文档内容
2026 届高三年级上学期开学考试
数 学
注意事项：
1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡
上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x=2n,n∈Z},B={x|-40时,f(x)=-3ˣ+m,若f(-2)=-7,则f(3)=
A.-11 B.-15 C.-25 D .- 2 9
【第1页(共4页)】
学科网（北京）股份有限公司7.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若 则
A.-1 𝑆𝑆5 =𝑆𝑆10, 𝑆𝑆15 = B.0
C.1 D.2
8.已知两平行平面α与β之间的距离为3，过平面α与β之间的一点O作两条直线 与m，其中 ⊥α，m与
α 所成角为 .以 为轴将 m 旋转一周，并用 α，β 截取得到两个同顶点 O 的圆锥，设这两个圆锥的体积分
𝑙𝑙 𝑙𝑙
𝜋𝜋
𝑙𝑙
别为V 、V ,3则 的最小值为
A. ₁ ₂ 𝑉𝑉1+𝑉𝑉2
𝜋𝜋 3𝜋𝜋
C.2 𝐵𝐵. 4
3𝜋𝜋 9𝜋𝜋
二、选2择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小𝐷𝐷题. 4给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若a,b∈R,则
2 2
𝐴𝐴.𝑎𝑎 +𝑏𝑏 ⩾−2𝑎𝑎𝑏𝑏 𝐵𝐵.𝑎𝑎+𝑏𝑏 ≥2√𝑎𝑎𝑏𝑏
2 2 2 2
10.𝐶𝐶若.𝑎𝑎双曲+线2𝑏𝑏C的≥两2∣条𝑎𝑎渐𝑏𝑏 ∣近线的方程为y=±𝐷𝐷x.𝑎𝑎，则+ 𝑏𝑏 ≥2(𝑎𝑎+𝑏𝑏−1)
A. C的离心率为
B. C的焦点在x轴上
√2
C.若C上的点到两渐近线距离之和的最小值为4，则C的实轴长为
D.若双曲线 绕原点沿逆时针方向旋转 后恰好得到C，则C的方程为
4√2
2 2
8 𝜋𝜋 𝑥𝑥 𝑦𝑦
11.已知定义在 R 𝑦𝑦 上 = 的𝑥𝑥 函数 f(x)满足： 4 16−16 =1 且f(1)≠1,则
A. f(1)=2 ∀𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ∈𝑅𝑅,𝑓𝑓(𝑥𝑥1𝑥𝑥2)=𝑓𝑓(𝑥𝑥1)𝑓𝑓(𝑥𝑥2)−𝑓𝑓(𝑥𝑥1)−𝑓𝑓(𝑥𝑥2)+2,
B. f(x)可能是偶函数
C. f(x)的图象不可能关于点(0,1)对称
D.若 x∈(1,+∞),f(x)>2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增
三、填空∀题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(1,m),b=(2,-1),且a⊥b,则 cos= .
13.已知点 A,B 是圆 上的两个动点，O 为原点，点 A，B，O 共线，点 D 为 AB 的中点，
2 2
则点 D 的轨迹长𝐶𝐶度:𝑥𝑥为+ 𝑦𝑦 − 8 𝑦𝑦 +. 12=0
1 4.已知 函数 恰有两个极 值点，则实数 a 的取值 范围是 .
−2𝑥𝑥 2
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑒𝑒 +𝑎𝑎𝑥𝑥
【第2页(共4页)】
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知函数
1
(1)求 ;
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=cos(2𝑥𝑥+𝜑𝜑)(0≤𝜑𝜑 <𝜋𝜋),𝑓𝑓(0)=2.
(2)设𝜑𝜑函数 求g(x)的值域和单调区间.
𝜋𝜋
𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑓𝑓�𝑥𝑥−6�,
16.(本小题满分15 分)
如图，在四面体ABCD中， 与 都是等边三角形，
(1)求证: △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 △𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐶𝐶 =2,𝐵𝐵𝐷𝐷 =√6.
(2)若E为𝐴𝐴A𝐶𝐶D⟂ 的𝐵𝐵𝐷𝐷中;点，求平面BCD与平面BCE 夹角的余弦值.
17.(本小题满分15分)
已知椭圆E 的左、右焦点分别为 且 椭圆E的离心率为
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦 √2
:𝑎𝑎 2 +𝑏𝑏 2 =1(𝑎𝑎>𝑏𝑏 >0) 𝐹𝐹1,𝐹𝐹2, ∣𝐹𝐹1𝐹𝐹2 ∣=4, 2.
(1)求椭圆E的方程；
( 2 ) 已 知 直 线 过 点 F ， 且 与 椭 圆 E 交 于 点 A ， B ， 求 证 ： 是 定 值 .
1 1
𝑙𝑙 ₁ ∣𝐴𝐴𝐹𝐹1∣+∣𝐵𝐵𝐹𝐹1∣
【第3页(共4 页)】
学科网（北京）股份有限公司18.(本小题满分17分)
已知函数
3 1
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑎𝑎𝑥𝑥ln𝑥𝑥−2𝑥𝑥−2𝑥𝑥+2(𝑎𝑎 ∈𝑅𝑅).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2y+3=0平行,求f(x)的单调区间;
(2)当x≥1时,f(x)≥0,求a的取值范围.
19.(本小题满分17分)
2024 年 10 月 16 日，为纪念我国第一颗原子弹爆炸 60 周年，某中学高三年级举行“两弹一星”知识挑
战赛，全年级共 1000 名学生，其中高三(1)班有 n(n≥40)名学生.挑战赛分为初赛和决赛，都是以班级为
单位，初赛每名学生都参加，每名学生只有 1 次答题机会，全班答对人数超过 80%进入决赛；决赛按照班
级学号从小到大依次答题，若答对，则下一个人答题，直到有人答错或班级所有人答完，此班结束比赛.
(1)学校根据初赛中学生答题情况绘制了如下列联表，完成表中数据，并根据小概率值( 的独立
𝛼𝛼 =0.001
性检验，能否认为学生答对题目与选科类型有关联?
选科类型 答对 答错 总计
物理类学生 350
历史类学生 50 300
总计 1 000
(2)已知高三(1)班在初赛中每个学生答对的概率均为 p(00 时, 所以 解得 m=2,所以 f(3)
𝑥𝑥 2
故选 C.
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−3 +𝑚𝑚, 𝑓𝑓(−2)=𝑓𝑓(2)=−3 +𝑚𝑚 =−7,
3
7. B 法 1:因为 所以 又{an}为等差数列，所以
=−3 +2=−25.
所以 即as=0,所以 故选 B.
𝑆𝑆5 = 𝑆𝑆10, 𝑆𝑆10−𝑆𝑆5 = 𝑎𝑎6+𝑎𝑎7+𝑎𝑎8+𝑎𝑎9+𝑎𝑎10 = 0, 𝑎𝑎6+𝑎𝑎10 =𝑎𝑎7+
15(𝑎𝑎1+𝑎𝑎15)
法𝑎𝑎9 =2：2𝑎𝑎因8,为 5𝑎𝑎8 =0, 成等𝑆𝑆差15数=列， 2 所以 = 15𝑎𝑎8 = 0. 因为 所以 故
选B. 𝑆𝑆5,𝑆𝑆10−𝑆𝑆5,𝑆𝑆15−𝑆𝑆10 𝑆𝑆5+(𝑆𝑆15−𝑆𝑆10 )= 2(𝑆𝑆10−𝑆𝑆5 ), 𝑆𝑆5 = 𝑆𝑆10, 𝑆𝑆15 = 0.
法 3:设{an}的公差为 d,因为. 所以 整理得 所以
5×4 10×9
故选 B 𝑆𝑆 . 5 = 𝑆𝑆10, 5𝑎𝑎1+ 2 𝑑𝑑 =10𝑎𝑎1+ 2 𝑑𝑑, 𝑎𝑎1+7𝑑𝑑 = 0, 𝑆𝑆15 = 15𝑎𝑎1+
15×14
8. B
2
两𝑑𝑑个=圆15锥(𝑎𝑎的1轴+7截𝑑𝑑面)=如0图. 所示，O₁，O₁分别为两圆锥的底面圆的圆心，设半径分别为 r₁，r₁，
，直线DE，BC分别为两圆锥的轴截面与α，β的交线.因为α与β之
间的距，易知 l 与 m 的夹角为 所以离为 3，所以设
𝑂𝑂1𝑂𝑂2 ⊥𝐷𝐷𝐸𝐸,𝑂𝑂1𝑂𝑂2 ⊥ 𝐵𝐵𝐶𝐶,
𝜋𝜋
由圆锥的性质知,OB=OC,OD=OE,所以△ODE,△OBC
𝑂𝑂
为 𝑂𝑂1等
=
边
ℎ,
三
𝑂𝑂𝑂𝑂
角2形
=
,
3
所
−
以
ℎ( 0<ℎ<3), 6,
所
𝜋𝜋 𝑂𝑂𝑂𝑂2 3−ℎ
以∠𝐷𝐷 𝑂𝑂𝐸𝐸 = 3, 同理 所以 tan∠𝑂𝑂𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝐵𝐵𝑂𝑂2 = 𝑟𝑟2 =√3,
2 2
3−ℎ √3 √3 1 2 1 2 1 √3 1 √3
𝑟𝑟2 = √3 = 3 (3−ℎ), 𝑟𝑟1 = 3 令 ℎ, 𝑉𝑉1+𝑉𝑉2 = 3𝜋𝜋𝑟𝑟1ℎ+3𝜋𝜋𝑟𝑟2 (3−ℎ) = 3𝜋𝜋�3 ℎ� ℎ +3 �3 (3−ℎ)� (3−
1 3 3 1 3 3 ′ 1 2 2
ℎ) = 9𝜋𝜋[ℎ
所
+
以
(3
当
− ℎ) ],0 <
时
ℎ
,
<
f'
3
(h)<0,当
𝑓𝑓 (ℎ)=9𝜋𝜋[
时
ℎ
,
+
f'
(
(
3
h
−
)>
ℎ
0
)
,所
],0
以
<
f
ℎ
(
<
h)
3
在
,𝑓𝑓
(0
(ℎ
,
)
)
=
上
9
单
𝜋𝜋
调
[
递
3ℎ
减
−
，
3
在
(3
(
−ℎ) ]
上
=
3 3 3 3
单 𝜋𝜋(2 调 ℎ 递 − 增 3) ， , 所以 ℎ∈�0, 2� 所以 ℎ∈�2 ,3 ₁ � 的最小值为 .故选 B. 2 �2,3�
3 3 3𝜋𝜋
9. ACD 用-b 替代𝑓𝑓 (ℎ)min =𝑓𝑓�2�中=的4𝜋𝜋.b，得𝑉𝑉到1+ 𝑉𝑉2 故 4. A 正确;取 a=b=-2,则
2 2 2 2
此时 ，故 B 错误； ，
𝑎𝑎 +𝑏𝑏 ≥ 2𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 ≥ −2𝑎𝑎𝑏𝑏, 𝑎𝑎+𝑏𝑏 =−4,2√𝑎𝑎𝑏𝑏 =
2 2 2 2 2 2
故 C 正确；因为 所以 即 故 D 正确.
2�(−2)×(−2)=4, 𝑎𝑎+𝑏𝑏 <2√𝑎𝑎𝑏𝑏, 𝑎𝑎 +2𝑏𝑏 ≥𝑎𝑎 +𝑏𝑏 =∣ 𝑎𝑎 ∣ +∣ 𝑏𝑏 ∣ ≥2 ∣ 𝑎𝑎 ∣⋅∣ 𝑏𝑏 ∣= 2 ∣ 𝑎𝑎𝑏𝑏 ∣,
2 2 2 2 2 2
故选 ACD.
𝑎𝑎 +1 ≥ 2𝑎𝑎,𝑏𝑏 +1 ≥2𝑏𝑏, 𝑎𝑎 +1+𝑏𝑏 +1 ≥ 2𝑎𝑎+2𝑏𝑏, 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 ≥ 2(𝑎𝑎+𝑏𝑏−1),
10. AC 双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±x，则 C 为等轴双曲线，其离心率为 ，故 A 正确；等轴双曲线
符合题意，但焦点在y轴上，故B错误；设C的方程为 若点 P(x，y)在C上，
√2
2 2 2 2
𝑦𝑦
则
−
P
𝑥𝑥
到两
=
渐
1
近线距离之积为 所以C上的点到
𝑥𝑥
两渐
−
近
𝑦𝑦
线
=
距
𝜆𝜆(
离
𝜆𝜆 ≠
之
0
和
),
的最小值为
2 2
∣𝑥𝑥+𝑦𝑦∣ ∣𝑥𝑥−𝑦𝑦∣ ∣𝑥𝑥 −𝑦𝑦 ∣ ∣𝜆𝜆∣ ∣𝜆𝜆∣
C 的实轴长为 故 C √ 正 2 确⋅ ； √2 易=得双 2 曲线= 2, 关于直线 y=x 对称，且 与直线 y=x 有公2�共2点=，4,所
8 8
以双曲线的实轴在直线 y=x 上，所以双曲线 与直线 y=x 的交点 )为双曲线
2√𝜆𝜆∣=4√2, 𝑦𝑦=𝑥𝑥 𝑦𝑦=𝑥𝑥
8
的顶点，顶点到原点的距离为 4，所以
𝑦𝑦
C
=
的
𝑥𝑥
半实轴长为 4，旋转
�
后
2√
实 2,轴
2√
在
2� ,
y
�−
轴
2√
上 2,，
−2
故
√2
C
�
的方程为
8
𝑦𝑦=𝑥𝑥
故 D错误.故选 AC.
2 2
𝑦𝑦 𝑥𝑥
16−16 = 1,
学科网（北京）股份有限公司11. ABD 法 1:因为( 令 ,得 f(1)=f(1)f(1)-f
(1)-f(1)+2,即[[f( 𝑥𝑥 11) ,𝑥𝑥 -12] ∈ [f 𝑅𝑅 ( , 1 𝑓𝑓 ) ( - 𝑥𝑥 21] 𝑥𝑥 =20 ) , = 因 𝑓𝑓 为 (𝑥𝑥1f ) ( 𝑓𝑓 1 ( ) 𝑥𝑥 ≠2) 1 − ,所 𝑓𝑓( 以 𝑥𝑥1) f − (1 𝑓𝑓 )= (𝑥𝑥 22, ) 故 + A 2, 正确 𝑥𝑥1; =𝑥𝑥2 =1, 满足已知条件，
故 B正确； 满足已知条件，且其图象关于点(0，1)对称，故 C 错误；当 022.由 f𝑓𝑓((1𝑥𝑥))=2=,得𝑥𝑥 +1 所以 又 x∈(1,+∞)𝑥𝑥,>f(1x,)>2,
1
1 1 1 𝑓𝑓�𝑥𝑥� 1
1 1
所 𝑓𝑓� 以 𝑥𝑥� 当 x>0 时,f(x)>1.设 �𝑓𝑓� g 𝑥𝑥 ( � x − )= 1 f � (x ⋅ ) 𝑓𝑓 - ( 1 𝑥𝑥 , ) 则 = 当 𝑓𝑓� x 𝑥𝑥 ∈ �, (1,+∞ 𝑓𝑓( ) 𝑥𝑥 时 ) , = g(𝑓𝑓x�𝑥𝑥)�>−11, = 且 1 +𝑓𝑓�𝑥𝑥�−1>1. ∀ =g(x )g(x ),若.
,则存在 t>1,使得. 所以 ∀𝑥𝑥1,𝑥𝑥 ,2当 ∈ t 𝑅𝑅 > , 1 𝑔𝑔( 时 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥 g2( ) t)>1; ₁ 因为 ₂ x >0,
所 𝑥𝑥1以 > . 𝑥𝑥2 >0, 所以 𝑥𝑥 .1 =𝑡𝑡𝑥𝑥2, 𝑔𝑔(𝑥𝑥1)=𝑔𝑔(𝑡𝑡𝑥𝑥2)=𝑔𝑔(𝑡𝑡)𝑔𝑔(𝑥𝑥2), 所以 所以 f ₂ (x)
在(0,+∞ 𝑔𝑔( ) 𝑥𝑥 上2) 单 = 调 𝑓𝑓( 递 𝑥𝑥2增 )− ,故 1 D > 正 0, 确.故选 𝑔𝑔 ( A 𝑥𝑥 B1D ) . = 𝑔𝑔(𝑡𝑡)𝑔𝑔(𝑥𝑥2)>1×𝑔𝑔(𝑥𝑥2)=𝑔𝑔(𝑥𝑥2), 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)>𝑓𝑓(𝑥𝑥2),
法2：构造函数 ，对选项进行验证.
因为a⊥b,所以a·b𝑎𝑎=2-m=0,m=2,a-b=(-1,3),所以
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥 +1(𝛼𝛼 ∈𝑅𝑅),
√2 (𝑎𝑎−𝑏𝑏)⋅𝑏𝑏 −5 √2
113.2 .− 2 由题意知 C(0,4),CD⊥OD,点 D 的轨迹是以 OC 为直径co的s(圆𝑎𝑎.−E:𝑏𝑏 , 𝑏𝑏)=∣𝑎𝑎−𝑏𝑏∣∣𝑏𝑏∣=√10 在 ×√ 圆 5=C−内 2 的. 部分，两圆
4𝜋𝜋 2 2
的半径均为2，两圆交点分别为 则 所以点 D的轨迹长度为
3 𝑥𝑥 +𝑦𝑦 −4𝑦𝑦=0
2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 4𝜋𝜋
14.(-∞,-2e) 因为 所以 显然 a≠0，方程 有两个不同实根，
, ,
𝑀𝑀�−√3 3�,𝑁𝑁�√3 3�, ∠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑁𝑁= 3, 3 ×2= 3.
设 则 −2𝑥𝑥 2 易得′ g(x)在 −2𝑥𝑥 上单调递减，在 1 2上𝑥𝑥 单调递增,g(x)
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑒𝑒 +𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)=−2𝑒𝑒 +2𝑎𝑎𝑥𝑥, 𝑎𝑎 =𝑥𝑥𝑒𝑒
mi
𝑔𝑔
n
(𝑥𝑥)=𝑥𝑥𝑒𝑒
2𝑥𝑥
, 𝑔𝑔
′
(𝑥𝑥)=
当
(2𝑥𝑥
x
+
<0
1)
时
𝑒𝑒
2𝑥𝑥,
,
g(x)<0,当 x→
�−
-
∞
∞,
−
时 1
2
,
�
g(x)→0,当 x→
�
+
−
∞ 1
2
时,
+
,
∞
,g
�
(x)→+∞,所以
1 1
所以 a<-2e.当 a<-2e 时，f'(x)有两个变号零点(在零点的左右附近导函数值变号)，符合题意.
=𝑔𝑔�−2�=−2𝑒𝑒 <0,
1 1
故a的取值范围为(-∞,-2e).
−2𝑒𝑒 <𝑎𝑎 <0,
15.解:(1)由题知 又0≤φ<π,)所以\varphi = \frac{\pi}{3}. ·········· 4分
1
(2)由 (1)可知𝑓𝑓(:0) =cos=2, 所以
𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋 1
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=cos�2𝑥𝑥+3�, 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑓𝑓�𝑥𝑥−6�=cos�2𝑥𝑥+3�+cos2𝑥𝑥 =2cos2𝑥𝑥 −7
√3 √3 3 𝜋𝜋
2分si n2𝑥𝑥 +cos2𝑥𝑥 =− 2 sin2𝑥𝑥+2cos2𝑥𝑥 =√3cos�2𝑥𝑥+6�,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
令 解得
𝜋𝜋 𝜋𝜋 5𝜋𝜋
令 2𝑘𝑘𝜋𝜋 ≤2𝑥𝑥+6 ≤𝜋𝜋+2𝑘𝑘𝜋𝜋,𝑘𝑘 ∈𝑍𝑍, 解−得12 +𝑘𝑘𝜋𝜋 ≤𝑥𝑥 ≤ 12+𝑘𝑘𝜋𝜋,𝑘𝑘 ∈𝑍𝑍,
𝜋𝜋 5𝜋𝜋 11𝜋𝜋
所以𝜋𝜋函+2数𝑘𝑘 𝜋𝜋g≤(x2𝑥𝑥)的+单6 ≤调2递𝜋𝜋+减2区𝑘𝑘𝜋𝜋间,𝑘𝑘为∈ 𝑍𝑍, 12+𝑘𝑘𝜋𝜋 ≤𝑥𝑥 ≤ 12 +单𝑘𝑘𝜋𝜋调,𝑘𝑘递∈增𝑍𝑍.区间为
𝜋𝜋 5𝜋𝜋 5𝜋𝜋 11𝜋𝜋
, ,
分 �−12+𝑘𝑘𝜋𝜋 12+𝑘𝑘𝜋𝜋�,𝑘𝑘 ∈𝑍𝑍, �12+𝑘𝑘𝜋𝜋 12 +𝑘𝑘𝜋𝜋�,𝑘𝑘 ∈
16.(1)证明:取AC的中点O,连接OB,OD,
𝑍𝑍.⋯13
因为△ABC与△ACD都是等边三角形,O为AC的中点,所以OB⊥AC,OD⊥AC, 2分
又OB∩OD=O,OB,OD 平面OBD,所以AC⊥平面OBD, 4分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
又 B D 平 面 O B D , 故 A C ⊥ B D . 6 分
⊂ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⊂ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
