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4 数数 学学 广广 角角 《中学生学习报》在河南省第十三届报纸综合质量检测中，再获“一级报纸”荣誉称号
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22
数数 学学 第第 期期
总第1060期
周周 刊刊 2026年7月10日
本
报
主
编
彭
颖
责 任
编
辑
宋
春
艳
电
话
（
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0371
）
87071644
数学·沪科·中考（上）·第 2 期
方案 ：每件商品涨价不超过 元； （）求y与x之间的函数关系式
培优园地（满分： 分) A 5 1 .
30 方案 ：每件商品的利润至少为 元. （）网球被击出后经过多长时间达到最大
B 16 2
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明 高度？最大高度是多少？
（ 分）已知抛物线y=mx +（ -
2 理由. （）当t为 秒时，小明将球击回，球在第
★★★1. 10 1
3 1.6
m）x-（m ）.
一象限的运动路线可以看作是二次函数y
5 5 ≠0
=
（）求证：无论m为任何非零实数，抛物线
x px m（p，m为常数）图象的一部分，其
1 -0.02 2 + + 中中考考
与x轴总有交点.
中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平
（（上上））沪科
（）若抛物线y=mx +（ - m）x- 与x轴交
2 距离 当网球所在点的横坐标x为 ，纵坐标y
2 1 5 5
. 2
于A（x，），B（x，）两点，且|x-x|= ，求m的值.
大于等于 时，p的取值范围为
（ 1 ） 0 若m> 2 ，点 0 P（a，b）与 1 Q（ 2 a+ 6 n，b）在（）中 1.8 ___________ 社长、总编辑：李开振 副总编辑：薛映虹 喻艳和 国内统一连续出版物号： – （）
3 0 2 （直接写出结果） CN41 0702/ F
.
的抛物线上（点P，Q不重合），求代数式 a 2 -n 2 + y米
n的值. 4 / 二二二次次次函函函数数数与与与反反反比比比例例例函函函数数数（（（ ，，， ）））
8 4.2 小明击球点 222111...333 222111...444 本 期 导 读
3.2
A
1. O 8 核核核心心心知知知识识识讲讲讲练练练
2 4 x / 米
安安徽徽 李李丽丽芳芳
□□ ○○ 重点：
二次函数与一元二次方程之
核心知识 内容
1.
间的关系
抛物线y ax2 bx c（a ）与x轴交点的 坐标就是一元二次方程ax2 bx .
= + + ≠0 ________ + + 二次函数的实际应用
c （a ）的根，也就是当y 时自变量x的值 2. .
（. 分）（ 年山东青岛）小磊 二次函数y ax2 bx c（a ）与 =0 ≠0 =________ . 推荐：生活中如何构建二次函
= + + ≠0
和小 ★ 明 ★ 练 ★ 习 3 打网 10 球 在 2 一 02 次 5 击球过程中，小磊 一元二次方程ax2 bx c=（a Δ ＞ 0⇔ 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴有 ______ 个交点 . 数模型优化决策呢？第 版《构建模
+ + 0 ≠
从点O正上方 米的 . A点将球击出 0 ）的关系 Δ=0⇔ 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴有 _______ 个交点 . 型 灵活解题》详解销售 4 定价问题，
1.8 .
信息一：在如图所示的平面直角坐标系 ＜ 抛物线y ax2 bx c与x轴无交点 助你将实际问题抽象为数学模型，
Δ 0⇔ = + + .
（. 分）某商品的进价为每件 元， 中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以 精准求解最值！
★★★2 10 20 解决与二次函数有关的实际问题，应先根据题意求出相应的函数表达式，再利用
当售价为 元时，每天可卖出 件.市场调 看作是二次函数y ax bx （a，b为常数）图 实际问题与二次函数 25 250 = 2 + +1.8 二次函数的性质解决问题
查反映：若调整价格，一件商品每涨价 元， 象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是 .
1
每天要少卖出 件. 球和原点的水平距离，图象经过点（ ， ），（ ，
当x 时，y ； 大，最大产量是 千克
10 2 3.2 4
（）求出每天所获得的销售利润w（元）与 ） 典例精讲 =0.6 =-0.04 8450 .
1 4.2 . 当x 时，y
每件涨价x（元）之间的函数关系式. 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时 =0.7 =0.19. 筑基精练
知识点 ：二次函数的图象与x轴的交点 因此，x 是方程的一个根
（）求销售单价为多少元时，该商品每天 间（t 秒）（ t ）之间近似满足一次函数关 1 =0.6 .
的销售 2 利润最大. 系，部分数 0 据 ≤ 如 ≤1 下 .6 表所示 情况 同理，x =-1.6 是方程的另一个根 . 1. 二次函数y = x 2 -2 x -1 与x轴的交点个数
（）商场的营销部在调控价格方面，提出 . 例 （ 年广东湛江模拟）关于二次函 方程x 2 x 的根是 和 为 （ ）
3 t / 秒 0 0.4 0.6 … 1 2026 ∴ + -1=0 0.6 -1.6.
了 ，两种营销方案. 数y x x 的图象与x轴交点个数的情况， 知识点 ：二次函数的实际应用 .有两个不同的交点
A B x / 米 0 4 6 … （安徽 蒋永斌供题/答案见第 期） = 2 -3 -1 3 A
4 下列说法正确的是 （ ） 例 一片果园有果树 棵，现准备多 .只有一个交点
3 100 B
有两个交点 有一个交点 种一些果树提高果园产量，但是如果多种树， .没有交点
A. B. C
构构 建建 模模 型型 灵灵 活活 解解 题题 没有交点 无法判断 那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减 .无法确定
C. D. D
思路点拨：令y= ，得到关于x的一元二 少，单棵树的产量随之降低 若该果园每棵果 （ 年河南许昌模拟）若抛物线y x 2 0 . 2. 2026 = -
专题讲座 次方程，然后由 的值来判断. 树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的 x c（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符
Δ +
安徽 蒋宇珩
解：令y ，则x x （ ） 合条件的c值：
□ ○ =0 2 -3 -1=0.∵Δ= -3 2 -4× 函数关系为y 1 x ____________.
=- +80.
数量 二 关系 次 和 函 变 数 化 是 规 反 律 映 的 现 常 实 见 世 数 界 学 中 模 变 型 量 ， 之 学 间 好用 的 标 建立 系 二 等 次 ，充 函 分 数 挖 模 掘 型 问 来 题 解 中 题 的 . 已知条件，适时地 ∵ ∴ a 当 =- x＜ 1 ＜ 25 0 ， 时，w随x的增大而增大 . 1 不 象 × （ 与 相 - 等 x 1 ） 轴 的 = 有 9 实 + 两 4 数 = 个 1 根 3 交 ＞ .∴ 点 0 ， 二 ∴ 故 次 方 选 函 程 数 x 2 - y 3 = x x - 2 - 1 3 = x 0 - 有 1 的 两 图 个 多少 （ 棵 1 ） 时 在 ，果 投 园 入 可 成 2 以 本 收 最 获 低 果 的 实 情 8 况 2 下 50 ， 千 增 克 种 ？ 果树 全 间隔 利 有 3 用 . 如 一 墙（ 道 图 墙 篱 2 的 ， 笆 有 最 的 长 大 长 为 可 方 用 2 形 4 长 m 花 度 的 圃 a 篱 ， 为 设 笆 1 花 0 ， 圃 现 m ） 的 一 围 宽 面 成 A 中 完 B
活二次函数可以解决实际生活中的许多问题 例 某景区商店销售一种纪念品，这种商 x ， . A.
. ∵10≤ ≤16 知识点 ：根据二次函数的图象求一元二 （ 2 ）当增种果树多少棵时，果园的总产量 为x ，面积为S 2
解决此类问题的关键是将实际问题转化为函 品的成本价是 元件，已知销售价不低于成 当x 时，w取得最大值，最大值为 2 m m.
w（千克）最大？最大产量是多少？
10 / ∴ =16 144. 次方程的根 （）求S与x之间的函数表达式及x的取
数问题，即建立二次函数模型 现将构建二次 本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高 答：每天的销售利润w（元）与销售价 1
. 例 用图象法求一元二次方程x x
思路点拨：（）由题意列出方程即可求解
值范围
2 1 .
函数模型的两种常见方法梳理如下，供同学们 于 元件，市场调查发现，该商品每天的销售 x（元 件）之间的函数关系式为w x x 2 + -1=0 .
2 （）先根据题意列出w与x之间的函数关
16 / / =- +50 - 的根（精确到 ） （）当AB的长是多少米时，围成的花圃的
2
参考 . 量y（件）与销售价x（元 / 件）之间的函数关系如 400 ，当每件销售价为 16 元时，每天的销售利 思路点拨 0 ： . 二 1 次 . 函数的图象与x轴交点的 系式，再根据二次函数的性质得出结论． 面积最 2 大？最大面积为多少？
一、根据具体问题中的数量关系构建二次 图所示 . y件 润最大，最大利润是 144 元 . 横坐标是相应的一元二次方程的根，因此可通 解：（ 1 ）根据题意，得 a
函数模型 （ 1 ）求y与x之间的函 30 / 过画函数图象求对应的一元二次方程的根. （ 1 x ）（ x） A D
在解决商品销售利润、汽车行驶的路程等 数关系式，并写出自变量x 24 第 版“筑基精练”参考答案 解：画出二次函数y x x 的图象如图 - 2 +80 100+ =8250. B C
最 中 值 的 及 数 方 量 案 关 决 系 策 ，借 类 助 问 总 题 利 时 润 ，先 = 销 梳 量 理 × 蕴 单 含 件 在 利 题 润 目 、 的取 （ 值 2 ） 范 求 围 每 . 天的销售利润 O 10 16 x（ / 元 / 件） 1 3 （ . . A 1 ） 2 S .1 （ =- 答 1 3 x 案 2 + 不 24 唯 x（ 一 1 ， 4 只 ≤ 要 x＜ 满 8 足 ） . c （ ＞ 2 ） 1 4 当 即 A 可 B ） 的 所 和 示 1 之 ，它 间 与 ，另 x 一 轴 个 有 在 2 个 -2 交 和 点 = -1 ， 2 + 之 其 - 间 横 1 坐 . 标一个在 0 1 解 ∵ 得 要 x 使 x 1= 投 1 不 0 入 ， 满 x 成 2 足 = 本 5 题 0 最 . 意 低 ，舍 ， 去 图 2
路程 速度 时间等公式合理设元，从实际问题 w（元）与销售价x（元件）之间的函数关系式， 3 y ∴ 2=50 .
= × / 长是14 时，围成的花圃的面积最大，最大面积 增种果树 棵时，果园可以收获果实
中抽象出二次函数模型，再利用二次函数的性 当每件销售价为多少元时，每天的销售利润最 3 m 5 ∴ 10
质解决问题 大？最大利润是多少？ 是140 m 2 . 4 8250 千克 .
. 3 3
二、根据实际问题中的图形（象）特征构建 解析：（）设y与x之间的函数关系式为y 2 （ 2 ）根据题意可知，w = （ - 1 x +80 ）（ 100+ （参考答案见第 版）
二次函数模型 { k
1
b ， {k ，
= 1O 2 4
在解决平面图形的面积、立体图形的体 kx + b，则 10 k + b =30 解得 b =-1 -5-4-3-2-1 -1 1 2 3 4 5 x x） =- 1（x -30 ） 2 +8450. 16 + =24. =40. 2
积、篮球的飞行高度、石拱桥等最值及相关的 y x （ x ） -2 1 ， 当x 时，w有最大值，最大
∴ =- +40 10≤ ≤16 . -3 ∵- <0 ∴ =30
数学问题时，常常需要借助平面图形的面积公 （ 2 ）根据题意，得w = （x -10 ）y = （x -10 ）（ - x + -4 值为 2
式、立体图形的体积公式、合理的平面直角坐 ） x 2 x （x ） 2 -5 图 84 当 50 增 . 种果树 棵时，果园的总产量最 名师讲堂
40 =- +50 -400=- -25 +225. 1 ∴ 30
出版发行：《中学生学习报》社有限公司 发行部电话：（0371）53610175 印刷：郑州德厚印务有限公司 厂址：新密市米村镇方山村一组 四开四版 半年价：36.00 元
● ● ● ● ● ●2 同同 步步 精精 练练 学学 情情 评评 价价 3
数学·沪科·中考（上）·第 2 期 数学·沪科·中考（上）·第 2 期
二二二次次次函函函数数数与与与反反反比比比例例例函函函数数数（（（ ，，， ）））作作 业业 设设 计计
如图 ，将一根长 的铁丝弯成一个 A出发向点C运动，同时点F以相同的速度从 222111...333 222111...444
1. 1 30cm
矩形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个矩 点C出发向点B运动，点F运动到点B停止，当
班级：_______ 学号：_______ 姓名：_______ 成绩：_______
形的一边长为x（ ），它的面积为y（ ），则y AE 时， ECF的面积最大 2
cm cm =______ △ . 与x之间的函数关系式为 （ ） 如图 ，某农场要建一个矩形养鸡场，鸡 编读交流
4. 4 温馨提示：本版满分120分，第4版培优园地满分30分.各地可根据实际情况灵活选用120分或150分评价
y x x y x x 场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成 已知 2 2
A. =- +30 B. =- +15 .
y x x y x 墙长 ，木栅栏长 ，在与墙垂直的一边 2 2
C. = -30 D. =- D 2 +15 留出 25 m 宽的出入口（ 47 另 m 选材料建出入门）求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 位： s ）之间的关系式为h =30 t -5 t（ 2 0≤ t ≤6 ） . 有下 ★★16 （ . 14 分）学校为美化环境，打造绿 C 1 m . 列结论： 小球从抛出到落地需要 ； 小球 色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足 鸡场的最大面积 答案 ① 6s ②
. 运动过程中的高度可以是 ； 小球运动 够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为 ， 30 m ③ A
A B 出入口 一、选择题（本大题共 小题，每小题 时的高度小于运动 时的高度 其中，正 两块（如图 ），花园里种满牡丹和芍药 学校
图 1 图 2 分，满分 分） 10 4 2 确 s 结论的个数是 5 s . （ ） B 已定购篱笆 8 设计一个使花园面积 . 最大 在综合实践活动中，同学们借助如图 40 的方案，并求 1 出 20 其 m 最 . 大面积 所示 2 的 . 直角墙角（两边足够长），用 长的篱 2 图 4 ★1 （ . 2026 年内蒙古赤峰期中）某工厂七 A.0 B.1 y .
24m 月份生产零件 万个，设该厂第三季度平均 C.2 D.3
笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD 每月的增长率 5 为 0 x，如果第三季度共生产零 二次函数y x 2 bx ★★9. = + -1 A B
的最大面积为 （ ） 件 y 万个，那么y与x满足的函数关系式为 的图象如图 5 所示，对称轴为 O x
2 2 （ ） 直线x =1 ，若关于x的一元二次 图 8
A.100m B.124m 方程x x t （t为实数）在
y （ x） 2 C.144m 2 D.240m 2 A. =50 1+ 2 ＜x＜ -2 的 - 范 1- 围 = 内 0 有实数解，则 图 （ 年湖北荆州模 C y （ x） -1 4 5 3. 2025 B. =50+50 1+ t的取值范围是 （ ） y （ x） （ x）
拟）如图 ，在 ABC中， E 2
ACB 3 ，AC Rt B △ C ，D 为 F C D . . y = = 5 5 0 0+ 1 5 + 0 （ 1 + + 5 x） 0 + 1 5 + 0 （ 1+ x） 2 A. t ≥-2 t＜ B.-2 ＜ ≤ t t ＜ ＜ 7
∠ =90° = =8 （ 年福建泉州模拟）若关于x的一 C.-2≤ 2 D.2 7
AB的中点，E，F分别是边 A D B ★2. 2026 （ 年天津模拟）某商店销售 （ 分）（ 年甘肃兰州模拟） AC，BC上的动点，点E从点 图 3 元 x 2= 二 3 ， 次 则 方 抛 程 物 x 2 线 + bx y + = c x = 2 + 0 b 的 x + 两 c 个 的 根 对 分 称 别 轴 为 为 x 1 直 =-1 线 ， 一种 元 ★ 产 ，每 ★ 品 日 ★ ， 销 成 10 量 本 . 2 为 为 02 每 6 件 件， 4 经 0 元 过 ， 市 原 场 售 调 价 查 为 ， 每 若每 件 一 的路 名 ★ 线 运 ★ 是 动 ★ 抛 员 1 物 在 7. 线 距 1 的 篮 6 一 下 部 4 2 分 m 02 处 ， 6 当 跳 球 起 运 投 行 篮 的 ，球 水 运 平 行 距
（ ） 60 50 件售价每涨价 元，则每日销量减少 件 设售 离为 时，球达到最大高度 ，然后准
x x x x 1 2 . 2.5 m 3.5 m A. =-1 B. =0 C. =1 D. =2 价为每件x元，x为正整数 有下列结论： 若 确落入篮圈 已知篮圈中心到地面的距离为
【新情境】（ 年陕西） . ① .
★3. 2026 y x ，则销售该商品当日利润为 元； 若
葡萄 1 酒 （ . 杯 20 ， 2 酒 6 年 杯 安 的 徽 上 芜 半 湖 部 期 分 末 是 ） 以 如 抛 图 物 1① 线 是 为 一 模 只 型 时的形状满足抛物线y =- 1 4 x2 + h，甩绳的两名 某 股 种 水 鱼 流 在 ，如 捕 果 食 不 时 考 ，能 虑 从 空 口 气 中 阻 射 力 出 ，那 一 要 =7 ； 取 0 得 有 最 两 大 种 利 定 润 价 ， 方 又 式 尽 可 量 以 让 使 利 利 消 润 8 费 为 00 者，则 ② 元 x = 3 求 .0 抛 5 （ m 物 1 . ） 线 建 的 立 表 如 达 图 式 9 所示的平面直角坐标系， 同学两手之间的距离AB ，两人甩绳的手 么射出的水流可以看成抛物线的 63 ③ 1008 . . 设计而成的，且成轴对称 =4 m 其中，正确结论的个数是 （ ） （）该运动员的身高为 ，在这次跳
y 距地面的距离均为 ，则绳的最高点C与地 一部分 按如图 所示的平面直角 O x 2 1.82 m
图 的 形 上 . 半 从 部 正 分 面 是 看 一 葡 条 萄 抛 酒杯 物 A D B 面之间的距离为 0.9m （ ） 坐标系， . 某条该种 1 鱼在一次捕食中 图 1 A 二 .3 、填空题 B （ .2 本大题 C 共 .1 小题， D 每 .0 小题 分， 投 时， 过 他 程 跳 中 离 ， 地 球 面 在 的 头 高 顶 度 上 是 方 多 0.2 少 m ？ 处出手，球出手
线 若AB ，CD ，以顶 y /m C 射出的水流的高度y（ cm ）与水平距离x（ cm ）的 满分 分） 4 5 y /m
. =4 =3 C x 关系可以表示为y =-0.1 x 2 +6 x，则这条鱼此次射 20 （ 年北京期中）已知二次函数y
点C为原点建立如图 出的水流的最大高度是 （ ） ★11. 2026 =
1② ax ax a 的图象与x轴的一个交点坐标是
所示的平面直角坐标系， A O B x 2 -2 + -4
则抛物线的表达式为 ① 图 ② ① ② /m A.9c 如 m 图 B ， .3 某 0c 建 m 筑 C 队 .9 在 0 一 cm 边 D 靠 .3 墙 60 处 c （ m 墙足 （ 3 ， 0 ），则关于x的一元二次方程ax 2 -2 ax + a -4=
1 图 的两个实数根是
（ ） 2 够长） ★ ， 4 计 . 划用 2 长的铁栅栏围成一个矩形 0 （ 年 __ 黑 __ 龙 __ 江 __ 绥 __ 化 ___ 期 __ 末 . ）运动会 3.05m
A.1m B.0.9m 仓库，仓库的总 15 面 m 积为y ，在平行于墙的一 ★12. 2026
A. y = 3x2 B. y = 3 x2 C.1.9m D.2.9m 边留下一个 宽的缺口作 m 小 2 门 若设AB x ， 上，某运动员掷铅球时，铅球的飞行高度y（ m ） O x /m
4 16 （ 年广东清远模拟）篮球运动员在 1m . = m 与水平距离x（ ）之间的函数关系式为 y 2.5m
C. y =- 3x2 D. y =- 3 x2 罚球 3 线 . 投 20 篮 26 球的运动轨迹是一条抛物线 设篮 则y关于x的函数关系式为 （ ） m = 4m 图
4 16 . y x（ x） y x（ x） 1 x2 19x 5 ，则该运动员的成绩是 9
【新情境】如图 ，多人花样跳绳形式 球的高度y（ ）与水平距离x（ ）的函数关系式 A. = 15-2 B. = 16-2 - + + ____m.
2. 2① m m y x（ x） y x（ x） 12 12 3 多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明 为 y =-0.2 （x -1.5 ） 2 +3.2 （ 0≤ x ≤4 ），则 当 x = C. = 14-2 D. = 16 y - ★★13. 如图 6 ，四边形ABCD的两条对角
线AC，BD互相垂直，且AC BD ，则四边形
显，受到大众的喜爱 . 如图 2② ，绳被甩至最高处 _______m 时，篮球达到运动轨迹的最高点 . A A H B D E ABCD面积的最大值为 + =8
4. 如图 3 是一抛物线形 B C O F x A D ___________.
拱桥，当拱顶到水面的距离 图 图 D C E 2 3
为 时，水面宽度为 ， 【新情境】一副眼镜的两个镜片的下
2 m 4 m ★5.
那么当水位上升 后，水 半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且 （ 分）某商场以每件 元的价
A B 1 售 调 0 查 单 元 发 1 价 的 （ . 现 不 价 20 ， 低 格 2 该 6 于 购 年 文 进 进 具 甘 一 价 每 肃 种 且 天 天 文 不 的 水 具 高 销 模 ， 售 于 拟 销 数 ） 2 售 1 某 量 元 该 超 y（ 文 . 经 市 单 具 过 以 位 时 市 每 ： ， 件 销 场 件 ） 出 商家 2 （ （ 箱 平 1 2 ） ） . 均 每 每 每 箱 箱 天 石 石 能 榴 榴 盈 降 降 利 价 价 1 多 2 _ 0 _ 少 0 _ 元 _ 元 _ . _ 时 __ ， _ 商 __ 家 __ 平 元 均 时 每 ， 面 平 线 的 将 地 宽 5 是 面 . 如 度 一 成 图 为 条 30 _ 4 抛 ° _ ， 角 _ 以 物 _ 的 _ 线 4 _ 1 方 0 m ， m m 向 如 . /s 击 果 的 出 不 速 时 考 度 ， 虑 将 小 空 小 球 气 球 的 阻 沿 飞 力 与 行 ，小 路 水 在 示 4 B 达 D （ c 式 平 = m 1 2 为 ， 面 c 最 c m m 直 低 ， 对 角 则 点 应 坐 轮 C 一 标 廓 在 个 系 线 x 单 轴 中 DF 位 上 关 E 长 ， 于 所 C 度 H 在 y ⊥ 轴 ） 抛 A ， 对 B A 物 B 且 称 线 ∥ ， C 的 x 如 H 轴 （ 函 = 图 1 ， 数 A c 3 m B 所 表 ） = ， 是 A 为 B B 某 为 ★ 座 2 ， 0 ★ 景 抛 图 m ★ 观 物 ， 6 抛 1 灯 线 C 4 物 （ . D 形 2 ， 线 0 拱 E 2 最 在 5 桥 年 高 该 的 安 点 抛 示 徽 C 物 意 到 滁 线 图 水 州 上 ， 面 模 ， 已 图 D A 拟 知 E 7 B ） 水 的 如 A 面 距 B 图 若 离 宽 7 格 与 部分 购 销 （ （ 图 ★ 进 售 1 ） ） ★ 象 一 单 求 在 ★ 如 种 价 这 这 1 图 商 x 段 （ 8 段 . 品 1 元 时 0 1 时 ， 6 / 间 所 件 在 间 内 示 ） 一 之 内 y . 段 与 间 ， 时 x 若 是 之 间 销 一 间 内 次 售 的 ，销 函 单 函 售 数 数 价 80 量 关 表 不 系 达 y（ 低 式 ， 件 其 于 ） .
与销售单价x（单位：元）之间满足y x ， 天盈利最多？ 球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单 5m ∥ . 2
则销售该文具每天获得的最大利润是 =- （ 2 +60 ） 位：）之间具有函数关系h m t t 2 A. y = 1（x +3 ） 2 B. y = 1（x -3 ） 2 两 与 盏 AB 灯 之 之 间 间 的 的 距离 距 为 离DE为 4 5 m ，则直线DE 1 任 00 务 元 ，当 ，且 销 商 售 场 单 还 价 要 为 完 多 成 少 不 时 少 ，商 于 场 22 获 0 件 得 的 利 销 润 售 最
s =20-5 . 4 4 ______m.
A.200
元
B.180
元 （
1
）小球飞行的最大高度是
_____m. C.
y
=
1（x
-4
）
2 D.
y
=-
1（x
-4
）
2
三、解答题（满分
60
分） 大？最大利润是多少？
元 元 （）求小球在高于 （包括 ）的空中 4 4 （ 分）（ 年江苏淮安期末）已 y件
C.170 D.160 2 15m 15m 如图 是二次函数y ax 2 bx c的图 ★★15. 14 2026 /
某超市购进一批单价为 元的生活用 保持了多少秒 ★★6. 4 = + + 知二次函数y x 2 x k（ 2 k为常数）
2. 8 . 象，则不等式ax 2 + bx + c＜ 3 的解集 y （）求证 = ：无 - 论 6 k - 取何值，该函 . 数的图象与 300
品，如果按每件 元出售，那么每天可销售 是 （ ） 1 200
9 3 x轴总有两个公共点
件 经调查发现，这种生活用品的销售单价 ＜x＜ .
20 . A.-1 3 （）若该函数的图象与x轴的一个交点的
每 销 提 售 高 价定 1 元 为 ，其销售量相 元 应 时 减 ， 少 才 4 能 件 使 ， 每 那 天 么将 所 图 4 B C . . x 0 ＜ ＜ - x＜ 1 或 2 x＞ 3 -1 O 图 1 4 x 横坐标 2 为 -1 ，求出k的值及另一个交点的坐标 . O 图 10 1 0 0 120 x（ / 元 / 件）
__________ x＜ 或x＞
获销售利润最大 D. 0 2
. 【易错题】若函数y（a ）x 2 x a
河阴石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中 ★★7. = -1 -4 +2
3. 的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为
国国家地理标志产品的美誉 某商户购进一
（ ）
.
批石榴进行销售，进价为 元箱，当销售价 或 或 或
80 / A.-1 B.2 C.-1 2 D.-1 2 1
为 元箱时，每天可售出 箱 经市场调查 从地面竖直向上抛出一小球，小球
120 / 20 . ★★8.
发现：每箱石榴每降价 元，平均每天可多售 的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单
1 m （培优园地见第 版）
4
仃仃仃仃仃仃仃仃 仃仃仃仃仃仃仃仃 仃仃仃仃仃仃仃仃 仃仃仃仃仃仃仃仃 仃仃仃仃仃仃仃仃 仃仃仃仃仃仃仃仃
二次函数y ax 2 bx c的图象经 精精 练练
二二次次函函数数的的应应用用——图图形形面面积积问问题题
1. = + +
精精 过点（ ，），（ ，），则关于x的方程
-5 0 3 0
练练 ax 2 bx c 的根是 （ ）
+ + =0
x ，x x ，x
A. 1=0 2=3 B. 1=-5 2=0
x ，x x ，x
二二 C. 1=5 2=-3 D. 1=-5 2=3 函数y x x 的图象与x轴的
2 次次 2. = - +1
交点的情况是 （ ）
函函 有两个交点 有一个交点
A. B. 数数 没有交点 无法判断 C. D.
根据下表中二次函数y x x 与与 3. = 2 -2 -2
的自变量x与函数y的对应值，估算一
一一 元二次方程x x 的一个近似根x 2 -2 -2=0 元元 的范围是 （ ）
二二
x -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5
次次 y x2 x = -2 -2 0.61 0.24 -0.11 -0.44 -0.75
方方 ＜x＜
A.-0.9 -0.8
＜x＜ 程程 B.-0.8 -0.7 ＜x＜ C.-0.7 -0.6
＜x＜ D.-0.6 -0.5 （ 年广东珠海模拟）若二次函
4. 2026
数y x x 与x轴的交点分别为（x，），（x， 2 =2 + -1 1 0 2 ），则x x 0 1+ 2=_________.
已知二次函数y x x ，画出这个二 2 5. = -4 -5 二二次次函函数数的的应应用用——拱拱形形问问题题
次函数的图象，根据图象回答下列问题： 精精 练练
（）方程x x 的根是什么？ 2
1 -4 -5=0 （）当x取什么值时，y ？当x取什么值 2 >0 时，y ？ <0
二二次次函函数数的的应应用用——利利润润问问题题 精精 练练 2m
4m 图 3
