01_数学_2025-2026学年度江苏海安市高三上学期开学考试_试卷+答案_小初高学习资料合集（每天更新）_江苏海安市2025-2026学年高三上学期开学考试

2026 届高三期初学业质量监测试卷数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
A=  x∣x3  x  ,B=−3,0,1,2
1. 已知集合 ，则
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A  B =
（ ）
A  − 3 , 0  B.  0 , 1  C.  − 3 , 0 , 1  D.  0 , 1 , 2 
2. 已知命题 p :  x  R , x  0 ，则  p : （ ）
A.  x  R , x  0 B.  x  R , x  0
C.  x  R , x  0 D. xR, x 0
3. 设 b , c  R ，不等式 x 2 + b x + c  0 解集为 { ∣x x  1 或 x  3 } ，则 b + c = （ ）
A. − 1 B. 0 C. 2 D. 7
4. 设函数 f (x) 的定义域为 R ，则“ f (1) f (2) ”是“ f (x) 不是减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设a是大于1的常数，则（ ）

A. a = a B. ( xax) =ax +xaxlga
 
 x x2
C.   ln(a−x)   = 1 D. (asinx+xcosa) =acosx−xsina
x−a
6. 已知 f ( x ) 是奇函数，且当 x  0 时， f ( x ) = x − 2 x ，则 x  0 时， f ( x ) = （ ）
A. x+2x B. x+2−x C. −x+2−x D. −x−2−x
.
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考
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：
号
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的
公7 已知
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a = 3 2 , b = l o g
2
3 , c = 3 ，则（ ）
A b  c  a B. c  b  a C. a  b  c D. b  a  c
8. 设集合A=1,2,3 ，函数 f : A → A ，且对任意的 x  A , f ( f ( x ) )  x ，则满足题设的 f 的个数为（ ）
A. 14 B. 13 C. 11 D. 9
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 设 x  0 ，则（ ）
x+1 4
A. 1 B. 5−x− 1 C.
x−1 x
x +
x
1
+ 1
 1 D. l n x +
l
1
n x
 2
10. 设 k  R ，函数 f ( x ) = e x + k e − x ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 k = 1 ，则 f ( x ) 为偶函数
B. 若 k  0 ，则 f ( x ) 的最小值为 2 k
C. 若 f ( x ) 为增函数，则 k  0
D. 若曲线 y = f ( x ) 关于直线x=ln2对称，则 k = 4
11. 设正数 a ， b 满足 a ln b = 2 ， a ln a  b ln b = 9 ，则（ ）
A. l n a  l n b = l n 2 B. b ln a = 2 C. l n a + l n b = l n 6 D. ( a b ) ln (a b ) = 3 6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 请写出满足“m0,n0,f (mn)= f (m)+ f (n) ”的一个函数 f ( x ) = ___________．
13. 已知二次函数 f ( x )
7
满足：2(x−1)2 +1 f (x)3(x−1)2 +1，且 f (0)= ，则
2
f  ( 0 ) = ___________．
14. 一支长1km的队伍以vkm/h的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以3vkm/h的速度赶赴队
首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为 t1 h ，从队首到队
尾所用的时间为 t
2
h ，则
t1
t
2
= ___________，传令兵所走的路程为___________km．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看
1
比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为 ．若前2次未抽中纪念
2
..
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公品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品．
（1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率；
（2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望
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E ( x ) ．
16. 在锐角三角形 A B C 中，记 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边， a s i n B =
2
3
c ．
（1）求
t a
1
n A
+
t a
1
n B
的值；
（2）求角 C 的最大值．
17. 如图，在四棱锥 P − A B C D 中， A B ⊥ 平面 P A D ， B C ∥ A D ， A D = 2 B C = 2 ， E 为 P D 中点．
（1）证明： C E / / 平面 P A B ；
（2）若点 A , C , D , P 均在以 E 为球心，2为半径的球面上．
（i）证明： A C ⊥ C D ；
（ii）求直线 B E 与平面ABCD所成角的正弦值．
18. 在平面直角坐标系 x O y
x2 y2
中，椭圆E： + =1(ab0)的离心率为
a2 b2 2
3
，短轴长为2．
（1）求 E 的方程；
（2）设C为 E
 3
的右顶点，点P(1,t) tR, t  ，直线
 
2
 
O P 与 E 的交点分别为 A ， B ，直线 C P 与 E
的另一交点为D．
（i）求点D的横坐标（用 t 表示）；
（ii）证明： PA PB = PC  PD ．
19. 已知 k , m  R ，函数 f(x)的定义域为R ，记集合A={x| f(x)kx+m}．
（1）若 k = m = 1 ， f(x)=−x2 +ax，且 A = R ，求实数 a 的取值范围；
的
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公2026 届高三期初学业质量监测试卷数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
A=  x∣x3  x  ,B=−3,0,1,2
A B=
1 已知集合 ，则 （ ）
A.
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 − 3 , 0  B.  0 , 1  C.  − 3 , 0 , 1  D.  0 , 1 , 2 
【答案】C
【解析】
【分析】结合集合 A 的条件计算可得−3,0,1A， 2  A ，进而根据交集的定义求解即可.
【详解】由(−3)3 =−27−3， 0 3 = 0  0 ， 1 3 = 1  1 ， 2 3 = 8  2 ，
则 − 3 , 0 , 1  A ， 2  A ，所以 A  B =  − 3 , 0 , 1  .
故选：C.
2. 已知命题 p :  x  R , x  0 ，则  p : （ ）
A.  x  R , x  0 B.  x  R , x  0
C. xR, x 0 D. xR, x 0
【答案】D
【解析】
【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则  p :  x  R , x  0 .
故选：D
.
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公3. 设
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b , c  R ，不等式 x 2 + b x + c  0 的解集为 { ∣x x  1 或 x  3 } ，则 b + c = （ ）
A. − 1 B. 0 C. 2 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知 1 和3是方程 x 2 + b x + c = 0 的两个根，根据韦达定理求出b， c 的值即可求解.
【详解】由题意可知：1和 3 是方程 x 2 + b x + c = 0 的两个根，则由韦达定理可得： 1 + 3 = − b 和
1  3 = c ，即 b = − 4 ，c=3，所以 b + c = − 1 .
故选：A.
4. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R ，则“ f ( 1 )  f ( 2 ) ”是“ f ( x ) 不是减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性的概念，判断两个命题之间的关系.
【详解】首先，若 f ( 1 )  f ( 2 ) ，则函数 f ( x ) 必定不是减函数，所以“ f ( 1 )  f ( 2 )  f ( x ) 不是减函
数”，所以“ f (1) f (2) ”是“ f ( x ) 不是减函数”的充分条件；
其次，若 f ( x ) 不是减函数，则至少存在一组 x
1
 x
2
，使得 f ( x
1
)  f ( x
2
) ，但并不一定是 x
1
= 1 ，
x
2
= 2 这一组.
比如 f ( x ) = x − 2 ，在 (−,2) 上单调递减，在 (2,+) 上单调递增，所以函数 f (x) 不是减函数，但是
f (1)=1 f (2)=0,所以“ f (x) 不是减函数”不能推出“ f (1) f (2) ”，即“ f ( 1 )  f ( 2 ) ”不是
“ f (x) 不是减函数”的必要条件.
故“ f (1) f (2) ”是“ f ( x ) 不是减函数”的充分不必要条件.
故选：A
5. 设 a
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是大于1的常数，则（ ）

A. a = a B. ( xax) =ax +xaxlga
 
 x x2C.
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 l n ( a − x )   =
x
1
− a
D. ( a s i n x + x c o s a )  = a c o s x − x s i n a
【答案】C
【解析】
【分析】根据求导法则对选项一一判断，得到答案.
【详解】A选项，
 a
x


= −
a
x 2
，A错误；
B选项， ( x a x )  = x  a x + x ( a x )  = a x + x a x l n a ，B错误；
C选项，ln(a−x)  = 1 (a−x) =− 1 = 1 ，C正确；
 
a−x a−x x−a
D选项， ( a s i n x + x c o s a )  = a c o s x + c o s a ，D错误.
故选：C
6. 已知 f ( x ) 是奇函数，且当 x  0 时， f ( x ) = x − 2 x ，则 x  0 时， f ( x ) = （ ）
A. x + 2 x B. x + 2 − x C. − x + 2 − x D. − x − 2 − x
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的性质，根据题设条件即可求得另一半的解析式.
【详解】因为 x  0 时， f ( x ) = x − 2 x ，
当 x  0 时，则 − x  0 ， f ( − x ) = − x − 2 − x ，
因 f ( x ) 是奇函数，则 f ( x ) = − f ( − x ) = x + 2 − x .
故选：B.
7. 已知a=3 2,b=log 3,c= 3，则（ ）
2
A. bca B. c  b  a C. a  b  c D. bac
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小.
【详解】依题意，(2 3)3 =23 3 25 33，则 2 3  3
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，因此b=log 3 3 =c，
2
而c= 333 2 =a，所以bca.
故选：A8. 设集合
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A =  1 , 2 , 3  ，函数 f : A → A ，且对任意的 x  A , f ( f ( x ) )  x ，则满足题设的 f 的个数为（ ）
A. 14 B. 13 C. 11 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义，应用列举法写出 ( f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) ) 对应函数值，进而确定 f(f(x))的值，结合
不等关系确定满足条件的函数个数.
【详解】由A=1,2,3 ，函数 f : A → A ，任意的 x  A , f ( f ( x ) )  x ，
若(f(1), f(2), f(3))依次为 ( a , b , c ) ， ( f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) ) 依次为 ( m , n , l ) ，
当 ( a , b , c ) 为(1,1,1)，则 ( m , n , l ) 为(1,1,1)，满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 2 , 2 , 2 ) ，则 ( m , n , l ) 为 ( 2 , 2 , 2 ) ，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 3 , 3 , 3 ) ，则(m,n,l)为 ( 3 , 3 , 3 ) ，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 (1 , 1 , 2 ) ，则 ( m , n , l ) 为(1,1,1)，满足；
当 ( a , b , c ) 为 (1 , 2 , 1 ) ，则 ( m , n , l ) 为 (1 , 2 , 1 ) ，满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 2 , 1 , 1 ) ，则 ( m , n , l ) 为 ( 1 , 2 , 2 ) ，满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 2 , 2 , 1 ) ，则 ( m , n , l ) 为 ( 2 , 2 , 2 ) ，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 2 , 1 , 2 ) ，则 ( m , n , l ) 为(1,2,1)，满足；
当(a,b,c)为(1,2,2)，则 ( m , n , l ) 为(1,2,2)，满足；
当 ( a , b , c ) 为(1,1,3)，则 ( m , n , l ) 为(1,1,3)，满足；
当 ( a , b , c ) 为 (1 , 3 , 1 ) ，则 ( m , n , l ) 为(1,1,1)，满足；
当(a,b,c)为 ( 3 , 1 , 1 ) ，则(m,n,l)为(1,3,3)，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 3 , 3 , 1 ) ，则 ( m , n , l ) 为 (1 , 1 , 3 ) ，满足；
当(a,b,c)为(3,1,3)，则 ( m , n , l )
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为(3,3,3)，不满足；
当(a,b,c)为(1,3,3)，则(m,n,l)为(1,3,3)，不满足；
当(a,b,c)为(2,2,3)，则(m,n,l)为(2,2,3)，不满足；当
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( a , b , c ) 为 ( 2 , 3 , 2 ) ，则 ( m , n , l ) 为 ( 3 , 2 , 3 ) ，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 3 , 2 , 2 ) ，则 ( m , n , l ) 为 ( 2 , 2 , 2 ) ，不满足；
当(a,b,c)为(3,3,2)，则 ( m , n , l ) 为(2,2,3)，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 3 , 2 , 3 ) ，则 ( m , n , l ) 为 ( 3 , 2 , 3 ) ，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 2 , 3 , 3 ) ，则(m,n,l)为 ( 3 , 3 , 3 ) ，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 (1 , 2 , 3 ) ，则 ( m , n , l ) 为 (1 , 2 , 3 ) ，满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 1 , 3 , 2 ) ，则 ( m , n , l ) 为 (1 , 2 , 3 ) ，满足；
当 ( a , b , c ) 为(2,1,3)，则 ( m , n , l ) 为 (1 , 2 , 3 ) ，满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 2 , 3 , 1 ) ，则 ( m , n , l ) 为 ( 3 , 1 , 2 ) ，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 3 , 1 , 2 ) ，则(m,n,l)为 ( 2 , 3 , 1 ) ，不满足；
当 ( a , b , c ) 为 ( 3 , 2 , 1 ) ，则 ( m , n , l ) 为 (1 , 2 , 3 ) ，满足；
综上，共有13个满足条件.
故选：B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 设 x  0 ，则（ ）
A.
x
x
+
−
1
1
 1 B. 5 − x −
4
x
 1
1
C. x+ 1 D.
x+1
l n x +
l
1
n x
 2
【答案】BC
【解析】
【分析】举例判断AD；根据基本不等式求解判断BC.
【详解】对于A，当 x = 1 时，
x
x
+
−
1
1
无意义，故A错误；
对于B，由x0，则 x +
4
x
 2 x 
4
x
= 4
4
，当且仅当x= ，即
x
x = 2
君
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：
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众
公
时等号成立，
4  4
则5−x− =5−

x+

5−4=1，故B正确；
x  x对于C，
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x +
x
1
+ 1
= x + 1 +
x
1
+ 1
− 1  2 ( x + 1 ) 
x
1
+ 1
− 1 = 1 ，
当且仅当 x + 1 =
x
1
+ 1
时等号成立，而在 x  0
1
时，无解，则x+ 1，故C正确；
x+1
对于D，当 x = 1 时， l n x = 0 ，
l
1
n x
无意义，故D错误.
故选：BC.
10. 设 k  R ，函数 f ( x ) = e x + k e − x ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 k = 1 ，则 f ( x ) 为偶函数
B. 若 k  0 ，则 f ( x ) 的最小值为2 k
C. 若 f ( x ) 为增函数，则 k  0
D. 若曲线 y = f ( x ) 关于直线 x = l n 2 对称，则 k = 4
【答案】ABD
【解析】
【分析】A利用偶函数的定义；B通过导函数研究其单调性即可；C根据 f  ( x ) = e x − k e − x  0 在 R 上恒成
立即可；D先根据 f ( 0 ) = f ( 2 l n 2 ) 求出 k ，再根据 f ( 2 l n 2 − x ) = f ( x ) 检验.
【详解】若 k = 1 ，则 f ( x ) = e x + e − x ，则 f ( − x ) = e − x + e x = f ( x ) ，则 f ( x ) 为偶函数，故A正确；
若 k  0 ，则 f  ( x ) = e x − k e − x ，令g(x)= f(x)=ex −ke−x，则 g  ( x ) = e x + k e − x  0 ，
故 g ( x ) = f  ( x ) 在 R 上单调递增，因 x → −  时 f ( x )   → − ； x → +  时 f ( x )   → + ，
故函数 f(x) 在 R 上存在唯一的零点 x
0
，即 e x0 = k e − x0 ，即 e x0 = k ，
则 f  ( x )  0 得 x  x
0
； f  ( x )  0 得x x ，
0
故 f ( x ) 在 (−,x ) 上单调递减，在 (x ,+) 上单调递增，
0 0
故 f (x) 的最小值为 f (x )=ex 0 +ke−x 0 =2ex 0 =2 k ，故B正确；
0
若 f ( x )
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公
为增函数，则 f(x)=ex −ke−x 0在R 上恒成立，则k e2x在R 上恒成立，故k 0，故C错
误；
若曲线y = f (x) 关于直线x=ln2对称，则 f (0)= f (2ln2) ，则1+k =eln4 +ke−ln4，得k =4，当
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k = 4 时 f ( x ) = e x + 4 e − x ，则 f ( 2 l n 2 − x ) = e 2 ln 2 − x + 4 e − 2 ln 2 + x = 4 e − x + e x = f ( x ) ，
故y = f (x) 关于直线 x = l n 2 对称，故D正确.
故选：ABD
11. 设正数 a ， b 满足 a ln b = 2 ， a ln a  b ln b = 9 ，则（ ）
A. l n a  l n b = l n 2 B. b ln a = 2 C. l n a + l n b = l n 6 D. ( a b ) ln (a b ) = 3 6
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 a ln b = 2 两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项A；由选项A，结合对数的运
算法则可得即可判断选项B；对 a ln a  b ln b = 9 两边同时取自然对数可得 l n ( a ln a  b ln b ) = l n 9 ，根据对数运
算法则可得lnalna+lnblnb=ln9.由完全平方公式结合选项A可得(lna+lnb)2
=ln36，即可判断选
项C；由 ( l n a + l n b ) 2 = l n 3 6 可得ln(ab) 2 =ln36，根据对数运算法则可得即可判断选项D.
 
【详解】对 a ln b = 2 两边同时取自然对数可得 l n a ln b = l n 2 ，根据对数运算法则可得 l n a  l n b = l n 2 ，故
选项A正确；
由选项A中 l n a  l n b = l n 2 ，结合对数的运算法则可得lnblna =ln2，所以blna =2，故选项B正确；
对alnablnb =9两边同时取自然对数可得 l n ( a ln a  b ln b ) = l n 9 ，根据对数运算法则可得
l n a ln a + l n b ln b = l n 9 ，即lnalna+lnblnb=ln9.
所以 ( l n a + l n b ) 2 = l n a  l n a + l n b  l n b + 2 l n a  l n b = l n 9 + 2 l n 2 = l n 3 6 ，所以 l n a + l n b =  l n 3 6 ，
故选项C错误；
由(lna+lnb)2 =ln36可得ln(ab) 2 =ln36，即
 
l n ( a b )  l n ( a b ) = l n 3 6 ，根据对数运算法则可得
l n ( a b ) ln (a b ) = l n 3 6 ，即 ( a b ) ln (a b ) = 3 6 ，故选项D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 请写出满足“m0,n0,f (mn)= f (m)+ f (n) ”的一个函数 f (x)=___________．
【答案】lnx（答案不唯一）
【解析】
.
君
卷
试
考
高
：
号
众
公【分析】根据对数的运算性质判断，可以填写对数函数.
【详解】由题意，所求函数定义域为
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( 0 , )  + ，且满足运算性质 f ( m n ) = f ( m ) + f ( n ) ，
所以对数函数满足题意.
故答案为：lnx（答案不唯一）
13. 已知二次函数 f ( x ) 满足：2(x−1)2 +1 f (x)3(x−1)2 +1，且 f ( 0 ) =
7
2
，则 f(0)=___________．
【答案】 − 5
【解析】
【分析】根据题意，设 f (x)=a(x−1)2 +1，其中 2  a  3 ，结合 f ( 0 ) =
7
2
，求得 a 的值，得到函数
f ( x ) 的解析式，进而求得 f  ( 0 ) 的值，得到答案.
【详解】由二次函数 f ( x ) 满足：2(x−1)2 +1 f (x)3(x−1)2 +1，且 f ( 0 ) =
7
2
，
其中 2 ( 0 − 1 ) 2 + 1 = 3 , 3 ( 0 − 1 ) 2 + 1 = 4 ，
可得设二次函数 f ( x ) = a ( x − 1 ) 2 + 1 ，其中 2  a  3 ，
可得 a ( 0 − 1 ) 2 + 1 =
7
2
，解得 a =
5
2
，所以 f ( x ) =
5
2
( x − 1 ) 2 + 1 ，
则 f  ( x ) = 5 ( x − 1 ) ，所以 f  ( 0 ) = − 5 .
故答案为： − 5 .
14. 一支长 1 k m 的队伍以vkm/h的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以 3 v k m / h 的速度赶赴队
首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为 t1 h ，从队首到队
尾所用的时间为 t
2
h ，则
t1
t
2
= ___________，传令兵所走的路程为___________km．
【答案】 ①. 2 ②.
9
4
君
卷
试
考
高
：
号
众
公
##2.25
【解析】
t
【分析】根据追及问题与相遇问题，结合路程与速度和时间的关系求解 1 及传令兵所走的路程即可.
t
2
【详解】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为 (3v−v)km/h =2vkm/h，
1
根据路程与速度和时间的关系可得t = h，
1 2v
传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为 (3v+v)km/h =4vkm/h，根据路程与速度和时间的关系可得
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t
2
=
1
4 v
h ，
1
t 2v 则 1 = =2，传令兵所走的路程为
t 1
2
4v
3 v  ( t1 + t
2
) = 3 v  1
2 v
+ 1
4 v
 = 9
4
k m .
9
故答案 ：2； .
4
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看
比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为
1
2
．若前2次未抽中纪念
品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品．
（1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率；
（2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望 E ( x ) ．
【答案】（1）
1
2
7
（2）
4
【解析】
【分析】（1）记 B 为“恰好获得 1 个纪念品”，列出事件 B 包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即
可；
（2）据题意得到 x 的可能值并求对应事件的概率，求 x 的分布列，再根据期望公式计算即得.
【小问1详解】
设每次抽中纪念品为事件 A
1 1
，未抽中为事件A ，且P(A)= ，P ( A ) = .
2 2
记B 为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况：
第1次中，第2次未中，第3次未中： P
1
= P ( A ) P ( A ) P ( A ) =
1
2

1
2

1
2
=
1
8
；
1 1 1 1
第1次未中，第2次中，第3次未中：P = P ( A ) P(A)P ( A ) =   = ；
2 2 2 2 8
1 1 1
( ) ( )
第1、2两次均未中，则第3次必得：P = P A P A =  = ；
3 2 2 4
1 1 1 1
所以P(B)= P +P +P = + + = .
1 2 3 8 8 4 2
【小问2详解】
记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则x 的可能取值为1,2,3.
1
P(x=1)= P(A)= ；
2
为
君
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试
考
高
：
号
众
公第10页/共17页
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P ( x = 2 ) = P ( A )  P ( A ) =
1
2

1
2
=
1
4
；
P ( x = 3 ) = P ( A )  P ( A ) =
1
2

1
2
=
1
4
.
分布列
x 1 2 3
p 1
2
1 1
4 4
E ( x ) = 1 
1
2
+ 2 
1
4
+ 3 
1
4
=
7
4
.
16. 在锐角三角形 A B C 中，记 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C
3
的对边，asinB= c．
2
（1）求
t a
1
n A
+
t a
1
n B
的值；
（2）求角 C 的最大值．
【答案】（1）
2
3
3
π
（2）
3
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得 s i n A s i n B =
2
3
s i n C ，结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）根据（1）中结论结合基本不等式可得 t a n A + t a n B =
2
3
3
t a n A  t a n B ，且 t a n A  t a n B  3 ，结合
tanC =−tan(A+B) 运算求解即可.
【小问1详解】
因为 a s i n B =
2
3
c ，由正弦定理可得 s i n A s i n B =
2
3
s i n C
君
卷
试
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高
：
号
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公
，
又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
3
即sinAsinB= (sinAcosB+cosAsinB)，
2
 π
且VABC为锐角三角形，则A,B

0, ，则sinA0,sinB0,cosA0,cosB0，
 2可得
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1 =
2
3 
t a
1
n A
+
t a
1
n B

，所以
t a
1
n A
+
t a
1
n B
=
2
3
3
.
【小问2详解】
因为
t a
1
n A
+
t a
1
n B
=
2
3
3
，且 A , B 

0 ,
π
2

，则 t a n A  0 , t a n B  0 ，
可得 t a n A + t a n B =
2
3
3
t a n A  t a n B  2 t a n A  t a n B ，解得 t a n A  t a n B  3 ，
当且仅当 t a n A = t a n B = 3 ，即 A = B =
π
3
时，等号成立，
则 t a n C = − t a n ( A + B ) = t a n
t a n
A
A
+
t a n
t a
B
n B
− 1
=
2
3t
a
3
n
t a
A
n
t a
A
n

B
t a
−
n
1
B
= 2
3
3
1 −
t a n
1
A
1
t a n B
，
因为 t a n A  t a n B  3 ，则 0 
t a n A
1
 t a n B

1
3
，
可得
2
3
 1 −
t a n A
1
 t a n B
 1 ，
1 
1 −
t a n
1
A
1
 t a n B

3
2 ，
2 3 1 2 3 
tanC =  , 3
则 3 1  3 ，
1−  
tanAtanB
即tanC的最大值为 3，且 C 

0 ,
π
2

，
所以角C的最大值为
π
3
.
17. 如图，在四棱锥 P − A B C D 中， A B ⊥ 平面 P A D ， B C ∥ A D ， A D = 2 B C = 2 ， E 为 P D
君
卷
试
考
高
：
号
众
公
的中点．
（1）证明：CE//平面PAB；
（2）若点A,C,D,P均在以E为球心，2为半径的球面上．
（i）证明：AC⊥CD；（ii）求直线
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B E 与平面ABCD所成角 正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析（ii）
1
5
5
【解析】
【分析】（1）取 P A 中点 F ，连接EF ，证明四边形BCEF为平行四边形，得出BF//CE，由线面平行判
定定理得证；
（2）（i）证明 P A , A B , A D 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直（ii）根据线面角的
公式求解即可.
【小问1详解】
取PA中点 F ，连接EF,BF ，
 F , E 分别为 P A , P D 中点，
 E F / / A D , E F =
1
2
A D = B C ，又 B C / / A D ，
 E F / / B C , E F = B C ，
四边形 B C E F 平行四边形，
 B F / / C E ，又 B F  平面 P A B ， C E  平面 P A B ，
 C E / / 平面 P A B .
【小问2详解】
（i）  A , C , D , P 均在以 E 为球心，2为半径的球面上，
PD为球的直径， P D = 4 ，
 P A ⊥ A D , P C ⊥ C D ，
 P A = P D 2 − A D 2 = 1 6 − 4 = 2 3 ，
Q A B ⊥ 平面 P A D ，PA,AD平面 P A D ，
AB⊥ PA， A B ⊥ A D ，即 P A , A B , A D 两两垂直，
以 A
的
君
卷
试
考
高
：
为号
众
公

为坐标原点，分别以AB,AD,AP方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，则
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A ( 0 , 0 , 0 ) , P
(
0 , 0 , 2 3
)
, B ( a , 0 , 0 ) , C ( a , 1 , 0 ) , D ( 0 , 2 , 0 ) , E
(
0 , 1 , 3
)
，
C P  = ( − a ,
− 1 , 2 3
)
, C D = ( − a , 1 , 0 ) ，
由 P C ⊥ C D

可得CPCD=a2 −1=0，解得 a = 1 或 a = − 1 （舍去），

A C  =  (1 ,
1
,
0 ) , C D = ( − 1 , 1 , 0 ) ，
A C   C D  =
− 1 + 1 = 0 ，

A C  ⊥  C D 
，即 A C ⊥ C D .
（ii）设直线 B E 与平面ABCD所成角为，
 ( ) 由BE = −1,1, 3 ，平面 A B C D 的一个法向量 n = ( 0 , 0 , 1 ) ，
则 s i n
B
B
E
E
n
n 1
3
1 3
1
5
5
 =








 =
+ +
= .
18. 在平面直角坐标系 x O y
x2 y2
中，椭圆E： + =1(ab0)的离心率为
a2 b2 2
3
，短轴长为2．
（1）求 E 的方程；
（2）设C为 E 的右顶点，点 P ( 1 , t )

t  R , t 
2
3 
，直线 O P 与 E 的交点分别为A，B，直线CP与 E
的另一交点为 D ．
（i）求点D的横坐标（用 t 表示）；
（ii）证明： P A  P B = P C  P D ．
【答案】（1）
x
4
2
+ y 2 = 1
（2）（i）
2 (
1
4
+
t 2
4
−
t 2
1 )
君
卷
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：
号
众
公
（ii）证明见解析
【解析】【分析】（1）利用椭圆的性质，结合题给离心率及短轴长求出
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a 2 , b 2 值即可.
（2）（i）已知直线 C P 通过点 C ( 2 , 0 ) 和点 P ( 1 , t ) ，得出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得出D点
横坐标；
（ii）由 P ( 1 , t ) 得出直线OP 方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式计算得出
PA  PB ，同理计算得出 P C  P D ，比较两值大小即可.
【小问1详解】
c 3
已知椭圆的离心率e= = ，短轴长
a 2
2 b = 2
3
，则b=1，c= a.
2
根据椭圆的性质可知 a 2 − b 2 = c 2 ，
所以 a 2 − 1 =

2
3
a

2
 a 2 = 4 ，
所以，椭圆 E 的方程为：
x
4
2
+ y 2 = 1 .
【小问2详解】
（i）如上图所示，直线CP通过点C(2,0) 和点 P ( 1 , t ) ，斜率 k =
1
t
− 2
= − t ，
则直线方程为y =−t(x−2) .
联立椭圆方程得：
x
4
2
+ t 2 ( x − 2 ) 2 = 1  ( 1 + 4 t 2 ) x 2 − 1 6 t 2 x + 1 6 t 2 − 4 = 0
已知x=2为方程一个根（点C），设另一个根为 x
D
君
卷
试
考
高
：
号
众
公
，由韦达定理得：
 16t2
  2+x D = 1+4t2 2 ( 4t2 −1 )
  x =
 16t2 −4 D 1+4t2
2x =
 D 1+4t2
（ii）直线OP的方程为y =tx，代入椭圆方程得x2 +4t2x2 =4，设A(x ,y ),B(x ,y ) ，
1 1 2 2则
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 x
x
1
1
+
 x
x
2
2
=
=
1
0
−
+
4
4 t 2
，
根据两点间距离公式
 P
P
A
B
=
=
(
(
x
x
1
2
−
−
1
1
2 )
2 )
+
+
(
(
y
1
y
2
−
−
t )
t
2
) 2
=
=
( 1
( 1
+
+
t 2
t
)
2
(
)
x
(
1
x
−
2
1
−
)
1
2
) 2
，
所以 P A  P B = ( 1 + t 2 ) x
1
x
2
− ( x
1
+ x
2
) + 1 = ( 1 + t 2 )
4
1
t
+
2 −
4 t
3
2
.
设D(x ,y ) ，由（i）知
D D
x
D
=
2 (
1
4
+
t 2
4
−
t 2
1 )
， y
D
= − t ( x
D
− 2 ) ，
根据两点间距离公式：
P D = ( x
D
− 1 ) 2 + ( y
D
− t ) 2 = ( x
D
− 1 ) 2 + t 2 ( x
D
− 1 ) 2 = 1 + t 2 x
D
− 1 = 1 + t 2
4
1
t
+
2 −
4 t
3
2
P C = ( 1 − 2 ) 2 + t 2 = 1 + t 2 ，
4t2 −3
所以 PC  PD =
( 1+t2)
= PA PB ，命题得证.
1+4t2
19. 已知k,mR，函数 f(x)的定义域为 R ，记集合 A = { x | f ( x )  k x + m } ．
（1）若 k = m = 1 ， f(x)=−x2 +ax，且 A = R ，求实数 a 的取值范围；
xex,x0
（2）若 f(x)= 是否存在k,m，使得A中恰有两个元素？
xlnx,x0
（3）若函数 f ( x ) 的图象是一条连续不间断的曲线，且导函数 f ( x ) 是 R 上的增函数，证明：“ y = f ( x )
在点 P ( t , f ( t ) ) 处的切线方程为y=kx+m”的充要条件是“ A = { t } ”．
【答案】（1） − 1  a  3
（2）存在 （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次不等式的解集为R 求出范围.
（2）利用导数求出函数 f(x)的最小值，并确定集合A只有两个元素的 k , m
君
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高
：
号
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公
即可.
f(t)=kt+m
（3）记g(x)= f(x)−(kx+m)，由切线方程得 ，再由单调性求出A证得必要性；由A={t}，
f(t)=k得当
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x  t 时 g ( x )  0 , g ( t ) = f ( t ) − ( k t + m )  0 ，结合函数极小值的意义求出切线斜率及切线方程证得充
分性即可.
【小问1详解】
当k =m=1， f ( x ) = − x 2 + a x 时，
不等式 f(x)kx+m−x2 +ax x+1 x2 −(a−1)x+10，
依题意， A = { x | x 2 − ( a − 1 ) x + 1  0 } = R ，则 ( a − 1 ) 2 − 4  0 ，解得−1a3，
所以实数 a 的取值范围是 − 1  a  3 .
【小问2详解】
当 x  0 时， f ( x ) = x e x ，求导得 f ( x ) = ( x + 1 ) e x ，
当 x  − 1 时， f ( x )  0 ；当 − 1  x  0 时， f ( x )  0 ，
函数 f ( x ) 在 ( , 1 )  − − 上递减，在(−1,0]上递增， f ( x ) 在 x = − 1 处取得极小值 f ( − 1 ) = −
1
e
，
当x0时， f ( x ) = x l n x ，求导得 f(x)=1+lnx，
当 0  x 
1
e
时， f ( x )  0
1
；当x 时，
e
f ( x )  0 ，
函数 f(x)在 ( 0 ,
1
e
) 上递减，在 (
1
e
, +  ) 上递增， f(x)在 x =
1
e
1 1
处取得极小值 f( )=− ，
e e
因此函数 f ( x ) 在 x = − 1 和 x =
1
e
1 1
处取得最小值− ，不等式 f(x)− 的解集为
e e
{ − 1 ,
1
e
} ，
取 k = 0 , m = −
1
e
，集合 A = { x | f ( x )  k x + m } = { − 1 ,
1
e
} ，
1
所以存在k =0,m=− ，使得
e
A 中恰有两个元素.
【小问3详解】
令函数g(x)= f(x)−(kx+m)，求导得g(x)= f(x)−k，
由 f(x)在 R 上单调递增，得函数g(x)在 R
君
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：
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上单调递增，
f(t)=kt+m g(t)=0
证必要性：由直线l是曲线y = f(x)在点P(t, f(t))处的切线，得 ，即 ，
f(t)=k g(t)=0当
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x  t 时， g ( x )  0 ，函数 y = g ( x ) 在 ( −  , t ) 上单调递减，g(x) g(t)=0；
当 x  t 时，g(x)0，函数 y = g ( x ) 在 ( t , )  + 上单调递增， g ( x )  g ( t ) = 0 ，
因此g(x)= f(x)−(kx+m)0的解集为{t}，即 A = { t } ；
证充分性：若 A = { t } ，则当 x  t 时， g ( x )  0 , g ( t ) = f ( t ) − ( k t + m )  0 ，
由函数 y = f ( x ) 的图象是一条连续曲线，得g(t)= f(t)−(kt+m)=0，
且在 x = t 的附近其他自变量（除 t 外）对应的函数值都大于 g ( t ) ，
即函数y = g(x)在x=t处取得极小值，于是 g ( t ) = f ( t ) − k = 0 ，
因此曲线 y = f ( x ) 在点P(t, f(t))处的切线方程为 y = f ( t ) ( x − t ) + f ( t ) ，
即y=kx+m，直线l是曲线 y = f ( x ) 在点 P ( t , f ( t ) ) 处的切线，
综上，“ y = f ( x ) 在点 P ( t , f ( t ) ) 处的切线方程为 y = k x + m ”的充要条件是“ A = { t }
君
卷
”.
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