文档内容
人教版初中数学八年级下册
18.2.2 矩形的判定 教学设计
一、教学目标：
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
二、教学重、难点：
重点：矩形判定定理的运用.
难点：矩形判定方法的理解及应用.
三、教学过程：
复习回顾
忆一忆
1.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
知识精讲
想一想
工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB=CD，EF=GH；
(2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是___________，根据的数学道理是
______________________________________；(3)将直角尺靠窗框的一个角，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝
隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是_____，根据的数学道理是__________________.
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长是否分别相等，常常还要测
量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形. 你知道其中的道理吗？
思考：我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ 四形边ABCD是平行四边形
∴ AB=DC，AB∥DC
又 AC=BD，BC=CB
∴ △ABC≌△DCB (SSS)
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AB∥DC
∴ ∠ABC+∠DCB=180°∴ ∠ABC=90°
∴ 四边形ABCD是矩形
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何符号语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD
∴ 四边形ABCD是矩形
想一想：对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？
典例解析
例1.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度
数．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
1 1
∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD
2 2
又 OA=OD
∴ AC=BD
∴ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠DAB=90°
又 ∠OAD=50°
∴ ∠OAB=40°
【针对练习】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，求□ABCD的面积.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AC=2AO，BD=2BO
∵ △OAB是等边三角形
∴ AO=BO=AB=4
∴ AC=BD=8
∴ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=90°
∴ 在Rt△ABC中，BC=❑√AC2-AB2 =❑√82-42 =4❑√3
∴ S =AB×BC=4×4❑√3 =16❑√3
□ABCD
例2.已知在四边形ABCD中，作AE∥BC交BD于O点且OB＝OD，交DC于点E，连接BE，∠ABD
＝∠EAB，∠DBE＝∠EBC．求证：四边形ABED为矩形．
证明：∵∠ABD＝∠EAB，
∴OA＝OB，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵∠DBE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠DBE，
∴OE＝OB，∴OA＝OE，
∵OB＝OD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵OA＝OB，OA＝OE，OB＝OD，
∴OA＝OE＝OB＝OD，
∴AE＝BD，
∴平行四边形ABED为矩形．
【针对练习】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、
DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=BO=CO=DO，
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
知识精讲
思考：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是
直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何符号语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴ 四边形ABCD是矩形
典例解析
例3.如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证:四边形EFGH
是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB // CD
∴∠ABC+∠BCD=180°∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
1
∴∠GBC+∠GCB= (∠ABC+∠BCD) =90°
2
即∠G=90°
同理∠E=90°,∠AFB=90°
∴∠GFE=90°
∴四边形EFGH是矩形
【针对练习】已知：如图，P，B，C在同一条直线上，BD，BE分别是∠ABC与∠ABP的平分
线，AE⊥BE,AP⊥BD，E，D为垂足．求证：四边形AEBD是矩形．
证明：∵BD，BE分别是∠ABC与∠ABP的平分线，
1 1
∴∠ABE= ∠ABP,∠ABD= ∠ABC，
2 2
∵∠ABP+∠ABC=180°
1 1 1
∴∠ABE+∠ABD= ∠ABP+ ∠ABC= (∠ABP+∠ABC)=90°，
2 2 2
即∠DBE=90°，
∵AE⊥BE,AP⊥BD，∴∠E=∠D=90°，
∴四边形AEBD是矩形．
例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
1
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
2
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
1
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,
2
1
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
2
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形．
例5.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，
PF⊥AC于点F．
(1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
(2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系
(3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程．
（1）解：连接OP，如图，
设点C到BD的距离为h ．
1在 中， ，
RtΔBCD BD=❑√BC2+CD2=❑√32+42=5
1 1
由S = BD⋅h = BC⋅CD，得
ΔBCD 2 1 2
BC⋅CD 3×4 12
h = = = ．
1 BD 5 5
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
由S =S +S ，得，
ΔCOD ΔDOP ΔCOP
1 1 1
OD⋅h = OD⋅PE+ OC⋅PF，
2 1 2 2
12
化简得PE+PF=h = .
1 5
12
（2）解：PE+PF= ，理由见解析，
5
连接OP，如下图：
设点O到AD的距离为h ，
2
5
由（1）得OD=OA= ,h =2，
2 2
∵S =S +S ，
△AOD △OPD △OPA
1 1 5 1 5
∴ ×3×2= × PE+ × PF，
2 2 2 2 2
12
∴PE+PF= ，
5
12
（3）解：PE-PF= ，理由如下：
5连接OP、BP，如图．
由S =S +S
ΔBPD ΔCOD 四边形BOCP
=S +S +S ，
ΔCOD ΔCOP ΔBOP
1 1 1 1
BD⋅PE= OD⋅h + OC⋅PF+ OB⋅PE，
2 2 1 2 2
化简得2PE=h +PE+PF，
1
12
即PE-PF=h = ．
1 5
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.在数学活动课.上,老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四
位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否为直角 D.测量其中三个角是否为直角
2.已知平行四边形ABCD中， 下列条件:①AB=BC; ②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中
能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A.① B.② C.③ D.④
3.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB.若AD=4，∠ABD=30°，则AB的
长为( )
A.4❑√3 B.2❑√3 C.8 D. 8❑√34.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点
E，已知∠A=30°， BC=2，AF=BF， 则四边形BCDE的面积是( )
A.2❑√3 B.4❑√3 C.4❑√5 D.2❑√5
5.如图，是四根木棒搭成的平行四边形框架，AB=8cm，AD=6cm，使 AB 固定，转动 AD，当
∠DAB=_____时，□ABCD的面积最大，此时□ ABCD是_____形，面积为______cm2.
6.如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥ MB， 当AB、BC
满足条件___________时，四边形PEMF为矩形.7.如图，在矩形ABCD中AD=3，CD=4，点P是AC上一个动点(点P与点A，C不重合)，过点P
分别作PE⊥BC于点E，PF // BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为______.
8. 已 知 ： 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， AB=AD,CB=CD， 点 M ， N ， P ， Q 分 别 是
AB,BC,CD,DA的中点．求证：四边形MNPQ是矩形．
9.如图，一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将△BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC
上，记为点F．
(1)若AB＝4，BC＝3，求AE的长．
(2)连接DF，若点D，F，E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长．10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点
P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速
度运动，动点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运
动，设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
【参考答案】
1. D
2. B
3. A
4. A
5. 90°，矩，48
1
6. AB= BC
2
12
7.
58.证明：设AC与BD交于点O，AC与QM交于点F，BD与PQ交于点E，
∵AB=AD，CB=CD，
∴点A与点C都在BD的垂直平分线上，
∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵点M，N，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴MQ∥BD，PQ∥AC，
∴四边形OEQF是平行四边形，
又∠AOD=90°，
∴四边形OEQF是矩形，
∴∠MQP=∠AOD=90°，
同理：∠QMN=∠MNP=90°，
∴四边形MNPQ是矩形．
9.（1）解：如图，矩形纸片ABCD中，
∵AB＝4，BC＝3，
故由勾股定理可得AC＝5．
由折叠知：FC＝BC＝3，∠EFC＝∠B＝90°，BE＝FE．
∴AF=AC-FC=5-3=2．
设AE＝x，则BE=4-x=FE．在Rt△AFE中， ，
22+(4-x) 2=x2
5
解得：x= ．
2
5
∴AE= ．
2
（2）如图，矩形纸片ABCD中，
∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠BEC，
由折叠知：∠BEC＝∠FEC，
∴∠DCE＝∠FEC，
∴DC＝DE．
又∵点D，F，E在同一条直线上，∠EFC＝∠B，
∴∠DFC＝90°，
∴∠DFC＝∠DAE＝90°，
而CF＝CB＝DA，
∴△CDF≌△DEA，∴AE＝DF＝2．
10.（1）解：∵设运动时间为t秒，
∴AP=t(cm)，PD=AD-AP=24-t(cm)，CQ=3t(cm)，BQ=BC-CQ=26-3t(cm)，
如图1，
∵AD∥BC，∴当PA=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABQP是矩形，
即t=26-3t，
解得：t=6.5，
∴t=6.5s时，四边形ABQP是矩形；
（2）解：如图2，
∵AD∥BC，
∴当QC=PD时，四边形PQCD是平行四边形．
此时有3t=24-t，
解得t=6．
∴当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形．
四、教学反思：
在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中
是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法. 教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学
生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教
学的效率.
