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4 数数 学学 广广 角角 《中学生学习报》在河南省第十三届报纸综合质量检测中，再获“一级报纸”荣誉称号
教师的得力助手 学生的良师益友
88
数数 学学 第第 期期
培优题（本大题共 小题，满分 分） （. 分）（ 年北京期中）已知直线AB CD，点E，F分别
2 20 ★★★2 10 2025 ∥
（. 分）如图 ，在 MAN中，点B，C分别是AM，AN上一 在直线AB，CD上，EFD α 点P是直线AB上的动点（不与点E重合）， 总第1112期
★★★1 10 1 ∠ ∠ = .
点，ABC和 ACB的平分线交于点P 连接PF，PEF和 PFC的平分线所在的直线交于点H 周周 刊刊 2026年8月19日
∠ ∠ . ∠ ∠ .
（）如图 ，若 MAN ，求 P的度数 （）如图 ，若EF CD，点P在射线EB上，则当 EPF 时，
1 1① ∠ =90° ∠ . 1 2 ⊥ ∠ =50°
（）如图 ，若 A 1 P，求 A的度数 EHF
2 1② ∠ = ∠ ∠ . ∠ =_________. 八八年年级级
2 （）如图 ，若α ，点P在射线EA上 （（上上））沪科
（）如图 ，CBM和 BCN的平分线交于点Q，直接写出 P和 2 3 =100° .
3 1③ ∠ ∠ ∠ 补全图形；
Q之间的数量关系，不需要说明理由 ①
∠ . 探究 EPF与 EHF的数量关系，并说明结论成立的理由
M ② ∠ ∠ .
M M B H
B B Q A E P B A E B
M α 三三角角形形中中的的边边角角关关系系、、命命题题与与证证明明（（ .. ））
P P P C D C D 本 期 导 读
F F
A C N A C N A C N 图 图 1133 11
2 3 重点：
核核心心知知识识讲讲练练
① ② ③
图 三角形中边的关系
1 1. .
三角形中角的关系
2. .
三角形中几条重要线段
安安徽徽 李李晓晓玉玉 3. .
□□ ○○ 推荐：
第 版第 题以新定义的
核心知识 内容 3 14
形式考查三角形三边关系，题
三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形
. 目新颖.解题时，需分类讨论最
按边分：不等边三角形、等腰三角形.
长边与最短边，再结合三角
三角形的分类
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 形三边关系综合分析求解.
三角形的三边关系 三角形中任意两边的和大于第三边；三角形中任意两边的差小于第三边 该题逻辑严谨，能有效锻炼
.
学生的审题、分类讨论及运
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高
.
算能力，值得练习.
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平
本
三角形的“三线” 分线 报
. 主
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线 三角形三条中线交于一 编
.
点，这个交点就是三角形的重心 图 是一个缺损的三角形纸片，小明测 彭
. 4. 2
得 A ，B ，则这个 颖
三角形的内角和 三角形的内角和等于 °.
180 ∠ =48° ∠ =68°
三角形缺损的顶角 C的度 责
在三角形中，连接一个顶点和它对边 ∠ 任
典例精讲 D. 数为 （ ） A B 编
中点的直线叫作三角形的中线 辑
图
A.60° B.64° 2
知识点 ：三角形中边的关系 解析：三角形的高、中线、角平分线都是 宋
1 C.74° D.80° 春
例 （ 年广西南宁模拟）若长度分 线段，选项 说法错误，不符合题意； 已知三角形的三边长分别是 ，，x ， 艳
1 2026 A 5. 3 4 +1
别为 ，，a的三条线段能组成一个三角形，则 三角形的三条高中，至少有一条在三角 则x的取值范围是 电
3 5 ___________. 话
a的值可能是 （ ） 形的内部，选项 说法正确，符合题意； （ 年四川成都期中） （
B 6. 2026 A 钝角三角形的三条角平分线都在三角形 如图 ， ABC中BC边上的高 D A.1 B.2 C.6 D.9 3 △
解析：因为长度分别为 3 ， 5 ，a的三条线 的内部，选项 C 说法错误，不符合题意； 为 _______. E B C
段能组成一个三角形， 在三角形中，连接一个顶点和它对边中 （ 年上海期中）在 F 7. 2026
所以 ＜a＜ ，即 ＜a＜ 点的线段叫作三角形的中线，选项 说法错 ABC中，若 B ，A∶ C 图
5-3 3+5 2 8. D △ ∠ =60° ∠ ∠ = 3
所以a的值可能是 故选 误，不符合题意 故选 ∶，则 A
6. C. . B. 1 2 ∠ =________.
知识点 ：三角形中角的关系 （ 年河南开封期中）如图 ，在 ABC
2 筑基精练 8. 2025 4 △
例 若 ABC三个角的大小满足条件 中，AD是角平分线，BE是高线， ABC= °，
2 △ ∠ 70
A∶ B∶ C ∶∶，则 B的大小为 （ ） （ 年广东东莞模拟）以下长度的三 DAC= °，求 CBE的度数.
∠ ∠ ∠ =2 3 4 ∠ 1. 2026 ∠ 25 ∠
条线段，不能组成三角形的是 （ ） B
A.40° B.60°
，， ，，
C.80° D.100° A.5 8 2 B.2 5 4 D
解析：在 ABC中，因为 A∶ B∶ C ∶∶， ，， ， ，
△ ∠ ∠ ∠ =2 3 4 C.4 3 5 D.8 14 7
A B C ，
（ 年山东淄博期中）下列说法正确 ∠ +∠ +∠ =180° 2. 2026
所以 B 3 故选 的是 （ ） A E C
∠ =180°× =60°. B. 图
2+3+4 一个直角三角形一定不是等腰三角形 4 知识点 ：三角形中几条重要线段 A. 3
一个钝角三角形一定不是等腰三角形 例 （ 年福建泉州期中）下列说法
B.
3 2025
一个等腰三角形一定不是锐角三角形 中，正确的是 （ ） C.
一个等边三角形一定不是钝角三角形 三角形的高、中线是线段，三角形的角
D. （参考答案见第 版） A.
如图 ，在 ABC中， 4 平分线是射线 3. 1 △ A
A ， B ，则 C 三角形的三条高中，至少有一条在三
∠ =84° ∠ =60° ∠ = B.
（ ） 角形的内部
B C
钝角三角形的三条角平分线在三角形 图 C. A.36° B.40° 1
名师讲堂
的外部 C.46° D.54°
出版发行：《中学生学习报》社有限公司 发行部电话：（0371）53610175 印刷：河南鑫泽印刷有限责任公司 厂址：郑州市二七区马寨工业园区 四开四版 半年价：36.00元 主管：中原出版传媒集团 主办：中学生学习报社 社址：郑州市祥盛街27号 邮编：450000 投稿网址：http://tg.zgxsxx.com 法律顾问：河南仟问律师事务所 质检邮箱：zxsxxbzjzx@163.com
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0371 ） 87071644
数数学学··沪沪科科··八八年年级级（（上上））··第第 8 期期
社长、总编辑：李开振 副总编辑：薛映虹 喻艳和 国内统一连续出版物号： – （）
CN41 0702/ F
（安徽 张 敏供题答案见第 期）
/ 10
因为第三边长的数值为奇数，所以x
三三边边关关系系 解解题题利利器器 =5.
所以这个三角形的周长为 （ ）
2+5+5=12 cm .
故选
B. 四、化简求值 安徽 张华玉
□ ○ 例 （ 年广西崇左期末）已知三角形 4 2026
三角形中任意两边的和大于第三边，任意 为 ，，则第三边的长可以是 （ ） 2 3 的三边长分别为 ，a，，则化简a a 的结 1 4 | -1|+| -7|
两边的差小于第三边 巧妙运用这一三边关
. A.1 B.2 C.6 D.9 果等于 （ ）
系，能解决诸多与三角形边相关的问题 下面 分析：设第三边的长为x，借助“任意两边
. a
A.6 B.7 C.8 D.2 -8 为同学们分类解析，助力学习参考 之差＜x＜任意两边之和”得出第三边长的取值
. 分析：借助三角形的三边关系，先求出a
一、判断能否构成三角形 范围，再结合各选项即可得解
. 的取值范围，再进行化简.
例 （ 年广东河源期中）下列长度的 解：不妨设第三边的长为x 已知三角形两
1 2025 . 解：由三角形三边关系，得 ＜a＜ ，
4-1 4+1
三条线段能组成三角形的是 （ ） 边的长分别是 和 ，则由三角形的三边关系，
2 3 即 ＜a＜
3 5.
，， ，， 得 ＜x＜ ，即 ＜x＜ 四个选项中，只有
A.2 3 5 B.3 4 8 3-2 3+2 1 5. 所以a ＞ ，a ＜
-1 0 -7 0. ，， ，， 选项 符合要求 故选
C.4 5 6 D.5 5 11 B . B. 所以a a a a
| -1|+| -7|= -1+7- =6.
分析：根据三角形的三边关系，对各选项 三、求周长 故选
A. 逐一判断即可． 例 若三角形的两边长分别是 和
3 2 cm
解： ，不满足三角形的三边关系， ，第三边长的数值是奇数，则这个三角形 第 版“筑基精练”参考答案 A.2+3=5 5 cm 1
不符合题意； ＜ ，不满足三角形的三 的周长是 （ ）
B.3+4=7 8 1.A 2.D 3.A 4.B
边关系，不符合题意； ＞ ，满足三角形 ＜x＜ AE C.4+5=9 6 A.9cm B.12cm C.10cm D.14cm 5.0 6 6. 7.40°
CBE 的三边关系，符合题意； ＜ ，不满足 分析：设第三边的长为x ，由三角形的 8.∠ =30°.
D.5+5=10 11 cm
三角形的三边关系，不符合题 三边关系得出x的取值范围，再根据第三边长
意 故选 的数值是奇数确定第三边的长，从而可求出三 声明：本报选用了部分国内外图文，为了更好地维护著作者权益，
. C. 1.
敬请作者与本报联系，以便及时奉寄稿酬。 凡本报录用的作品，其与 二、确定第三边长 角形的周长. 2.
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例 （ 年广东模拟） 解：设第三边的长为x 作品制作等权利即视为由本报获得。上述各项权利的报酬，已包含在本 破破题题金金钥钥 2 2025 cm.
报向作者支付的稿酬中。如有特殊要求，请在来稿时说明。
已知一个三角形的两边长分别 由题意，得 ＜x＜ ，即 ＜x＜
5-2 5+2 3 7. 《中学生学习报》社有限公司2 同同 步步 精精 练练 学学 情情 评评 价价 3
数学·沪科·八年级（上）·第 8 期 数学·沪科·八年级（上）·第 8 期
出 个三角形，分别写出来
精精 练练 三三角角形形及及其其边边的的关关系系 _____ .
D 三三角角形形中中的的边边角角关关系系、、命命题题与与证证明明（（ .. ））作作 业业 设设 计计
E
1133 11
.下列都是由三条线段组成的图形，其中 三角形可分为不等边三角形和等边三
1 D. C
是三角形的是 （ ） 角形 班级：_______ 学号：_______ 姓名：_______ 成绩：_______
B A A A .如图 ，以AB为边的三角形的个数是 A B 编读交流
C F C D C _____ 5 __. 2 图 4 温馨提示：本版满分100分，第4版培优题满分20分.各地可根据实际情况灵活选用100分或120分评价
D C B D E A A
A E B B 题号 古代一种强弩图，图 为这种强弩图的部 （. 分）如图 ，B处在A处的南偏
A. B. C. D. B F E 3 x -2 2 x +1 10 .（ 1 ）已知等腰三角形的一边长等于 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分组件的示意图，若 ∠ 5 A ② =1 矩， ∠ B =1 欘，则 ∠ C 西 45 ★ °方 16 向， 1 C 0 处在A处 1 的 0 南偏东 30 °方向，C
.如图 ，在 ABD中， ，一边长等于 ，求它的周长. 的度数为 （ ） 处在B处的北偏东 °方向，求 ACB的度数.
2 1 △ 8 cm 9cm 60 ∠
A的对边是 （ ） B D C B C （）已知等腰三角形的一边长等于 ， 一、选择题（本大题共 小题，每小题 A
∠ A. BF B. BE A F E D C 6 .如图 3 ， 图 已 2 知 △ ABC为等腰 图 三 3 角形，AB= 一边长 2 等于 13cm ，求它的周长 . 6 cm 分，满分 4 .如 0 分 图 ） ，以点A为 1 顶 0 点的三角形有 4 考 工 记 B 北 E 南 C
BD BC 图 AC，则x=___________. ★1 1 C A D
C. D. 1 （ ）
.下列长度的三根木棒能组成三角形的 .已知三角形的三条边长分别为 ，，x， ① ②
3 7 2 7 个 个 个 个 图
是 （ ） 则x的取值范围是____________. A.4 B.3 C.2 D.1 5 B 图
A 10
，， ，， .若一个三角形的两边长分别为 和 ， D D A A.15° 如 B 图 .22. ， 5 A ° D是 C.30° ABC的 D.4 中 5° 线，BE
A.1 2 4 B.2 2 4 8 2 5 E E ★★9. 6 △
，， ，， 且第三边长为整数，则三角形的周长的最大值 F 是 ABD的中线，EF BC于点F 若S ，
C.2 3 4 D.2 3 6 △ ⊥ . △ ABC=36
下列三角形的分类正确的是 （ ） 为___________. BD ，则EF的长为 （ ）
4. B C B C =6
A. 三 三 角 角 形 形可 可 分 分 为 为 等 不 腰 等 三 边 角 三 形 角 、 形 等 、 边 等 三 腰 角 三 形 角 C，D， 9 E （ . 五 20 个 26 点 年 中 吉 任 林 意 松 三 原 点 月 画 考 三 ） 角 如 形 图 4 ，过A，B， （. 图 1 年贵州遵义期末） 图 如 2 图 ，CD， A.3 B A .4 C.5 D.6 A
B. . ★2 2026 2
（）以AB为一边画出一个三角形，可以画 CE，CF分别是 ABC的高、角平分线、中线，
形以及等边三角形
1 △
（. 分）（ 年重庆期中）（）等
角形 C. 三角形可分为不等边三角形和等腰三 出 __ （ __ 2 ） __ 以 个 C 三 为 角 顶 形 点 ，分 画 别 出 写 一 出 个 来 三 . 角形，可以画 则下列 A. A ∠ 各 F A 式 DC 1 中 = A 不 9 B 0 正 ° 确的 B 是 .∠ AC AC E E C =∠ BC （ E ） B DF E C B E D C 腰 求这 三 （ 个 ★ 角 ） 等 ★ 形 已 腰 1 的 知 7 三 两 a 1 角 ， 边 0 b 形 ， 长 c 的 是 a 2 ， 周 0 b 2 满 长 A 6 B 足 . C的 |a- 三 4 | 边 +（ 长 b- ， 9 化 ） 1 2 = 简 0 ， ：
C. = D. = 图 图 2 △
2 6 7 |a+b-c|+|b-a-c|-|c+b-a|.
.用下面的图示表示三角形的分类， .如图 ，在 ABC中，ABC与
精精 练练 三三角角形形中中角角的的关关系系 上，并 1 . 给 如 出 图 部 1 ， 分 在 数 △ 据 AB ， C 则 中，点D在 A 边BC 精 练 精 练 其中不 ★ 正 3 确的是 （ ） ∠ ACB ★ 的 ★ 平 ★ 分 1 线 0 交于点 7 D， △ 且 ∠ EBC = 1 ∠ ∠ ABC，
（. 年浙江宁波期末）在 ABC中， .如图 ，BD是 ABC A AD是 △ 角 AB 平 C 分 的 线 （ ） 等 三 腰 角 三 形 角形 三 锐 角 角 形 三 直 角 角 形 ∠ ECB = 1 3 ∠ ACB，则 ∠ D与 ∠ E的数量 3 关系可
1 2026 △ 7 3 △ A. 等边三角形 钝角三角形 表示为 （ ）
A= °，B= °，则 C的度数为 （ ） 的角平分线，AD BD，垂足 中线 三三
∠ 8 A 0 .20 ∠ ° 20 ∠ B.40 ° 为点 D， ∠ DAC= ⊥ 20 °， ∠ C= D B C . . 高线 B 3 图 D 3 C 角角 A. B. A.3∠ E E -2∠ D D =180° B.3∠ D D -2∠ E E =180°
C （ .60 ° 年湖北武汉 D. 模 80 拟 ° ）在 ABC中， 40 °，则 ∠ 如 AB 图 D=_ ， _ 在 ____. ABC B 图 3 C D （. . 垂直平 年 分 云 线 南昆明期中）下列各 1 图中， 形形 三边都 三 等 角 腰 形 直角 三 钝 角 角 形 分，满 C 二 分 .3 、 ∠ 填空 - 分 2 ） ∠ 题（ = 本 90 大 ° 题 D 共 .3∠ 4 小 -2 题 ∠ ，每 =9 小 0° 题 5
2. 2026 △ 8. 4 △ 2 2026 中中 不相等的 三角形 20
∠ B是 ∠ A的 2 倍， ∠ C比 ∠ A大 20° ，则 ∠ （ A等于 ） 中 线段 ， ∠ B B D AC 上 是 ，找 直 出 角 图 ，A 中 D ⊥ 的 B 锐 C， 角 垂 三 足 角 为 形 D 、 ， 直 点 角 E在 三 正确画出 A AB边上的高的是 A （ ） 几几 三角形 三 等 角 边 形 三 锐 角 角 形 ①中 ★ 线 1 、 1 ② （. 内 20 角 26 平 年 分 上 线 海 、③ 月 高 考 ， ） 一 在 定 三 在 角 三 形 角 中 形 ，
角形和钝角三角形 A A 条条 内部的线段是________（填序号）.
A.40° B.60° .
C . .8 如 0° 图 ，考古学家 D 发 .9 现 0° 在地下A处有一 A E B C E B C 重重 ★4 （ . C 2 . 026 年安徽宣城期末）若 D. 一个三角 AB ★ C 1 中 2 .如 ， 图 C 8 A ， B 在直角 ， A
3 1 要要 形的三个内角度数的比为 ，则这个三 △ ∠ =90°
座 管 若 道 古 ∠ D ， 墓 B 准 A ， 备 = 古 1 在 3 墓 0 ° B 上 ， ， ∠ 方 C E 处 是 CA 开 煤 = 工 1 气 3 挖 5 管 °， 出 道 则 “ ， V ∠ 为 ” A 字 的 了 型 度 不 通 数 影 道 是 响 . B E 图 4 D C 在 A 3 B A . （ . BC 20 中 C 26 ，已 年 B 知 广 . E 点 西 D 来 ，E 宾 分 C B . 期 别 末 为 C ） B 如 C， D E 图 A . D 2 的 ， 线 段 线 段 角形是 A C . . 钝 锐 角 角 三 三 角 角 形 形 B D . . 直 等 1∶ 角 腰 2 三 ∶ 三 3 角 角 形 形 （ ） B A ∠ F E A ⊥ 于 C A D 点 F =_ 于 D _ ， 点 _ ∠ __ E A _ ， B _ C E _ D = _ ⊥ 2 _ 0 . A ° F ， 交 则 C D F E 图 8 B 中 D在 ）如 边 ★ 图 A ★ B 1 ★ 1 上 ， （ 1 在 8 不 （. △ 与 1 A 2 点 B 分 C A ） 中 （ ，B ， 2 B 0 重 2 E 5 合 是 年 ） 角 ， 河 C 平 D 南 分 与 郑 线 B 州 E ，点 交 期
（ ） △ （. 年重庆期中）已知三角形的三 【. 易错题】若一个等腰三角形的 于点O
中点，且S ，则阴影部分的面积为 ★5 2026 ★★13 .
D B C E △ ABC=4 边长分别为 ，x，，若x为奇数，则这样的三 周长为 ，一边长为 ，则腰长为________. （）若CD是中线，BC ，AC ，则 BCD
（ ） 3 6 18 5 1 =3 =2 △
管道 角形有 （ ） （ 年福建泉州期中）若三 与 ACD的周长的差为
★★★14. 2025 △ _______.
A 1 个 个 个 个 边均不相等的三角形的三边长a，b，c满足a （）若 ABC ，CD是 ABC的高，求
A.1 B.2 C.3 D. A.1 B.2 C.3 D.4 - 2 ∠ =62° △
古墓 2 .如图 ，AD，CE是 ABC的高线，且 b＞b c（a为最长边，c为最短边），则称它为 BOC的度数
A ★6 3 △ - ∠ .
A.75 ° B.80 ° 图 C 1 .85 ° D.90 ° 9. 在 △ ABC中， ∠ B =∠ A +10° ， ∠ C =∠ A +50°. E A D AD =2 A ， . C 1 ∶ E = 2 4 ，则 B A .2 B ∶ 与 3 BC C 的 .2 比 ∶ 5 是 D.3 ∶ （ 7 ） “ 分 不 别 均 为 衡 7 三 ， 5 角 ， 4 形 ，因 ” . 为 例 7 如 -5 ： ＞ 一 5 个 -4 三 ，所 角 以 形 这 的 个 三 三 边 角 长 A
（ 年广东佛山期中）下面给出的 （）求 A的度数 C 形为“不均衡三角形” D E
4. 2026 1 ∠ . A . O
四 大小 个 来 三 进 角 行 形 分 都 类 有 ， 一 其 部 中 分 不 被 能 遮 判 挡 断 ， 三 如 角 果 形 按 类 角 型 的 （ 2 ）判断 △ ABC的形状，并说明理由 . B 图 D 2 C B 图 3 C E F D 均衡 （ 三 1 ） 角 以 形 下 ”的 两 为 组 _ 长 __ 度 __ 的 _ （填 小 序 木 号 棍 ） 能 . 组成“不 B 图 C
的是 （ ） 4 . 如图 3 ，在 △ ABC中，BD是 △ ABC的角平 B D C E A B ①13cm ， 18cm ， 9cm ； ②9cm ， 8cm ， 6cm. 11
分线，若 ABC= °，则 DBC=_________. 图 图 （）已知“不均衡三角形”的三边长分别
∠ 80 ∠ 3 4 2
. 若一个三角形的三条高的交点恰好是三 .如图 ， ABC和 DEF都是直角 为 x ， ，x ，则x的整数值为
5 ★★7 4 △ △ 2 +2 16 2 -6 ________.
三角形，C F ，B ，D ，点A在 三、解答题（满分 分）
角形的一个顶点，则这个三角形是__________三 ∠ =∠ =90° ∠ =45° ∠ =30° 40
DE上 若DF AB，则 CAD的度数为 （ ） （. 分）如图 ，在 ABC中，M是BC
A. B. C. D. 角形（. 填“锐角”或“直角”“钝角”） . ∥ ∠ ★15 8 9 △
.若直角三角形的一个锐角为 °，则
5 25 .如图 ，已知 ABC. A.60° B.45° C.30° D.15°
边的中点，试说明：AM BM＞1（AB AC）
+ + .
它的另一个锐角的度数为________. 6 4 △ （ 年甘肃定西期中）【数学文 2
（）过点A画出中线AD. ★★8. 2026 A
（ 年河北张家口 1 化】《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓
6. 2026 （）画出角平分线CE.
期末）拼装智能生产线时，所 2 之宣（ ），一宣有半谓之欘（ ）……”意
3 （）作AC边上的高BF. 思是：“ xu … ān …直角的一半的角叫 zh 作 ú 宣，一宣 C B
需一个零件的形状如图 所 3 M
示，按规定 ， 比 2 2 A 半的角叫作欘……”即： 宣 1 矩， 欘 图 9
1 = 1 =
∠1=20° ∠2 ∠3 1
4 2
大 ，则 的度数应该为
10° ∠4 图 2 B C 1 1 宣（其中， 1 矩 =90° ） . 问题：图 5① 为中国
________. 图 4 2 （培优题见第 版）
4
