文档文本内容
分层作业
14.1 全等三角形及其性质
目 录
A 组 巩固过关
题型01 判断全等图形
题型02 全等图形概念辨析
题型03 全等图形的概念
题型04 利用全等三角形的性质解决问题
题型05 求阴影面积问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
判断全等图形
1． 下列图形是全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】图形的全等
【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判
断．
【详解】解：选项A、C、D 中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B 中的两个图形可以重
题型01
合，是全等图形；
故选：B．
2．如图，七巧板中有5个等腰直角三角形（①~⑤），其中与三角形③全等的是（ ）
A．⑤
B．④
C．②
D．①
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】全等三角形的概念
【详解】解：与三角形③全等的是④．
全等图形概念辨析
3.下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形一定全等
B．周长相等的两个图形是全等图形
C．两个正方形一定是全等图形
D．两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】图形的全等
【详解】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同．
∵形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，∴A 错误；
∵周长相等的两个图形形状和大小不一定都相同，不一定能完全重合，∴B 错误；
∵两个正方形的边长不一定相等，大小不一定相同，不一定能完全重合，∴C 错误；
∵全等图形能完全重合，∴两个全等图形的面积一定相等，D 正确．
4.下列命题是真命题的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．周长相等的两个三角形全等
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】全等三角形的概念、判断命题真假
题型02
【分析】本题考查了三角形全等的定义，熟练掌握三角形全等的定义是解题的关键．全等三角形是指能够
完全重合的三角形，因此选项C 正确，其他选项均不能保证三角形全等．
【详解】解：对于A，形状相同的三角形的对应角相等，但对应边不一定相等，故不一定全等，不符合题意；
对于B，面积相等的三角形底和高可能不同，故不一定全等，不符合题意；
对于C，因为两个三角形全等的定义是它们能够完全重合，所以选项C 是真命题，符合题意；
对于D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意．
故选：C．
全等三角形的概念
5.如图，已知∠1 = ∠2，∠𝐵= ∠𝐷，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐴𝐷全等，则下列表示正确的是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷
B．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐷
C．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐴
D．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】全等三角形的概念
【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出
对应点，即可解题．
【详解】解：∵ ∠1 = ∠2，
∴ 𝐸与𝐶相对应，
∵ ∠𝐵= ∠𝐷，
∴ 𝐵与𝐷相对应，
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
故选：D．
6.如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，指出它们的对应顶点、对应边和对应角．
【答案】解：对应顶点：点A 与点C，点B 与点D，点C 与点A；
题型03
对应边：𝐴𝐵与𝐶𝐷，𝐵𝐶与𝐷𝐴，𝐴𝐶与𝐶𝐴；
对应角：∠𝐵与∠𝐷，∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐶𝐴，∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐶𝐴𝐷．
【难度】0.85
【知识点】全等三角形的概念
【详解】略．
利用全等三角形的性质解决问题
7. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷≌四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′，则∠𝐴的度数是 ______ °
【答案】95
【难度】0.85
【知识点】图形的全等
【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出∠𝐷的度数，进而根据四边形的内角
和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷≌四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′，
∴∠𝐷= ∠𝐷′ = 130°，
∴∠𝐴= 360° ― 130° ― 60° ― 75° = 95°
故答案为：95．
8. 如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐵𝐸= 2，𝐴𝐸= 1，则𝐷𝐸的长是 _______ ．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】全等三角形的性质
【详解】解：∵𝐵𝐸= 2，𝐴𝐸= 1，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 1 + 2 = 3
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
题型04
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐵= 3
9.如图，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐶𝐸，∠𝐵= 40°，∠𝐹= 22°．
(1)求∠1的度数；
(2)若𝐴𝐵= 30，𝐴𝐶= 18，求𝐶𝐷的长．
【答案】(1)62°
(2)6
【难度】0.76
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质
【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到∠𝐸= ∠𝐹= 22°，然后利用三角形外角的性质求解；
（2）首先求出𝐵𝐶= 𝐴𝐵― 𝐴𝐶= 30 ― 18 = 12，然后由全等三角形的性质得到𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 12，然后求解即
可．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐶𝐸，∠𝐹= 22°，
∴∠𝐸= ∠𝐹= 22°，
∴∠1 = ∠𝐸+ ∠𝐵= 22° + 40° = 62°；
（2）解：∵𝐴𝐵= 30，𝐴𝐶= 18，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵― 𝐴𝐶= 30 ― 18 = 12，
∵△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐶𝐸，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 12，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐶― 𝐴𝐷= 18 ― 12 = 6．
10.如图，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，且点𝐵，𝐷，𝐶在一条直线上，点𝐹在𝐴𝐷上，延长𝐶𝐹交𝐴𝐵于点𝐸．
(1)试说明：𝐶𝐸⊥𝐴𝐵．
(2)若𝐵𝐶= 7，𝐴𝐹= 1，求𝐵𝐷的长．
【答案】(1)
证明：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐹，
∵∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐶𝐷𝐹= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐹= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐶+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐸𝐵= 90°，
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐵；
(2)𝐵𝐷= 3
【难度】0.52
【知识点】全等三角形的性质
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐹，∠𝐴= ∠𝐶，再由等量代换即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得𝐵𝐷= 𝐷𝐹，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，得出𝐶𝐷― 𝐵𝐷= 1结合𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐵𝐶= 7即
可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，
∴𝐵𝐷= 𝐹𝐷，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐹= 1，即：𝐴𝐷― 𝐹𝐷= 1，
∴𝐶𝐷― 𝐵𝐷= 1，
又𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐵𝐶= 7，
∴𝐵𝐷= 3．
平移中的面积问题
11.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐶𝐵平移4个单位长度得到△𝐴′𝐵′𝐶′，𝐴′𝐶′
交𝐴𝐵于点𝐷，若𝐴′𝐷= 3，则四边形𝐴′𝐵′𝐵𝐷的面积是________．
【答案】
18
【难度】0.65
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】根据平移的性质得出𝑆四边形𝐴′𝐵′𝐵𝐷= 𝑆梯形𝐴𝐶𝐶′𝐷即可得到结论．
【详解】解：∵将△𝐴𝐵𝐶沿𝐶𝐵平移4个单位长度得到△𝐴′𝐵′𝐶′，
题型05
∴𝐶𝐶′ = 4， 𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶= 6，
∵𝐴′𝐷= 3，
∴𝐶′𝐷= 𝐴′𝐶′ ― 𝐴′𝐷= 3
∵𝑆四边形𝐴′𝐵′𝐵𝐷+ 𝑆△𝐶′𝐷𝐵= 𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′ = 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆梯形𝐴𝐶𝐶′𝐷+ 𝑆△𝐶′𝐷𝐵
∴𝑆四边形𝐴′𝐵′𝐵𝐷= 𝑆梯形𝐴𝐶𝐶′𝐷= 1
2(6 + 3) × 4 = 18.
12.如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，∠𝐶𝐴𝐸= 90°，连接𝐵𝐷，若𝐴𝐷= 5，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】12.5
【难度】0.73
【知识点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到
阴影面积等于△𝐴𝐵𝐷的面积，再利用面积公式即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐷= 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 5，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶― ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸― ∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∴𝑆阴影= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2𝐴𝐵⋅𝐴𝐷= 1
2 × 5 × 5 = 12.5
1.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；
④∠EAB＝∠FAC．其中正确的是( )
A．①②③④
B．②③④
C．①③④
D．①②③
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误，④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
2.如图，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，点𝐸为𝐶𝐴延长线上一点，连接𝐵𝐸，若△𝐴𝐵𝐸的周长为12，𝐵𝐸= 4，则线段𝐶𝐸的
长为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的性质得出𝐴𝐵= 𝐴𝐶，再根据三角形周长公式求出𝐴𝐵+ 𝐴𝐸的值，最后利用线段的
和差关系求出𝐶𝐸的长
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐷
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∵△𝐴𝐵𝐸的周长为12，𝐵𝐸= 4
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 12
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐸= 12 ― 4 = 8
∵点𝐸为𝐶𝐴延长线上一点
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐸
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐸= 8．
3.如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，点𝐶在𝐷𝐸边上，𝐶𝐷平分∠𝐵𝐶𝐴，𝐷𝐹与𝐵𝐶交于点𝐺．若∠𝐷= 30°，
∠𝐶𝐺𝐹= 88°，则∠𝐸的度数是__________
【答案】34°
【难度】0.64
【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、全等三角形的
性质
【分析】根据角平分线的定义得到∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 1
2∠𝐵𝐶𝐴，根据全等三角形的性质得到∠𝐷= ∠𝐴= 30°，
根据三角形的外角性质求出∠𝐵𝐶𝐷，再求出∠𝐵，然后利用全等三角形的性质求∠𝐸即可．
【详解】解：∵𝐶𝐷平分∠𝐵𝐶𝐴，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 1
2∠𝐵𝐶𝐴，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐷= ∠𝐴= 30°，
∵∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐶𝐺𝐹― ∠𝐷= 58°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= 116°，
∴∠𝐵= 180° ― 30° ― 116° = 34°，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐸= ∠𝐵= 34°．
4.如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐵𝐶延长线分别交𝐴𝐷，𝐷𝐸于点F，G，且∠𝐷𝐴𝐶= 10°，∠𝐵= ∠𝐷= 25°，
∠𝐸𝐴𝐵= 120°．求∠𝐷𝐹𝐵和∠𝐷𝐺𝐵的度数．
【答案】∠𝐷𝐹𝐵= 90°；∠𝐷𝐺𝐵= 65°
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形外角定理，三角形内角和定理．根据全等三角
形的性质得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，根据∠𝐷𝐹𝐵是△𝐴𝐵𝐹的一个外角以及是△𝐷𝐹𝐺的一个外角进行计算即可．
【详解】解：∵ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸．
∵∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐶= 10°，∠𝐸𝐴𝐵= 120°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 55°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶= 65°．
∵∠𝐷𝐹𝐵是△𝐴𝐵𝐹的一个外角，
∴∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐵𝐴𝐹+ ∠𝐵= 65° + 25° = 90°．
∵∠𝐷𝐹𝐵是△𝐷𝐹𝐺的一个外角，
∴∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐺𝐵，
∴∠𝐷𝐺𝐵= ∠𝐷𝐹𝐵― ∠𝐷= 90° ― 25° = 65°．
5.如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸是𝐴𝐷的中点，𝐹是𝐵𝐴延长线上的一点，𝐴𝐹= 𝐴𝐸，已知△𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐷𝐹．
(1)在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△𝐴𝐵𝐸变到△𝐴𝐷𝐹的位置；
(2)线段𝐵𝐸与𝐷𝐹有什么关系？证明你的结论．
【答案】(1)把△𝐴𝐵𝐸绕点𝐴逆时针旋转90∘可得到△𝐴𝐷𝐹；(2)𝐵𝐸= 𝐷𝐹，𝐵𝐸⊥𝐷𝐹．
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等
【分析】（1）根据旋转的概念得出；
（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．
【详解】(1)把△𝐴𝐵𝐸绕点𝐴逆时针旋转90∘可得到△𝐴𝐷𝐹；
(2)𝐵𝐸= 𝐷𝐹，𝐵𝐸⊥𝐷𝐹．理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐷𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹，
而∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐻，
∴∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐸𝐴𝐵= 90∘，
∴𝐵𝐸⊥𝐷𝐹．
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改
变．同时考查了正方形和直角三角形性质．
1．【方程思想】如图，𝛥𝐴𝐵𝐸和𝛥𝐴𝐷𝐶是𝛥𝐴𝐵𝐶分别沿着𝐴𝐵、𝐴𝐶边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3 = 28:5:3，
则∠𝛼的度数为（ ）．
A．80°
B．85°
C．90°
D．95°
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】先根据三角形的内角和定理易计算出∠1 = 140°，∠2 = 25°，∠3 = 15°，根据折叠的性质得到
∠1 = ∠𝐵𝐴𝐸= 140°，∠𝐸= ∠3 = 15°，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸= 15°，可计算出∠𝐸𝐴𝐶，然后根据
∠𝛼+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷，即可得到∠𝛼= ∠𝐸𝐴𝐶．
【详解】解：设∠3 = 3𝑥，则∠1 = 28𝑥，∠2 = 5𝑥，
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
∴28𝑥+ 5𝑥+ 3𝑥= 180°，
解得𝑥= 5°，
∴∠1 = 140°，∠2 = 25°，∠3 = 15°，
∵Δ𝐴𝐵𝐸是Δ𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐵边翻折180°形成的，
∴∠1 = ∠𝐵𝐴𝐸= 140°，∠𝐸= ∠3 = 15°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= 360° ― ∠𝐵𝐴𝐸― ∠𝐵𝐴𝐶= 360° ― 140° ― 140° = 80°，
又∵Δ𝐴𝐷𝐶是Δ𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐶边翻折180°形成的，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸= 15°，
而∠𝛼+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝛼= ∠𝐸𝐴𝐶= 80°．
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理以及周角的定义，解题的关键是掌握折叠前后两图
形全等，即对应角相等，对应线段相等．
2．
【分类讨论】已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，△𝐴𝐵𝐶的三边长度为4、𝑥+ 𝑦和2𝑥，△𝐷𝐸𝐹的三边长度为6、𝑥、𝑥+ 2𝑦，
则△𝐴𝐵𝐶的周长是____ ．
【答案】18
【难度】0.4
【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，
得到三角形三边长后计算周长即可．
【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的
解，得到三角形三边长后计算周长如下：
情况1：列方程组
𝑥= 4
6 = 𝑥+ 𝑦
𝑥+ 2𝑦= 2𝑥
，解得𝑥= 4
𝑦= 2
，
此时△ABC 的三边长为4，𝑥+ 𝑦= 6，2𝑥= 8，满足三角形三边关系，符合题意；
情况2：列方程组
𝑥= 4
2𝑥= 6
𝑥+ 2𝑦= 𝑥+ 𝑦
，由2𝑥= 6得𝑥= 3，与𝑥= 4矛盾，舍去；
情况3：列方程组
𝑥= 2𝑥
6 = 𝑥+ 𝑦
𝑥+ 2𝑦= 4
，
由𝑥= 2𝑥得𝑥= 0，边长不能为0，不符合题意，舍去；
情况4：列方程组
𝑥= 𝑥+ 𝑦
2𝑥= 6
𝑥+ 2𝑦= 4
，
由𝑥= 𝑥+ 𝑦得𝑦= 0，则𝑥+ 2𝑦= 𝑥= 4，此时2𝑥= 2 × 4 = 8，这与2𝑥= 6矛盾，舍去，
故△𝐴𝐵𝐶的周长为4 + 6 + 8 = 18．
3.【翻折问题】如图，一张△𝐴𝐵𝐶的纸片，P 在边𝐵𝐶上，将点A 折至点P 时，𝐵𝐷为折痕，其中点D 在边𝐴𝐶
上，若△𝐴𝐵𝐶的面积为100，△𝐷𝐵𝐶的面积为60，则𝐵𝑃:𝑃𝐶= ______ ．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、折叠问题
【分析】由图可得△𝐴𝐵𝐷的面积，根据折叠可得△𝐷𝐵𝑃的面积，进而求解△𝐷𝑃𝐶的面积，根据三角形的面
积公式即可解答．本题中，两个三角形的高相同，那么对应底边长的比等于面积的比．
【详解】过点D 作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点E，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 100，𝑆△𝐷𝐵𝐶= 60，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶― 𝑆△𝐷𝐵𝐶= 100 ― 60 = 40，
由折叠可得𝑆△𝐷𝐵𝑃= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 40，
∴𝑆△𝐷𝐶𝑃= 𝑆△𝐵𝐶𝐷― 𝑆△𝐷𝐵𝑃= 60 ― 40 = 20，
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐷𝐵𝑃
𝑆△𝐷𝑃𝐶=
1
2 𝐵𝑃⋅𝐷𝐸
1
2 𝑃𝐶⋅𝐷𝐸，
∴𝐵𝑃
𝑃𝐶= 𝑆△𝐷𝐵𝑃
𝑆△𝐷𝑃𝐶= 40
20 = 2．
故答案为：2
4．【动点问题】如图，直角坐标系中O 为原点，点A、B 的坐标分别为(𝑚,0)、(0,𝑛)，且|𝑚― 6| + (𝑛― 3)2
= 0，点P 从A 出发，以每秒1 个单位的速度沿射线𝐴𝑂匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．
(1)𝑚= _____，𝑛= ；
(2)当△𝑃𝑂𝐵的面积等于6 时，求t 的值；
(3)过P 作𝑃𝐷垂直于直线𝐴𝐵交𝐴𝐵于点D，交y 轴于Q．在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P，使△𝑃𝑂𝑄
与△𝐴𝑂𝐵全等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)6，3
(2)2或10
(3)存在，t 的值为3或9
【难度】0.45
【知识点】已知点所在的象限求参数、绝对值非负性、有理数的乘方运算、全等三角形的性质
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出𝑚、𝑛即可；
（2）分点𝑃在线段𝐴𝑂上、点𝑃在线段𝐴𝑂的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
（3）分点𝑃在线段𝐴𝑂上、点𝑃在线段𝐴𝑂的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得
到答案．
【详解】（1）解：∵ |𝑚― 6| + (𝑛― 3)2 = 0，|𝑚― 6| ≥0，(𝑛― 3)2 ≥0，
∴|𝑚― 6| = (𝑛― 3)2 = 0，
∴𝑚― 6 = 0，𝑛― 3 = 0，
解得𝑚= 6，𝑛= 3；
（2）解：由（1）可得𝐴(6,0),𝐵(0,3)，
∴𝑂𝐴= 6，𝑂𝐵= 3，
当点𝑃在线段𝐴𝑂上时，𝑂𝑃= 6 ― 𝑡，
∵△𝑃𝑂𝐵的面积等于6，
∴1
2 × 3(6 ― 𝑡) = 6，
解得𝑡= 2；
当点𝑃在线段𝐴𝑂的延长线上时，则𝑂𝑃= 𝑡― 6，
∵△𝑃𝑂𝐵的面积等于6，
∴1
2 × 3(𝑡― 6) = 6，
解得𝑡= 10，
综上所述，t 的值为2 或10；
（3）解：如图，当点𝑃在线段𝐴𝑂上时，
∵𝑃𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝑃𝐷𝐴= ∠𝑃𝑂𝑄= ∠𝐵𝑂𝐴= 90°，
又∵∠𝐴𝑃𝐷= ∠𝑄𝑃𝑂，
∴180° ― ∠𝑃𝐷𝐴― ∠𝐴𝑃𝐷= 180° ― ∠𝑃𝑂𝑄― ∠𝑄𝑃𝑂，
∴∠𝑃𝑄𝑂= ∠𝑃𝐴𝐷，
∵△𝑃𝑂𝑄与△𝐴𝑂𝐵全等，
∴△𝑃𝑂𝑄≌△𝐵𝑂𝐴，
∴𝑂𝑃= 𝑂𝐵，即6 ― 𝑡= 3，
解得𝑡= 3；
如图，当点𝑃在线段𝐴𝑂的延长线上时，
同理可得△𝑃𝑂𝑄≌△𝐵𝑂𝐴，
∴𝑂𝑃= 𝑂𝐵，即𝑡― 6 = 3，
解得𝑡= 9；
综上所述，存在，t 的值为3 或9．
1．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸,∠𝐴= 40°,∠𝐸= 62°，则∠𝐸𝐷𝐹的度数为（ ）
A．40°
B．62°
C．78°
D．102°
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的性质得出∠𝐹= ∠𝐴= 40°，再根据三角形的内角和定理求出∠𝐸𝐷𝐹的度数即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，∠𝐴= 40°，∠𝐸= 62°，
∴∠𝐹= ∠𝐴= 40°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= 180° ― ∠𝐸― ∠𝐹= 180° ― 40° ― 62° = 78°．
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐴的坐标为(0,1)，点𝐵的坐标为(4,1)，点𝐶的坐标为
(3,4)，点𝐷在第一象限（不与点𝐶重合），且△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐵𝐶全等，点𝐷的坐标是______．
【答案】(1,4)
【难度】0.85
【知识点】坐标与图形、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点𝐷在第一象
限（不与点𝐶重合），且△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐵𝐶全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出𝐷(1,4)．
【详解】解：∵点𝐷在第一象限（不与点𝐶重合），且△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐵𝐶全等，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
∴可画图形如下，
由图可知点C、D 关于线段𝐴𝐵的垂直平分线𝑥= 2对称，则𝐷(1,4)．
故答案为：(1,4)．
