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2023—2024 学年度高三开学七校联考
数 学 答 案
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．
9．𝐴 10．𝐶 11．𝐵 12．𝐵 𝐶 𝐶 𝐶 𝐴
13．𝐵𝐷 𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷
14．(−2 ,0 ]
15．360
3+2√ 2
16． 2
17．1解0： 当 时， ，
(1) 𝑎 =0 𝐴={𝑥|−3<𝑥 <0} 或 ，
2
所𝐵 =以{𝑥|𝑥 −2𝑥−8>0}={，𝑥| 𝑥 <−2 𝑥 >4}
所以∁𝑅𝐵 ={𝑥|−2≤𝑥 ≤4} ． ………………………………5分
由𝐴题∪意(∁得𝑅𝐵) =，{𝑥所|以−3< 𝑥 ≤4}，即 ．
(由2)“ ”是“𝐴 ≠ ”的既𝑎不−充3分<也2𝑎不必要𝑎条>件−，3 得 与 不存在包含关系，
则 𝑥 ∈𝐴 𝑥 ∈𝐵 𝐴 𝐵
得� 2
𝑎
𝑎
−
>
3
−
<
2
4
，又因为 ，所以 的取值范围为 ． …………………5分
−1<𝑎 <7 𝑎 >−3 𝑎 (−1,7)
18．解： 定义事件 为“甲队第三位同学没能出场罚球”，则事件 发生的概率为
(1) 𝐴 𝐴； ………………4分
𝑃(𝐴随)机=变0.8量×0的.5可×能0.取8×值0为.5+，0.2，×，0.5；× 0.2 ×0.5=0….1…7 …………………………5分
计(2)算 𝑋 1 2 3 4 ，
𝑃(𝑋 =1)=0.8×0.5+0.2×0.5=0.5 ，
𝑃(𝑋 =2)=(1−𝑃(𝑋 =1))×𝑃(𝑋 =1)=0.25 ，
2
𝑃(𝑋 =3)=(1−𝑃(𝑋 =1)) ×𝑃(𝑋 =；1 )=0.1 25 ………………………………9分
3
所𝑃(以𝑋 随=机4)变=量(1−的𝑃分(𝑋布=列1是))：= 0.125
𝑋
𝑋 1 2 3 4
𝑃数(𝑋学)期望是 0.5 0.25 0.125 轮 ．0.1 …25…12分
𝐸(𝑋)=1×0.5+2×0.25+3×0.125+4×0.125=1.875( )
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{#{QQABKYCEogCoAAJAARgCUQXACAAQkBCCAAgGBFAAoAABiANABAA=}#}19．解： 补充 列联表如下所示：
(1) 2×2 男性 女性 总计
以祖国的国防事业为首要考虑因素
以实现自己的军人梦为首要考虑因素 10 16 26
总计 10 4 14
20 20 40
有 的把握认为“新生报考志愿的首要考虑因素与性别有关” …………………6分
∴ 9的5%所有可能取值为 ， ， ， ， ………………………………7分
(2)𝜉 −4 −1 2 5 8
1 1 2 2 4
𝑃(𝜉 =−4)= × × × =
3 3 5 5 225
1 1 2 3 2 1 2 2 28
𝑃(𝜉 =−1)=2( × × × + × × × )=
3 3 5 5 3 3 5 5 225
1 2 2 3 1 1 3 3 2 2 2 2 73
𝑃(𝜉 =2)=4( × × × )+ × × × + × × × =
3 3 5 5 3 3 5 5 3 3 5 5 225
2 2 2 3 1 2 3 3 84
𝑃(𝜉 =5)=2×( × × × + × × × )=
3 3 5
5……3……3……5…5………22…5…10分
2 2 3 3 36
所以，𝑃(𝜉的=分8布)=列3为× 3×5×5=225
𝜉
𝜉 −4 −1 2 5 8
4 28 73 28 4
𝑃
2252252257525 ． ……………12分
4 28 73 28 4
∴𝐸(𝜉)=−4×225+(−1)×225+2×225+5×75+8×25=3.6
20．解： Ⅰ ， ， ．
𝑥
(故 )𝑓′(𝑥)=在𝑒点−2 𝑓′(0处)的=切−1线方𝑓(程0)为=：1 ；………………………………4分
Ⅱ𝑦 =𝑓(𝑥) (0,𝑓(0))， ，𝑦 =−𝑥+1
𝑥 𝑥
(由 )𝑔(𝑥)=，𝑒 解−得2𝑥：−𝑎 𝑔′(，𝑥) =𝑒 −2
当𝑔′(𝑥)=0 时，𝑥 =𝑙𝑛2 ， 在 上单调递减，
当−1≤𝑥 <𝑙𝑛时2， 𝑔′(𝑥)<，0 𝑔(𝑥在) [−1,𝑙上𝑛2单) 调递增，
故𝑙𝑛2<𝑥 ≤1 𝑔′(𝑥)>0 𝑔(𝑥)，( 𝑙𝑛2,1]
𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛 =𝑔(𝑙𝑛2)=2−2𝑙𝑛2−𝑎
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{#{QQABKYCEogCoAAJAARgCUQXACAAQkBCCAAgGBFAAoAABiANABAA=}#}又 ，
1
𝑔(−1)= 𝑒+2−𝑎 >𝑔(1)=𝑒−2−𝑎
结合题意得： ，
𝑔(1)≥0
解得： �
𝑔(𝑙𝑛2)<0
． ………………………………12分
2−2𝑙𝑛2<𝑎 ≤𝑒−2
21．解： 根据散点图，更适合的回归方程为 ………………………………2分
𝑥
(1)由 ，可得 𝑦=𝑑，⋅ 𝑐 +25;
𝑥 𝑥
两(2)边取𝑦自=然𝑑对⋅𝑐数+，2得5 𝑦−25=𝑑⋅𝑐 ，
令 ，则ln(𝑦−25)=ln𝑑+，𝑥 ⋅ln𝑐
计算𝑤，=得ln(𝑦−25) 𝑤 =，ln𝑑+𝑥⋅ln𝑐 ，
1 7 7 2
𝑥 =7∑𝑖=1𝑥𝑖 =3 ∑𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥) =28
则 ，
7
∑𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑤𝑖−𝑤) −2.24
则 ln𝑐 = ∑ 7 𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)， 2 = 28 =−0.08
−0.08
由𝑐 =𝑒 ≈0.92 ，
则ln𝑑 =𝑤−𝑥⋅ln，𝑐 =3.85−3×(−0.08)=4.09
4.09
即𝑑茶=水𝑒温度≈关6于0 时间 的回归方程为 ……………………………8分
𝑥
在 室𝑦温下，茶𝑥水温度降至 𝑦�口=感60最×佳0，.9 2 +25;
°
即 (3) 25时𝐶 ， ，60 ℃
𝑥 60−25 7
𝑦� =60 0.92 = 60 =12
可得 ，
7
𝑥⋅ln0.92=ln12=ln7−2ln2−ln3≈−0.6
即 ，
−0.6 −0.6
故𝑥在≈室l温n𝑒 − 下 0.0 ， 8 刚=泡−0好.08的=茶7水.5大约需要放置 才能达到最佳引用口感．……………12分
7.5min
22．解： 由 ，得 ，
𝑥−1 1 2 𝑥−1
(令1) 𝑓(𝑥得)=𝑓′(1)𝑒 −𝑓(0)𝑥+2𝑥 ，解𝑓得′(𝑥)=𝑓′(1)，𝑒 −𝑓(0)+𝑥
1−1
因𝑥此=1 𝑓′(1)=𝑓′(1)𝑒 −𝑓(0)+1 ，解𝑓得(0)=1 ，所以 ．
0−1 1 2 𝑥 1 2
𝑓(0)=𝑓′(1)𝑒 −𝑓(0)×0+2×0 𝑓′(1)=𝑒 𝑓(𝑥)=𝑒 −𝑥+2𝑥
由 得 ．
𝑥 1 2 𝑥
令𝑓(𝑥)=𝑒 −𝑥+2𝑥 𝑓′(𝑥，)则=𝑒 −1+𝑥 ．
𝑥 𝑥
因𝑔为(对𝑥)=𝑓′(，𝑥)=𝑒 −1+𝑥 𝑔，′(所𝑥)以=函𝑒数+1 是 上的增函数．
𝑥
𝑥 ∈𝑅 𝑔′(𝑥)=𝑒 +1>0 𝑔(𝑥) 𝑅
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{#{QQABKYCEogCoAAJAARgCUQXACAAQkBCCAAgGBFAAoAABiANABAA=}#}又因为 ，
所以当𝑔(0)=时0， ，即 ；当 时， ，即 ；
因此函数𝑥 >0 的单𝑔调(𝑥递)>增0区间为𝑓′(𝑥)>0，单调𝑥 <递0减区间𝑔为(𝑥)<0 ．𝑓…′(…𝑥)…<…0………4分
由 知𝑓( ：𝑥) (0，,+ ∞) (−∞,0)
𝑥 1 2
(2) (1) 𝑓(𝑥)=𝑒 −𝑥+2𝑥
因此不等式 恒成立等价于不等式 恒成立．
1 2 𝑥
令 𝑓(𝑥) 2𝑥 +𝑎𝑥+，𝑏 𝑒 −(𝑎+1)𝑥−𝑏 0
𝑥
则ℎ不(𝑥等)式=𝑒 −(𝑎+1)𝑥−𝑏 恒成立等价于不等式 恒成立．
𝑥
由 𝑒 −(𝑎+1)𝑥−𝑏得 0 ℎ．(𝑥 ) 0
𝑥 𝑥
当ℎ(𝑥)=𝑒 时−，(𝑎+1)𝑥−，𝑏 所ℎ以′(𝑥函)数=𝑒 −在(𝑎上+单1)调递增，
且𝑎+1≤时0 ， ℎ′(𝑥)>0，与 ℎ(𝑥矛)盾𝑅，因此 不成立；
当𝑥 →−∞ 时，ℎ(令𝑥)→−∞ 得ℎ(𝑥)≥0 ，令 𝑎+1≤得0 ，
所 以𝑎+函1数>0 在 ℎ′(𝑥)>0 𝑥上>单ln调(𝑎递+减1)，在 ℎ′(𝑥)<0 𝑥 <上ln单(𝑎调+递1增) ，
因此当 ℎ(𝑥) (−∞时,ln，(𝑎+1)) (ln(𝑎+1),+∞) ，
因此不𝑥等=式ln(𝑎+1恒)成立ℎ等(𝑥价)m于in =ℎ(ln(𝑎+1))=(𝑎+1)−(𝑎恒+成1)立ln，(𝑎 +1)−𝑏
即 ℎ(𝑥) 0 (𝑎+1)−(恒𝑎成+立1)．ln( 𝑎+1)≥𝑏
2 2
令(𝑎+1)𝑏≤，(则𝑎+1)，−令(𝑎+1) ln(𝑎+1) ，则 ，
2 2
由𝑡 =𝑎+1得 𝑡 >0 𝐹，(解𝑡)得=𝑡 −𝑡 𝑙𝑛𝑡(𝑡，> 0) 𝐹′(𝑡)=𝑡(1−2ln𝑡)
由𝐹′(𝑡)>0得1−2ln𝑡 >0，解得0<𝑡 <，√ 𝑒
因𝐹此′(函𝑡)数<0 在1−2ln𝑡 <上0单调递增𝑡，>在√ 𝑒 上单调递减，
所以当 𝐹(𝑡)时(，0,√ 𝑒)取得最大值， (√ 𝑒,+∞) ，
𝑒
𝑡 =√ 𝑒 𝐹(𝑡) 𝐹(𝑡)max =𝐹�√ 𝑒�=𝑒−𝑒ln√ 𝑒=2
故 取得最大值为 ． ………………………………12分
𝑒
(𝑎+1)𝑏 2
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