文档内容
2025 届高三期初学业质量监测试卷
数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得.
【详解】解不等式 ，得 ，
所以 .
故选：B
2. 已知命题 ，则 ：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论.
【详解】命题 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以 ： .
故选：C
3. 函数 在区间 上（ ）
A 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】 ，即 ，
设 ，则 单调递减，
且
故存在唯一一个 使
故在 上， ，此时 单调递减；
在 上， ，此时 单调递增；
故 在区间 上先减后增.
故选：D
4. 已知函数 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式代入验证即可.
【详解】因为 ，而 ，
所以 .
故选：C
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. 6 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得 ，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.
详解】由 ，可得 ，则 ，
则 .
故选：D.
6. 设 ，函数 ，则“关于x的不等式 的解集为 ”是“恒成立”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；
【详解】因为关于x的不等式 的解集为 ，则 ，
可得 恒成立，故充分性成立；
取 ，满足 恒成立，
但 的解集为 ，故必要性不成立；
所以“关于x的不等式 的解集为 ”是“ 恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设切点切点横坐标为 ，由题意列出 的关系，进而得到 ，再由二次函数
求最值即可.
【详解】设切点横坐标为 ，求导： 得 ，
由题意可得 解得： ，
所以 ，
所以 时， 的最大值为 .
故选:C
8. 若函数 的3个零点由小到大排列成等差数列，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】将问题转化为 和 的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得
， ，即可利用等差中项求解.
【详解】令 可得 ，
在同一直角坐系中作出 和 的图象如下：
要使 有3个零点，则 ，
由图可知： 有一个零点 ， 有2个零点 ，且 ，
即 有一个零点 ， 有2个零点 ，且
故 ， ，
由于 ，故 ，
化简可得 ，平方解得 ，
由于 ，故 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：判断函数 零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令 则方程实根的个
数就是函数零点的个数；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间 上是连续不断 曲线，且 再结合函数的图
象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；
(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数
零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要
利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解
题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列曲线平移后可得到曲线 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图像的平移变换可判断ABD，根据图像的伸缩变换可判断C.
【详解】对于A，曲线 向右平移3个单位可得到曲线 ，故A正确；
对于B，曲线 向上平移3个单位可得到曲线 ，故B正确；
对于C，曲线 横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线 ，故C错误；
对于D，曲线 ，向左平移 个单位可得到曲线 ，故D正确；
故选：ABD
10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值
越大，通风效果越好．（ ）
A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为 ，则窗户面积至少应该为
B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变
C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了 ,地面面积两次都增加了 ，则教室的通风效
果变差
【答案】BC
【解析】
【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，
同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.
【详解】对于A，设该公寓窗户面积为 ，则地板面积为 ，
依题意有 ，解得 ，
所以，这所公寓的窗户面积至少为 ，故A错误；
对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为 ，同时地板增加的面积为
，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为 ，
所以公寓采光效果不变，故B正确；对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.
由题可知， ，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为 ，
因为 ，且 ，
所以 ，即 ,
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C正确；
对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为 ,地板增加后的面
积为 ，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为 ，
因为 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ,
当 时 ，采光效果不变，
所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D错误.
故选：BC.
11. 设函数 的定义域关于原点对称，且 不恒为0，下列结论正确的是（ ）
A. 若 具有奇偶性，则满足 的奇函数 与偶函数 中恰有一个为常函
数，其函数值为0
B. 若 不具有奇偶性，则满足 奇函数 与偶函数 不存在
C. 若 为奇函数，则满足 的奇函数 与偶函数 存在无数对
D. 若 为偶函数，则满足 的奇函数 与偶函数 存在无数对
【答案】ACD【解析】
【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例 ，即可判断B选项；通过构造
， 即可判断C选项；通过构造 即可判断
D选项.
【详解】对于A， ，则 ，
当 为奇函数时，则 ，即 ；
当 为偶函数时，则 ，即 ，
即满足 的奇函数 与偶函数 中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正
确；
对于B，当 ， 时， 不具有奇偶性，
满足 的奇函数 与偶函数 存在，故B错误；
对于C， 为奇函数时，令奇函数 ，偶函数 ，则
，
，故存在无数对奇函数 与偶函数 ，满足 .故C正确；
对于D， 为偶函数，令奇函数 ，偶函数 ，则
，
，故存在无数对奇函数 与偶函数 ，满足 .故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设函数 的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个 ______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.
【详解】设 ，则 .
在 上任取一点 ，
则函数在该点处的切线方程为： 即 .
只要 不同，切线方程就不同.故答案为： （答案不唯一）
13. 已知矩形 的周长为24，将 沿 向 折叠，AB折过去后与DC交于
点 P ． 设 ， 则 ______________ （ 用 x 表 示 ） ， 当 的 面 积 最 大 时 ，
______________．
【答案】 . . .
【解析】
① ②
【分析】结合图形，折叠后易得 ，设 ，利用 ，即可求得 的
表示式；依题意，求出 的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时 的
值.
【详解】
如图2是图1沿着 折叠后的图形，因 ，则 ，
因矩形 的周长为24，则 ，对折后 ,易得
,
设 ，则 ,在 中，由勾股定理， ，
整理得 ，即
的面积为 ，
因 ，则当且仅当 时， ，
此时 时， .
故答案为： ； .
14. 已知 a 为常数，且 ．定义在 上的函数 满足： ，且当
时， ，则 ______________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意，先求出 ，再赋值得到 ，将 转化为
，运用不等式传递性，得到 .式子恒成立.只能.解方程即可.
【详解】 时， ，则 .
．定义在 上的函数 满足： ．
令 ，得到 ，即 .
由于 ，则 .
则要使得式子恒成立，则 ，解得 或 或者 .
由于 .则 .
故答案为：1．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，E，F，G
分别是棱AB，BC， 上的动点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求 ．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出 ，得到垂直关
系；
（2）在（1）的基础上，得到 ，故 ，从而得到线面垂直，故
为平面 的一个法向量，结合平面 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出 ，从
而求出 .
【小问1详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ，故 两两垂直，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
因为 ， ，设 ， ，
所以 ，
则 ，
则 ，
故 ；
【小问2详解】
，则 ，
则 ，
则 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
故 为平面 的一个法向量，
又平面 的法向量为 ，
则平面 与平面 的夹角的余弦值为
，
又平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
所以 ，解得 ，故 .
16. 某 学 习 小 组 研 究 得 到 以 下 两 个 公 式 ： ① ； ②
．
（1）请你在①和②中任选一个进行证明；
（2）在 中，已知 ，求 的面积．【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；
若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；
（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得 ，再利用面积公式求解.
【小问1详解】
若选①，证明如下：
.
若选②，证明如下：
.
【小问2详解】
由已知 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积 .
17. 分别过椭圆 的左、右焦点 作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点
．
（1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；
（2）求四边形 的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）3【解析】
【分析】（1）结合图形，易得 ，求得 的斜率，由直线 与椭圆的方程联立，求得点
，即得直线PQ的斜率；
（2）结合图形，由对称性可知，四边形 是平行四边形，四边形 的面积是 面积的
一半，设直线 的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出 和点 到直线
的距离 ，得到四边形 的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.
【小问1详解】
由 可知 ,椭圆上顶点为 ，即 ,
直线 的斜率为 ，则直线 的方程为： ，
将其代入 整理得， ，解得， 或 ，
因点 在x轴上方,故得点 ，于是直线PQ的斜率为： ；
【小问2详解】
如图，设过点 的两条平行线分别交椭圆于点 和 ，
利用对称性可知，四边形 是平行四边形，且四边形 面积是 面积的一半.
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线 的方程为
代入 ，整理得： ，显然 ，
设 ，则 ，
于是，，
点 到直线 的距离为 ，
则四边形 的面积为 ，
令 ，则 ，且 ，代入得， ，
因函数 在 上单调递增，故，当 时， 取得最小值为4，此时
.
18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 ，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率
分别为 .现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行
空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为 1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目
标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目
标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：
（1）概率 ；
（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；
（3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．
【答案】（1） ，
（2）
分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出 ；
（2）求出 的可能取值范围及对应的概率，求出 ；
（3）分蓝方击中 、 和 次三种情况讨论.
【小问1详解】
， ；【小问2详解】
的可能取值为 ，
因为 ， ，
，
所以分布列为：
所以 ；
【小问3详解】
若蓝方击中 次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 ，
若蓝方击中 次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 ，
若蓝方击中 次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 ，
所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 .
19. （1）函数 与 的图象有怎样的关系?请证明；
（2）是否存在正数c，对任意 ，总有 ？若存在，求c的最小值；若不存在，请说
明理由；
（3）已知常数 ，证明：当x足够大时，总有 ．
【答案】（1）关于直线 对称，证明见解析；（2）存在， ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.
（2）由 零点，可得 ，再构造函数，利用导数证明 时不等式恒成立.
（3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得.
【详解】（1）函数 与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
令 为函数 图象上任意一点，即 ，则 ，因此点 在函数 的图
象上，
反之亦然，而点 与 关于直线 对称，所以函数 与 的图象关于直线 对称.
（2）存在正数 ，对任意的 ， 恒成立，
令 ，显然 ，
根据指数函数与幂函数的增长特征，在 上恒有 ，
当 时，求导得 ，令 ，
求导得 ，函数 在 上单调递增， ，
函数 在 上单调递增， ，函数 在 上单调递
增，
因此 ， ；
令 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
，因此函数 在 上单调递增， ，
所以存在正数c，对任意的 ，总有 ， .
（3） ，不妨令 ，则不等式 ，
令 ，求导得 ，
当 时， ；当 ，
函数 在 上单调递增；在 上单调递减，
当 时， ， ，
当 时，由 ，得 是函数 的一个零点，
又 ，而 趋近于正无穷大时， 趋近于 ，
因此存在大于 的正数 ，使得 ，当 时， ，
所以对于 ，存在正数 ，使得 ，恒有 ；
，不妨令 ， ，不等式 ，
令 ，则函数 在 上单调递增；在 上单调递减，
，
令 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，值域为
，存在 ，使得 ，当 ，即 时， ， 恒成立，
当 ，即 时，函数 有两个零点 ，
对于 ， 恒成立，因此对于 ，存在正数 ，使得 ， 恒成立，
取 ，对于任意的 ， 成立，
所以当x足够大时，总有 .
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、
极(最)值问题处理.
