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荆州中学 2024 级高三起点考试
数 学 试 题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.设 ，其中 ， 是实数， 是虚数单位，则 ( )
A. B. C. D.
2.在 中，“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知等比数列 满足 设 ，记 的前 项和为 ，则
君
( )
卷
A. B. C. D.
试
4.已知 展开式的二项式系数和为 ，则该展开 考 式中常数项为( )
A. B. C高. D.
：
5.已知随机变量 ， 均服从两点分布，且 ， ，若 ，则
号
( )
众
A. B. C. D.
公
6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求现某大学为
提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门
选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同
学的不同选修方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数 ，若 存在最小值，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数 是定义在 上的偶函数， 是 的导函数， ，若
在 上恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ， ，则
A. B. C. D.
10.已知函数 的定义域为 ，函数 为偶函数，函数 为奇
函数，则下列说法正确的是( )
A.函数 的一个对称中心为
B.
C.函数 为周期函数，且一个周期为
D.
11.函数 下列说法中正确的有( )
君
A.函数 是偶函数
卷
B. ，使 为周期函数
试
C.当 ， 时， 的极小值为
考
D.当 ， 时， 恒成立
高
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
：
12.已知集合 号，且 ，则 的取值范围是 ．
众
13.命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围为 ．
公
14.已知：(ⅰ)在一系列独立重复的伯努利试验中，用 表示事件 第一次发生时已经进行的试验次数，记每
次试验中事件 发生的概率为 ，则 的分布列为 ， 如
果随机变量 具有上式的形式，则称随机变量 服从几何分布，且 ；
(ⅱ)若随机变量 ， 满足 ，则．
连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到 ， ， 点均出现为止，则抛掷总
次数的数学期望为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.设正项数列 的前 项和 满足 ．
求数列 的通项公式设 ， ，求数列 的前 项和 ．
16.如图，正方形 所在平面和等腰梯形 所在平面互相垂直，已知 ， ，点
在线段 上．
君
卷
试
考
求证：平面 平面
高
当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 ．
：
号
众
公
17.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率
为 ，前一局赢后下一局继续赢的概率为 ，前一局输后下一局赢的概率为 ，如此重复进行记甲同学第 局
赢的概率为
求乙同学第 局赢的概率
求
若存在 ，使 成立，求 的最小值．18.已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上， ， 为 的左、右顶点．
求 的方程
若点 ， 在 的右支上 在第一象限 ，直线 ， 分别交 轴于 ， 君两点，且 ．
卷
(ⅰ)探究：直线 是否过定点 若过定点，求出该定点坐标 若不过定点，请说明理由
试
(ⅱ)设 ， 分别为 和 的面积，求 的取值范围．
考
高
：
号
众
19.已知函数 ．
公
若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
若 对 恒成立，求整数 的最小值；
当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 ．荆州中学 2024 级高三起点考试
数 学 答 案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12. 13. 14.
15. 解： 由 ，两边平方可得 ，
可知 ，
两式相减，得 ，
即 ，
君
， ， 当 时， ， ，
卷
则 是首项为 ，公差 的等差数列， 的通项公式为试 ；
因为 ， 考
高
所以 ，
：
所以
号
．
众
16. 解： 证公明：因为平面 平面 ，
平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
过 作 于 ，则 ， ， ，
所以 ，则 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ；以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ， ，则 ，所以 ，
君
故 ， 卷
试
设 为平面 的法向量，
考
则 ，即 ，高解得 ，令 ，得 ，
：
设直线 与平面 夹角为号， ， ，
众
整理得 ，即 ，所以 或 ，
公
所以 或 ．
17. 解： 由题意甲同学第 局赢的概率为 ，
所以乙同学第 局赢的概率为
由已知 时， ，
所以 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以即 ，
令 ，则 ，
易知 是减函数， ，所以 时， ， 单调递减，
显然 ，因此要求 的最小值，即求 的最大值，
又 ，
为偶数时， ，单调递减，所以 ，
为奇数时， ，单调递增，所以 ，所以 是 中的最大值，
所以 ，．
君
18. 解： 因为离心率 ，
卷
所以 ，而 ，所以 ，所以双曲线的方程为 ，
试
将点 代入双曲线方程，得 ，所以 考， ，
高
所以 的方程为 ；
：
直线 过定点 ，
号
由双曲线 的方程可知众， ，设 ， ，
公
由 ，可设 ， ，
则直线 即 的方程为 ，
联立
整理得 ，
由题设知 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又直线 即 的方程为 ，
联立 ，得 ，
由题设知 ，且 ，由根与系数关系，得 ，
所以 ，所以 ，
，
当 时， ，即 ，
解得 ， ，
当 时，直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，
君
化简整理得 ，
卷
所以直线 过定点 ；
试
由 知，直线 过定点 ， 考
高
则 ，
：
由 知 ， ，
号
众
所以 ，
公
又点 ， 在双曲线 的右支上， 的渐近线方程为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
于是 ，
令 ， ，
则 ， 在 单调递减，
所以 在 单调递增，所以当 ，即 时， 取得最小值 ，
所以 的取值范围是
19. 解： ，由 得： ．
， ，所以由必要性 ，
当 时， ， ，不符合，故
下证 时成立，此时 ，
当 时， ，
而 ，所以 在 递增，在 递减，
君
又 ， ，所以 ，即 ．
卷
当 时， ，所以 ．
试
所以当 时，均有 对 恒成立，
考
综上所述，整数 的最小值为 ．
高
法二：下证 时成立，此时 ，
：
当 时， 号，令 ，
众
则 在 上递增，
公
而 ， ，所以存在 ，使得 ，即 ，
而 ，所以 ，
则 ，
所以 在 递增，有 ．
当 时， ，
所以 ，也成立．
综上所述，整数 的最小值为 ．
当 时， ，
令 ， 在 上递增，
而 ， ，所以存在 ，使得 ，所以 在 递减，在 递增，
又 ， ， ，
所以存在 ，使得 ，
所以 在 递减，在 递增，
又当 时， ，所以 在 递增，
所以 在 递减，在 递增，
所以 是 在 上的唯一极小值点．
此时 ， ，
君
所以在 ，也即 上存在唯一零点 ，且 ； 卷
试
下证： ．
考
因为 ，所以 ，又 在 递增，所以只需证 ．
高
即证
：
号
，
众
而 ，只需证明： ，
公
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增， ，
所以 成立，证毕．8. 解：因为 是定义在 上的偶函数，则 ，已知 ，
将 换为 得 ，即 ，
得 ，所以 ，
由 ，把 代入得 ，即 在 上恒成立，
设 ，则 ，令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减 当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
11. 解：对 选项，函数 ，定义域为 ， 君
所以 卷，故A正确；
试
对 选项，因为 是周期函数， 不是周期函数，故B错误；
考
对 选项，当 ， ， ，
高
所以 ， ，
：
令 ， 号
众
解得 或 或 ，
公
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
则 的极小值为 ，故C正确；
对 选项，令 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上恒成立，故D正确．
故选： ．
14. 解：设事件 表示抛掷一枚骰子朝上的点数为偶数，
设随机变量 表示事件 第一次发生时已经进行的抛掷次数，
由于每次试验中，事件 的概率总为 ，故 服从几何分布， ，
记第一个投出的偶数点数为 ；
君
设事件 表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了 以外的两个偶数，
卷
设随机变量 表示从出现第一个偶数后，直到出现第二个不同偶数所进行的额外抛掷次数，
试
在接下来的每次试验中，事件 的概率总为 ，故 服从几何分布， ，
考
记第二个出现的偶数点数为 ； 高
设事件 表示抛掷一枚骰子朝上的点数：为除了 ， 以外的那个偶数，
设随机变量 表示从出现第二号个不同偶数后，直到出现第三个偶数所进行的额外抛掷次数，
众
在接下来的每次试验中，事件 的概率总为 ，故 服从几何分布， ，
公
经过三个步骤，能保证 ， ， 点恰好均出现，且出现次数最少的点数出现的次数为 ，
随机变量 为抛掷骰子直至 ， ， 均出现时已经进行的试验次数，
，
故 ．
故答案为： ．
