精品解析：江苏省南通市海安市2025-2026学年高三上学期期初学业质量监测数学试题（解析版）_2025年9月_250911江苏省南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学（全科）

2026 届高三期初学业质量监测试卷数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试 卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． . 1 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合集合 的条件计算可得 ， ，进而根据交集的定义求解即可. 【详解】由 ， ， ， ， 则 ， ，所以 . 故选：C. 2. 已知命题 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则 . 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司故选：D 3. 设 ，不等式 的解集为 或 ，则 （ ） A. B. 0 C. 2 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知 和 是方程 的两个根，根据韦达定理求出 ， 的值即可求解. 【详解】由题意可知： 和 是方程 的两个根，则由韦达定理可得： 和 ， 即 ， ，所以 . 故选：A. 4. 设函数 的定义域为 ，则“ ”是“ 不是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的单调性的概念，判断两个命题之间的关系. 【详解】首先，若 ，则函数 必定不是减函数，所以“ 不是减函 数”，所以“ ”是“ 不是减函数”的充分条件； 其次，若 不是减函数，则至少存在一组 ，使得 ，但并不一定是 ， 这一组. 比如 ，在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 不是减函数，但是 ,所以“ 不是减函数”不能推出“ ”，即“ ”不是“ 不是减函数”的必要条件. 第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司故“ ”是“ 不是减函数”的充分不必要条件. 故选：A 5. 设 是大于1的常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导法则对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项， ，A错误； B选项， ，B错误； C选项， ，C正确； D选项， ，D错误. 故选：C 6. 已知 是奇函数，且当 时， ，则 时， （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，根据题设条件即可求得另一半的解析式. 【详解】因为 时， ， 当 时，则 ， ， 因 是奇函数，则 . 第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司故选：B. 7. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小. 【详解】依题意， ，则 ，因此 ， 而 ，所以 . 故选：A 8. 设集合 ，函数 ，且对任意的 ，则满足题设的 的个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 11 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义，应用列举法写出 对应函数值，进而确定 的值，结合 不等关系确定满足条件的函数个数. 【详解】由 ，函数 ，任意的 ， 若 依次为 ， 依次为 ， 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，不满足； 当 为 ，则 为 ，满足； 综上，共有13个满足条件. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举例判断AD；根据基本不等式求解判断BC. 【详解】对于A，当 时， 无意义，故A错误； 对于B，由 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 则 ，故B正确； 对于C， ， 当且仅当 时等号成立，而在 时，无解，则 ，故C正确； 对于D，当 时， ， 无意义，故D错误. 故选：BC. 第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司10. 设 ，函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 为偶函数 B. 若 ，则 的最小值为 C. 若 为增函数，则 D. 若曲线 关于直线 对称，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用偶函数的定义；B通过导函数研究其单调性即可；C根据 在 上恒 成立即可；D先根据 求出 ，再根据 检验. 【详解】若 ，则 ，则 ，则 为偶函数，故A正确； 若 ，则 ，令 ，则 ， 故 在 上单调递增，因 时 ； 时 ， 故函数 在 上存在唯一的零点 ，即 ，即 ， 则 得 ； 得 ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 的最小值为 ，故B正确； 若 为增函数，则 在 上恒成立，则 在 上恒成立，故 ，故C错 误； 若曲线 关于直线 对称，则 ，则 ，得 ， 当 时 ，则 ， 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司故 关于直线 对称，故D正确. 故选：ABD 11. 设正数 ， 满足 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对 两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项A；由选项A，结合对数的运 算法则可得即可判断选项B；对 两边同时取自然对数可得 ，根据对数运算 法则可得 .由完全平方公式结合选项A可得 ，即可判断选项 C；由 可得 ，根据对数运算法则可得即可判断选项D. 【详解】对 两边同时取自然对数可得 ，根据对数运算法则可得 ，故 选项A正确； 由选项A中 ，结合对数的运算法则可得 ，所以 ，故选项B正确； 对 两边同时取自然对数可得 ，根据对数运算法则可得 ，即 . 所以 ，所以 ， 故选项C错误； 由 可得 ，即 ，根据对数运算法则可得 ，即 ，故选项D正确. . 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司12. 请写出满足“ ”的一个函数 ___________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据对数的运算性质判断，可以填写对数函数. 【详解】由题意，所求函数定义域为 ，且满足运算性质 ， 所以对数函数满足题意. 故答案为： （答案不唯一） 13. 已 知 二 次 函 数 满 足 ： ， 且 ， 则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设 ，其中 ，结合 ，求得 的值，得到函数 的解析式，进而求得 的值，得到答案. 【详解】由二次函数 满足： ，且 ， 其中 ， 可得设二次函数 ，其中 ， 可得 ，解得 ，所以 ， 则 ，所以 . 故答案为： . 14. 一支长 的队伍以 的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以 的速度赶赴队首， 第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为 ，从队首到队尾所 用的时间为 ，则 ___________，传令兵所走的路程为___________ ． 【答案】 ①. 2 ②. ##2.25 【解析】 【分析】根据追及问题与相遇问题，结合路程与速度和时间的关系求解 及传令兵所走的路程即可. 【详解】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为 ， 根据路程与速度和时间的关系可得 ， 传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为 ， 根据路程与速度和时间的关系可得 ， 则 ，传令兵所走的路程为 . 故答案 ：为； . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看 比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖 3次，每次抽中纪念品的概率均为 ．若前2次未抽中纪 念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望 ． 第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记 为“恰好获得1个纪念品”，列出事件 包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即 可； （2）据题意得到 的可能值并求对应事件的概率，求 x 的分布列，再根据期望公式计算即得. 【小问1详解】 设每次抽中纪念品为事件 ，未抽中为事件 ，且 ， . 记 为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况： 第1次中，第2次未中，第3次未中： ； 第1次未中，第2次中，第3次未中： ； 第1、2两次均未中，则第3次必得： ； 所以 . 【小问2详解】 记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则 的可能取值为1,2,3. ； ； . 分布列 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司. 16. 在锐角三角形 中，记 分别为内角 的对边， ． （1）求 的值； （2）求角 的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得 ，结合三角恒等变换运算求解即可； （2）根据（1）中结论结合基本不等式可得 ，且 ，结合 运算求解即可. 【小问1详解】 因为 ，由正弦定理可得 ， 又因为 ， 即 ， 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司且 为锐角三角形，则 ，则 ， 可得 ，所以 . 【小问2详解】 因为 ，且 ，则 ， 可得 ，解得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 则 ， 因为 ，则 ， 可得 ， ， 则 ， 即 的最大值为 ，且 ， 所以角 的最大值为 . 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中点． 第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ； （2）若点 均在以 为球心，2为半径的球面上． （i）证明： ； 的 （ii）求直线 与平面 所成角 正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，连接 ，证明四边形 为平行四边形，得出 ，由线面平行 判定定理得证； （2）（i）证明 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直（ii）根据线面角 的公式求解即可. 【小问1详解】 取 中点 ，连接 ， 分别为 中点， ，又 ， ， 为 四边形 平行四边形， 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司，又 平面 ， 平面 ， 平面 . 【小问2详解】 （i） 均在以 为球心，2为半径的球面上， 为球的直径， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， ，即 两两垂直， 以 为坐标原点，分别以 方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， 由 可得 ，解得 或 （舍去）， ， ， ，即 . （ii）设直线 与平面 所成角为 ， 第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司由 ，平面 的一个法向量 ， 则 . 18. 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，短轴长为2． （1）求 的方程； （2）设 为 的右顶点，点 ，直线 与 的交点分别为 ， ，直线 与 的另一交点为 ． （i）求点 的横坐标（用 表示）； （ii）证明： ． 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合题给离心率及短轴长求出 值即可. （2）（i）已知直线 通过点 和点 ，得出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得出D 点横坐标； （ii）由 得出直线 方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式计算得出 ，同理计算得出 ，比较两值大小即可. 【小问1详解】 已知椭圆的离心率 ，短轴长 ，则 ， . 第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司根据椭圆的性质可知 ， 所以 ， 所以，椭圆 的方程为： . 【小问2详解】 （i）如上图所示，直线 通过点 和点 ，斜率 ， 则直线方程为 . 联立椭圆方程得： 已知 为方程一个根（点 ），设另一个根为 ，由韦达定理得： （ii）直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 ，设 ， 则 ， 根据两点间距离公式 ， 第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司所以 . 设 ，由（i）知 ， ， 根据两点间距离公式： ， 所以 ，命题得证. 19. 已知 ，函数 的定义域为 ，记集合 ． （1）若 ， ，且 ，求实数 的取值范围； （2）若 是否存在 ，使得 中恰有两个元素？ （3）若函数 的图象是一条连续不间断的曲线，且导函数 是 上的增函数，证明：“ 在点 处的切线方程为 ”的充要条件是“ ”． 【答案】（1） （2）存在 （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次不等式的解集为 求出范围. （2）利用导数求出函数 的最小值，并确定集合 只有两个元素的 即可. （3）记 ，由切线方程得 ，再由单调性求出 证得必要性；由 第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司，得当 时 ，结合函数极小值的意义求出切线斜率及切线 方程证得充分性即可. 【小问1详解】 当 ， 时， 不等式 ， 依题意， ，则 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 . 【小问2详解】 当 时， ，求导得 ， 当 时， ；当 时， ， 函数 在 上递减，在 上递增， 在 处取得极小值 ， 当 时， ，求导得 ， 当 时， ；当 时， ， 函数 在 上递减，在 上递增， 在 处取得极小值 ， 因此函数 在 和 处取得最小值 ，不等式 的解集为 ， 取 ，集合 ， 所以存在 ，使得 中恰有两个元素. 【小问3详解】 第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司令函数 ，求导得 ， 由 在 上单调递增，得函数 在 上单调递增， 证必要性：由直线l是曲线 在点 处的切线，得 ，即 ， 当 时， ，函数 在 上单调递减， ； 当 时， ，函数 在 上单调递增， ， 因此 的解集为 ，即 ； 证充分性：若 ，则当 时， ， 由函数 的图象是一条连续曲线，得 ， 且在 的附近其他自变量（除 外）对应的函数值都大于 ， 即函数 在 处取得极小值，于是 ， 因此曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ，直线l是曲线 在点 处的切线， 综上，“ 在点 处的切线方程为 ”的充要条件是“ ”. 第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司