13.2.1 三角形的边（教学设计）
年级
八年级
学科
数学
课时数
1 课时
教师
课题
13.2.1 三角形的边
知识与技
能
1、理解并掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两
边之差小于第三边”。
2、能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求已知两边时第三边的
取值范围。
3、理解三角形的稳定性，能识别生活中利用三角形稳定性的实例。
4、会解决等腰三角形边长、周长的相关计算问题，掌握分类讨论和检验构三
角形的解题规范。
过程与方
法
1、经历观察、猜想、验证、归纳的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
2、通过动手操作（扭动三角形/四边形木架）、小组合作探究，提升动手实
践能力与合作交流能力。
3、在解决含参数的三角形边长、等腰三角形问题中，渗透分类讨论思想和方
程思想，发展逻辑推理能力。
教学
目标
情感态度
价值观
1、感受数学知识与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
2、在探究活动中体会数学的严谨性，养成解题时主动验证“能否构成三角
形”的习惯，培养科学严谨的学习态度。
教材
分析
本节课是人教版八年级上册第十三章《三角形》的第一节内容，是在小学初步认识三
角形的基础上，对三角形边的关系的系统学习，是全章的基础。三角形三边关系是后续学
习三角形全等、相似、勾股定理等内容的重要前提，也是解决实际问题（如工程结构、路
径选择）的核心依据。三角形的稳定性是对三角形性质的延伸，体现了数学在生活中的应
用，为后续学习多边形内角和、镶嵌等内容做了铺垫。本节课既承接了小学阶段对图形的
直观认识，又开启了初中阶段对平面几何的严谨推理，起到承上启下的作用。
学情
分析
1、已有基础：学生在小学阶段已经直观认识了三角形，知道“两点之间线段最短”，对
生活中的三角形结构有一定感知，具备基本的观察和简单推理能力。
2、认知特点：八年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对直观操作
的兴趣较高，但抽象概括能力和严谨的逻辑推理能力仍需培养；容易忽略“分类讨论”和
“验证是否能构成三角形”的解题环节，出现漏解或错解。
3、潜在困难：对“任意”两字的理解不到位，容易误以为只需要一组两边之和大于第三
边即可；在等腰三角形问题中，容易直接套用分类标准，忽略三边关系的检验；对含参数
（字母表示边长）的问题存在畏难情绪。
教学
重点
三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。
教学
难点
灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成
解题时验证三角形的习惯。
教学
器材
多媒体ppt
教学过程
教师活动
学生活动
情景导入
展示PPT“哪吒从家到太乙真人洞府的三条路线”问题：
【提问】：哪条路最短？为什么？引导学生回顾“两点之间线段最短”的公理。
【设计意图】用学生熟悉的神话人物创设情境，激发学习兴趣，自然引出三角形的边，
为后续探究三边关系做铺垫。
观察图片，
思考回答：
新知探究 一、三边关系
引导推导：结合路线问题，给出△ABC 的三边AB、AC、BC，
【提问】由“AC 是最短路径”能得到什么不等式？
同理，BC+AB 和AC 是什么关系？AC+BC 和AB 呢？
𝑨𝑩+ 𝑨𝑪> 𝑩𝑪
𝑩𝑪+ 𝑨𝑩> 𝑨𝑪
𝑨𝑪+ 𝑩𝑪> 𝑨𝑩
【归纳总结】：引导学生共同总结出“三角形任意两边之和大于第三边”。
【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任
意两边之差小于第三边”。
𝑨𝑩+ 𝑨𝑪> 𝑩𝑪 →𝑨𝑪> 𝑩𝑪−𝑨𝑩/𝑨𝑩> 𝑩𝑪−𝑨𝑪
𝑩𝑪+ 𝑨𝑩> 𝑨𝑪 →𝑨𝑩> 𝑨𝑪−𝑩𝑪/𝑩𝑪> 𝑨𝑪−𝑨𝑩
𝑨𝑪+ 𝑩𝑪> 𝑨𝑩 →𝑨𝑩> 𝑨𝑪−𝑩𝑪/𝑩𝑪> 𝑨𝑪−𝑨𝑩
【追问】：要判断三条线段能否组成三角形，需要验证所有三组关系吗？有没有更简单
的方法？
只需验证“较短两边之和大于最长边”即可，简化判断方法
【设计意图】从实际情境到数学符号，经历从具体到抽象的归纳过程，突破“任意”的
难点；通过追问优化判断方法，培养学生的优化意识。
思考回答：
AB+AC
＞
BC，
同理可得
BC+AB
＞
AC，AC+BC
＞AB。
动手变形
不等式，自
主推导两
边之差小
于第三边
的结论。
小组讨论
并给出结
论
新知应用
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3，3，6 （2）2，5，6
（3）15，16，2 （4）3，8，20
解：(1)∵3+3=6， ∴这三条线段不能组成一个三角形.
独立完成
后口答，说
明判断依
据，重点解
释(1)(4)
不能构成
的原因。
(2)∵2+5>6， ∴这三条线段能组成一个三角形.
(3)∵15+2>16， ∴这三条线段能组成一个三角形.
(4)∵3+8<20， ∴这三条线段不能组成一个三角形.
【注意】：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差
小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
2.三条线段𝑎,𝑏,𝑐分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( C )
A.𝑎+ 𝑏= 4,𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 5 B.𝑎:𝑏:𝑐= 1:2:3
C.𝑎:𝑏:𝑐= 2:3:4 D.𝑎:𝑏:𝑐= 2:2:4
3.从长为9，6，5，4的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选 9，6，5或9
，6，4或6，5，4 (写出所有的方案)
4.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边长𝑎的取值范围为__1 < 𝑎< 5___
【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已
知两边之差，小于已知两边之和。
【设计意图】通过练习，运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决问题。
完成第2、
3 题，订正
答案，明确
比例线段
要先按比
例赋值，再
判断。
自主推导
第三边范
围：1＜a＜
5，总结规
律
新知再探 二、三角形的稳定性
【演示实验】
（1）拿出预先做好的三角形木架，扭动它，提问：形状改变吗？
（2）拿出四边形木架，扭动它，提问：形状改变吗？
（3）在四边形木架上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动，提问：现在形状改变吗？
【总结】：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
【设计意图】通过直观操作实验，让学生亲身体验三角形的特性，比直接讲授印象更深
刻；联系生活实际，体现数学的应用价值。
观察实
验，动手
感受，得
出结论：
三角形形
状不变，
四边形形
状可变，
加木条后
四边形变
稳
针对训练
1.如图，在建筑工地我们常看见用木条EF 固定矩形门框ABCD 的情形，这种做法的根据
是( C )
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角是直角
2.下列不是利用三角形的稳定性的是（ C ）
A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁
完成针对
训练，明确
生活中利
用三角形
稳定性的
实例，总结
判断稳定
性的方法：
全由三角
形组成的
C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条
3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是
____三角形具有稳定性_____
4.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？
(2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
解(1)1，4，6 具有稳定性
2，3，5 不具有稳定
(2)如图所示
【规律与方法】怎样判断一个图形是否具有稳定性
从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定
性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况
下，这个图形不具有稳定性
【设计意图】联系生活实际，体现数学的应用价值。
图形才具
有稳定性
典例分析
例1(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为 22
(2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为 22 或23
(3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为 19
【易错题型】：必须验证是否能够构成三角形
例2.如果𝑎,𝑏,𝑐是△ABC 的三边，满足
𝑏2−36+ 36−𝑏2
𝑏+6
+
𝑐−3 = 0
(1)求𝑎的取值范围；
(2)若a 为偶数，求三角形的周长.
解(1)由题意可得：
𝑏2−36 = 0
36−𝑏2 = 0
𝑏+ 6 ≠0 解得：𝑏= 6
将𝑏= 6代入
𝑏2−36+ 36−𝑏2
𝑏+6
+
𝑐−3 = 0可得：𝑐= 3
∵6−3 < 𝑎< 6 + 3
∴3 < 𝑎< 9
1. 跟随教
师思路，
完成例1
的计算，
重点理解
（2）
（3）的分
类逻辑，
记住“算
完后必须
验三边”
的解题规
范。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
图
(2)∵𝑎为偶数
∴𝑎= 4或𝑎= 6或𝑎= 8
当𝑎= 4时，三角形的周长为：13
当𝑎= 6时，三角形的周长为：15
当𝑎= 8时，三角形的周长为：17
综上所述：三角形的周长为13，15 或17.
例3.已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑚−3,2𝑚+ 1,10,求𝑚的取值范围．
解：由三角形三边关系定理得到：
𝑚−3 + 2𝑚+ 1 > 10①
𝑚−3 + 10 > 2𝑚+ 1②
2𝑚+ 1 + 10 > 𝑚−3③
，
解①得𝑚> 4，
解②得𝑚< 6，
解③得𝑚> −14，
∴不等式组的解集为4 < 𝑚< 6．
例4.用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边的2 倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm 的等腰三角形吗？为什么？
（3）能围成有一边的长为9cm 的等腰三角形吗？为什么？
（4）假设等腰三角形的腰长为𝑎𝑐𝑚,求𝑎的取值范围？
（5）假设等腰三角形的底边长为b𝑐𝑚,求𝑏的取值范围？
（6）假设等腰三角形的最长边为𝑐𝑐𝑚,求𝑐的取值范围？
(7)三角形每条边的长度都是整数，最多可以围出几个满足条件的等腰三角形？请分别
写出各等腰三角形的边长
解（1）：设等腰三角形底边长为𝑥𝑐𝑚,则腰长为2𝑥𝑐𝑚
∴𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥= 18
解得𝑥= 3.6
∴此时各边的长为3.6，7.2，7.2
(2) 能围成，理由如下：
当4𝑐𝑚为腰长时：底边长为：18−4 × 2 = 10
∵4 + 4 < 10 ∴不能围成三角形，因此腰长不能为4cm.
当4𝑐𝑚为底边时：腰长为：(18−4) ÷ 2 = 7
∵7 + 4 > 7 ∴能围成底边长4𝑐𝑚的等腰三角形
综上所述：能围成底边长4𝑐𝑚的等腰三角形。
(3) 不能围成一边长是9cm 的等腰三角形，理由如下：
分两种情况讨论，如下：
2. 回顾非
负数的性
质，自主
完成例
2、例3 的
求解，明
确含参数
问题要列
不等式
组。
3. 分组讨
论例4 的
不同情
况，上台
展示解题
过程，辨
析9cm 作
为腰时底
边长为
0、作为底
时
4.5+4.5=9
不能构成
三角形的
原因。
①当长为9𝑐𝑚的边为腰时，设底边长为𝑑𝑐𝑚,根据题意，
得𝑑+ 9 × 2 = 18，解得𝑑= 0，
所以腰长为9𝑐𝑚时，不能围成等腰三角形；
②当长为9𝑐𝑚的边为底边时，设腰长为𝑘𝑐𝑚,根据题意，
得2𝑘+ 9 = 18，解得𝑘= 4.5,
由4.5 + 4.5 = 9，可知两条线段的和等于第三条线段，所以以9𝑐𝑚为底边长不能组成三
角形.
故不能围成一边长是9cm 的等腰三角形；
（4）由题意可知三边长为𝑎,𝑎,18−2𝑎
当腰为短边时：𝑎+ 𝑎> 18−2𝑎解得𝑎> 9
2
当腰为长边：𝑎+ 18−2𝑎> 𝑎解得𝑎> 9
∴𝑎的取值范围为
9
2 < 𝑎< 9
（5）由题意可知三边长为
18−𝑏
2 ,
18−𝑏
2 ,𝑏,
则有0 < 𝑏< 18−𝑏
解得：0 < 𝑏< 9
∴𝑏的取值范围为0 < 𝑏< 9
（6）由题意可知
18
3 ≤𝑐< 18−𝑐
解得：6 ≤𝑐< 9
∴𝑐的取值范围为6 ≤𝑐< 9
（7）设等腰三角形的腰长为𝑦𝑐𝑚,则等腰三角形的底边长为(18−2𝑦)𝑐𝑚,
由题意得：𝑦+ 𝑦> 18−2𝑦
𝑦−𝑦< 18−2𝑦解得： 4.5 < 𝑦< 9,
∵𝑦取整数，∴𝑦= 5，6，7或8,
当𝑦= 5时，18−2𝑦= 8;当𝑦= 6时，18−2𝑦= 6;
当𝑦= 7时，18−2𝑦= 4;当𝑦= 8时，18−2𝑦= 2;
∴最多可以围出4个满足条件的等腰三角形，等腰三角形的边长分别为5𝑐𝑚,5𝑐𝑚,8𝑐𝑚或
6𝑐𝑚,6𝑐𝑚,6𝑐𝑚或7𝑐𝑚,7𝑐𝑚,4𝑐𝑚或8𝑐𝑚,8𝑐𝑚,2𝑐𝑚.
【设计意图】通过典型例题，突破教学难点，渗透分类讨论、方程、数形结合思想；重
点强化“验证三角形”的解题习惯，减少出错；
4. 总结规
律：等腰
三角形求
取值范
围、整数
解时，要
结合三边
关系和周
长公式列
不等式。
变式训练
1.已知三角形的三边长分别为3,2𝑎−1,4，求𝑎的取值范围
解：由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
则：4−3 < 2𝑎−1 < 4 + 3即1 < 𝑎< 4
2.已知三角形三条边的长分别为𝑎+ 4，𝑎+ 5，𝑎+ 6，求𝑎的取值范围
解：由题意可得𝑎+ 4 + 𝑎+ 5 > 𝑎+ 6
𝑎+ 4 > 0
∴𝑎> −3
3.若𝑎,𝑏,𝑐是△ABC 的三边，化简：(𝑎+ 𝑐−𝑏)2−|𝑐−𝑎−𝑏| + |𝑎+ 𝑏+ 𝑐|
解：∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
∴𝑎+ 𝑐−𝑏> 0,𝑐−𝑎−𝑏> 0,𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0
∴原式=𝑎+ 𝑐−𝑏+ 𝑐−𝑎−𝑏+ 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 3𝑐+ 𝑎−𝑏
4.若等腰三角形的三边长分别为𝑎，2𝑎−1，5𝑎−3，求三角形的周长
解 ①当底边长为𝑎时，2𝑎−1 = 5𝑎−3，解得𝑎=
2
3，
此时三边长分别为
2
3，
1
3，
1
3，不符合三角形三边关系；
②当底边长为2𝑎−1时，𝑎= 5𝑎−3，解得𝑎=
3
4，
此时三边长分别为
3
4，
1
2，
3
4，符合三角形三边关系；
③当底边长为5𝑎−3时，𝑎= 2𝑎−1，解得𝑎= 1，
此时三边长分别为1，1，2，不符合三角形三边关系.
∴三角形的周长为
3
4 + 1
2 + 3
4 = 2.
5.如图，𝐴𝐵𝐶𝐷是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在𝐴𝐶或𝐵𝐷上钉上一根
木条，现量得𝐴𝐵＝80𝑐𝑚，𝐵𝐶＝60𝑐𝑚，𝐶𝐷＝40𝑐𝑚，𝐴𝐷＝50𝑐𝑚，试问所需的木条长度
至少要多长(结果保留整厘米数)
解:当连接𝐴𝐶时,在△𝐴𝐵𝐶中:20cm < 𝐴𝐶< 140𝑐𝑚
在△𝐴𝐷𝐶中：10cm < 𝐴𝐶< 90𝑐𝑚
即20cm < 𝐴𝐶< 90𝑐𝑚
当连接𝐵𝐷时,在△𝐴𝐵𝐷中:30cm < 𝐵𝐷< 130𝑐𝑚
在△𝐴𝐷𝐶中：20cm < 𝐵𝐷< 100𝑐𝑚
即30cm < 𝐵𝐷< 100𝑐𝑚
综上所述：所需的木条长度至少要21𝑐𝑚
【设计意图】通过变式训练，提升知识的综合运用能力
学生独自
完成，然
后教师针
对讲解。
课
堂
练
习
1．下列图形中，不具有稳定性的是( B )
2．王师傅用4 根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木
条( B )
A．0 根 B．1 根 C．2 根 D．3 根
3.若三角形的两边分别为2 和3，则第三条边可能是( B )
A.1 B. 2 C.5 D.6
4.三角形ABC 中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是
（ C ）
A.7 B.6 C.5 D.4
5.若一个三角形有两边长为5 和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 12
6.在三角形ABC 中，AB=7,BC=3，并且AC 为奇数,那么三角形ABC 的周长 15 或17 或
19 。
板
书
设
计
13.2.1 三角形的边
一、三角形三边关系
(1)任意两边之和大于第三边：𝑎+ 𝑏> 𝑐,𝑎+ 𝑐> 𝑏,𝑏+ 𝑐> 𝑎
(2)任意两边之差小于第三边：∣𝑎−𝑏∣< 𝑐,∣𝑎−𝑐∣< 𝑏,∣𝑏−𝑐∣< 𝑎
二、三角形的稳定性
三、例
课
堂
小
结
13.2.1 三角形的边
1.三角形的三边关系（核心考点）
(1)任意两边之和大于第三边：𝑎+ 𝑏> 𝑐,𝑎+ 𝑐> 𝑏,𝑏+ 𝑐> 𝑎
(2)任意两边之差小于第三边：∣𝑎−𝑏∣< 𝑐,∣𝑎−𝑐∣< 𝑏,∣𝑏−𝑐∣< 𝑎
2.判断三条线段能否围成三角形
最快方法：最短两边之和> 最长边只要这一条成立，其余自动成立。
3.已知两边，求第三边的取值范围
设已知两边为 𝑎、𝑏(𝑎≥𝑏)，第三边为𝑥，则：𝑎−𝑏< 𝑥< 𝑎+ 𝑏
如果是整数边，再在这个范围内数整数解即可
作业
1. 必做题：①教材P7 练习1、2。
2. 选做题：用一根长为14 厘米的细铁丝围成一个等腰三角形：
（1）如果腰长是底边的3 倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为2 厘米的等腰三角形吗？为什么？
（3）如果最长边为x，求x 的取值范围？
3. 实践题：观察生活中哪些地方用到了三角形的稳定性，拍一张照片，下节课分享
