−1)x>1−a的解为x>−1，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞1
【分析】根据不等式的性质，两边同时除以同一个正数，不等号的方向不变判断a的取值范围.
【详解】不等式(a−1)x>1−a，即(a−1)x>−(a−1)两边同除以（a-1）得x>−1，
可见，a-1＞0，
解得，a＞1
故答案为：a＞1
【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握并灵活运用不等式的性质是解答此类试题的关键.
2
6．已知关于x的不等式(4−a)x>2的解集为x< ，则a的取值范围是
4−a
【答案】a>4
【分析】此题考查了一元一次不等式的解和解一元一次不等式，根据题意得到4−a<0，解不等式即
可得到答案．2
【详解】解：∵关于x的不等式(4−a)x>2的解集为x< ，
4−a
∴4−a<0，
解得a>4，
故答案为：a>4
【题型二：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】
1
7．已知关于x的不等式 x−a≤0有三个非负整数解，则a的取值范围为 ．
3
2
【答案】 ≤a<1
3
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据有三个非负整数解得出
关于a的不等式，进而求解即可.
1
【详解】解：解不等式 x−a≤0得：x≤3a，
3
1
∵关于x的不等式 x−a≤0有三个非负整数解，
3
∴这三个负整数解是0，1，2，
∴2≤3a<3，
2
∴ ≤a<1，
3
2
故答案为： ≤a<1．
3
1
8．已知关于x的不等式 x−a>0有三个负整数解，则a的取值范围为 ．
3
4
【答案】− ≤a<−1
3
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解；
先求出不等式的解集，再根据有三个负整数解得出关于a的不等式，进而求解即可.
1
【详解】解：解不等式 x−a>0得：x>3a，
3
1
∵关于x的不等式 x−a>0有三个负整数解，
3
∴这三个负整数解是−1,−2,−3，
∴−4≤3a<−3，4
∴− ≤a<−1，
3
4
故答案为：− ≤a<−1．
3
9．若不等式3x−m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是 ．
【答案】9≤m<12/12>m≥9
m
【分析】本题考查了不等式的解法和一元一次不等式整数解的应用．先解不等式得到x≤ ，再根据
3
m
正整数解的情况得到3≤ <4，即可求出m的取值范围．
3
m
【详解】解：解不等式3x−m≤0得x≤ ，
3
∵正整数解是1，2，3，
m
∴m的取值范围是3≤ <4，
3
即9≤m<12．
故答案为：9≤m<12
10．若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 ．
【答案】14
【分析】先求出不等式的解集，根据题意，求出a的范围，即可得出结果．
a−2
【详解】解：3x+2≤a，解得：x≤ ，
3
∵不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，
a−2
∴4≤ <5，
3
∴14≤a<17，
∴整数a的最小值是14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是正确求出一元一次不等式的解．
11．若关于x的不等式2(x−1)≤x+m恰好有3个正整数解，则m的取值范围为 ．
【答案】1≤m＜2
【分析】先解不等式得到x≤m+2，则正整数解为1、2、3，所以3≤m+2＜4，解得1≤m＜2．
【详解】解：解不等式2（x-1）≤x+m，得x≤m+2．
∵不等式恰好有3个正整数解，∴正整数解为1、2、3．
∴3≤m+2＜4，
解得1≤m＜2．
故答案为：1≤m＜2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，求不等式的整数解，一般是先解不等式，在不等
式范围内找整数解．
12．关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为 ．
【答案】−5<a≤−3
【分析】表示出不等式的解集，根据解集中只有2个正整数解，确定出a的范围即可．
1−a
【详解】解：2x+a≤1，解得x≤
2
∵不等式2x+a≤1只有2个正整数解
1−a
∴2≤ <3，解得−5<a≤−3
2
故答案为：−5<a≤−3
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．
【题型三：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】
{x<5)
13．关于x的不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
x≥a
A．1≤a<2 B．1<a<2 C．1<a≤2 D．1≤a≤2
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，
并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键．
先解出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解确定a的取值范围即可．
【详解】解：由题意可知
不等式组的解集为a≤x<5，
∵不等式组的整数解有3个，
∴整数解为2，3，4，
则a的范围是1<a≤2．
故选：C．
{5−2x>1)
14．若关于x的不等式组 只有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
x−2m≥01 1 1 1
A．−1<m<− B．− <m≤0 C．−1≤m<− D．−1<m≤−
2 2 2 2
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，根据已知
进行得出m的范围即可．
{5−2x>1)
【详解】解：∵ ，
x−2m≥0
∴解不等式组得2m≤x<2，
{5−2x>1)
又∵关于x的不等式组 只有3个整数解，
x−2m≥0
∴−2<2m≤−1，
1
∴−1<m≤− ，
2
故选：D．
{1
x−1<3)
15．如果不等式组 2 有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（ ）
−x<−m
A．4≤m≤5 B．4≤m<5 C．4<m<5 D．4<m≤5
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求
不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可．
{1
x−1<3)
【详解】解： 2 ，
−x<−m
解不等式①，得x<8，
解不等式②，得x>m，
所以根据题意，不等式组的解集是m<x<8，
{1
x−1<3)
∵不等式组 2 有且仅有3个整数解，这3个整数解是5，6，7，
−x<−m
∴4≤m<5，
故选：B．{2(x−2)−3x<−4
)
16．若关于x的不等式组 只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
k+3x 1
≥ +x
6 2
A．39 B．42 C．45 D．48
【答案】A
【分析】本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据只有3个整数解，列不等式求解
即可得到答案；
【详解】解：解不等式①，得x>0，
k−3
解不等式②，得x≤ ，
3
∵不等式组有且只有3个整数解，
k−3
∴不等式组的解为：0<x≤ ，
3
∴这3个整数数解为3，2，1，
k−3
∴3≤ <4，即9≤k−3<12，
3
解得12≤k<15，
∵k为整数，
∴k为12，13，14，
∴符合条件的所有整数k的和为：12+13+14=39，
故选：A．
{x−3
≤
2x−1
−1)
17．已知关于x的不等式组 2 3 恰有3个整数解，则 a 的取值范围为（ ）
x−a<0
A．1<a≤2 B．1<a<2 C．−1≤a<2 D．1≤a<2
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集(含字母a)，因为不等式组有3个整数解，可推出a的值．
{x−3
≤
2x−1
−1①)
【详解】解： 2 3 ，
x−a<0②
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x<a，{x−3
≤
2x−1
−1)
∵不等式组 2 3 有解，
x−a<0
∴−1≤x<a，
∵不等式组只有三个整数解，
∴不等式的整数解为：-1、0、1，
∴1<a≤2，
故答案为：A.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根
据题意求出关于a的不等式组．
{a−(8x+13)<0
)
18．若关于 的不等式组 只有四个整数解，则 的取值范围为 ．
x x+4 a
x+1≤
2
【答案】−3≤a<5/−3≥a>5
【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，先解出不等式组的解集为
a−13
<x≤2，再由整数解的个数，即可求解；能由整数解的个数确定参数的范围是解题的关键．
8
【详解】解：解不等式组得：
a−13
<x≤2，
8
∵不等式组只有四个整数解，
a−13
∴ −2≤ <−1，
8
解得：−3≤a<5；
故答案为：−3≤a<5．
{3(x−a)≥2(x−1)
)
19．已知关于x的不等式组 有5个整数解，则a的取值范围是 ．
2x−1 x
≤2−
3 2
1
【答案】− <a≤0
3
【分析】解两个不等式得到不等式组的解集为3a-2≤x≤2，则可确定不等式组的整数解为2，1，0，-
1，-2，于是可得到a不等式组，解不等式组可得a的范围．{3(x−a)≥2(x−1)①
)
【详解】
2x−1 x
≤2− ②
3 2
由不等式①，得 x≥3a-2，
由不等式②，得 x≤2，
∴3a-2≤x≤2，
∵不等式组有5个整数解，
∴x＝2，1，0，-1，-2，
∴-3＜3a-2≤-2，
1
∴− <a≤0，
3
1
故答案为− <a≤0．
3
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从
而完成求解．
x+3
{ x+2⩾ )
20．关于 的不等式组 2 有且只有4个整数解，则常数 的取值范围是 ．
x m
2x+5
<m+5
3
4
【答案】−2<m≤−
3
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，再确
定字母的取值范围即可．
x+3
{ x+2⩾ ①)
【详解】解： 2
2x+5
<m+5②
3
解①得：x≥−1，
3m+10
解②得：x< ，
2
3m+10
∴不等式组的解集为：−1≤x< ，
2
∵不等式组只有4个整数解，即不等式组只有4个整数解为﹣1、0、1、2，
3m+10
则有2< ≤3，
2
4
解得：−2<m≤− ，
3
4
故答案为：−2<m≤−
3
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的
两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正
数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【题型四：根据不等式组的解集确定字母的取值范围】
{x+3
≥x−1)
21．如果关于x的不等式组 2 无解，则a的取值范围是 ．
3x+6>a+4
【答案】a≥17
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
小找不到”的法则是解答此题的关键．
把a当作已知条件，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
{x+3
≥x−1①)
【详解】解： 2
3x+6>a+4②
解不等式①得，x≤5，
a−2
解不等式②得，x> ，
3
∵该不等式组无解，根据求不等式组的口诀“大大小小无法找”，可得
a−2
≥5
3
解得，a≥17，
故答案为：a≥17．
{x−a<0)
22．不等式组 无解，则a的取值范围是 ．
x+4≥0
【答案】a≤−4
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第二个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于
a的不等式，解不等式可得．{x−a<0①)
【详解】解：
x+4≥0②
解不等式①得：x<a；
解不等式②得：x≥−4；
∵不等式组无解，
∴a≤−4，
故a的取值范围是：a≤−4．
{x−a<1)
23．关于x的不等式组 无解，则实数a的取值范围是 ．
x−3>0
【答案】a≤2
【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求解参数的取值范围，熟练解一元一次不等式组是解题
的关键．
{x−a<1) {x−a<1)
将不等式组 解出来，根据不等式组 无解，求出a的取值范围即可．
x−3>0 x−3>0
{x−a<1)
【详解】解：∵ ，
x−3>0
{x<a+1)
∴ ，
x>3
{x−a<1)
∵关于x的不等式组 无解，
x−3>0
∴实数a的取值范围是：a+1≤3，
解得：a≤2，
故答案为：a≤2．
{3x−a>2x)
24．已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为 ．
x+3≤2a
【答案】a≤3
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解
可得a≥2a−3，求解即可．
{3x−a>2x①)
【详解】解： ，
x+3≤2a②
解不等式①可得：x>a，
解不等式②得：x≤2a−3，
{3x−a≥2x)
∵关于x的不等式组 无解，
x+3≤2a∴a≥2a−3，
解得：a≤3，
故答案为：a≤3．
{ x+a>0 )
25．关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是 ．
x−5≤1−2x
【答案】a>−2
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数的取值范围，先解不等式组，根据不等式组有解，和
确定不等式组的解集的方法，进行求解即可，熟练掌握不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
【详解】解：由x+a>0，得：x>−a，
由x−5≤1−2x，得：x≤2，
{ x+a>0 )
∵不等式组 有解，
x−5≤1−2x
∴−a<x≤2，
∴a>−2，
故答案为：a>−2．
26．关于x的一元一次不等式组{2x+5<3(x+2))无解，则m的取值范围是 ．
x−m<3
【答案】m≤−4
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组
的解集，难度适中．先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组无解得出m的取值范围即可．
【详解】解：{2x+5<3(x+2)①)，
x−m<3②
解不等式①得：x>−1，
解不等式②得：x<m+3，
∵关于x的一元一次不等式组{2x+5<3(x+2))无解，
x−m<3
∴m+3≤−1，
解得：m≤−4，
故答案为：m≤−4．
{2<x<3)
27．若不等式组 的解集为a<x<3，则实数a的取值范围为 ．
x>a【答案】2≤a<3
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，掌握不等式的性质求解，不等式组的取值方法是解
题的关键．
根据不等式的性质分别解出不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中
间找，大大小小无解”即可求解．
{2<x<3)
【详解】解：不等式组 的解集为a<x<3，
x>a
∴2≤a<3，
故答案为：2≤a<3 ．
{x+7>3x−3)
28．若关于x的不等式组 的解集为x<5，则m的取值范围为 ．
x−1<m
【答案】m≥4
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键．
分别解出每个不等式，然后根据不等式组的解集是x<5，即可得到一个关于m的不等式，从而求解．
{x+7>3x−3)
【详解】解： ，
x−1<m
由x+7>3x−3得，x<5，
由x−1<m得，x<m+1，
{x+7>3x−3)
∵关于x的不等式组 的解集为x<5，
x−1<m
∴m+1≥5，
解得：m≥4，
故答案为：m≥4．
{ x−1≥4k )
29．如果关于x的不等式组 有解，且关于x的方程kx+6=x有正整数解，那么符合条件的所
x−k<4k+6
有整数k的和为 ．
【答案】−3
【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构
成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
先解方程，再根据不等式组有解求出k的取值范围，然后根据方程kx+6=x有正整数解得出−5<k<1，
将1−k的取值代入，找出符合条件的k值，并相加即可得出答案．
【详解】解：解不等式x−1≥4k，得x≥4k+1．
解不等式x−k<4k+6，得x<5k+6．∵该不等式组有解，
∴5k+6>4k+1，
解得k>−5．
整理方程kx+6=x，得(1−k)x=6．
∵方程kx+6=x有正整数解，
∴1−k>0，解得k<1，
∴−5<k<1．
当1−k=1时，解得k=0；
当1−k=2时，解得k=−1；
当1−k=3时，解得k=−2；
当1−k=6时，解得k=−5，不符合题意，舍去；
∴符合条件的所有整数k的和为0+(−1)+(−2)=−3．
故答案为：−3．
【题型五：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】
{5x+2y=6)
30．已知关于x、y的方程组 的解满足x+ y>2，则a的取值范围是（ ）．
x−2y=4a
1 1 1 1
A．a<− B．a< C．a> D．a>−
2 2 2 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确求出方程组的解进而得到关于a
的不等式是解题的关键．
先利用加减消元法求出方程的解，再根据方程的解满足x+ y>2得到关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】①②
{5x+2y=6①)
x−2y=4a②
①+②得6x=6+4a，
2
解得：x=1+ a，
3
2
把x=1+ a代入②得，
3
2
1+ a−2y=4a，
31 5
解得：y= − a，
2 3
2
{ x=1+ a)
方程组的解为 3 ，
∴
1 5
y= − a
2 3
∵方程组的解满足x+ y>2，
2 1 5
∴ 1+ a+ − a>2，
3 2 3
1
解不等式得：a<− ．
2
{3x+2y=4m+5)
31．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组 的解满足x+4 y≤3，且让不等式
x−y=m−1
{5x−m>0)
只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
x−4<−1
A．12 B．6 C．−10 D．−14
【答案】D
【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出m的取值范围，再进行求解即可．
{3x+2y=4m+5①)
【详解】解： ，
x−y=m−1②
①+②×2，得：5x=6m+3，
6m+3
解得x= ，
5
①−②×3，得：5 y=m+8，
m+8
解得y= ，
5
∵x+4 y≤3，
6m+3 4(m+8)
∴ + ≤3，
5 5
解得m≤﹣2，
m
解不等式5x−m>0，得：x> ，
5
解不等式x−4<−1，得：x<3，
∵不等式组只有3个整数解，m
∴−1≤ <0，
5
解得−5≤m<0，
∴−5≤m≤−2，
∴符合条件的整数m的值的和为−5−4−3−2=−14，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程
组和不等式组的方法是解题的关键．
{ x+2y=4k )
32．已知 且−1<x−y<0，则k的取值范围为 ．
2x+ y=2k+1
1
【答案】 <k<1
2
【分析】由②−①得：x−y=1−2k，再代入−1<x−y<0，再解不等式组即可．
{ x+2y=4k① )
【详解】解： ，
2x+ y=2k+1②
②−①得：x−y=1−2k，
∵−1<x−y<0，
∴−1<1−2k<0，
∴−2<−2k<−1，
1
解得： <k<1；
2
1
故答案为： <k<1
2
【点睛】本题考查的是方程组与一元一次不等式组的综合题，熟练的利用整体未知数法解题是解本题
的关键．
{x+3 y=2a+4)
33．已知关于x、y的方程组 的解都为非负数，且满足2a+b=5，2≤b≤5，若z=a−b，
2x−y=1−3a
则z的取值范围是
【答案】−5≤z≤−2
{x=−a+1) {−a+1≥0)
【分析】解方程组得出 ，由方程组的解都是非负数得 ，解之可得−1≤a≤1，据
y=a+1 a+1≥0
此得出3≤−2a＋5≤7，即3≤b≤7，结合2≤b≤5知3≤b≤5，继而得出−5≤−b≤−3，由b＝5−2a，结合b的取值
范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出a−b的范围，即可得出答案．{x+3 y=2a+4) {x＝−a+1)
【详解】解：解方程组 ，得 ，
2x−y=1−3a y＝a+1
∵方程组的解都是非负数，
{−a+1≥0)
∴ ，解得：−1≤a≤1，
a+1≥0
∴−2≤−2a≤2，
则3≤−2a＋5≤7，
∵2a＋b＝5，即b＝5−2a，
∴3≤b≤7，
∵2≤b≤5，
∴3≤b≤5，
则−5≤−b≤−3，
∴3≤5−2a≤5，
解得0≤a≤1，
∴−5≤a−b≤−2，即−5≤z≤−2，
故答案为：−5≤z≤−2．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
