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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 03 导数及应用（选填题）
函数导数应用是高考必考知识点
考点 01 利用导数求函数单调性，极值最值
一、单选题
1．（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
2．（2021年全国新高考Ⅰ卷）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
故选：D.
3．（2020年全国高考Ⅰ卷）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简
即可.
【详解】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
4．（2020年全国高考Ⅲ卷）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .故选：D.
5．（2019年全国高考Ⅲ卷）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
【详解】详解：
，
将 代入 得 ，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
二、填空题
6．（2023·全国乙卷）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围是
______.
【答案】
【分析】原问题等价于 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得 ，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
7．（2022 全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大
值点．若 ，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图
象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
8．（2022年全国新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
9．（2021·全国甲卷）曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
10．（2021年全国新高考Ⅰ卷）函数 的最小值为______.
【答案】1【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，
即可求 最小值.
【详解】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
三、双空题
11．（2022年全国高考Ⅱ卷）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
解： 因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；因为
是偶函数，图象为：
所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
考点 02 构造函数利用导数求单调性比较大小
一、单选题
1．（2022·全国甲卷）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．（2022年全国新高考Ⅰ卷）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
3．（2021·全国乙卷）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，
将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于所以当00时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b
