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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形（2个知识点+9大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 利用菱形的性质求角度
题型二 利用菱形的性质求线段长
题型三 利用菱形的性质求面积
题型四 利用菱形的性质证明
题型五 添一个条件使四边形是菱形
题型六 证明四边形是菱形
题型七 根据菱形的性质与判定求角度
题型八 根据菱形的性质与判定求线段长
题型九 根据菱形的性质与判定求面积
【知识梳理】
知识点1：菱形的概念与性质
1. 概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.性质： 边：菱形的四条边都相等．
对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．
知识点2：菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．
3. 四条边相等的四边形是菱形（边）
题型一 利用菱形的性质求角度
1．如图，在菱形 中， ，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交对角线 于点 ，再分
别以点 、 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是菱形的性质，线段的垂直平分线的作图与性质，等腰三角形的性质，先求解
， ，再证明 ，从而可得答案．
【详解】解：∵菱形 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由作图可得： ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C
2．如图，四边形 是菱形，延长 到点E，使 ．连接 ，若 ，则 的度数为
．
【答案】 /70度
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性
质得出 ，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．如图，同一平面内三条不同的直线 、 、 ，直线 平行直线 ，直线 与另外两条直线
分别交于点 、 ，点 、 分别为 、 上两点，且满足 平分 ， 平分 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)四边形 可以为菱形吗？若可以，求出 ；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析．
(2)四边形 可以为菱形， ．
【分析】（1）根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，只需根据角平分线的
性质证明 ，问题即可得证．
（2）根据菱形的每一条对角线平分一组对角的性质，结合平角为 ，即可求得答案．
【详解】（1） ，
．
平分 ， 平分 ，
， ．
．
．
又 ，
四边形 为平行四边形．
（2）四边形 可以为菱形．
四边形 为菱形，
．
平分 ，．
．
又 ，
．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、平行四边形的判定、角平分线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行四
边形的判定是解题的关键．
题型二 利用菱形的性质求线段长
1．如图，在菱形 中，对角线 、 交于点F，E是 的中点，若 ，则菱形 的边长
是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，斜边上的中线，根据菱形的性质，得到 ，再根据斜边上的中线等
于斜边的一半，得到 ，即可．
【详解】解：∵菱形 中，对角线 、 交于点F，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ．
即：菱形 的边长是4；
故选B．
2．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，若 , ，则 的长为
.【答案】5
【分析】利用菱形的面积公式求出 ，利用菱形的性质得到
，，利用勾股定理求出 的长即可．本题主要考查了菱形的性
质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ , ，
∴ ，
∵菱形 的对角线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
3．如图：在菱形 中， ，过点 作 于点 ，交 于点 ，点 为 的中点，若
，求 的长．
【答案】 的长为 ．
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含 角的直角三
角形的性质以及三角形的外角性质等知识．由菱形的性质得 ， ，再证 ，进而
由直角三角形斜边上的中线性质得 ，则 ，得 ，然后证
，即可解决问题．
【详解】解： 四边形 为菱形，∴ ， ，
，
，
，
，
点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即 的长为 ．
题型三 利用菱形的性质求面积
1．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，E，F分别是 ， 边上的中点，连接 ．若
， ，则菱形 的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．首
先根据三角形中位线定理得到 ，再计算菱形的面积即可．【详解】 E，F分别是 ， 边上的中点， ，
，
四边形 是菱形，
菱形 的面积= ，
故选：C．
2．如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，且 ， ，则菱形 的面积是
．
【答案】24
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】∵菱形 中，对角线 相交于点 ，且 ， ，
∴菱形 的面积是 ，
故答案为：24．
3．如图，已知菱形 ， ，E、F分别是 、 的中点，连接 、 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】此题主要考查菱形的性质、等边三角形性质和矩形的判定，
（1）可证明 是等边三角形，根据中点得出 ，进一步求得四边形 是平行四边形，
即可得出答案；
（2）利用等边三角形求得菱形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵E、F分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
则四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）∵ 是等边三角形， ，
∴ ．
题型四 利用菱形的性质证明
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．是中心对称图形 D．是轴对称图形
【答案】D
2．如图，在菱形 中，直线 分别交 ． ． 于点 ． 和 ．且 ，连接 ．
若 ，则 = ．【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．先证
，可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且
∴ ，
故答案为：25．
3．如图，在菱形 中， 交于点O，E为 延长线上的一点，且 ，连
接 分别交 于点F、G，连接 ，求证：① ；②四边形 是菱形；③
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据菱形的性质得到 ，进而证明 是等边三角形，
得到 ，再证明四边形 是平行四边形，进而证明平行四边形 是菱形即可证明②；进一
步证明 是 的中位线，得到 ，即可证明①；根据 ，得到
，同理可得 ，则
，由此即可证明③．
【详解】证明：如图所示，连接
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是菱形，②得证；
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，①得证；
∵ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴
∴ ，③得证．题型五 添一个条件使四边形是菱形
1．在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O．下列说法不能使平行四边形 为菱形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
根据菱形的判定、平行四边形的性质逐项判断即可得．
【详解】解：如图所示，
A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加 能判定 是菱形，则此项不符合题
意；
B、由邻边相等的平行四边形是菱形可知，添加 能判定 是菱形，则此项不符合题意；
C、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加 能判定 是矩形，不能判定 是
菱形，则此项符合题意；
D、 四边形 是平行四边形，
，
，
∵
∴
∴
∴平行四边形 是菱形，
即添加 能判定 是菱形，则此项不符合题意．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点．要使四边形AFDE为菱形，应添加的条
件是 （添加一个条件即可）．【答案】AF＝AE（答案不唯一）
3．如图，平行四边形 中， ，分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧交于
， 两点，作直线 交 于点 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ：
(2)在平行四边形 中能否添加一个条件，使四边形 为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，
请什么理由．
【答案】(1)见解析
(2)添加 ，见解析
【分析】（1）由作图可得 垂直平分线段 ，通过证明 ，得到 ，即可
得证，
（2）添加 ，通过证明 是等边三角形，根据临边相等的平行四边形是菱形，即可得证，
本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与
性质，解题的关键是：熟练掌握相关判定与性质定理．
【详解】（1）解：由作图可知 垂直平分线段 ，
，
是平行四边形，
， ，
，在 和 中， ，
，
，
，
（2）解：添加 ，
由（1）可知 ， ，
四边形 是平行四边形，
，
是等边三角形，
，
平行四边形 是菱形．
题型六 证明四边形是菱形
1．如图，在 中，E、F分别为边 、 的中点， 是对角线．下列说法错误的是（ ）
A．当 时，四边形 是菱形
B．当 时，四边形 是菱形
C．当 时，四边形 是矩形
D．当 平分 时，四边形 是矩形
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定，先根据平行四边形性质得到 ， ，得
到四边形 是平行四边形，再结合选项条件结合菱形的判定，逐个判定即可得到答案；
【详解】解：∵在 中，E、F分别为边 、 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∵ 平分 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，故D选项正确不符合题意，
当 时，得不到四边形 是菱形，故A选项错误，符合题意，
当 时，
，
∴四边形 是菱形，故B选项正确不符合题意，
当 时，
∵E为边 的中点，
∴ ，
∴四边形 是矩形，故C选项正确不符合题意，
故选：A．
2．如图，四边形 是轴对称图形，对称轴是直线 ，设 ， 交于O， ，则以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、菱形的性质和判定．由轴对称的性质可知；
，由平行线的性质可知 ，从而得到 ，
故此 ，从而可知四边形 为菱形，最后依据菱形的性质判断即可．
【详解】解：由轴对称的性质可知： ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴四边形 为菱形．
∴ ， ， ， ．不能证明 ；综上，①②④正确．
故答案为：①②④．
3．如图，在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作 交 的
延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若四边形 面积为S，请直接写出图中，面积为 的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，
【分析】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意，结合图形求解是关
键．
（1）由E是 的中点， ，易证得 ，即可得 ，又由 ，
D是 的中点，可得 ，证得四边形 是平行四边形，继而判定四边形 是
菱形；
（2）由（1）可得 ，根据 是 的中点， 是 的中点，可得 ， ， 面
积为 ．
【详解】（1）解：如图，∵ ，
∴ ，
∵E是 的中点，D是 的中点，
∴ ， ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，D是 的中点，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：由（1）可得：四边形 面积为S，
，
∵ 是 的中点，
，
∵ 是 的中点，
，
∵
，
综上所述，面积为 的所有三角形为 ， ，
题型七 根据菱形的性质与判定求角度
1．如图，四边形 中， ， ，连接 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】先证明四边形 是菱形，得到 ，再求出
即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 中， ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
2．如图，①以点 为圆心 长为半径画弧分别交 的两边 、 于点 、 ；②以点 为圆
心， 长为半径画弧，再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；③分别连接 、 、
，若 ，则 的大小为 ．
【答案】 / 度
【分析】先根据作图方法证明四边形 是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等
进行求解即可．
【详解】解：由作图方法可知， ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的
关键．
3．如图，四边形 和四边形 都是菱形，点E，F在 上已知 ， ，求：(1) 的度数．
(2) 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得出 ，再由等边对等角及三角形内角和定理求解即可；
（2）连接 ，根据菱形的对角线互相平分得出 ， ，结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）连接 ，如图所示：
∵四边形 和四边形 都是菱形， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查菱形的性质及等边对等角，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握菱形的性质
是解题关键．题型八 根据菱形的性质与判定求线段长
1．如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，再分别以点 ，
为圆心，大于 的相同长为半径画弧，两弧交于点 ；连接 并延长交 于点 ，连接 ，则四边
形 的周长为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质．
利用基本作图得到 ， ，根据平行四边形的性质得 ，则 ，
可得 ，从而得到 ，于是可判断四边形 为菱形，于是得到四边形 的周长．
【详解】解：由作法得： 平分 ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形，
∴四边形 的周长 ．
故选：A．
2．在 的两边上分别截取线段 、 ，使 ；分别以点 、 为圆心， 长为半径作弧，
两弧交于点 ；连接 、 、 、 ．若 ，四边形 的面积为 ，则 的长为．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据作图得到四边形 为菱形，根据菱形的面积等于对角线乘
积的一半，进行求解即可．
【详解】解：由作图可知： ，
∴四边形 为菱形，
∴四边形 的面积为 ，
∴ ；
故答案为： ．
3．如图，在四边形 中， ， ，对对角线 ， 交于点O， 平分 ，过
点C作 ，交 的延长线于点E，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）根据题意先证明四边形 是平行四边形，再由 可得平行四边形 是菱形；
（2）根据菱形的性质得出 的长以及 ，利用勾股定理求出 的长，再根据直角三角形斜边
中线即可解答．【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形，对角线 ， 交于点O，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，O为 中点，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等角对等边，
角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
题型九 根据菱形的性质与判定求面积
1．如图， ，以点 为圆心， 为半径画弧交 ， 于点 ， ；分别以点 ， 为圆
心大于 为半径画弧，两弧交于点 ；以点 为顶点作 ，射线 与 交于点 ，连接 ；则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得 是 的角平分线，可判定四边形 是菱形，如图所示，过点 作
于点 ，可求出 的长，根据 即可求解．
【详解】解：根据作图可知， 是 的角平分线， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，且 ，
∴平行四边形 是菱形，
如图所示，过点 作 于点 ，∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，菱形的判定和菱形的综合，勾股定理，含30度直角三角形的性质，
掌握角平分线画法，菱形的判定方法，几何图形面积的计算方法等知识的综合是解题的关键．
2．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成 的角叠放，则重合部分构成的四边形 的面积为
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质与面积，先判断四边形的形状为菱形，然后利用菱形的面积公式计算是解题
的关键．
【详解】过点 作 于E， 于F，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∵ ，
又∵ ，∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴四边形 的面积 ，
故答案为： ．
3．如图是某数学教材中的部分内容．
平行四边形的性质定理 ：平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图 的对角线 和 相交于点 ．
求证： ； ．
观察图形， 与 、 与 分别属于哪两个三角形？
(1)请根据教材中的分析和图①，写出
“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程；
(2)如图②， 的对角线 ， 相交于点 ， 过点 且与 ， 分别相交于点 ， ，连
接 ， ．求证：四边形 是平行四边形；
(3)如图②，若 ， 的周长是 ， 的周长是 ，且 比 的长多 ， 比 的长
多 ，则四边形 的面积是________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明 即可求得答案．（2）证明 即可求得答案．
（3）根据 的周长和 的周长可求得 的长度，根据 的周长及其三边的关系，可求得
的长度，进而可求得 的长度，根据 即可求得答案．
【详解】（1）∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ．
∴ ， ．
在 和 中
∴ ．
∴ ， ．
∴平行四边形的对角线互相平分．
（2）∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ．
∴ ， ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
（3）∵ ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
∴ ．
根据题意可知 的周长 ， 的周长 ，
，
∴ ．∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，牢记平行四边
形的性质、全等三角形的判定方法及性质、菱形的判定方法及性质是解题的关键．
1．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作
于点H，若 ，则菱形 的面积是（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质及垂直平分线的性质，根据 ， 得
到 ，根据菱形得到 ，即可得到 是等边三角形，根据勾股定理求出 ，即可得
到答案；
【详解】解：∵ ，∴ ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（2023上·海南海口·九年级统考阶段练习）如图，在菱形 中， ，对角线 与 相
交于点O， 于点F，交 于点P．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性
质，先由菱形的性质得到 ， ， ，再证明 是等边三角形，则
，进而得到 ，由三线合一定理得到 ，则可求出 ，利用勾
股定理得到 ，则 ．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
故选：C．
3．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图所示， 是菱形 的对角线 、 的交点， 、
分别是 、 的中点，在下列结论中错误的是（ ）
A．
B．四边形 是中心对称图形
C． 是轴对称图形
D．
【答案】D
【分析】由等底等高三角形的面积相等，即可判定A正确，由 是菱形 的对角线 、 的交点，
、 分别是 、 的中点，易证得四边形 是菱形， 是等腰三角形，即可判定B，C正确；
继而求得答案．
【详解】解：A、 是 的中点，
，
与 等高，
，故本选项正确；
B、 四边形 是菱形，
， ， ，、 分别是 、 的中点，
，
∵ ，
四边形 是菱形，
四边形 是中心对称图形，故本选项正确；
C、∵四边形 是菱形，
∴ ，
是等腰三角形，
是轴对称图形，故本选项正确；
D、 ，
， ，
，故本选项错误．
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质与判定，轴对称性与中心对称性，此题难度适中，注意掌握数形结合思想
的应用．
4．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于
点 ， 是 上任一点， 于 ， 于 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．过 作 于 ，由菱形的性质推出 ，， ， ， 平分 ，由角平分线的性质推出 ，由 于，
， ，得到 、 、 共线，因此 ，由勾股定理和菱形的面积公式即可求
解．
【详解】解：过 作 于 ，
四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ， 平分 ，
于 ，
，
于， ， ，
、 、 共线，
，
， ，
， ，
，
菱形 的面积 ，
，
．
的值为 ．
故选：C．
5．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图， 中， ，F是 中点，作 ，垂足是E，连接 、 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，关键是由平行四边形下的性质判定四边形
是菱形．
取 中点 ，连接 ，由平行四边形的性质推出四边形 是菱形，得到 ，由平行
线的性质，垂直的定义推出 ，由线段垂直平分线的性质推出 ，由菱形的性质
推出 ，得到 ，由平行线的性质推出 ，得到
，于是得到 ．
【详解】解：取 中点 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∵ 是 中点，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，故①符合题意；故②符合题意；
垂直平分
故③符合题意；
∵四边形 是菱形，
∴其中正确的个数是4个．
故选：D．
6．（2023上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在菱形 中， ，点E是边 的中点，
P是对角线 上的一个动点，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接 、 ，根据
菱形的性质，易证 是等边三角形， ，连接 交 于点 ，当点P在 位置
上时，此时D、P、E三点共线， 有最小值，最小值为 的长，利用等边三角形的性质，得到
，再根据勾股定理，求出 的长，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接 、 ，
四边形 是菱形， ， ，
， ， ，
是等边三角形， ，
连接 交 于点 ，当点P在 位置上时，此时D、P、E三点共线， 有最小值，最小值为
的长，
点E是边 的中点，
， ，
由勾股定理得： ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
7．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，四边形 是菱形， 交于点
交 于点 ，连接 ，若 ，则 ．
【答案】9.6/
【分析】如图，取 中点 ，连接 ，由菱形的性质，对角线互相垂直平分，可得 是 的中位
线，由中位线的性质得， ， ，即可得出 在 的垂直平分线上，进而求出 ，
的值，再由勾股定理得 ，可计算出 的值，最后根据三角形面积公式得 ，求出 的值，即可计算 的值．
【详解】解：如图，取 中点 ，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
是 的中位线，
， ，
又 ，
，
在 的垂直平分线上，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，熟练掌握
相关性质，合理添加辅助线，证明 并利用三角形面积相等求出 的值是解题关键．
8．（2024上·陕西西安·九年级西安市第二十六中学期末）如图，在菱形 中， ，点P
为线段 上不与端点重合的一个动点．过点P作直线 、直线 的垂线，垂足分别为点E、点F．连
结 ，在点P的运动过程中， 的最小值等于 ．【答案】7.8
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和线段最值问题，点到直线的所有线段中，垂线段最短，连接
交 于点O，连接 ，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出 的长度，再根据
建立等式推算出 的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 交 于点O，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即 的值为定值 ，
当 最小时， 有最小值，
∵当 时， 的最小值 ，
∴ 的最小值 ，故答案为： ．
9．（2024上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期末）如图，四边形 为菱形， ，
在 内作射线 ，使得过点D作 ，垂足为F，若 ，则对角线 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键．连接
交 于H，证明 ，得出 的长度，再根据菱形的性质得出 的长度．
【详解】解：如图，连接 交 于点H，
由菱形的性质得 ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是菱形，
∴ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（2023下·江苏宿迁·八年级宿迁市宿豫区实验初级中学校考期末）如图， 菱形 的 边在x轴
上，顶点C坐标为 ，顶点D坐标为 ，点E在y轴上，线段 轴，且点F 坐标为 ，若
菱形 沿x轴左右运动，连接 、 ，则运动过程中，四边形 周长的最小值是 ．
【答案】18
【分析】在 上截取 ，使得 ，作点T关于直线 的对称点 ，连接 交直线AD于 ，
即为 ，连接 ，此时四边形 的周长最小，利用勾股定理求出 ，然后求出 ，
，得到 ，进而求解即可．
【详解】在 上截取 ，使得 ，作点T关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ，
在 上找一点 ，使得 ，连接 ，此时四边形 的周长最小．∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形
∴ ，
∵ 轴，
∴
∵
∴ ，
∴四边形 的周长的最小值 ．
故答案为：18．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，平移的性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握
菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．
11．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，
， ．
(1)求证：四边形 为菱形；(2)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证
明四边形 是平行四边形；
（2）本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证明四边形
是平行四边形．
【详解】（1）解： ， ，
四边形 是平行四边形，
矩形 的对角线 相交于点O，
，
四边形 是菱形；
（2）如图，连接 ，交 于点F，
由（1）知，四边形 是菱形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
12．（2023下·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，在四边形 中， ， ，对角线
． 交于点 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ．连接 ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求线段 的长，
【答案】(1)见解析
(2)CE=2
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质以及勾股定理：
（1）根据题意先证明四边形 是平行四边形，再由 可得平行四边形 是菱形；
（2）根据菱形的性质得出 的长，利用勾股定理求出 的长即可解答．
【详解】（1）证明：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴
∵
∴ ，
∵
∴在 中，根据勾股定理得
13．（2023上·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形 中，对角线 的中点为 ，点 ， 在对角线 上， ，直线 绕点 逆时针旋转 角，与边 ， 分别相交于点 ， ，（点 不
与点 ， 重合）．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当旋转角 ______时，平行四边形 是菱形；满足______条件时，平行四边形 是矩形；
(3)当四边形 是菱形，连接 ，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
(3)6
【分析】（1）由矩形性质和已知条件，可以证明： ，则可得 ，再用对角线
互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形即可求解；
（3）由菱形的性质可得 ，在 中，由勾股定理即可求出 的长，再用三角形面积公式即
可求得．
【详解】（1）证明： 矩形对角线 的中点为 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
又∵ ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形 是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得：当 时，四边形 是菱形，即 ；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可得，当 时，四边形 是矩形，
故答案为： ， ；
（3）解：如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
，
在 中， ，
， ，
，
，
解得 ，
的面积为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定，勾股定理以及三
角形面积公式，掌握平行四边形、矩形、菱形的性质和判定是解题的关键．
14．（2023下·四川泸州·八年级校联考期末）如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的中点，
过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 时，求证四边形 是矩形；(3)当 满足什么条件时，四边形 是菱形？并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)当 时，四边形 是菱形，证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定的知识，解题的关键是牢记几个判定定
理，难度不大．
（1）首先利用全等三角形的判定方法得出 ，进而得出 ，再利用一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；
（2）由 ，根据三线合一的性质，可得 ，继而可得四边形 是矩形；
（3）根据 ， 是 边上的中线，从而得到 ，然后利用邻边相等的平行四
边形是菱形即可得到结论．
【详解】（1）证明： ，
．
在 和 中
，
．
．
是中线，
，
．
又 ，
四边形 为平行四边形；
（2） ， 是中线，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形；（3）当 时，四边形 是菱形．
证明： ， 是 边上的中线，
，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 是菱形．
15．（2024上·福建福州·八年级校考期末）【提出问题】求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边
的平方和．
【探究问题】小红在探究该问题时从特殊的矩形和菱形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：
（1）①如图①，在矩形 中， ， ，则 __________；
②若边长为5的菱形 中，两条对角线的平方和 __________；
【解决问题】（2）如图②，已知 ，求证： ；
【知识应用】（3）如图③，在 中， 的长分别为7、10、5， 是 边上的中线，利
用（2）的结论求 的长．
【答案】（1）①104②100；（2）证明见解析（3）
【分析】（1）①由四边形 是矩形，得 ，在 中，运用勾股定理求出 和 ，即
可得到结果；
②设 ，由四边形 是菱形，得 ，在 中，求出
，由 ，即可求出结果；
（2）过点A作 ，垂足为点E，过点D作 ，垂足为点F，证明 ，得
，在 和 中，有 ，得
，即可证明结论；
（3）延长 ，使得 ，连接 ，证明四边形 是平行四边形，由（2）得，可得 ，即可求出结果．
【详解】解：（1）①∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：104；
②解：设 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：100；
（2）证明：过点A作 ，垂足为点E，过点D作 ，垂足为点F，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
∵ ，
∴
，
，
，
∴ ；
（3）解：延长 到E，使得 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
由（2）得 ，
∴ ，
解得 ，或 （不合题意，舍去），
∴ ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾
股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题．
