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4 数数 学学 广广 角角 《中学生学习报》在河南省第十三届报纸综合质量检测中，再获“一级报纸”荣誉称号
数学·沪科·中考（上）·第 6 期
教师的得力助手 学生的良师益友
66
数数 学学 第第 期期
（ 分）【定义】在三角形中，如果 （ 分）在矩形ABCD中，AB ，
培优园地（满分： 分) ★★★2. 10 ★★★3. 10 =6
30 有一个角是另一个角的 倍，那么称这个三角 AD . 总第1064期
2 =8
形是“ 倍角三角形” （）如图 ，P，Q分别是AB，AD边的中 周周 刊刊 2026年8月7日
2 . 1 3①
（ 分）【动点问题·分类讨论】如 （）【性质探索】下面我们来探究“ 倍角三 点，以AP，AQ为邻边作矩形APEQ，连接CE，则
★★★1. 10 1 2
图 ，在 ABC中，AB BC ，AC ，点 角形”的三边关系 CE的长为
1 △ = =20 cm =30 cm . ________.
P从点A出发，沿AB以 的速度向点B运 如图 ，在 ABC中，若 ABC A，则 （）在（）的条件下，如图 ，让矩形
动，同时点Q从点C出发
4 c
，
m
沿
/s
CA以 的速 ABC的三
2
边
①
存在
△
如下关系：AC 2
∠
BC·（
=
A
2
B
∠
BC） APEQ
2
绕着点
1
A逆时针旋转至点E
3
恰
②
好落在AD
中中考考 （（上上））沪科
3 cm/s △ = + .
度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点 我们可以这样证明：如图 ，作 ABC的 上，连接CE，DQ，求出CE和DQ的长，并求DQ∶
2① ∠
也停止运动，设运动时间为x 平分线BD，则有 A 由 A，得BD CE的值.
s. ∠1=∠2=∠ . ∠2=∠ =
（）当PQ BC时，求x的值 AD A，C C， CBD CAB （）在（）的条件下，如图 ，当矩形
1 ∥ . .∵∠1=∠ ∠ =∠ ∴△ ∽△ . 3 1 3③
（） APQ与 CQB能否相似？若能，求出 BC CD BD APEQ绕着点A逆时针旋转至如图 的位置
AP的长 2 ； △ 若不能，请 △ 说明理由 ∴ AC = BC = AB . 时，请帮助小明判断DQ∶CE的值是 3 否 ③ 发生变 相相相似似似形形形（（（ ）））核核核心心心知知知识识识讲讲讲练练练 本期导读
.
B 由
BC CD
，得CD
BC2
…… 化？若不变，请说明理由；若改变，求出新的 222222...111~~~222222...555
P AC = BC = AC 重点：
比值.
请你完成证明过程
A C （）【性质应用】如 . 图 ，在 ABC中， Q Q □□ 安安徽徽 ○○ 黄黄浩浩宇宇 1. 比例的性质 .
Q 2 2② △ Q EE 相似三角形的判定与性质
图 C B，AB ，BC ，则AC A D A D A D 2. . 1 ∠ =2∠ =12 =10 =_________. E 简单的位似图形
（ 3 ）【拓展应用】如图 2③ ，在 △ ABC中， P E P P 3. .
ABC A，AC ，BC ，求AB的长 推荐：第 版第 题考查了相似三角
∠ =3∠ =6 =4 . B C B C B C 3 14
A 形的判定和性质，是一道
① ② ③ A 图 A 3 多解题.由于题中相似三
D
角形的对应顶点不明确，
2
B 1 C B C B C 因此解题时要注意分类讨
① ② ③
论，不要漏解.
图
2
解析： ABC ADE，且AB∶AD ∶，
∵△ ∽△ =1 2
本
C
ABC与 ADE的相似比为 ∶ ABC 报 △ ∴△ △ 1 2.∴ C = 主
△ ADE 编
1 ABC 的 周 长 为 ， 15 1 彭
.∵△ 15 ∴ C = .
2 △ ADE 2 颖 C 故选
∴ △ ADE=30. D. 知识点 ：位似图形 责
5 任
例 （ 年湖北黄冈模拟）在如图 所 编
5 2025 4 辑
示的正方形网格中，每个小正方形的边长都
宋
是 个单位长度，以点O为位似中心，在网格 春
1 艳
中画 OAB，使 OAB 与 OAB位似，A，B
（安徽 林友辉供题/答案见第 期）
7 的对应 △ 点分 1 别 1 为 △ A，B， 1 且 1 △ OAB 与 OAB的 电
（上接第 版） 1 1 △ 1 1 △ 话
1 E 部的一点，则点M在 ABC 内部的对应点M 相似比为 ∶，则下列说法不正确的是（ ） （
△ 1 1 1 1 2 1
筑基精练 C 的坐标为_____________. 点B 的坐标为（ ，）
A A. 1 4 0
y AB AB
B. 1 1∥
如图 ，在四边形 B D F OAB 与 OAB的周长之比为 ∶
1. 6 图 8 C.△ 1 1 △ 2 1 ABCD中，AD BC，点E在 7 7 OAB 与 OAB的面积之比为 ∶ ∥ 如图 ，四边形ABCD是学校的一块学农 D.△ 1 1 △ 2 1 AB上，EF AD交CD于点 5. 8 6 y y
F，若AE∶B ∥ E =1 ∶ 2 ，DF =3 ，则 基 已 地 知 ， A 其 B 中 C △ D， A A B B C是水果 ，A 园 C ， △ AC ， D CD 是蔬菜园， 4 5 C 典例精讲 ∵ AB =6 ，BC =10 ， ∴ 1 6 0 = 24 x - x .
FC的长为 （ ） （） ∥ 求证： A = B 4 C 5m CA = D 30m =20m. 3 B 知识点 ：比例的性质 解得x =9.∴ DE =9. 故填 9. A 1
1 △ ∽△ . 2 1 知识点 ：相似三角形的判定 A A
DE A 2 F . （ .6 ， 2 且 026 A 年 B B . 四 3 1 川 ， 成 C 都 A .5 B 月 C 考 的 ） 周 已 D. 长 9 知 △ 为 AB ， C 则 ∽ 水果 （ 园 2 ） △ 若 AB 蔬 C 菜 的 园 面 △ 积 A ． CD的面积为 A 200 m 2 ，求 O 1 1 2 3 A 图 4 9 5 6 7 8 x b + a a 例 的值 1 为 （ 2026 年重庆期末）若 a b = （ 1 2 ，则 ） AB = A 例 C， 3 AD 如 为 3 图 BC 2 ， 边 在 上 △ 的 AB 中 C 线 中 ， ， A O 图 B 4 x O 图 B 5 B 1 x
△ DE = △ 2 DE AB于点E 解析：画出 OAB 如图 所示
3 D ⊥ . △ 1 1 5 .
DEF的周长为 （ ） 1 3 求证： BDE CAD E 由图，可得点B 的坐标为（ ，）
△ A.1 B. C. D.2
A. 2 9 b B d . 2 3 C.6 b d D.18 B 图 C （参考答案见本版） 解析：根据合 2 比性质，得 2 b + a a = 1+ 2 2 = 2 3 . 上的中 证 线 明 ， ： △ ∵ A A D B = B ∽ AC C △ ， ， AD B 为 . B C C边 B 图 D 2 C 因此 O A A 选 B 项 与 正确 1 O ， A 不 B位 符 似 合 ， 题 且 4 意 相 0 似 . . 比为∶，
3 .若 a = c = 1 ( a ≠ c ) ，则 a - c =______ . 8 本版“筑基精练”参考答案 故选 C. DE ∴ AB， ⊥ DE ∠ B =∠ AD . C AB ∵△ AB， 1 O 1 A △ B与 OAB的周长之比为 2 ∶ 1 ，
4 （ . 2026 年上海 2 月考）某天小 - 明站在地面上 1 （ .A ） 2 略 .C 3. 1 2 4.9.5 知 例 识点 如 2 图 ：平 ， 行 已 线 知 分 l 线 l 段成比例 ∵ ∴△ B ⊥ DE ∽ ∴ △ ∠ CAD . =∠ =90°. ∴ △ O 1 A 1 1 B ∥ 1 与 △ △ OAB 1 的 1 面 △ 积之比为 4 ∶ 1. 2 1
给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的 5. 1 . 2 1 1∥ 2∥ A D 知识点 ：相似三角形的性质 因此 ，选项正确， 选项不正确
眼 线 睛 上（ 、凉 如 亭 图 顶 7 ） 端 . 已 、 知 小 小 亮 明 头 的 顶 眼 三 睛 点 离 恰 地 好 面 在 的 一 距 条 离 直 顶点坐 6. 如 标 图 分别 9 ， 为 在平 A（ 面 ， 直 ） 角 ，B（ 坐标 ，） 系 ， 中 C（ ， △ ，） AB . C的 （ 6 （ 2 . ） 1 水 ）略 果 . 园 （ △ 2 ） A （ B 2 C x， 的 2 y 面 ）. 积为 450m 2． l 于 3 ， ， B 两 点 C 条 A， 直 B ， ， 线 D C F ， 分 D 别 ， ， E 与 则 ，F l 1 D . ， 若 E l 2 ， 的 A l 3 B 交 长 = F B C E l l 2 1 明模拟 例 ） 4 如图 （ 4 2 3 0 ， 2 已 6 知 年 △ 云 A 南 BC 昆 ∽ D B 故选 B D. C D （下转第 . 4 版）
3 1 1 2 4 3 6 =10 =24 l ADE，且AB∶AD ∶ ，若
AB 米，凉亭顶端离地面的距离CD 米，小 （）以原点O为位似中心，在第一象限内 声明：本报选用了部分国内外图文，为了更好地维护著作者权益， 为 3 △ =1 2
明到 =1 凉 .6 亭的距离BD 米，凉亭离城楼 =4 底部的 画出 1 ABC的位似图形 ABC，使它与 ABC 敬请作者与 1. 本报联系，以便及时奉寄稿酬。 2. 凡本报录用的作品，其与 ___ 解 __ 析 __ ： . l l l， 由平 图 1 △ ABC的周长为 15 ，则 △ ADE E C A
=10 △ △ 1 1 1 △ 《中学生学习报》相关的汇编出版、网络出版、网上传播、电子和录音录像 ∵ 1∥ 2∥ 3 ∴ AB DE 的周长是 （ ） 图
距离DF 米，小亮身高 米，B，D，F三点在 的相似比为 ∶. 作品制作等权利即视为由本报获得。上述各项权利的报酬，已包含在本 行线分线段成比例，可得 3
=30 1.7 2 1 BC = EF .
同一水平线上，则城楼的高度为 ______ 米 . （ 2 ）在（ 1 ）的条件下，若M（x，y）为 △ ABC内 报向作者支付的稿酬中。如有特殊要求，请在 《 来 中 稿 学 时 生 说 学 明 习 。 报》社有限公司 设DE = x，则EF =24- x . A C. . 3 4 5 5 B D . . 4 3 0 0 名师讲堂
出版发行：《中学生学习报》社有限公司 发行部电话：（0371）53610175 印刷：郑州德厚印务有限公司 厂址：新密市米村镇方山村一组 四开四版 半年价：36.00 元 主管：中原出版传媒集团 主办：中学生学习报社 社址：郑州市祥盛街27号 邮编：450000 投稿网址：http://tg.zgxsxx.com 法律顾问：河南仟问律师事务所 质检邮箱：zxsxxbzjzx@163.com
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
0371
）
87071644
社长、总编辑：李开振 副总编辑：薛映虹 喻艳和 国内统一连续出版物号： – （）
CN41 0702/ F
核心知识 内容
一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边
相似多边形
形叫作相似多边形 相似多边形对应边长度的比叫作相似比或相似系数
. .
（）在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的比等于另外两条线段c，d的比， 1 即 （或a∶b=c∶d），那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段 线
_____________ .
比例线段 段a，b，c，d叫作组成比例的项，线段a，d叫作比例______，线段b，c叫作比例______.
（）如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c之间有a∶b=b∶c，那么线段
2
b叫作线段a，c的比例中项.
a c
（）基本性质：如果 ，那么ad bc（b，d ） 1 b = d = ≠0 .
a c
反之也成立，即如果ad bc（b，d ），那么
= ≠0 b = d .
比例线段 比例的性质 a c a b
（）合比性质：如果 ，那么 + （b，d ）
2 b = d b =_______ ≠0 .
a a a a a a a
（ 3 ）等比性质：如果 b
1
1 =b
2
2 =…=b
n
n，且b 1+ b 2+…+ b n≠0 ，那么 b1
1
+
+
b
2
2
+
+
⋯
⋯
+
+ b
n
n = b
1
1 .
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的
黄金分割 线段分割叫作黄金分割，分割点叫作这条线段的黄金分割点，比值 叫作黄金
_______ 数，又称黄金比
. 平行线分线 （）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 1 ________.
段成比例 （）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段
2 _______.
结论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似
.
定理 ： 分别相等的两个三角形相似
相似三角形的 1 _________ .
定理 ： 成比例且 相等的两个三角形相似
判定 2 ______ _______ .
定理 ： 成比例的两个三角形相似
3 ______ .
直角三角形相似的判定定理： 和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 _______ .
定理 ：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于
相似三角形的 1 ________.
定理 ：相似三角形周长的比等于
性质 2 ________.
定理 ：相似三角形面积的比等于
3 ___________.
一般地，如果一个图形上的点A，B，…，P，…和另一个图形上的点A，B，…，P，…分别对应，并且满
1 1 1
OA OB OP
A D 位似图形 足下面两点：（ 1 ）直线AA 1 ，BB 1 ，…，PP 1 ，…都经过同一点O（ . 2 ） OA1 = OB1 =…= OP1 =…= k（k为大于 E F 的常数）那么，这两个图形叫作 图形，点O叫作 0 . ______ _________.
B C 图 62 同同 步步 精精 练练 学学 情情 评评 价价 3
数学·沪科·中考（上）·第 6 期 数学·沪科·中考（上）·第 6 期
相相似似多多边边形形与与比比例例线线段段 （ 年宁夏吴忠模拟）已知 精精
精精 练练
1. 2026
ABC DEF，相似比为 ∶ ，若 练练 相相相似似似形形形（（（ ）））作作 业业 设设 计计
△ ∽△ 2 3
（ 年甘肃兰州期末）下列各组图形 （ 年上海模拟）若线段a ，b ，则 ABC的周长为 ，则 DEF的周长为 222222...111~~~222222...555
△ 6 △
1. 2026 5. 2025 =4 =9
（ ）
中，不是相似图形的是 （ ） 线段a，b的比例中项为
________. 相相 班级：_______ 学号：_______ 姓名：_______ 成绩：_______
a
（ 年广东深圳模拟）已知 A.6 B.8 C.9 D.12
6. 2026 b = （ 年云南模拟）如图 ，已知 似似 编读交流
9 A . 9 B . C. D . d c = 1 ，若a + c =5 ，且b + d ≠0 ，则b + d =________. AB 2 C . 202 A 6 DE，BC= DE，则 S 1 △ ADE 的 三三 温馨提示：本版满分120分，第4版培优园地满分30分.各地可根据实际情况灵活选用120分或150分评价
（ 年上海期中）如果x，y都不为零， 3 △ ∽△ 2 S
2. 2026 如图 ，四边形 △ ABC 角角 题号 其中能推出 ABP与 ECP一定相似的条件 （ 分）如图 ，在由边长为 个单
且 3 x =5 y，那么下列比例中正确的是 （ ） ABCD 7. 与四边 3 形EFGH A E 值为 （ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 有 △ △ （ ） 位长 ★ 度的 16. 小 1 正 0 方形组成 1 的 2 方格中，已 1 知点
A. x y x = 5 3 5 B. 5 x x = 3 y 3 A 相 点分 似 别 ，A 是 ，B E ，C ，F ，D ，G 的 ，H 对 ，若 应 B D C 图 F 3 G H E A D 形 的 性 形 的 性 分 答 ， 案 满 一 分 、选择 分） 题（本大题共 10 小题，每小题 4 A.3 A 个 B.2 D 个 C.1 个 A D.0 个 O 方 ， 格 A （ ， 图 B 1 ） ， 中 C 以 将 均 点 为 O A 格 为 B 点 位 C放 似 . 大 中心 倍 ， 9 在 × ， 9 O A
C. = y D. = y A ，F ，G ，则 D B C 40 E D △ 2
3 【 . 3 新情境】（ 2026 年江 5 苏苏州 P ∠ =8 8 0 . ° 如 ∠ 图 = 4 7 ， 0 已 ° ∠ 知 = D 9 E 0 ∥ ° BC ∠ ，A = D _ = _ 1 _ 5 _ ， _ A _ E _. =9 ， 图 1 质质 是成 ★ 比 1 例 （. 2 线 02 段 6 ， 年 其 广 中 东 a 深圳期 ， 末 b ）已知 ， a c ，b，c， ， d B C B F C 得 别为 到 点 △ A A ， 1 B B 1 ， C C （ 1 的 点 对 A 应 1 ， 点 B 1 ） ，C 1 分 B C
模拟）大自然巧夺天工，一片树叶也 B BD ，求AC的长 A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 =3 cm =2 cm =6 cm P E （） ABC的面积为 . ，
蕴 的 含 黄 着 金 “ 分 黄 割 金 点 分 （ 割 AP ” ＞ . 如 PB 图 ）， 1 如 ，P 果 为 A A B B 的长度 图 为 1 =4 . A 角形 3 的 （ . 对 4 20 应 26 高 年 之 广 3 比 东 为 清 ∶ 远模 ， 2 那 拟 么 ）相 对 似 应 3 三 周长之比 则线段 A.1 d c 的 m 长为 B.4cm C.9cm D.16c （ m ） 点，点 ★ F ★ 在 9. 图 B 如 D 6 图 上 7 ， ， 连 在 接 △ A A F B 并 C中 图 延 7 ， 长 D 交 是 B A C C 于 的 点 中 △ A 1 B 1 2 C 1 △ 的面 （ 积为 分） _ 如 __ 图 __. __ ， _ 直线l l 图 1 l 2 ，且直
1 2 （ 年江苏连云港模拟）下列说法 ★★17. 12 13 1∥ 2∥ 3
8cm ，那么AP的长度是 （ ） B D E C 为 ________. 正确的 ★ 是 2. 2026 （ ） E，若BF∶FD =5 ∶ 2 ，BC =9 ，则BE的长为（ ） 线 点D l 1 ， ， l E 2 ， ， l F 3 分别截直线l 4 于点A，B，C，截直线l 5 于
A （ . 12-4 5 ） cm B （ . 4 5 +4 ） cm 图 4 4 【 . 数学文化】（ 2026 年江苏南通模拟）《周 A. 矩形都是相似图形 A.3 B. 10 C.4 D.5 （）若 . AB ，BC ，EF ，求DE的长
C （ . 如 9- 图 4 5 ， ） 已 cm 知 AB D （ . 4 CD 5 -4 ） cm 髀 在 算 古 经 代 》 指 中 两 记 条 载了 边 “ 呈 偃 直 矩 角 以 的 望 曲 高” 尺 的 （ 方 即 法 图 ，“ 中 矩 的 ” B. 各 等 边 边 对 三 应 角 成 形 比 都 例 是 的 相 多 似 边 三 形 角 是 形 相似多边形 合肥 ★ 模 ★ 拟 ★ ）如 10 图 （ . 20 ， 3 2 在 6 年安 AB 徽 C A （ 1 2 ）若DE∶ =4 DF =2 ∶ =8 5 ，AB = = 1 7 2 ，求 l AC的长 . l .
EF，A 4 E . ，AC 2 ，BD ，则 ∥ BF的 ∥ A B ABC），“偃矩以望高”意思是把“矩”仰立放，可 C. 边长相等的菱形都相似 中，D是边BC上 8 的点（ △ 不与 E 5 D A 4 l 1
长是 =9 =6 =4 （ ） C D 测量物体的高度 . 小明依照此法测量学校操场 D ★ . 3. （ 2026 年四川内江）如图 1 ，在 △ ABC 点 B，C 重合） . 过点 D 作 G F H E B l 2
A C. . 7 5 B D . . 6 8 E 图 2 F 边 线 一 上 棵 ， ∠ 树 AB 的 C 高 =∠ 度 AQ ， P 如 = 图 90° 2 ， ， A 点 P A 与 ，B B ， C Q 相 在 交 同 于 一 点 水 D 平 ， 中 的面 ，D 积 E ∥ 之 ∶ B 比 C， 为 若AD ∶ ∶AB =1 ∶ 3 ∶ ，则 △ ADE ∶ 与 （ △ AB ） C D D 是 E 作 线 ∥ D A 段 F B ∥ 交 B A F C AC 交 上 于 A 的 B 点 于 点 E 点 ， ， 过 B F G ， 点 G B D 图 8 C C 图 13 F l 3
测得AB =1.4m ，BD =0.6m ，AQ =7m ，则树高PQ = A.1 2 A B.1 3 C.1 4 D.1 9 GF，H是线段DE上的点， = DH HE 若 CGH
2 =2 . △
精精 如图 ，点E是 ABCD的边AB EBD． ______m. A 的面积为定值，则下列三角形的面积也为定值
练练 延长 1 线 . 上的 1 一点， ▱ 交 于点F，则 △ C P D E B 的是 （ ） （ 分）【跨学科】（ 年山东烟台
DE BC E AFE HCE 期末） ★ 为 ★ 测 18 量 . 一 14 建筑物MN的高 20 度 26 ，如图 ，小
图中的相似三角形共有 （ ） C 𝄞 C A.△ B.△ 14
D C A B D B C C.△ BCG D.△ BDF 明站在B处，位于点B正前方 3 米的点C处有
相相 F D A B Q 图 1 图 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑
似似 A B E 图 4 如图 ，AB，CD相交 图 于 2 点O，连接AC，BD， 等长 ★ 度 4 的 【 . 五 新 条 情 平 境 行 】如 横 图 线 2 组 ，五 成 线 的 谱 ，同 是 一 由 条 等 直 距 线 离 上 、 满分 20 分 （ ） 年广东佛山月考）已知 ABC 物 的 的 距 顶 离 端 AB M 为 的像， 米 此 ； 时 然 测 后 得 ，小 小 刚 明 在 的眼 F处 睛 竖 到 立 地 了 面
三 角 三 角 A C. . 3 1 对 对 图 1 B D . . 2 4 对 对 和 7 D . E 如 F 图 的 5 顶 ，在 点 4 都 × 在 4 的 边 正 长 方 为 形网 的 格 小 中 正 ， 方 △ 形 AB 的 C 点 ∠ A E = ， ∠ 5 F . D 分 ，O 别 A = 3 为 OF A = C 6 ， ， B O D D 的 =9 中 ，求 点 O ， E 连 的 接 长 O . E，OF . 若 的 线段 三个 BC 点 的 A 长 ，B 是 ，C都在横线上 . 若线段A （ C =6 ，则 ） 各 长边 边 为 ★ 的 1 1 比 1 8 （ . 为 cm 20 2 ， ∶ 2 则 6 5 ∶ 年 △ 6 ， A 吉 与 ′ B 林 它 ′ C ） ′ 相 如 的 似 图 最 的 短 ， △ 边 在 A 为 ′ B _ A ′ _ C B _ △ ′ _ C 的 c 中 m 最 . ， 一 杆 测 顶 得 根 点 高 DF E 2 为 和 米 建 的 米 1 筑 标 . ， 5 C 物 杆 F 顶 E 为 F 端 ，发 米 M在 现 已 一 地 知 条 面 M 直 上 N 线 的 N 上 点 D ， ， D 此 A 、 B 标 时
形 的 形 的 列 相似 条 的 2 件 （ . 是 ， 2 不 026 能 年 判 辽 断 宁 △ 大 A 连 BC 月 与 考 △ ） （ 根 A ′ 据 B ′ 下 C ） ′ 顶点 △ （ 上 1 ） . 填空： ∠ ABC =_______ 1 ° ，BC =_______. A E O F D 后一 A ★ 个 . 半 5 2 3 【 . 径 新 的 情 B 比 境 .1 都 】 是 鹦 黄 鹉 C 金 螺 . 比 2 3 曲 例 线 ， 的 是 D 每 自 .2 个 然 半 界 径 的鬼 和 A 点 E C ，连 ＞ C为 ★ 接 AB 圆 1 D ， 2 点 E . 心 2 若 D ， 0 A 2 为 D D 6 E 边 的 A B 长 B C 为 ， 上 则 半 一 A 径 点 E 画 ， 9 A 弧 D = ， 2 交 △ ，B A D C = 于 1. 点 以 N 根 射 D 角 据 ，E 等 以 F 于 上 ⊥ N 反 所 D 6 射 测 ，点 角 数 N ， 据 平 ，C ， 面 ， 计 B 镜 4 算 ，F 大 建 ， . 小 D 筑 在 忽 物 一 略 的 条 不 高 直 计 ⊥ 度 ） 线 M 上 N（ ，请 入 ⊥
判 定 判 定 A B A. AB =4 ，B cm C ，BC =6 c ， m A ， C AC =8 cm ， （ 2 ）判断 △ ABC与 △ DEF是否 A 相似 . B C 图 3 B 斧 若 神 线 工 段 . A 如 B 图 的 3 长 ，P 为 是AB的 ，则 黄 B 金 P 分 的 割 长 点 为 （AP （ ＞BP） ） ， A . ∥ =____ A ____ P . M .
′ ′=12cm ′ ′=18cm ′ ′=24cm
4cm
A ，AB ，AC ，
（ ） （ ） E
C.∠ ∠ A A = ′ 1 = 2 B 1 0 2 . ° ∠ 0 ， ° ∠ ， = B A 1 = ′ 2 B 5 0 ′ 0 ° = ° 3 ， ∠ cm A = ′ ， 7 = A c 1 ′ m 2 C 0 ′= ° ， 6 ∠ c = B m 1 ′ 4 =5 cm 0° F D C A C （ . . 6 2 - A 5 2 - 5 2 ） c c m m B D （ . . 2 2 5 5 + - 1 1 ） c c m m B D 图 9 C B Q 图 10 C N C A BF E D
AB ，AC ，A B ，A C E y （ 年江苏泰州月考）如图 ， 图 14
6cm D. =7 cm =14 cm ′ ′=3 cm ′ ′= 图 5 P A B O D x 在 AC △ 向 ★ A 点 B ★ C C 中 1 以 3. ， 每 A 2 C 秒 0 = 2 6 6 ， 个 BC 单 = 位 8. 长 点 度 P从 的速 点 度 A出 移 发 动 ， ； 1 点 沿 0
如图 所示的三个三角形，相似的是
1
3. 2 （ ） B C Q从点C出发，沿CB向点B以每秒 2 个单位长
图 图 度的速度移动 若P，Q两点同时出发，当其中
3 4
如图 ，在平面直角坐标系中， OAB .
71° 71° 71° 精精 练练 简简单单的的位位似似图图形形 与 ★ OC ★ D 6 是 . 以O 4 为位似中心的位似图形 △ ，已知 一 经过 点到达终点 秒 时 后 ，另 ， 一 P 点 CQ 也随之 BC 停 A 止运动 . 则
△ ________ △ ∽△ .
65° 44° 67° 点A（ ，），B（ ，），D（ ，），则点C的坐标 【易错题】如
① ② ③ 如图 ，以点O为位似中心，将 OAB放 格纸中， OAB 与 OAB是关于点P为位似 -2 1 -1 0 2 0 ★★★14. A D （ 分）如图 ，四边形 ABCD和
图 2 大，得 1 到 . O 1 DC 若OA ，AD ，则 AB △ 中心的位 △ 似图 1 形 1 1 △ 是 （ ， ） （ ， ） （ ） 图 的正 11 ， 方 已 形 知 A 点 BC P D 是 内 边 一 长 点 为 ， 1 且 0 P 四边 ★ 形 ★ AC ★ E 1 D 9 都 . 1 是 6 平行四边 15 形，R是DE的中
A 4. . 在 ①② Rt△ B A . B ② C ③ 和 Rt C △ .① A′ ③ B′C′中 D. ， ① 已 ② 知 ③ ∠ C= △ C . =2 =4 CD C =_____. 出点 （ P 1 ） 的 在 坐 图 标 中标 . 出位似中心P的位置，并写 A C （ . . 3 2 ， - - （ 2 3 ） 年河北 B D （ ） . . 如 4 4 ， - - 2 3 ） M P 上 B 有 =8 一 ，B 点 F ⊥ M B ， P 使 ，若 以 在 点 射 B， 线 M B ， F C B C 点，连 （ 接 1 ）求 BR 证 ， ： 分 △ 别 AB 与 P A ∽ C △ ， D CD QR 交 . 于点 P ， Q.
∠ △ C A ′ ′ = B 9 ′ （ 0 C ° ′ ， ， A 则 B = A 年 1 ′C 0 ′ ， 安 = B _ C 徽 _ = _ 6 _ 蚌 ， _ A _ 埠 _ ′B . 模 ′ =5 拟 ，要 ）如 使 △ 图 AB ， C 在 ∽ O B A D O F E D B A 画出 （ △ 2 ） O 以 AB 原 的 点 一 . O 个 为 位 位 似 似 △ 中 OA 心 2 B ， 2 ， 在 使 第 它 三 与 象 △ 限 OA 内 B 图 AE ∥ 5 ， ★ B 在 C ★ ， 五 延 7. 边 长 20 形 2 B 5 A A ， B B C C D ， E 分 中 别 ， A 1 2 E D 为 似， 顶 则 三 点 B 、 的 M 解 = 三 答 __ 角 题 __ （ 形 _ 满 _ 与 _ 分 _ △ __ A . B 分 P ） 相 图 11 M F （ 2 ）求 Q BP R 的值 . A D
△ AB 5 C . 中 2 ， 0 A 2 C 6 ＞AB，点D在AC边上（点D 3 与A， （ 图 年 1 吉林长春模拟） 图 如 2 图 ， ABC 的相似比为 2 ∶ 1. y 交 加下 直 列 线 一 DE 个 于 条 点 件后 M， ， N 仍 . 若 无 添 法 B 4 3 C N （ 分）若 a 6 + 0 2 b c +5，且 a b P Q R
C不重合），若再增加一个条件 ， 2. 2026 2 △ ★15. 8 = = 2 - +
就能使 △ ABD ∽ A △ ACB（ . 填一个条 __ 件 __ 即 __ 可 __ ） ___ 与 的 △ 面积 DE 为 F是 2 ， 位 则 似 △ 图 DE 形 F ， 的 若 面 O 积 D∶ 为 AD _ = _ 1 _ ∶ _ 2 _ ， _ 且 __ △ . ABC O O 1 判 条件 定 是 △ MAE ∽△ DCN，则这个 图 （ 5 ） 3 c =21 ，试求a ︰ b ︰ c . 3 4 6 B 图 C 15 E
D 【易错题】已知 ABO的顶点坐标是 A x B CD AB
3. △ A A.∠ +∠4=180° B. ∥
A（ ，），B（ ，），O（ ，），以点O为位似中心， 1
2 6 3 1 0 0 C.∠1=∠4 D.∠2=∠3
B （ 年安徽亳州模拟）如图 ，在
B C 将 ABO缩小为原来的 1 ，则点A的对应点A ★★8. 2025 6
图 △ ′ 正方形ABCD中，若E为CD边的中点，P是BC
3 2 B
如图 ，在 ABC中， C ，E是BC 的坐标为 1 边上的一动点，则下列条件： BP∶BC ∶ ；
6. 4 △ ∠ =90° ______________. ① =1 3
上的一点，ED AB，垂足为D.求证： ABC （ 年安徽模拟）在如图 所示的方 BP∶BC ∶ ； BP∶BC ∶ ； BP∶BC ∶
⊥ △ ∽ 4. 2026 3 图 3 ② =1 2 ③ =2 3 ④ =3 4. （培优园地见第 版）
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