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分层作业
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
目 录
A 组 巩固过关
题型01 识别三角形的高
题型02 与三角形的高有关的计算问题
题型03 中线分线段问题
题型04 中线分周长问题
题型05 中线平分面积问题
题型06 与角平分线有关的计算问题
题型07 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题
题型08 三角形中线、角平分线、高线综合问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
识别三角形的高
1. △𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上高的作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.如图，∠𝐸= ∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，以下说法不正确的是（）
题型01
A．𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高
B．𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐸的边𝐴𝐶上的高
C．𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐹的边𝐵𝐹上的高
D．𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的高
与三角形的高有关的计算问题
3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 7，𝐴𝐸为𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸= 6，P 为𝐴𝐵上一动点，则𝑃𝐶的最小值为
（ ）
A．
21
4
B．
28
3
C．
48
7
D．7
4. 已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐵𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐴𝐷= 10°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ）
A．70°
B．50°
C．70°或50°
D．70°或30°
5.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，若𝐵𝐷= 5，𝐶𝐷= 3，则𝐵𝐶的长为________．
中线分线段问题
6.如图所示，已知点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的重心，连接𝐵𝐷并延长，交𝐴𝐶于点𝐸，若𝐴𝐸= 4，则𝐴𝐶的长度为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
7.已知△𝐴𝐵𝐶三边𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 7，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线．
题型02
题型03
(1)若𝐵𝐶= 6，求𝐵𝐷的长度．
(2)求𝐵𝐷的取值范围；
中线分周长问题
8.(1)如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，若△𝐴𝐶𝐷的周长为18，则△𝐴𝐵𝐷的周长为_________．
(2) 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，△𝐴𝐵𝐷的周长是22cm，△𝐴𝐶𝐷的周长是18cm，𝐴𝐵= 6cm，
则𝐴𝐶= ______cm．
9.已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长分别是17和15，△𝐴𝐵𝐶的周长是22，则𝐴𝐷的长为
______．
中线平分面积问题
10.如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，若△𝐴𝐵𝐶的面积为24，则△𝐴𝐵𝐸的面积为（ ）
A．12
B．8
C．6
D．4
11.如图，△𝐴𝐵𝐶的中线𝐵𝐷、𝐶𝐸相交于点F，若△𝐴𝐵𝐶的面积等于12，则△𝐵𝐸𝐹的面积等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
与角平分线有关的计算问题
12.如图，𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐷= 38°，则∠𝐶的度数是（ ）
题型04
题型05
题型06
A．16°
B．30°
C．38°
D．76°
13.如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，点D 是𝐴𝐵上一点，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐶于点E，点F 是𝐵𝐶
上一点，连接𝐸𝐹，且∠1 = ∠𝐶．求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐸𝐹．
三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题
14.下列说法中，正确的有（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；
③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
15.下列叙述正确的个数是（ ）
①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条
角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点．
A．1
B．2
C．3
D．4
题型07
三角形中线、角平分线、高线综合问题
16.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷,𝐴𝐸分别是边𝐶𝐵上的中线和高．𝐴𝐸= 6cm，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 12cm2，则𝐵𝐶的长是（ ）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
17 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，若∠𝐷𝐴𝐸= 15°，∠𝐶= 65°，求∠𝐵的度数．
1． 如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线，𝐶𝐹为△𝐵𝐶𝐸的中线，若图中阴影部分的面积为2，
则△𝐴𝐵𝐶的面积为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
2.如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷,𝐶𝐸分别是这个三角形的两条高，𝐴𝐵= 5,𝐵𝐶= 4，𝐴𝐷+ 𝐶𝐸= 6.3，则三角形𝐴𝐵𝐶
题型08
的面积等于（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
3.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 24,𝐴𝐶= 7,𝐵𝐶= 25,𝐷是𝐴𝐵的中点，𝑃,𝑄分别是𝐵𝐶,𝐷𝐶上的动点，则𝐴𝑄+ 𝑄𝑃
的最小值是__________．
4.如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线．若△𝐴𝐵𝐶的面积为130，𝐵𝐷= 5，则△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上
的高为______．
5 如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶的中点，𝐵𝐶= 8，E 是𝐴𝐶上的一点，且𝐶𝐸= 2𝐴𝐸，𝐵𝐸与𝐴𝐷相交于点F，
若△𝐴𝐸𝐹的面积为3，则𝐴𝐷的最小值为___．
6.如图，已知△𝐴𝐵𝐶的周长为35，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 3
2𝐴𝐶．
(1)当𝐴𝐶= 10时，求𝐵𝐷的长．
(2)𝐴𝐶能否等于12？为什么？
7.已知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷把三角形的周长分为15 和6 两部分，求腰长𝐴𝐵．
8. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐵> 𝐵𝐶)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成50 和35 两部分，求𝐴𝐶
和𝐴𝐵的长．
1．【综合运用】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷,𝐸分别是𝐵𝐶,𝐴𝐵边上的中点，连接𝐴𝐷,𝐷𝐸，点F 在𝐴𝐷上，满足
𝐷𝐹= 2𝐴𝐹，连接𝐸𝐹,𝐶𝐹，若△𝐴𝐵𝐶的面积是12，则图中四边形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积是（ ）
A．4
B．
9
2
C．6
D．8
2.【转化思想】如下图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂．若△𝐴𝐵𝐶的面积为8，△𝐵𝑂𝐶
的面积为5，则△𝐶𝑂𝐷的面积为_____________．
3．【动点问题】如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 5，点𝑃是𝐴𝐵边上一动点（点𝑃可以与点
𝐴，𝐵重合），且
60
13 ≤𝐶𝑃≤12，若点𝑀，𝑁分别是𝐴𝑃，𝑃𝐵的中点，则𝑀𝑁的长度为______．
4．【分类讨论】△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 80°，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸 是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，若∠𝐷𝐴𝐸= 10°，则
∠𝐵𝐴𝐷为 _______度．
5．【综合实践】
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我
们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1 中，如果取一块质地均匀的三
角形纸板，用一根细线绳从重心𝑂处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【相关素材】
在图2 中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐵𝐷等底等高，面积相等，记作：𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷．
在图3 中，若△𝐴𝐵𝐶三条中线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹交于点𝐺，则𝐺𝐷是△𝐺𝐵𝐶的中线，利用上述结论可得：𝑆△𝐺𝐶𝐷=
𝑆△𝐺𝐵𝐷，同理𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐺𝐴𝐹，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸．
【解决问题】
(1)在图3 中，若设𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑥，𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑧，证明：𝑥= 𝑦= 𝑧．
(2)利用（1）中的结论，证明：𝐵𝐺:𝐺𝐸= 2:1．
(3)图4 中，𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，点𝐷、𝐸在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝐺，𝐵𝐸= 10，𝐶𝐷= 9，
𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，求△𝐵𝐺𝐷的面积．
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是中线，𝐴𝐷= 4，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，则𝐵𝐸的长
为（ ）
A．1.5
B．3
C．4
D．6
2.（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐸是中线𝐴𝐷的中点．若△𝐴𝐸𝐶的面积是1，则△𝐴𝐵𝐷的
面积是______．
3.（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D 和点E，AD 与CE 交
于点O，连接BO 并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF 值为____________．
