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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形（2个知识点+9大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 利用菱形的性质求角度
题型二 利用菱形的性质求线段长
题型三 利用菱形的性质求面积
题型四 利用菱形的性质证明
题型五 添一个条件使四边形是菱形
题型六 证明四边形是菱形
题型七 根据菱形的性质与判定求角度
题型八 根据菱形的性质与判定求线段长
题型九 根据菱形的性质与判定求面积
【知识梳理】
知识点1：菱形的概念与性质
1. 概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.性质： 边：菱形的四条边都相等．
对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．
知识点2：菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．
3. 四条边相等的四边形是菱形（边）
题型一 利用菱形的性质求角度
1．如图，在菱形 中， ，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交对角线 于点 ，再分
别以点 、 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形 是菱形，延长 到点E，使 ．连接 ，若 ，则 的度数为
．
3．如图，同一平面内三条不同的直线 、 、 ，直线 平行直线 ，直线 与另外两条直线
分别交于点 、 ，点 、 分别为 、 上两点，且满足 平分 ， 平分 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)四边形 可以为菱形吗？若可以，求出 ；若不可以，请说明理由．
题型二 利用菱形的性质求线段长
1．如图，在菱形 中，对角线 、 交于点F，E是 的中点，若 ，则菱形 的边长
是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，若 , ，则 的长为.
3．如图：在菱形 中， ，过点 作 于点 ，交 于点 ，点 为 的中点，若
，求 的长．
题型三 利用菱形的性质求面积
1．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，E，F分别是 ， 边上的中点，连接 ．若
， ，则菱形 的面积为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，且 ， ，则菱形 的面积是
．
3．如图，已知菱形 ， ，E、F分别是 、 的中点，连接 、 ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求菱形的面积．
题型四 利用菱形的性质证明
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．是中心对称图形 D．是轴对称图形
2．如图，在菱形 中，直线 分别交 ． ． 于点 ． 和 ．且 ，连接 ．
若 ，则 = ．
3．如图，在菱形 中， 交于点O，E为 延长线上的一点，且 ，连
接 分别交 于点F、G，连接 ，求证：① ；②四边形 是菱形；③
题型五 添一个条件使四边形是菱形
1．在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O．下列说法不能使平行四边形 为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点．要使四边形AFDE为菱形，应添加的条
件是 （添加一个条件即可）．
3．如图，平行四边形 中， ，分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧交于
， 两点，作直线 交 于点 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ：
(2)在平行四边形 中能否添加一个条件，使四边形 为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，
请什么理由．
题型六 证明四边形是菱形
1．如图，在 中，E、F分别为边 、 的中点， 是对角线．下列说法错误的是（ ）
A．当 时，四边形 是菱形
B．当 时，四边形 是菱形
C．当 时，四边形 是矩形
D．当 平分 时，四边形 是矩形2．如图，四边形 是轴对称图形，对称轴是直线 ，设 ， 交于O， ，则以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的序号是 ．
3．如图，在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作 交 的
延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若四边形 面积为S，请直接写出图中，面积为 的所有三角形．
题型七 根据菱形的性质与判定求角度
1．如图，四边形 中， ， ，连接 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，①以点 为圆心 长为半径画弧分别交 的两边 、 于点 、 ；②以点 为圆
心， 长为半径画弧，再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；③分别连接 、 、
，若 ，则 的大小为 ．3．如图，四边形 和四边形 都是菱形，点E，F在 上已知 ， ，求：
(1) 的度数．
(2) 的度数．
题型八 根据菱形的性质与判定求线段长
1．如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，再分别以点 ，
为圆心，大于 的相同长为半径画弧，两弧交于点 ；连接 并延长交 于点 ，连接 ，则四边
形 的周长为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．在 的两边上分别截取线段 、 ，使 ；分别以点 、 为圆心， 长为半径作弧，
两弧交于点 ；连接 、 、 、 ．若 ，四边形 的面积为 ，则 的长为
．3．如图，在四边形 中， ， ，对对角线 ， 交于点O， 平分 ，过
点C作 ，交 的延长线于点E，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 ， ，求 的长．
题型九 根据菱形的性质与判定求面积
1．如图， ，以点 为圆心， 为半径画弧交 ， 于点 ， ；分别以点 ， 为圆
心大于 为半径画弧，两弧交于点 ；以点 为顶点作 ，射线 与 交于点 ，连
接 ；则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成 的角叠放，则重合部分构成的四边形 的面积为3．如图是某数学教材中的部分内容．
平行四边形的性质定理 ：平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图 的对角线 和 相交于点 ．
求证： ； ．
观察图形， 与 、 与 分别属于哪两个三角形？
(1)请根据教材中的分析和图①，写出
“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程；
(2)如图②， 的对角线 ， 相交于点 ， 过点 且与 ， 分别相交于点 ， ，连
接 ， ．求证：四边形 是平行四边形；
(3)如图②，若 ， 的周长是 ， 的周长是 ，且 比 的长多 ， 比 的长
多 ，则四边形 的面积是________．1．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作
于点H，若 ，则菱形 的面积是（ ）
A． B．1 C． D．4
2．（2023上·海南海口·九年级统考阶段练习）如图，在菱形 中， ，对角线 与 相
交于点O， 于点F，交 于点P．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图所示， 是菱形 的对角线 、 的交点， 、
分别是 、 的中点，在下列结论中错误的是（ ）
A．
B．四边形 是中心对称图形
C． 是轴对称图形
D．4．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于
点 ， 是 上任一点， 于 ， 于 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图， 中， ，F是 中点，作 ，垂
足是E，连接 、 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在菱形 中， ，点E是边 的中点，
P是对角线 上的一个动点，若 ，则 的最小值是 ．
7．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，四边形 是菱形， 交于点
交 于点 ，连接 ，若 ，则 ．8．（2024上·陕西西安·九年级西安市第二十六中学期末）如图，在菱形 中， ，点P
为线段 上不与端点重合的一个动点．过点P作直线 、直线 的垂线，垂足分别为点E、点F．连
结 ，在点P的运动过程中， 的最小值等于 ．
9．（2024上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期末）如图，四边形 为菱形， ，
在 内作射线 ，使得过点D作 ，垂足为F，若 ，则对角线 的长为 ．
10．（2023下·江苏宿迁·八年级宿迁市宿豫区实验初级中学校考期末）如图， 菱形 的 边在x轴
上，顶点C坐标为 ，顶点D坐标为 ，点E在y轴上，线段 轴，且点F 坐标为 ，若
菱形 沿x轴左右运动，连接 、 ，则运动过程中，四边形 周长的最小值是 ．
11．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，
， ．(1)求证：四边形 为菱形；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
12．（2023下·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，在四边形 中， ， ，对角线
． 交于点 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ．连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求线段 的长，
13．（2023上·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形 中，对角线 的中点为 ，点 ， 在对
角线 上， ，直线 绕点 逆时针旋转 角，与边 ， 分别相交于点 ， ，（点 不
与点 ， 重合）．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当旋转角 ______时，平行四边形 是菱形；满足______条件时，平行四边形 是矩形；
(3)当四边形 是菱形，连接 ，若 ， ，求 的面积．
14．（2023下·四川泸州·八年级校联考期末）如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的中点，
过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 时，求证四边形 是矩形；
(3)当 满足什么条件时，四边形 是菱形？并证明你的结论．
15．（2024上·福建福州·八年级校考期末）【提出问题】求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边
的平方和．
【探究问题】小红在探究该问题时从特殊的矩形和菱形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：（1）①如图①，在矩形 中， ， ，则 __________；
②若边长为5的菱形 中，两条对角线的平方和 __________；
【解决问题】（2）如图②，已知 ，求证： ；
【知识应用】（3）如图③，在 中， 的长分别为7、10、5， 是 边上的中线，利
用（2）的结论求 的长．
