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《中学生学习报》在河南省第十三届报纸综合质量检测中，再获“一级报纸”荣誉称号
教师的得力助手 学生的良师益友
77 数数 学学 第第 期期
总第1065期
周周 刊刊 2026年8月14日
中中考考
（（上上））沪科
安安徽徽 蒋蒋永永斌斌
□□ ○○
思维导图
两线段比
比例线段 成比例线段
平行线分线段成比例基本事实及推论
相似三角形的判定和性质
相 似 相似多边形 相似三角形
形
相似三角形性质的应用
位似图形 坐标系中的位似变换
m n m 考点 ：相似三角形的性质
考点解密 C. n + = 5 D. n +2 = 5 5
2 +2 4 例 如图 ，在 ABCD中，AE∶EB=∶，
考点 ：平行线分线段成比例 5 6 ▱ 3 4 考点 ：相似多边形 3 DE交AC于点F 1 例 （ 年吉林长春期中）如图 ，四 例 （ 年吉林长春月 l l . D C
1 2026 1 3 2025 A1 2D （）求 AEF与 CDF 边形ABCD ∽ 四边形A ′ B ′ C ′ D ′ ，AB ⊥ BC， ∠ A = 考）如图 2 ，AD ∥ BE ∥ CF，直线l 1 ，l 2 B E 的周长 1 比 △ △ F ，D ，则 C的度数为 （ ） 与这三条平行线分别交于点A， . 80° ∠ ′=55° ∠ C F （）如果 CDF的面积 A E B B，C和点D，E，F 若AB ，BC ， 2 △ 图 A.115° B D .120° C.125° D.135° DE ，则EF的长 . 为 =4 （ =8 ） 图 2 为 14 ，求 △ AEF的面积 . 6
=3 解析：（） AE∶EB=∶，
D′ 1 ∵ 3 4 AE
C A 解 .4 析： A B D .5 BE C C F .6 ， D.7 ∴ AB = 3 .
A 图 B 1 A′ B C ′ ′ ∴ B A C B ∵ = D EF E ∥ ，即 ∥ 4 = E 3 F . A ∵ A 四 B 边 C 形 D 7 ， A A B B CD C 是 D 平行四边形，
解析： AB BC， B 8 ∴ = ∥ .
∵ ⊥ ∴∠ =90°. EF 故选 D E AEF CDF
∴ =6. C.
四边形ABCD 四边形A B C D ，D ∴△ ∽△ .
∵ ∽ ′ ′ ′ ′ ∠ ′= 即时训练： AEF的周长 AE AE
55° ， ∴∠ D =∠ D ′=55°. 如图 ，在 ABC中，DE B C ∴ △ CDF的周长=CD= AB = 3 .
∵∠ A =80° ， ∴∠ C = 故 36 选 0°-∠ A -∠ B -∠ D = BC， D A 3 D B . = 2， 3 若A △ C =6 ，则EC = ∥ （ 图 3 ） （ 2 ） △ S S △ AEF =(C A D E ) 2 =( 3 ) 2 = 9 ， 7 360°- 即 80 时 °- 训 90 练 °- ： 55°=135°. D. 3 S △ CDF 7 49 A
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 即 △ AEF 9 （ 年广东东莞模拟）下列各组多边 5 5 5 5 = . 1. 2026 考点 ：相似三角形的判定 14 49 形中，一定相似的是 （ ） 例 4 如图 ，在 ABC A ∴ S △ AEF= 18 . D O 两个矩形 两个等边三角形 4 4 △ E 7 B E C A. B. 中，点D在BC边上，点E在 即时训练： 图
两个菱形 两个等腰三角形 7
C 考 . 点 ：比例线段 D. AC边上，且AD AB，DEC B D C 5. 如图 7 ，D，E分别是 △ ABC的边AB，BC 2 = ∠ = 图 上的点，且DE AC，AE，CD相交于点O 若
例 （ 年上海期末）若长度分别为 B 求证： AED ADC 4 ∥ . 2 2026 ∠ . △ ∽△ . S ∶S ∶ ，则S 与S 的比是 ，，x，的四条线段是成比例线段，则x的值 证明： AD AB， B ADB △ DOE △ COA=1 25 △ BDE △ CDE
2 3 6 ∵ = ∴∠ =∠ . （ ）
为 （ ） DEC B， DEC= ADB
∵∠ =∠ ∴∠ ∠ . ∶ ∶ ∶ ∶ AED= ADC A.1 3 B.1 4 C.1 5 D.1 25
A.3 B.4 C.6 D.9 ∴∠ ∠ .
解析：根据题意，得 ∶ x∶ 解得x DAE CAD， AED ADC
2 3= 6. =4. ∵∠ =∠ ∴△ ∽△ . （下转第 版）
故选 即时训练： A 2
B. M
即时训练： 如图 ，在 ABC中，
4. 5 △
（ 年山东淄博期末）若 m n，则下 AB ，AC ，点M在边AB
2. 2026 2 =3 B C =10 =5 列等式正确的是 （ ） 上，且AM ，点N在AC边 图 5
m m n =2
2 - 1 上 当AN 时， AMN与 ABC相似
A. n = B. n = . =_______ △ △ .
3 3
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2.
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/
2
（安徽
李佳凝供题答案见教参第
期）
相相相似似似形形形复复复习习习讲讲讲与与与练练练
复习指南
通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比
1. .
了解线段的比、比例线段、比例的性质；通过建筑、艺术上的实
2.
例了解黄金分割
.
掌握相似三角形的判定定理；了解相似三角形判定定理的
3.
证明 .
掌握相似三角形的性质定理
4. .
本 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小 报
5. . 主 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题
6. . 编
彭
颖
责
任 编 辑
宋 春 艳 电 话
（
线 封 密
0371
）
87071644
社长、总编辑：李开振 副总编辑：薛映虹 喻艳和 国内统一连续出版物号： – （）
CN41 0702/ F
′
′.
′
中的像分别为点B
与点D
小军若想通过镜子OM看到点B
，
2 （）根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜 1
.
（）求小军到平面镜OM的距离
1m.
D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为
=1.8m.
在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，BD
此时C，
=1.2m
站立在A处，其眼睛所在位置为点C，AC
；小明竖直站立
.
17
站在平面镜OM前方的水平地面上照镜子
如图
，小军竖直
★★★21.
2026
【跨学科】（
年浙江模拟）小军与小明两兄弟
12
六、（本题满分
分）
18 图
①
②
③
B
D
C
B
D
C
B
E
F
F
E A
C
A
A
D
16
①
图
②
求正方形ABCD的边长.
△
∥
∠
=45° =8
=12
一点，F是
ABC内一点，EF
AC，EDF
，EF ，DE
，
A
D
B
A
D
B
2
18③
【拓展应用】（）如图
，在正方形ABCD中，E是AB上
∠
=∠
=8
=5
点，E为AC上一点，BAD
C，若AB
，BD
，求EF的长.
1
18②
▱
C
【尝试应用】（）如图
，在
BCEF中，D为BC上一
C
.
美分割线”CD的长
的长.
△
=
·
.
“完美分割线”，且
ACD是以CD为底边的等腰三角形，求“完
AB2
BD
BC
若已知其中两条线段的长，即可求出第三条线段
2
16②
△
=2
=
2
△
∠
=∠
△
∽△
（）如图
，在
ABC中，AC
，BC
，CD是
ABC的
BC上一点，若
BAD
C，则易证
ABD
CBA，从而可得
=
∠
.
.
18①
△
美分割线”，且AD
CD，求
ACB的度数
是常用的求线段长的方法之一
如图
，在 ABC中，D为
1
16①
△
∠
=48°
△
★★★22.
（）如图
，在
ABC中，
A
，CD是
ABC的“完
【阅读理解】我们知道，利用相似三角形的性质
.
12
这个三角形的“完美分割线”
七、（本题满分
分）
为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫作 角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个 引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三
★★20.
【新定义】从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点
19 图
①
②
③
A
P
B A P
B
B
D
F C
D
D
E
15
A
图
B
∠ C =45°
C
=3
. A
17
点F在BC上，且
EFD
，若CE
，求CD的长
图
Rt△
.
O
像
B′
O A
B
点A为直角顶点作等腰
ADE
点D在BC上，点E在AC上，
3
19③
△
=4
2
∠
=45°
D
C
（）应用：如图
，在
ABC中，AB
，B
，以
.
E
平面镜成像原理
F
.
AOED的面积
上述结论还成立吗？说明理由
2
△
△
2
8
平面镜
2
19②
90°
C
（ 1
）已知
△
COE与
∽△
BOC
. 的面积分别为
和
，求四边形
物
D′
E
D
△
（
∽ ）探 △ 究：如图
，若将
角改
. 为锐角，其他条件不变，
（）求证：
COE
AOB
M
ADP
BPC是否成立，并说明理由
.
.
∠
=∠
=∠
=90°
于点O
改变，请说明理由
四边形ABCD中，点P为AB上一点，当
DPC
A
B
时，
★★19.
15
3
2
★★★23.
2025
1
19①
如图
，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC
（）在（）的条件下，若小军想蹲下看，则EF的长是否会
（
年安徽合肥月考）（）问题：如图
，在
2
10
20
′
.
14
五、（本大题共
小题，每小题
分，满分
分）
D
，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求EF的长
八、（本题满分
分）2 数数 学学 广广 角角
数学·沪科·中考（上）·第 7 期
（上接第 版） ∶，则OB∶OB等于 （ ） 如图 ， ABC是等边三角形，CE是 1 4 9 ′ 6. 16 △ 考点 ：相似三角形的应用 ∶ ∶ ∶ ∶ ABC的外角平分线，点D在AC上，连接BD 6 A.2 3 B.3 2 C.4 5 D.4 9 △
例 （ 年陕西西安模拟）周末，李老 强化训练 并延长与CE交于点E
6 2025 . 师组织同学们来到湿地公园开展综合实践活 （）求证： ABD CED 1 △ ∽△ .
（ 年山东威海期末）下列四组线段 动 如图 ，他们发现公园一个简易工具房前有 1. 2026 （）若AB ，AD CD，求CE的长 . 8 中，是成比例线段的一组是 （ ） 2 =10 =2 .
一堵围墙AB，同学们想测量围墙AB的高度， A ，，， ，，， 进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从 A.1 2 4 6 B.2 3 5 8 D E ，，， ， ， ，
围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在 C.2 3 6 9 D.1 2 3 5 （ 年重庆月考）如图 ， ABC B 点F时，测得OF ；过了一会儿，当阳光恰 2. 2026 12 △ ∽ C F =3 m BDC，若AC ，BC ，则 ABC与 BDC 图 好从围墙最高点A经窗 16 △ =3 = 3 △ △ A 的相似比为 （ ） 户点D处射进房间地面
C 落在点E时，测得OE ∶ ∶ ∶ = A.1 3 B.1 3 C.3 1 D. 3∶1 此外，还测得窗高 D A E 1 m. A CD ，窗户距地面 B O E F 的高 =1 度 .2 m OD ，AB 图 8 D B C O F 7. 如图 17 ，楼AB的层数为 5 层，在楼顶A =1.2 m ⊥ 处观望另一幢楼CD的底部D，视线正好经过 BF，OD BF 求围墙AB的高 B C D ⊥ . . 图 图 小树的顶端E，又从楼AB的底部B处观望楼
解析：由题意，得AB BF，OD BF 12 13
⊥ ⊥ . 如图 ， ABC与 DEF位似，点O是它 CD的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，
3. 13 △ △
ABF DOF
∴∠ =∠ =90°. 们的位似中心，且相似比为 ∶ ，则 ABC与 楼CD的层数为 层 已知这两幢楼每层楼的
DEO AEB， DEO AEB 1 2 △ 9 .
∵∠ =∠ ∴△ ∽△ . DEF的周长之比是 （ ） 高度均为 ，点B，F，D位于同一水平线上，
OD OE △ 2.8m ∴ AB = BE .∴ 1 A . B 2 = 1+ 1 OB . A.1 ∶ 2 B.1 ∶ 4 C.1 ∶ 3 D.1 ∶ 9 且AB，EF，CD均与BD垂直，求小树的高度EF . AB （ OB） 如 图 ，在 梯 形 C ∴ =1.2 1+ . 4. 14 A D ABCD中，AD BC，对角线 CFO AFB， CFO AFB ∵∠ =∠ ∴△ ∽△ . ∥ O A CO OF AC 和 BD 交 于 点 O，若 E 1.2+1.2 3 B C ∴ AB = FB .∴ AB = OB . S OD AB （ OB） 3+ S △ ABD = 1 ，则 OB =______. 图 14 ∴ =0.8 3+ . BCD 3 B F D △ （ OB） （ OB） 在如图 所示的平面直角坐标系中， 图 ∴1.2 1+ =0.8 3+ . 5. 15 17
OB AB 已知A（ ，），B（ ， ），C（ ， ） ∴ =3m.∴ =4.8m. -3 -3 -1 -3 -1 -1 .
围墙AB的高为 （）画出 ABC. ∴ 4.8m. 1 △ 即时训练： （ ）以 O 为位似中心，在第一象限画出
2 （ 年广东广州模拟）在数学活动课 ABC的位似图形 A′B′C′，使 A B C 与
6. 2025 △ △ △ ′ ′ ′ 上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学 ABC的相似比为 ∶，并写出点A′的坐标 △ 2 1 .
楼的高度（如图 所示），当他刚好在点C处的 y 参考答案 9 镜子中看到教学楼的顶部D（点B，C，E在同一 即时训练： 直线上，且 DCE= ACB）时，测得小南的眼睛 或 ∠ ∠ 1.B 2.C 3.C 4.1 4 5.B 6.6.4 7.A 与地面的距离AB ，同时测得BC ， 强化训练： =1.6 m =2.4 m 1 CE ，则教学楼高度DE O x 1 =9.6m =______m. 1
1.C 2.D 3.A 4. D 3
（）作图略 （）作图略，A（′ ，）
5. 1 . 2 6 6 .
（）略 （）CE
A 图 6. 1 . 2 =5.
15 小树的高度EF为
B E 7. 9m. C
图 9
考点 ：位似图形 第 期参考答案 （）略 （）；
7 A 6 16. 1 . 2 2 8. 例 如图 ，O是 7 10 D 相相似似多多边边形形与与比比例例线线段段 17 （ . 1 ）DE =6. （ 2 ）AC = 35 . ABC内任意一点，D， 2
△ E，F分别为AO，BO，CO O 1.D AC 2.B 3.D 4.B 5.6 6.15 7.120° 18. 建筑物MN的 B 高 P 度为 10 米 . 上的点，且 ABC 与 B E F C 8. =11.4. 相似三角形的判定 19 （ . 1 ）略．（ 2 ） QR= 2 3 ． DEF是位似 △ 图形，位 图 10 ABD ACB（或 ADB 培优园地
△ 1.C A 2 B .D A 3 D .A 4.4 5.∠ =∠ ∠ = （）x 10 （）相似 当AP 40 或 似中心为O 若AD 1 AO，则 ABC与 DEF ∠ ABC或 AC= AB ） 1. 1 = 3 . 2 . = 9 cm 20 cm . = △ △ 时， APQ与 CQB相似 3 略. △ △ .
的相似比为 6. （）略 （） （）AB
_______. （） ； （）略 2. 1 . 2 8. 3 = 10.
解析： O是 ABC内任意一点，D，E，F 7. 1 135 2 2. 2 . （. ） ∵ △ 相相似似三三角角形形的的性性质质 3 1 5.
分别为AO，BO，CO上的点，且 ABC与 DEF △ △ ∶ （）CE 3 ，DQ 12 5 ，DQ∶CE ∶. 1.C 2.A 3.1 2 4.3 2 = 5 = =4 5 是位似图形，位似中心为 O，AD = 1 AO， 5. OE =4. （ 3 ）DQ∶CE的值没有发 5 生变化 . 理由如下： OA 3 简简单单的的位位似似图图形形 连接AE，AC 3 ABC与 DEF的相似比为 ∶ . ∴ 故 O 填 D = ∶ 2 .∴△ △ B′ B 3 1. 1 3 2. 2 9 3 （ . 1 ， 3 ）或（ -1 ， -3 ） 由 由 旋 勾 转 股 可 定 知 理 ， 可 ∠ 知 QA ， D AC =∠ EA ， C A . E 2. 3 2. （）图略，P（ ， ）（）略 =10 =5. 即时训练： O C 4. 1 相似形（ -5 -1 . 2 ）作 . 业设计 ∵ A A D C = 10 = 5， A A Q E = 5， ∴ A A D C = A A Q E .
如图 ， ABC C′ 22.1~22.5 8 4 4
7. 11 △ ′ ′ ′ A′ 一、 1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B 7.D 8.C 9.D 10.B ∴△ ACE ∽△ ADQ .
是 中 △ 心 A 经 BC 过 以 位 点 似 O 变 为 换 位似 得 图 11 A 二、 11.6 12.4 13. 1 1 8 1 14.8 或 12.5 ∴ D CE Q = A A D C = 4 5 .
三、 a∶b∶c ∶∶ DQ∶CE的值没有发生变化.
到的，若 ABC 的面积与 ABC的面积比是 15. =4 8 7. ∴
△ ′ ′ ′ △
析 分 情
学形形似似相相
）分 ：分满
钟分
：间时（
051
021
线 封 密
______________：_ 号考 ______________：_ 名姓 ______________：_ 级班
D
A
H点为足垂，ED .
H
为值的ED∶FA）（
E
.__________
1
为长的EA，时HE
FH当）（
C
B
._______
2= 2
F
）分
分满，分
题小每，题小
共题大本（、三
图
61
8
2
11
a
知已）（）考月波宁江浙年
（
= b
1
6202 .51★
和CDA 定判能不仍后件条列下充补，DCB
分平AC线角
b a
△
∠
号题
值的 2+ 求，
2
）
（
是的似相CAB
01
9
8 7
6 5
4
3 2 1
. a
△
案答
线求，
，b
a若，项中例比的，b
a段线是c段线知已）（
3
CBA CAD
CAB
CDA
8= 2=
2
B ∠ A =
DA
∠.B
∠= ∠.A
长的c段
DC CB 2 CA
）分
分满，分
题小每，题小
共题大本（题择选、一
.
CA =
DC
.D
· = .C
04
4
01
为不均d，，c
，b
a（dc ba知已）末期台烟东山年
（
如夹尾燕种一）拟模圳深东广年
（】境情新【
=
6202 .1★
5202
.8★★
）
（
是的立成不式各列下则，）
开打在是 图，图意示的时态状合闭在是
图，示所
图
0
③7
②7 ①7
B
A
c a
d b
）
：位单（ 图如据数关相，）DC
BA时此（图意示的时态状
mc 7
∥
b = d .B
a = c .A
距的间之D，B点，态状开打
③7 图到态状合闭
②7 图从 . 示所
D
C
2+ d
2+ a
b + d c + a
）
（
了少减离
b =
c .D
b = c .C
研真认请，
1=
ED
= DC
= CB
= BA且，
°09= EBA ∠ ，
21 图如 .61★
B
F
E ，
5 ∶ 3 2 = F + A∶DA，
2+ FE ∥
DC
∥ BA知已，
1 图如 .2★
的你明证并，形角三的似相对一出找后然，件条给所与形图究
）
（
于等长的CB则，
EB
想猜
B 3 E 2 A
E
1
图
01=
.
A
2
7.D
6.C
5.B 4.A
的形方正小个每，示所
图如）末期博淄东山年
（
D F C
D
F
）C（A
2
6202 .3★
3 2
似相GFE
与）分部影阴（形角三的中项选列下则，
为均长边
△
1
E
B
③
图 ②
①
）
（
是的
D
C
7
图
21
mc5.D
mc4.C
mc3.B
mc2.A
E
FC D点， 3 ， CB， CA，中CBA
在，
图如
= DC 6= 5=
△
8
.9★★★
F
5
G
F点于CB交CB FD，E点于BA交CB
ED作D点过，上CA在
图
. ⊥
∥
.D
.C
.B
.A 2
）
（
为长的DC则，
S S若
记，DC
BA，O点于交相DB，CA，
图如）南云年
（
EDB △ 2=DFB △
∥
3
6202 .4★
S
DC
一同在E，C，B，
） D 分 点，
61 C 分 A
满， BA， 分 中 8
题 C 小 BA 每， 在 题 ， 小
2 共 图 题 如 大本（、四
0 3 1 .D
7 2 .C
3.B
A 5 2 .A
=
2 1 S
则，
3 2 =
BA 若 .2 S为积面的BOA
△ ， 1 S为积面的DOC
△
=
△ 31
.71★★
）
（
A
.EAC
D 且，上线直条
C
D
E
.ACE D
∠ BA = ： ∠ 证求）（
E
5 .D
4 .C
3 .B 2 .A
△∽
△ 1
F
21
9
7 5
长的DB求，
EC，
CA若）（
A
.
4=
6= 2
B
A
C
B
E
C
B
D
D
F
图
图
图
9
8
丙
乙
甲
D O
31
垂，BA DC， BCA，中CBA
在，
图如
5.1
5.1
2
B
⊥ °09= ∠
△tR
9
.01★★★
CB CA
1
5.2
3
C
列下，n 且，点的上边CB，CA是别分F，E，D点为足
图
图
= FB = EC
4
3
似相中其，形矩个三有中
图）拟模郸邯北河年
（
）
（
是的误错中论结
4
6202 .5★
）
（
是的
FB ED FD EC
BDC
CDA
· = · .B
△∽ △.A
形矩的似相有没
丙和乙
丙和甲
乙和甲
FDE
DC FE，时
n当
.D
.C
.B .A
坐角直面平在，
图如）考月城盐苏江年
（
°09= ∠.D
=
2= .C
系标坐角直面平在，
图如）拟模水丽江浙年
（
41
5202 .81★★
）分 分满，分 题小每，题小
共题大本（题空填、二
5
5202 .6★★
y
别分标坐点顶的CBA
，中系标
02 5
4
知已
形图似位的心中似位为O点原以是O
B A 与OBA ，中
△
割分金黄的BA段线是P点知已）拟模海上年
（
.
′ ′ △ △
），
（C，），
（B，）， （A是
5202 .11★
标坐的A点则，
为 AA若，）
，
（B为点应对的），
（B点
.
2 1- 0
2- 2 2-
PA则，PB＜PA，
BA且，点
21 ′
1-
2
′
3 6-
C
A
，心中似位为
O 点原以） （
A .__________=
2=
）
（
为
1
CBA 知已）末期州苏苏江年
（
x
1 1
O
B
， 为 1 C 比
1 B 似 1 A △ 相 个 的 一 CB
画 A 内 与 限 C 象 B 四 A 第在 使
E B 是 ∽ 长周 △ 的CBA
△
若 .3
∶ 2 是比的线
6 中 20 应 2 对 .2 ， 1★ FED
△
） 0 ，
7- D （ .D ）
0 ， 8- （ .C
） 0 ，
9- （ .B ） 0 ， 6- （ .A
为 △ 标坐的 1 1 C 1 点， △ ∶
.___________
是长周的FED
△ 则，
8
A
y B
._ （ __
是 __ 长 ___ 周 __ 的 __
CBA 若 1 ） （ 1
2
C ，E点于DB交DAB
∠ 分平CA，
01
图如 .31★★
+3
△ 2
是长的EA则，
DC，
EC，CDB =CAB
x ′A
O A
为长周的
CBA
则， ）
D .______
6=
4=
∠
∠
C
B
41
图
1 1
1 △ mc 5
01 图 在， 11 图如）拟模湖芜徽安年
5202
（ .41★★★
6 图
′B
5 图
.mc____________
FA，上CB，BA边在别分F，E点，
DA，
BA，中DCBA形矩
对的DCBA形边四，
图如）拟模陵南徽安年
（
⊥
01=
8=
6
5202 .7★★
