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解密中考数学：36 大易错题型全突破攻略
内容导览
易错题型01 数轴与绝对值化简易错题..........................................................................................................................
易错题型02 平方根/算术平方根、无理数判定出错...................................................................................................
易错题型03 同底数幂、积的乘方、负指数幂记错.....................................................................................................
易错题型04 分式有意义、分式值为0 条件混淆.........................................................................................................
易错题型05 分式基本性质变形易错..............................................................................................................................
易错题型06 分式方程漏检验易错题..............................................................................................................................
易错题型07 一元二次方程概念辨析易错......................................................................................................................
易错题型08 判别式取值范围忽略隐含条件..................................................................................................................
易错题型09 公式法解一元二次方程时公式记错.........................................................................................................
易错题型10 不等式两边同除负数忘记变号..................................................................................................................
易错题型11 点到坐标轴距离概念混淆..........................................................................................................................
易错题型12 点的象限与坐标符号判断易错...............................................................................................................10
易错题型13 坐标平移、对称变换坐标写错...............................................................................................................11
易错题型14 自变量取值范围遗漏限制条件...............................................................................................................12
易错题型15 反比例函数与几何面积综合易错...........................................................................................................13
易错题型16 二次函数系数a,b,c 符号判断错.............................................................................................................13
易错题型17 二次函数最值含范围讨论遗漏...............................................................................................................15
易错题型18 动点函数图象拐点、分段分析不全.......................................................................................................17
易错题型19 等腰三角形分类讨论漏解........................................................................................................................19
易错题型20 全等/相似三角形判定条件误用..............................................................................................................23
易错题型21 特殊四边形综合判定................................................................................................................................24
易错题型22 直角三角形边角关系陷阱题....................................................................................................................26
易错题型23 相似三角形与动点问题............................................................................................................................29
易错题型24 计算菱形的面积.........................................................................................................................................30
易错题型25 平行线分线段成比例误用........................................................................................................................32
易错题型26 相似三角形周长与面积比混淆...............................................................................................................33
易错题型27 特殊角三角函数值记忆错误....................................................................................................................35
易错题型28 无图几何题，多解分类讨论不全...........................................................................................................37
易错题型29 弧、弦、圆心角、圆周角关系混淆.......................................................................................................38
易错题型30 圆周角定理分类讨论漏解........................................................................................................................43
易错题型31 弧长、扇形面积公式混淆错用...............................................................................................................44
易错题型32 阴影部分不规则面积求解易错...............................................................................................................47
易错题型33 总体、个体、样本、样本容量概念混淆...............................................................................................49
易错题型34 加权平均数权重遗漏计算错误...............................................................................................................51
易错题型35 条形、折线、扇形统计图信息提取错误...............................................................................................52
易错题型36 放回与不放回模型混淆易错....................................................................................................................53
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易错题型
01
数轴与绝对值化简易错题
①化简绝对值时，未判断绝对值内式子的正负；②数轴上点的位置与符号判断错误；③含参数绝对值漏分
类讨论。
1．（2026·山东滨州·一模）已知数a，b 在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）
①
；②
；③
；④
．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】由数轴可得，
，则
，即可判断各项．
【详解】解：由数轴可得，
，
∴
，
∴
，
，
，
故①②③④都正确．
2．（2026·重庆·一模）已知
，且
，则
的值为___________．
【答案】16
【分析】先根据已知等式判断
的正负性，化简第二个等式，再分
的正负讨论，得到符合题意的
的
值，代入计算幂的值即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
，
，
∴
．
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将
代入
，得
．
把
代入
得
，即
．
当
时，
，原式可化为
，解得
．
将
代入
得
，符合题意；
当
时，
，原式可化为
，即
，等式不成立，此情况无解．
∴
，
，
∴
．
易错题型
02
平方根
/ 算术平方根、无理数判定出错
①混淆平方根与算术平方根的非负性；②误将带根号的数直接判定为无理数；③计算平方根时漏写正负号。
1．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图为小亮的答卷，他的得分应是（）
A．10 分
B．8 分
C．6 分
D．4 分
【答案】C
【分析】本题考查平方根，关键是根据平方根、相反数和绝对值的定义进行解答，掌握相关概念是解题的
关键；根据平方根、相反数和绝对值的定义进行解答即可．
【详解】解：①
的平方根是
，原答案错误；
②
的绝对值是
，正确；
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③
，正确；
④
，原答案错误；
⑤
的相反数是2，正确；
所以得分是
分，
故选：C．
2．（2026·陕西榆林·一模）在0，
，
，
，
中，无理数有________个．
【答案】2
【分析】先化简题目中的已知数，再根据无理数的定义判断得到无理数的个数．
【详解】解：0 是整数，属于有理数，
是分数，属于有理数，
是整数，属于有理数，
是无限不循环小数，属于无理数，
是无限不循环小数，属于无理数，
因此无理数共有2 个．
易错题型
03
同底数幂、积的乘方、负指数幂记错
①公式混淆；②负指数幂运算错误；③积的乘方漏给每个因式乘方。
1．（2026·云南文山·一模）下列计算正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据积的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法和合并同类项的运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、
，原式计算正确，符合题意；
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B、
，原式计算错误，不符合题意；
C、
，原式计算错误，不符合题意；
D、
，原式计算错误，不符合题意；
2．（2026·安徽阜阳·一模）计算：
___________．
【答案】
【分析】利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
易错题型
04
分式有意义、分式值为
0 条件混淆
①分式值为0 时，只考虑分子为0，忽略分母不为0；②混淆分式有意义与无意义的条件；③含多个分母时
漏写限制条件。
1．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式
，下列说法正确的是（）
A．化为最简分式等于
B．分式无意义的条件是
C．当
时，分式的值为零
D．当
时，分式无意义
【答案】D
【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关
知识点逐一判断选项即可．
【详解】解：A 选项：
，最简分式为
，A 错误；
B 选项：分式无意义时，分母为
，即
，解得
或
，B 错误；
C 选项：当
时，
，分母为
，分式无意义，不存在分式值，C 错误；
D 选项：当
时，
，分母为
，分式没有意义，D 正确．
故选：D．
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2．（2026·江苏盐城·一模）若分式
有意义，则x 应满足的条件是______．
【答案】
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式
有意义，
∴
，
解得
．
易错题型
05
分式基本性质变形易错
①分式变形时，同乘/除的整式未强调不为0；②约分、通分漏考虑分母不为0；③符号变形错误。
1．（2025·贵州遵义·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意；
B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意；
D、
，不是分式化简，故本选项不符合题意；
故选：A
2．（2025·安徽宣城·一模）下列化简运算不正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一
分析各选项，即可得到答案．
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【详解】解：
，故
项计算正确，不符合题意；
，故B 项计算错误，符合题意；
故
项计算正确，不符合题意；
，故
项计算正确，不符合题意；
故选：B
易错题型
06
分式方程漏检验易错题
①解完分式方程不检验；②未理解增根的产生原因；③解的范围与检验步骤遗漏。
1．（2026·北京平谷·一模）方程
的解为____．
【答案】3/
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验即可得到原方程的解．
【详解】解：方程两边同乘
，
得
，
展开各项，得
，
移项，合并同类项，得
，
系数化为，得
，
检验：当
时，
，
因此
是原分式方程的解．
2．（2026·福建泉州·一模）已知关于x 的分式方程
有增根，则m 的值________．
【答案】
【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m 的值．
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【详解】解：方程两边同乘最简公分母
，去分母得：
，
解得：
，
∵分式方程有增根，
∴
，即
，
∴
解得
．
易错题型
07
一元二次方程概念辨析易错
①忽略二次项系数不为0；②误将一次方程、分式方程判定为一元二次方程；③未整理成一般形式就判断。
1．（21-22 九年级上·山东德州·月考）已知关于
的方程
是一元二次方程，则
的值
为______．
【答案】-2
【分析】根据一元二次方程的定义得到：
=2 且m-2≠0，由此可以求得m 的值．
【详解】解：∵关于x 的方程
，是一元二次方程，
∴
=2 且m-2≠0，
解得m=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．注意，一元二次方程的二次项系数不等于零．
易错题型
08
判别式取值范围忽略隐含条件
①利用判别式求参数时，忽略二次项系数不为0；②未考虑方程根的实际意义；③多解情况漏写限制条件。
1．（2026·山东德州·一模）已知关于x 的一元二次方程
有实数根，则m 的取值范围
是________．
【答案】
且
【分析】利用一元二次方程根的判别式以及一元二次方程定义即可求解．
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【详解】解：∵一元二次方程
有实数根，
∴
，且
解得
且
．
易错题型
09
公式法解一元二次方程时公式记错
①求根公式记错（符号、系数顺序错误）；②代入时未将方程整理为一般形式；③根号下判别式计算错误。
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：
【答案】
，
【分析】用公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：
易错题型
10
不等式两边同除负数忘记变号
①系数化为1 时，除以负数忘记改变不等号方向；②含参数不等式，未对系数正负分类讨论；③解不等式
组时解集取错。
1．（2026·四川泸州·模拟预测）若
，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可得到答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
，
，
，
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观察四个选项，正确结论是B．
2．（2026·江苏盐城·一模）已知
，要使不等式
成立，写出一个符合条件的k 的
整数值：______．
【答案】2（小于3 的整数均可）
【分析】根据不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变，可得
，求出
的取值范围后即可写
出符合条件的整数值．
【详解】解：
，要使不等式
成立，
，
解得
，
∴
的整数值可以为
．
易错题型
11
点到坐标轴距离概念混淆
①点到x 轴距离是纵坐标的绝对值，到y 轴距离是横坐标的绝对值，易记反；②混淆点到坐标轴与到原点
的距离。
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知点
到两条坐标轴的距离相等，则点
的坐标为()
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】A
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离；根据点到坐标轴的距离相等，得到横纵坐标绝对值相等的方程，
解方程求出
的值，再代入得到点
的坐标，即可求解．
【详解】解：∵点
的坐标为
，到两坐标轴的距离相等，
∴
，
解得：
或
当
时，
，
，则点
的坐标为
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当
时，
，
，则点
的坐标为
故选：A．
2．（2025·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系
中，点
和
之间的最短距离为
（）
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】C
【分析】本题考查求坐标系中两点间的距离，解题的关键是根据点的特征，得到
轴．根据两点在
坐标系中的位置，横坐标相同，即
轴，两点之间的距离最短，最短距离即就是纵坐标之差．
【详解】解：∵点
和
，
，
∴当
，即
轴时，点
和
之间的距离最短，最短距离为
，
故选：C．
易错题型
12
点的象限与坐标符号判断易错
①象限符号记错；②坐标轴上的点不属于任何象限，误判；③含参数点的象限漏分类讨论。
1．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系
中，点
所在的象限是（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】只需判断点
横纵坐标的正负性，结合象限坐标特征即可求解．
【详解】解：∵点
的横坐标为
，
，
又∵对任意实数
，都有
，
∴
，
即点
横坐标为正，纵坐标为负，
根据象限坐标特征，横坐标正纵坐标负的点在第四象限，
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∴点
在第四象限．
2．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为
，且a，b 满足
，则点A 在第__________象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出
的值，根据
的符号，判断出点A 所
在的象限即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴点A 的坐标为
，在第四象限；
故答案为：四．
易错题型
13
坐标平移、对称变换坐标写错
①平移时“上加下减、左加右减”搞反；②对称变换（关于x 轴、y 轴、原点对称）的坐标变化记错；③
复合变换顺序错误。
1．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，
的顶点A，B 的坐标分别为
，
，将
沿x 轴负方向平移后，得到
．若
，则点A 的对应点C 的坐标是_____．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，
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点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键．
直接利用点平移的变化规律求解即可．
【详解】解：∵
的顶点A，B 的坐标分别为
，
，
，
∴
，
∴点A 平移至点C 的坐标为
，
故答案为：
．
2．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系
中，点
关于
轴对称的点的坐标是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】关于
轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，按照规律计算即可得到结果．
【详解】解：∵关于
轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
又∵点
的坐标为
，
∴横坐标的相反数为
，纵坐标仍为
，
即点
关于
轴对称的点的坐标是
．
易错题型
14
自变量取值范围遗漏限制条件
①函数自变量范围只考虑分式、根式，漏考虑实际意义；②含多个限制条件时，取交集错误；③二次根式
被开方数漏写非负性。
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数
的自变量x 的取值范围是_________________
【答案】
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据两种代数式有意义的要求列出不等式，取解集的公
共部分即可得到自变量的取值范围．
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【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得
，
解不等式
得
，
解不等式
得
，
取两个解集的公共部分，得
．
易错题型
15
反比例函数与几何面积综合易错
①反比例函数k 的几何意义误用（未注意象限符号）；②面积与k 的关系搞反；③图形分割计算漏情况。
1．（2026·江西上饶·一模）如图，一次函数
的图象与x 轴交于点C，交y 轴于点
D（点C 与点D 不重合），与反比例函数
的图象交于
，B 两点，已知
．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点
是x 轴上一点，若
的面积是
面积的6 倍，求点P 的坐标．
【答案】(1)
；
(2)点
或点
【分析】（1）先求出
，得到
，则
，进而推导出反比例函数的解析式
为
，得到当
时，
；当
时，
，再根据
，得到
，
求出m 的值，即可解答；
（2）先求出
，点
，得到
，推导出
，得到
，
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解得
或
，即可解答．
【详解】（1）解：∵一次函数
的图象与x 轴交于点C，与y 轴交于点D，与反比例
函数
的图象交于
，B 两点，
∴
，
∴点
，
∴
，
∴反比例函数的解析式为
；
当
时，
，
∴
；
当
时，
，
∵
，
∴
，
解得
或
（舍去，此时点
与点
重合），
∴一次函数的解析式为
．
（2）解：∵一次函数图象交x 轴于点C，交y 轴于点D，
∴点
，点
，
∴
，
∴
，
∵点
是x 轴上一点，
∴
．
∵
的面积是
面积的6 倍，
∴
，
解得
或
，
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∴点
或点
．
易错题型
16
二次函数系数
a,b,c
符号判断错
①a 的符号由开口方向判断错误；②b 的符号与对称轴位置判断错误；③c 的符号由与y 轴交点判断错误；
④组合式（如a+b+c）符号误判。
1．（2026·安徽阜阳·一模）已知二次函数
的图象如图所示，对于这个函数有下列
四个结论：①
；②
；③
；④
．则结论正确的有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向和对称轴可判断①和②，当
时，
，判断③，利用
判断④，
即可得出结论．
【详解】解：
抛物线开口向下，
，
抛物线与x 轴交点为
，
∴抛物线对称轴为
，
，
，
∴
，故②正确，
，
故①正确；
由图象得，当
时，
，
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，故③正确，
∵
，
∴
故④错误；
综上所述，正确的是①②③，有3 个．
2．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数
的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一
次函数
与反比例函数
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象得到
，再判断一次函数
与反比例函数
在同一平
面直角坐标系中的图象即可．
【详解】解：
二次函数
的图象开口向下，
，
对称轴在
轴右侧，
，
，
抛物线与
轴的交点在
轴的正半轴，
；
一次函数
经过第一、二、四象限，
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反比例函数
图象在第一、三象限；
只有C 选项同时符合两个函数的位置特点．
易错题型
17
二次函数最值含范围讨论遗漏
①忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值；②区间端点与顶点的大小关系讨论不全；③开口方
向判断错误导致最值搞反。
1．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数
，当
时，函数的最大值为4，则m 的
值为______．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，分3 种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：∵
，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线
，
∴当
时，
随着
的增大而增大，当
时，
随着
的增大而减小，
∵当
时，函数的最大值为4，
∴当
时，则当
时，函数有最大值为
，解得
（舍去）；
当
时，则当
时，函数有最大值为
，解得
（舍去）；
当
时，则当
时，函数有最大值为
，解得
或
（舍去）；
综上：
.
2．（2026·陕西西安·二模）已知二次函数
（a 为常数），当
时，y 有最大值
，最小值
，则m 的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和
最小值，分析函数在
时的增减性与最值取得的位置，进而确定
的取值范围．
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【详解】解：二次函数解析式为
，将其化为顶点式：
．
∵二次项系数
，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为
，当
时，函数取得最大值
．
∵
的最大值为
，
∴
必须在取值范围
内，即
．
抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
到对称轴
的距离为
．
函数的最小值为
，
将
代入解析式得
，
∴函数在
处取得最小值，
要保证
在
时的最小值，则需满足
，即
到对称轴
的距离不大于
到对称
轴的距离，
∴
，
解得
，
综上，
的取值范围为
．
易错题型
18
动点函数图象拐点、分段分析不全
①拐点对应的动点位置判断错误；②不同阶段的函数解析式类型（一次/二次）判断错误；③漏写各段自
变量的取值范围。
1．（2026·浙江·模拟预测）为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展
板布置：如图，固定展板
（顶点
、
在直线展台
上）与移动展板
（顶点
、
在直
线展台
上），移动展板可沿
平移．设固定展板顶点
与移动展板顶点
的距离为
（单位：
）
（
），两个展板重叠部分的面积为
（单位：
），
关于
的函数图像如图
所示．下列选项
正确的是（）
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A．正方形的对角线长为
B．当
时，重叠面积
C．当
时，重叠面积
D．函数图像的最高点的坐标为
【答案】B
【分析】由图及图
知：当
及
时，
，推出
，可判断A；当
时，此时点
为
的中点，如图，设
交
于点
，
交
于点
，得
，证明四边形
是正方形，
则重叠面积
，可判断B；当
时，如图，设
交
于点
，
交
于点，得
，四边形
是正方形，则重叠面积
，可判断C；由图及图
知：当
（即点
与点
重合）时，
取得最大值，则重叠面积
，可判断D。
【详解】解：∵四边形
与四边形
是两个相同的正方形，
与
是对角线，
∴
，
，
，
，
∴
，
由图及图
知：当
（即点
与点
重合）时，
，
当
（即
）时，
，
此时
，
∴
，故选项A 不正确；
∴
，
∴
，即正方形
与正方形
的边长为
，
当
时，此时点
为
的中点，如图，设
交
于点
，
交
于点
，
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∴
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∵
，
∴
，
∴四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∴重叠面积
，故选项B 正确；
当
时，如图，设
交
于点
，
交
于点，
∴
，四边形
是正方形，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∴重叠面积
，故选项C 不正确；
由图及图
知：当
（即点
与点
重合）时，
取得最大值，
此时正方形
与正方形
重合，
∵正方形
的边长为
，
∴此时重叠面积
，
∴函数图像的最高点的坐标为
，故选项D 不正确。
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，
中，
，
，P，Q 两点同时从点A 出发，均以1 个
单位每秒的速度分别沿着
，
运动，则
的面积
与运动时间x 之间的函数图象是
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分三种情况讨论，①当
时，过点
作
，交
于点
，得到
，
，推出
，为二次函数；②当
时，过点
作
，交
于点
，
过点
作
，交
于点
，得到
，高为
，推出
，为一次函
数；③当
时，过点
作
，交
于点
，反向延长交
的延长线于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，得到
，
，
，
，
，根据
，得到
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，为二次函数．
【详解】解：①当
时，过点
作
，交
于点
，
∴
，
，
∴
，为二次函数；
②当
时，过点
作
，交
于点
，过点
作
，交
于点
，
∵
,
∴高为
，
∴
，为一次函数；
③当
时，如图所示，过点
作
，交
于点
，反向延长交
的延长线于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，
∵
中，
，
∴
，
∵
，
，
，
，
，
∴
，
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，
，
，
∴
，为二次函数，开口向下．
易错题型
19
等腰三角形分类讨论漏解
①未指明腰和底，漏分类讨论；②未指明顶角和底角，漏情况；③三边关系验证遗漏，导致无效解。
1．（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为
和，第三边长是方程
的解，则这个
三角形的周长是（）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】D
【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后
计算周长得到结果．
【详解】解：解方程
，
因式分解得
，
解得
或
，
∵三角形两边长为4 和8，
根据三角形三边关系，得第三边满足
，
即
，
∴
不符合三边关系，舍去；
符合要求，
∴三角形的周长为
．
2（2026·江苏南京·一模）等腰
的周长是
，腰长
，则底边
_____
．
【答案】2
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，理解等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
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根据等腰三角形的定义和周长公式即可求解．
【详解】解：∵等腰
的周长是
，腰长
，
∴底边
．
此时等腰
的三边长为
、
、
，满足三角形三边关系，符合题意；
∴
．
故答案为：2．
3．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）锐角等腰三角形腰上的高与另一个腰的夹角为
，则这个等腰
三角形的底角为______．
【答案】
/70 度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先画出图形，再根据等腰三角形的性质，一腰上的高与另一腰的夹角为
，通过直角三角形求出顶角，
再利用三角形内角和定理求底角即可．
【详解】解：如图，在锐角等腰三角形
中，
，从点B 作
于点D，则
，
在
中，
，
∴
．
∵
，
∴
．
故答案为：
．
易错题型
20
全等
/ 相似
三角形判定条件误用
①全等判定误用SSA、AAA；②相似判定条件混淆；③找错对应边、对应角，导致比例式列错。
1．（2026·河北张家口·一模）如图，已知
，
，添加下列一个条件后，仍无法
判定
的是（）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可.
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
可以判定
；
当
时，则
，
可以判定
；
当
时，
可以判定
；
当
时，
无法判定
.
2．（25-26 九年级上·福建漳州·期末）如图，下列条件不能判定
的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据各选项条件及相似三角形的判定定理逐一判定即可．
【详解】解：A、
，
，
，故本选项不符合题意；
B、
，
，
，故本选项不符合题意；
C、
，
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∴
，
又
，
，故本选项不符合题意；
D、
，
与
的大小无法判定，
无法判定
，故本选项符合题意．
易错题型
21
特殊四边形综合判定
①矩形、菱形、正方形的判定条件混淆；②判定定理使用不完整（如只证平行，未证特殊条件）；③反例
举错，误判命题真假。
1．（2026·安徽亳州·一模）如图，点D 是
的边
的中点，按下列方法尺规作图：先以点D 为角
的顶点，以
所在射线为角的一边，在
的右侧作
，然后在射线
上截取
，
最后连接
．根据以上条件和作法，下列判断不正确的是（）
A．若
，则四边形
是菱形
B．若四边形
是菱形，则
是直角三角形
C．若
，则四边形
是矩形
D．若
是直角三角形，则四边形
是正方形
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．先根据作图过程，证明四边形
是平行四边形，又因为点D 是
的边
的中点，证明四边形
是平行四边形，然后结合每个选项的条件进行分析，即可作答．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
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∴
，
∵点D 是
的边
的中点，
∴
∴
∵
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
∴四边形
是菱形，
故A 选项正确，不符合题意；
∵四边形
是菱形，
∴
∵
，
∴
，
∴
，
则
是直角三角形,
故B 选项正确，不符合题意；
∵
，
，
∴
，
∵四边形
是平行四边形，
∴四边形
是矩形，
故C 选项正确，不符合题意；
∵
是直角三角形，
∴当
时，
∵
∴
此时
，
则四边形
不是正方形，
或当
时，
此时
，
则四边形
不是正方形，
或当
时，
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∵
，
∴
，
但
不一定相等，
则四边形
不是正方形，
故D 选项不正确，符合题意；
2．（2026·湖北襄阳·一模）如图，两个含有
角且完全相同的三角板
和三角板
，沿直线
滑动，下列说法错误的是（）
A．四边形
是平行四边形
B．当点
与点
重合时，四边形
是菱形
C．四边形
不可能是正方形
D．当点
为
中点时，四边形
是矩形
【答案】D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：
，
，
，
四边形
是平行四边形，
选项A 正确；
四边形
是平行四边形，
、
重合时，
垂直平分
，
∴
，
四边形
是菱形，
选项B 正确；
当四边相等时，
，
，
四边形
不可能是正方形，
选项C 正确．
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当
是
中点时，无法证明
，
选项D 错误．
易错题型
22
直角三角形边角关系陷阱题
①未指明直角顶点，漏分类讨论；②勾股定理应用时，未分清斜边与直角边；③三角函数定义中对边、邻
边混淆。
1．（2026·湖北襄阳·一模）在
中，
所对的边分别为
、
、．下列所给数据中，
不能判定
是直角三角形的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、因为
，
，故
不是直角三角形；
B、因为
，所以
是直角三角形；
C、因为
，且
，
所以
，解得
，故
是直角三角形；
D、因为
，
所以设
，
，
，且
，
故
是直角三角形．
2．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，点
、
、
在边长为1 的正方形网格格点上，则下列结论不正
确的是（）
A．
是直角三角形
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】此题考查解直角三角形．根据勾股定理得出
，
，
的长，进而利用勾股定理的逆定理得
出
是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可．
【详解】解：由勾股定理得：
，
，
，
，
∴
是直角三角形，
，
∴
，
，
，
观察四个选项，选项C 符合题意，
故选：C．
易错题型
23
相似三角形与动点问题
①动点运动过程中相似对应关系不唯一，漏解；②未结合动点的位置限制讨论；③相似比与线段长度计算
错误。
1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，
，
的顶点A，B 分别在射线
和射线
上，点
C 与点O 在
的同侧，D 为
边的中点，
，
．若
与
相似时，则
的长
_____．
【答案】
或
【分析】根据等腰三角形的性质求出
的长，确定
为直角三角形，由
可知
为
直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例，分
和
两种情况讨论求解即可．
【详解】解：
，
为
边的中点，
，
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，
，
在
中，
，
，
，
若
与
相似，分两种情况：
当
时，
，即
，解得
；
当
时，
，即
，解得
；
综上所述，
的长为
或
．
2．（23-24 八年级上·四川南充·月考）如图，在
中，
，
，
，
点
为
的中点，如果点
在线段
上以
的速度由
点向
点运动，同时，点
在线段
上由
点向
点运动．若在某一时刻能使
与
全等．则点
的运动速度为（）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，设点P、Q 的运动时间为
，分别表示出
，再根据全等三角形对应边相等，分
和
两种情况讨论求
解即可．
【详解】解：
，点D 为
的中点，
，
，
设点P、Q 的运动时间为
，
，
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，
当
时．则有：
，
，
，
解得：
，
，
故点Q 的运动速度为：
；
当
时，则
，
，
，
，
．
故点Q 的运动速度为
．
所以，点
的运动速度为
或
，
故选：D．
易错题型
24
计算菱形的面积
①混淆菱形面积公式（底×高vs 对角线乘积的一半）；②对角线计算错误；③与菱形周长、边长混淆。
1．（2026·四川绵阳·二模）如图，菱形
中，
，
，则菱形
的面积是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】连接
交
于点
，根据菱形的性质求出
，进而得到
，利用面积公式求解即可.
【详解】解：连接
交
于点
，
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∵菱形
中
，
，
∴
，
∴
，
∴
.
2．（25-26 八年级下·重庆·月考）如图，四边形
是菱形，
于
，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
与
交于点
，根据菱形的性质可得
，
，
，利用勾股定理
求出
的长，再根据菱形的面积公式
即可求出
的长．
【详解】解：设
与
交于点
，
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
在
中，
，
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，
，
．
易错题型
25
平行线分线段成比例误用
①未在平行条件下乱用比例式；②线段对应关系找错，导致比例式列反；③混淆平行线分线段成比例定理
与相似。
1．（2026·上海黄浦·一模）如图，
、
是
边
、
上的两点，在下列条件中，能够判定
的是（）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）
所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【详解】A．
，
，故不能得到
，故本选项不合题意；
B．
，
，故不能得到
，故本选项不合题意；
C．
，
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，故不能得到
，故本选项不合题意；
D．
，能得到
，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（25-26 九年级上·安徽合肥·期中）如图，B，F，C 三点共线，
与
交于点
，
若
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段性质得，
，然后由相似三角形的性质即可求解
，由平行线之间距离性质得
，
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
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∴
．
∴
．
．
故选：B．
易错题型
26
相似三角形周长与面积比混淆
①面积比等于相似比的平方，易直接用相似比；②周长比、对应线段比与相似比的关系记混；③多步相似
时比例传递错误。
1．（2026·河北石家庄·一模）如图
与
是位似图形，位似中心为
，
，下列
结论不正确的有（）
A．
与
的相似比为
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比求出相似比，再结合相似三角形的性质逐一判断即
可求解．
【详解】解：
与
是位似图形，位似中心为
，
，
，且相似比
，故选项
正确，不符合题意；
与
位似，
，
，
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，故选项
正确，不符合题意；
，相似比为
，
，故选项
正确，不符合题意；
，
，故选项
错误，符合题意．
2．（2026·内蒙古包头·一模）如图，在点光源O 的照射下，一块面积为
的三角形硬纸板（记为
）平行于投影面时，形成的投影是
．若
，则
的面积是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由中心投影可知
与
是位似图形，进而根据位似图形的性质求解即可．
【详解】解：由中心投影可知，
与
是位似图形，
∵
，
∴
∴
与
的位似比为
，
∴
，
∴
．
易错题型
27
特殊角三角函数值记忆错误
①30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值记混；②互余角的三角函数关系误用；③三角函数的增减性记
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错。
1．（2026·天津·一模）
的值等于（）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】解：
．
2．（2026·河南许昌·一模）若规定
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据规定，
，利用特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
．
易错题型
28
无图几何题，多解分类讨论不全
①未根据题意画出所有可能的图形；②漏考虑点的位置、图形的不同构造方式；③多解情况的结果验证遗
漏。
1．（2026·辽宁沈阳·一模）在
中，
，
，
，点D 是边
的中点，
点E 是边
上一点，作点C 关于直线
的对称点F，点F 与点E 在直线
的同侧．当
时，在
平面内找点G，使以A，D，F，G 为顶点的四边形为平行四边形，则
的长为________．
【答案】
或10
【分析】先利用直角三角形的性质求出
各边长，结合轴对称性质得到
的长度，再根据
确定各点坐标，最后分情况根据平行四边形对角线互相平分的性质计算
的长度．
【详解】解：如图，过点F 作
于点H，
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在
中，
，
，
，
，
由勾股定理得
，
点
是
的中点，
，
点
和点
关于直线
对称，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
，
如图，以点B 为坐标原点，
所在的直线为x 轴，
所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则
，
，
，
，
，
设点G 的坐标为
，
分三种情况讨论：
若
为平行四边形的对角线，
，解得
，
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∴
，
∴
；
若
为平行四边形的对角线，
，解得
，
∴
，
∴
；
若
为平行四边形的对角线，可得
，解得
，
∴
，
∴
；
综上所述，
的长为
或10．
2．（2026·江西吉安·一模）已知点A，B，C 分别在从上往下相互平行的直线，
，
上，与
之间
的距离是1，
与
之间的距离是2．若
是等腰直角三角形，则它的面积是________．
【答案】
或或
【分析】分情况讨论：如图，由题意可得：
，
，过
作
于
，交于
，证
明
，当
，
，
，过
作
于
，过
作
于
，同理证明
，当
，
，
，过
作
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于
，过
作
于
，同理证明
，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，由题意可得：当
，
，
，过
作
于
，
交于
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
的面积是
．
当
，
，
，过
作
于
，过
作
于
，
同理可得：
，
∴
，
，
∴
，
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∴
，
当
，
，
，过
作
于
，过
作
于
，
同理可得：
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
综上：
的面积为
或或
．
3．（2026·黑龙江·一模）如图，
中，
，
，
，
为
的中点，
为
的边上一动点，把
翻折得到
，若
与
的直角边平行，则
的长为______．
【答案】或
【分析】先在
中，由已知角度和边长求出
及
，再依据翻折性质得到
等关键等量关系；随后分
两种
情况，利用平行线性质、等腰三角形判定及解直角三角形的知识，分别推导出两种情况下
的长度，最
终综合得
的长为或
．
【详解】解：∵在
中，
，
，
，
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∴
，
，
∵
为
的中点，
∴
由翻折性质得：
分两种情况讨论：
当
时
∵
，内错角相等得
，
结合翻折性质
，
∴
，由等腰三角形等角对等边得
，
当
时，延长
交
于点
，
∵
，
∴
，
由翻折得
，
∴在
中，
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
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∴
，
综上，
的长为或
．
易错题型
29
弧、弦、圆心角、圆周角关系混淆
①未强调“同圆或等圆”的前提，乱用关系；②弧、弦、圆心角的对应关系搞错；③圆周角与圆心角的倍
数关系漏写。
1．（2026·四川成都·一模）如图，
是
的直径，点C，D 在
上，
，已知
，
则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由弧弦关系得
,由等腰三角形性质得
，由直径性质得
，由直角三角形性质得
，即得答案．
【详解】解：∵点C，D 在
上，
，
∴
，
∵
，
∴
,
∵
是
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
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∴
．
2．（2025·四川广元·一模）如图，在
中，
下列结论不正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定，
根据“弧，弦，圆心角”的关系得
，即可说明A，C；再证明
解
答D 即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，则A 正确，C 正确；
∵
，
∴
，
∴
，则D 正确．
不一定相等，则B 不正确
故选：B．
易错题型
30
圆周角定理分类讨论漏解
①一条弦所对的圆周角有两种情况（同侧/异侧），漏解；②直径所对的圆周角是直角，忽略逆用；③圆
周角定理推论应用错误。
1．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为
的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边
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的边长为
，点
在以
为圆心，
为半径的优弧上，若
为“反直角三角形”，则
___________．
【答案】a 或
【分析】分两种情况，根据“反直角三角形”定义和圆周角定理、等边三角形的性质、锐角三角函数进行
解答即可．
【详解】解：如图，
∵等边
的边长为
，
∴
，
∴
，
∵
为“反直角三角形”，
∴
，
∴
，
∴
当点
落在点
上时，
，
∵
为“反直角三角形”，
∴
，
∴
，
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∴
作
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
综上可知，
或
．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）
是
的内接三角形，连接
，若
，则
的度数为___．
【答案】
或
【分析】分两种情况讨论，当
为锐角三角形时，利用圆周角定理求解；当
为钝角三角形时，
利用圆内接四边形的性质即可计算出结果．
【详解】解：当
为锐角三角形时，
；
当
为钝角三角形时，如图中
，
；
综上，
的度数为
或
．
3．（23-24 九年级上·黑龙江佳木斯·月考）直线
与
相切于点B，C 是
与线段
的交点，D 是
上的动点（点D 与B，C 不重合），若
，则
的度数为_____________．
【答案】
或
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题关键．
根据切线的性质，连接
，得
，结合
，可求
．分点D 在优弧
和劣
弧
两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解．
【详解】解：如图，连接
，
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∵直线
与
相切于点B，
∴
，
∵
，
∴
，
当点D 在优弧
上时，
为圆周角，所对弧为
，圆心角为
，故
；
当点D 在劣弧
上时，
与优弧
上的圆周角互补，即
．
故答案为：
或
．
易错题型
31
弧长、扇形面积公式混淆错用
①弧长公式与扇形面积公式记混；②圆心角的单位未用弧度导致计算错误；③圆锥侧面积与扇形面积关系
混淆。
1．（2026·吉林·一模）如图，在
中，
，
，
．将
绕点A 逆
时针旋转
得到
，使点
恰好落在线段
的延长线上，在旋转过程中，点B 所经
过路径的长度为_____________（结果保留
）．
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【答案】
【分析】根据题意得到
，证明
是等腰三角形，求出
，利用弧长公式进行计
算即可．
【详解】解：
，
，
，
由旋转的性质可得
，
是等腰三角形，
，
，
点B 所经过路径的长度
．
2．（2026·河南·一模）如图，等腰直角三角形
中，
，
，以
为直径的
切
于点A，交
于点D，则图中阴影部分的面积为______
【答案】
【分析】连接
，推导出
是等腰直角三角形，且
，得到
，再求出扇形
的面积与
的面积，即可解答．
【详解】解：连接
，如图
∵
∴
是等腰直角三角形，且
，
∴
，
∴
，
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∵
，
扇形
的面积为
，
的面积为
∴
．
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形的面积为
，半径是
，则此扇形的圆心角度数为
______．
【答案】
/60 度
【详解】解：设此扇形的圆心角度数为
，根据扇形面积公式
，
将
，
代入公式得：
解得
．
易错题型
32
阴影部分不规则面积求解易错
①割补法应用错误；②未正确转化为规则图形的和差；③计算过程中重复或遗漏部分面积。
1．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点
，
，
都在格点上，以点
为圆心，
的长为半径画弧，交
于点
，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】连接
，根据勾股定理求出
，
，
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，得到
，
，
，推出
是等腰直角三角形，
，得到
，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
，
由题意得，
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
，
∴
，
∴
．
2．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形
中，
，点
为
的三等分点，连接
，过点
作
交
于点
．连接
．则阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】根据点
为
的三等分点得，
，
，根据
得，
，
进而根据直角三角形
三角函数值计算
，进而得出
，根据勾股定理计算
，在
中，结
合
三角函数值解直角三角形得
，再由
，计算即可．
【详解】解：如图所示，
、
交于点
，
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在扇形
中，
，点
为
的三等分点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
故答案为：
．
3．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一
个底面半径
为
，高
为
的圆锥体，那么这个扇形的面积是________
．
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【答案】
【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积．
【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角
，
则
，
∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长，
则
，
∴
，
解得：
，
则
．
易错题型
33
总体、个体、样本、样本容量概念混淆
①混淆调查对象的总体与个体；②样本容量带单位；③抽样调查与普查的适用场景判断错误。
1．（2026·湖南株洲·一模）某市为了解40000 名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000 名学生
的身高进行统计分析，下列说法正确的是（）
A．40000 名初中毕业生是总体
B．每名初中毕业生是个体
C．2000 名学生是样本容量
D．本次调查属于抽样调查
【答案】D
【分析】根据统计中总体、个体、样本容量、抽样调查的相关概念判断选项即可．
【详解】解：∵本次调查的对象是初中毕业生的身高，不是初中毕业生本身，
∴总体是40000 名初中毕业生的身高，不是40000 名初中毕业生，A 错误；
个体是每名初中毕业生的身高，不是每名初中毕业生，B 错误；
∵样本容量是样本中包含的个体的数目，是一个数字，
∴样本容量是2000，不是2000 名学生，C 错误；
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本次调查是从总体中随机抽取部分学生进行分析，属于抽样调查，D 正确．
2．（2026·重庆·一模）磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的
名游客随机
抽取
名游客进行调查，下列说法正确的是（）
A．该调查方式是全面调查
B．样本容量是
C．
名游客是总体的一个样本
D．
名游客是总体
【答案】B
【分析】根据全面调查、总体、样本、样本容量的定义，逐一判断选项正误．
【详解】解：
该调查仅从全体游客中抽取部分游客进行调查，没有调查所有对象，
该调查方式是抽样调查，A 错误；
样本容量是样本中包含的个体数目，本题抽取了
名游客，
样本容量是
，B 正确；
为了了解游客对特色小吃的喜爱程度，
总体是
名游客对特色小吃的喜爱程度，样本是抽取的
名游客对特色小吃的喜爱程度，不是游客
本身，C、D 错误．
易错题型
34
加权平均数权重遗漏计算错误
①未考虑各数据的权重；②权重计算错误；③算术平均数与加权平均数混淆。
1．（2026·河北石家庄·一模）“这么近，那么美，周末到河北”．某校组织了“古韵今传·最美河
北”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分
分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言
表达”、“演讲技巧”三项得分分别是
分，
分，
分，则嘉嘉的最终得分为（）
A．
分
B．
分
C．
分
D．
分
【答案】C
【分析】根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解．
【详解】解：嘉嘉的最终得分
（分）．
易错题型
35
条形、折线、扇形统计图信息提取错误
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①扇形统计图圆心角与百分比的关系计算错误；②条形图的刻度看错；③折线图的变化趋势判断错误。
1．（2026·浙江·一模）图1 是某品牌手机2025 年9 到12 月四个月的总销量统计图，图2 是该品牌的A
型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025 年9 到12 月销售情况分析错误的是（）．
A．该品牌手机9 到12 月共销售手机500 万台
B．10 月A 型号手机销售了20 万台
C．四个月A 型号手机的销量逐月增高
D．四个月中12 月份A 型号手机的销量最高
【答案】C
【分析】结合两个统计图的信息，逐项判断即可．
【详解】解：对于选项A：9 到12 月共销售手机：
（万台），故A 正确；
对于选项B：10 月A 型号手机销售：
（万台），故B 正确；
对于选项C：9 月A 型号手机销量：
（万台），11 月A 型号手机销量：
（万台），
12 月A 型号手机销量：
（万台），
∵
，
∴A 型号手机11 月份的销量低于10 月份，故C 错误；
对于选项D：∵
，
∴四个月中，12 月份A 型号手机的销量最高，故D 正确．
2．（2026·云南昆明·一模）某学校图书室将要采购一批图书，现以“我最喜欢的书籍”为主题，对全
校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A：科普，B：文学，C：艺术，D：生物科学，E：其
他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示，注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽
样调查的学生选择且只选择一种喜欢的书籍．
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则下列说法错误的是（）
A．此次调查共抽查了100 名学生
B．类型B 所占百分比为15%
C．类型C 的人数为24 人
D．类型D 所对应的扇形的圆心角为56.7°
【答案】D
【分析】根据A 类型的条形统计图和扇形统计图信息可判断选项A；利用Ｂ类型所在百分比除以样本总人
数即可判断选项Ｂ；利用总人数减其他类型人数即可判断Ｃ；利用
乘以类型D 的百分比即可判断选项
D．
【详解】解：根据题意，喜爱的书籍类型A 有
人，占
，
此次调查共抽查了
人，故A 正确，不符合题意；
类型B 所占百分比为
，故B 正确，不符合题意；
类型C 的人数为
人，故C 正确，不符合题意；
类型D 所占百分比为
，圆心角为
，故D 错误，符合题意．
3．（2026·广东深圳·二模）甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，
则下列结论中错误的是（）
A．乙的成绩的方差比甲的小
B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好
C．乙的后三次测试成绩都比甲高
D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高
【答案】A
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【分析】根据方差的运算方法结合题干图逐一判断即可．
【详解】解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9，
则总成绩为：
，平均数为：
，方差为：
，
乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10，
则总成绩为：
，平均数为：
，方差为：
，
∴该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高，故D 选项正确；
∵
，
∴乙的成绩的方差比甲的大，故A 选项错误；
由图可知，乙的最好成绩为10 个，比甲的最好成绩9 个好，故B 选项正确；
由图可知，乙的后三次测试成绩都比甲高，故C 选项正确．
易错题型
36
放回与不放回模型混淆易错
①概率计算时，放回与不放回的总情况数搞错；②树状图/列表法列举不全；③混淆独立事件与互斥事件。
1．（2026·辽宁铁岭·二模）不透明的袋子中装有红、白小球各2 个，小球除颜色外无其他差别．从中随
机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到球的颜色不同的概率是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用列表法或树状图法找出所有等可能的结果，再得到两次摸球颜色不同的结果数，最后根据概
率公式计算．
【详解】解：记两个红球为红1，红2，两个白球为白1，白2，画树状图为：
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由图可得，共有16 种等可能的结果，其中两次摸球颜色不同的结果共有8 种，
∴两次摸到球颜色不同的概率为
．
2．（2026·山西吕梁·一模）从“中国戏曲之乡”到“民间工艺宝库”，山西非遗以最厚重的底蕴，呈
现着最生动的传承．小慧将下面四张非遗图片背面朝上放在桌面上（图片背面完全相同），从中随机抽取
一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率是
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将图片“绛州鼓乐”、“天塔舞狮”、“孝义皮影”、“平遥推光漆器”分别记为
，
根据题意列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将图片“绛州鼓乐”、“天塔舞狮”、“孝义皮影”、“平遥推光漆器”分别记为
，
列表如下：
A
B
C
D
A
B
C
D
由表格可知，共有12 种等可能的情况，其中两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的情况有2 种，
则两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率为
．
