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2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成三角形的是（ ）
A．1 3 5 B．3 3 6 C．1 2 3 D．3 4 6
3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1）
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．a2•a＝a2
C．（a2）3＝a5 D．（a2b）2＝a4b2
5．（2分）有些人可能有花粉过敏的现象，其实花粉粒的大小会影响我们的防护方法．花粉粒的大小因
植物而异，一般在10到200微米之间．比如，春季常见的柏树花粉，它的粒径大约在 20到30微米，
而某些热带植物的花粉粒径则小于10微米．医用口罩可以有效阻挡直径大于3微米的花粉粒，在花粉
高发季节，外出时佩戴口罩可以减少花粉吸入．若某种植物的花粉粒径为18微米，将18微米用科学
记数法表示应为（注：1微米＝10﹣6米）（ ）
A．18×106米 B．18×10﹣6米
C．1.8×10﹣5米 D．1.8×10﹣6米
6．（2分）下列运算正确的是（ ）
a2 a6
A．3a−2= B． =a3
3 a2
b 2 b2
C．（a2+1）0＝0 D．(− ) =
2a 4a2
.7．（2分）根据以下作图痕迹，能得到△ABC的角平分线AD的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）图1是一扇古建筑的窗棂，它的窗花格子由许多紧密连接的正三角形构成，图2是它的一部
分．有以下三个结论：①△ACD和△AED全等；②△ABC和△AFG的面积相等；③△AEF是一个直
角三角形，它的面积是△ABC面积的1.5倍．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共7小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）分解因式：2a2﹣4ab+2b2＝ ．
10．（2分）下面是“过直线AB外一点C作直线AB的平行线”的尺规作图方法．
（1）如图，过点C作一条直线，与直线AB相交于点E；
（2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD＝∠CEB；
（3）反向延长CD，得到直线CD，则直线CD∥AB．
上述方法通过判定△FCM≌△GEH 得到∠FCD＝∠CEB，其中判定△FCM≌△GEH 的依据是
．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】11．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6．AD是△ABC的中线，过点D作DE∥AB，交AC
于点E．若△ABC的面积是24，则线段DE的长是 ．
12．（2分）若关于x的方程k2x﹣k＝1﹣2x的解为负数，则k的取值范围是 ．
13．（2分）某班计划开展“好书换读”活动，同学们将自己的好书带到班级中，其他同学可以借阅，自
愿参加．计划首批征集60本书，首批实际参与人数是原计划人数的2倍，平均每位同学比原计划少带
了3本．若设原计划首批参与人数为x人，则所列的方程是 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝ ，点D是△ABC的外角∠EAC的平分线和边BC的垂直平分
线的交点，则∠DCB＝ α （用含有 的式子表示）．
α
1
15．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，若P是直线BC上的动点，则PA+ PB
2
的最小值是 ．
三、解答题（共68分，第17题6分，第18题7分，第19-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，
每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】16．（6分）计算：
（1）a（a+b）+b（b﹣a）；
(2x+ y)(2x−y)−4x2
（2） ．
xy
17．（7分）计算：
（1）（m+n）2﹣（m﹣n）（m+3n）；
m−1 1−n
+
（2） ．
(m−n) 2 (n−m) 2
18．（5分）如图，在△ACE和△BDF中，点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝∠1，CE∥DF，AB＝
CD．求证：CE＝DF．
19．（5分）如图，已知直线EF和△ABC，点A，B在直线EF上．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①过点C作直线EF的垂线，垂足为点G；
②作点C关于直线EF的对称点C ；
1
（2）若点C到直线EF的距离为1，∠CBF＝30°，求线段BC的长；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2BC，求△ABC 的面积．
1
20．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，BE⊥BC，AE∥BD，CE交BD于点F．
（1）求∠BAE的大小；
（2）判断△BEF的形状，并证明．
21 ． （ 5 分 ） 先 化 简 代 数 式 ， 再 在 给 定 的 5 个 数 中 选 取 一 个 合 适 的 数 代 入 求 值 ：
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( + )÷ ，其中x从0，1，2，3，4中选取．
x2−2x x2−4x+4 3x
22．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，P为边BC上的一点（点P不与点B，C重合），
连接AP，△APC的两个内角的差恰好为90°．
（1）求∠BAP的度数；
（2）若AP＝n，求BC的长（用含有n的式子表示）．
23．（5分）在校园科技节密码设计活动中，某班设计了一种基于因式分解的文件加密方式，操作步骤为：
①选取能分解成三个因式的多项式，并因式分解；②对每个字母赋值，使得三个因式的值均为小于
100的自然数，记所得的自然数为对应因式的因式码；③将三个因式码按从小到大的顺序排列（仅有
一位的因式码前面补0变为两位），形成六位数字密码．
例如选取多项式16a4﹣b4，分解因式得到（4a2+b2）（2a+b）（2a﹣b）；取a＝4，b＝5时，4a2+b2＝
89，2a+b＝13，2a﹣b＝3，三个因式码分别为89，13，3；将这三个因式码按从小到大的顺序排列并
补位后，得到六位数字密码031389．
（1）依据该加密方式，对文件Ⅰ加密时，选取多项式x4﹣y4，取x＝9，y＝4，求形成的六位数字密码；
（2）依据该加密方式，对文件Ⅱ加密时，选取多项式 4x3﹣xy2，形成的六位数字密码的前四位为
0410．若x，y分别表示文件Ⅱ被加密时的月份和日期，求x，y的值．
24．（6分）某物流公司使用A，B两个机械臂完成一批货物的码垛工作，若A，B单独完成该项工作，
则B所用时间是A所用时间的2倍．为提高效率，采取协同作业的方式：A，B共同工作1小时后，A
经算法优化工作效率提高50%，再与B共同工作2小时恰好完成全部工作．
（1）求A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间（列分式方程解决问题）；
（2）若该公司先将A，B的工作效率均提高50%，再协同作业，能否在2小时内完成该项工作？并说
明理由．
25．（7分）在△ABC中，∠BAC＝120°，△ACD是等边三角形，点E在直线CD上，且BE＝BC．
（1）如图1，点D在AC的上方．
①来证：∠ACB＝∠DBE；
②用等式表示线段AB，AC，CE的数量关系，并证明；
（2）点D在AC的下方，在图2中补全图形，直接用等式表示线段AB，AC，CE的数量关系．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和垂直于x轴的直线l，给出如下定义：若点P关于直
线l的对称点P′的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线l的“等变换点”．
（1）已知直线l过点A（2，0）且垂直于x轴．在P （1，2），P （1，3），P （3，1）三个点中，
1 2 3
直线l的“等变换点”是 ；
（2）已知点 B（4，1），C（4，﹣1），直线 l 过点 D（k，0）且与 x 轴垂直，直线 l 过点 E
1 2
（k+0.5，0）且与x轴垂直．以线段BC为边向右侧作正方形，若该正方形上既存在直线 l 的“等变换
1
点”又存在直线l 的“等变换点”，则k的取值范围是 ；
2
（3）已知直线l过点M（m，0）且垂直于x轴，过点F（2m，m+1）作FG垂直直线l于点G．若以线
段FG为公共边的两个正方形组成的长方形及其内部存在直线l的“等变换点”，则m的取值范围是
．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D C D B C
60 60 1
9.2（a﹣b）2 10.SSS 11.3 12.k＜﹣1 13. = +3 14.90°− 15.6
x 2x 2
α
选择题、填空题解法提示
8．解：如图，连接AB，AC，AE，AF，AG，EG，
❑√3
设每个小正三角形的边长为1，则小正三角形的高为 ，
2
①△ACD和△AED中，
∵CD＝DE，∠CDA＝∠EDA＝120°，DA＝DA，
∴△ACD≌△AED（SAS），
故结论①正确，符合题意；
1 1 ❑√3 ❑√3
②S△ABC =
2
BC•h=
2
×2×
2
=
2
，
❑√3 1
∵AF＝4× =2❑√3，△AFG的高GH= ，
2 2
1 1 ❑√3
S△AFG =
2
AF×
2
=
2
，
∴S△ABC ＝S△AFG ，
故结论②正确，符合题意；
③△AEF是一个直角三角形，直角边AF＝2❑√3，直角边EF＝1，
1
∴S△AEF = ×2❑√3×1=❑√3，
2
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由②知△ABC面积 ，
2
∴△AEF的面积是△ABC面积的2倍，
故结论③错误，不符合题意，
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
14．解：如图，过点D作DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，
∵AD是∠EAC的平分线，DF⊥BE，DG⊥AC，
∴DF＝DG，∠FAD＝∠CAD，
∵点D在边BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
在Rt△BFD和Rt△CGD中，
{DB=DC)
，
DF=DG
∴Rt△BFD≌Rt△CGD（HL），
∴∠FBD＝∠ACD，
∵∠BAC＝ ，
∴∠EAC＝α180°﹣ ，
∵∠EAC是△ABCα的外角，
∴∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，
1 1
∴∠DCB= ∠EAC＝90°− ，
2 2
α
1
故答案为：90°− ．
2
α
15．解：如图：延长AC，过点B作BD⊥AC于D点，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵∠ACB＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵BC＝4，
1
∴在Rt△BCD中，CD= BC＝2，
2
∵P是直线BC上的动点，
1
∴当P运动到C点处，P′D＝CD= PB，
2
∵此时A，P′，D在一条线上，
1
∴PA+ PB最小，
2
1
∴PA+ PB=AD，
2
∵AC＝BC＝4，
1
∴PA+ PB=AD＝4+2＝6，
2
故答案为：6．
解答题参考答案
16．解：（1）原式＝a2+ab+b2﹣ab
＝a2+b2；
4x2−y2−4x2
（2）原式=
xy
−y2
=
xy
y
=− ．
x
17．解：（1）（m+n）2﹣（m﹣n）（m+3n）
＝m2+2mn+n2﹣（m2+3mn﹣mn﹣3n2）
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】＝m2+2mn+n2﹣m2﹣3mn+mn+3n2
＝4n2；
m−1 1−n
+
（2）
(m−n) 2 (n−m) 2
m−1 1−n
= +
(m−n) 2 (m−n) 2
m−1+1−n
=
(m−n) 2
m−n
=
(m−n) 2
1
= ．
m−n
18．证明：∵点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△ACE和△BDF中，
{∠ACE=∠D
)
AC=BD ，
∠A=∠1
△ACE≌△BDF（ASA）
∴CE＝DF．
19．解：（1）图形如图所示：
（2）根据（1）中作图，可知CC ⊥EF于点G，CG＝1，
1
在Rt△BGC中，∠CGB＝90°，
∵∠CBG＝30°，CG＝1，
∴BC＝2；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（3）∵BC＝2．
∴AB＝2BC＝4，
根据作图，可知△ABC ≌△ABC，
1
1 1
∴S =S = AB⋅CG= ×4×1=2．
△ABC 1 △ABC 2 2
20．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵点D是AC的中点，
1
∴∠ABD＝∠CBD= ∠ABC＝30°，
2
∵AE∥BD，
∴∠BAE＝∠ABD＝30°；
（2）△BEF是等边三角形，证明如下：
∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝90°，
∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBD＝60°，∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝30°，
在△EAB中，∠BAE＝∠EBF＝30°，
∴EA＝EB，
在△EAC和△EBC中，
{EA=EB
)
BC=AC ，
CE=CE
∴△EAC≌△EBC（SSS），
1
∴∠ACE＝∠BCE= ∠BCA＝30°，
2
∵∠BFE是△FBC的外角，
∴∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°，
在△BEF中，∠EBF＝∠BFE＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
x+2 1−x x−4
21．解：( + )÷
x2−2x x2−4x+4 3x
x+2 1−x x−4
=[ + ]÷
x(x−2) (x−2) 2 3x
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】(x+2)(x−2) x(1−x) x−4
=[ + ]÷
x(x−2) 2 x(x−2) 2 3x
(x+2)(x−2)+x(1−x) x−4
=[ ]÷
x(x−2) 2 3x
x2−4+x−x2 x−4
= ÷
x(x−2) 2 3x
x−4 x−4
= ÷
x(x−2) 2 3x
x−4 3x
=
•
x(x−2) 2 x−4
3
=
，
(x−2) 2
∵x≠0，2，4，
∴x＝1，3，
3
= =
当x＝1时，原式 3；
(1−2) 2
3
= =
当x＝3时，原式 3．
(3−2) 2
22．解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，
设∠PAC＝ ，
∵P为边BCα上的一点（点P不与点B，C重合），
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝120°﹣ ，∠PAC＜∠BAC＝120°，
在△PAC中，∠APC＝180°﹣（∠PAαC+∠C）＝180°﹣（ +30°）＝150°﹣ ，
∵∠PAC＜120°， α α
∴∠PAC﹣∠C＜90°﹣∠C＝90°，
又∵△APC的两个内角的差恰好为90°，
∴有以下两种情况：
①当∠APC﹣∠PAC＝90°时，
∴150°﹣ ﹣ ＝90°，
解得： ＝α30α°，
α
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠BAP＝120°﹣ ＝90°，
②当∠APC﹣∠Cα＝90°时，
∴150°﹣ ﹣30°＝90°
解得： ＝α30°，
∴∠BAαP＝120°﹣ ＝90°，
综上所述：∠BAPα的度数为90°；
（2）由（1）得：∠PAC＝ ＝30°，∠B＝∠C＝30°，∠BAP＝90°，
∴∠PAC＝∠C＝30°，△BAαP是直角三角形，
∴CP＝AP，
在Rt△BAP中，∠B＝30°，
∴BP＝2AP，
∴BC＝BP+CP＝3AP，
∵AP＝n，
∴BC＝3n，
即BC的长为3n．
23．解：（1）x4﹣y4
＝（x2﹣y2）（x2+y2）
＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），
当x＝9，y＝4时，x2+y2＝97，x+y＝13，x﹣y＝5；
生成的密码是051397．
（2）4x3﹣xy2＝x（2x+y）（2x﹣y），
因为x，y都是正整数，
所以2x+y＞x，2x+y＞2x﹣y，即2x+y的值最大，
{ x=4， ) {x=4，)
当 时，解得 不符合实际意义，舍去：
2x−y=10 y=−2
{ x=10，) {x=10，)
当 时，解得 符合实际意义．
2x−y=4 y=16
答：x，y的值分别为10，16．
24．解：（1）设A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是x小时，则B单独完成该项工作所用
的时间是2x小时，
1 1 1+50% 1
由题意得： + +2（ + ）＝1，
x 2x x 2x
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】11
解得：x= ，
2
11
经检验，x= 是原分式方程的解，且符合题意．
2
11
答：A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是 小时；
2
（2）不能在2小时内完成该项工作，理由如下：
2 1 3 9
∵2×1.5×( + )=3× = ＜1，
11 11 11 11
∴A，B效率均提升后协同作业，不能在2小时内完成该项工作．
25．解：（1）①证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAC+∠DAC＝180°，
∴B，A，D三点在同一条直线上，
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，即∠ACB+60°＝∠DBE+60°，
∴∠ACB＝∠DBE；
②AB+BC＝AC，
证明：过点E作EF∥AC，
则有∠DFE＝∠DAC，∠DEF＝∠DCA，∠BFE＝∠BAC，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠DCA＝∠CAD＝∠ADC＝60°，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
即AF＝CE，
在△ABC和△FEB中，
{∠ACB=∠DBE，
)
∠BAC=∠EFB，
BC=EB，
∴△ABC≌△FEB（AAS）．
∴AC＝BF，
∵BF＝AB+AF，
∴AC＝AB+CE；
（2）线段AB，AC，CE的数量关系是CE＝AC+2AB，
理由：补图如下，过E作GF∥AC交AB，AD的延长线于F，G，
∵∠BAC＝120°，△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠AFG＝∠FAG＝60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AF＝FG＝AG，
∵∠BAC+∠ACD＝120°+60°＝180°，
∴AF∥CE，
∴∠DEG＝∠AFE＝60°，
∴△DEG是等边三角形，
∴DE＝EG，
∴EF＝CD＝AC，
过E作EJ∥AD交AF于J，
∴∠JEF＝∠G＝60°，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴△EFJ是等边三角形，
∴JE＝EF＝JF，
∴AC＝JE＝JF，∠FJE＝60°，
∴∠BJE＝∠BAC＝120°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵∠JEC＝180°﹣∠JEF﹣∠DEG＝60°＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠BEJ，
∴△BEJ≌△BCA（ASA），
∴AB＝BJ，
∴CE＝CD+DE＝EF+EG＝AF＝2AB+JF＝2AB+AC．
26．解：（1）∵直线l过点A（2，0）且垂直于x轴，
∴直线l的解析式为x＝2，
∵P （1，2）关于直线x＝2的对称点为（3，2），
1
∴P （1，2）不是直线l的“等变换点”；
1
∵P （1，3）关于直线x＝2的对称点为（3，3），
2
∴P （1，3）是直线l的“等变换点”；
2
∵P （3，1）关于直线x＝2的对称点为（1，1），
3
∴P （3，1）是直线l的“等变换点”．
3
∴直线l的“等变换点”是P ，P ．
2 3
故答案为：P ，P ；
2 3
（2）设“等变换点”的坐标为（x，y），
∵点B（4，1），C（4，﹣1），
∴以线段BC为边向右侧作正方形的边长为2，另外两个顶点为（6，1），（6，﹣1），
∴“等变换点”的横坐标x的取值范围为4≤x≤6，纵坐标y的取值范围为﹣1≤y≤1，
∵直线l 过点D（k，0）且与x轴垂直，
1
∴该正方形关于直线l 的“等变换点”满足y＝2k﹣x，
1
∴2k＝x+y，
x+ y
∴k= ，
2
4−1 6+1
∴ ≤k≤ ，
2 2
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴1.5≤k≤3.5；
∵直线l 过点E（k+0.5，0）且与x轴垂直，
2
∴该正方形关于直线l 的“等变换点”满足y＝2（k+0.5）﹣x，
2
∴2k+1＝x+y，
x+ y−1
∴k= ，
2
4−1−1 6+1−1
∴ ≤k≤ ，
2 2
∴1≤k≤3，
∵若该正方形上既存在直线l 的“等变换点”又存在直线l 的“等变换点”，
1 2
∴k的取值范围是：1.5≤k≤3．
故答案为：1.5≤k≤3；
（3）设“等变换点”的坐标为（x，y），
∵直线l过点M（m，0）且垂直于x轴，
∴关于直线x＝m的“等变换点”满足y＝2m﹣x，
①当m＞0时，
∵点F（2m，m+1），FG垂直直线l于点G，以线段FG为公共边的两个正方形组成的长方形，
∴长方形及其内部的坐标满足m≤x≤2m，1≤y≤2m+1，
∵y＝2m﹣x，
x+ y
∴m= ，
2
m+1 2m+2m+1
∴ ≤m≤ ，
2 2
∴m≥1．
②当m＜0时，
∵点F（2m，m+1），FG垂直直线l于点G，以线段FG为公共边的两个正方形组成的长方形，
∴长方形及其内部的坐标满足2m≤x≤m，2m+1≤y≤1，
∵y＝2m﹣x，
x+ y
∴m= ，
2
2m+2m+1 m+1
∴ ≤m≤ ，
2 2
∴m≤﹣0.5．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】综上，m的取值范围是：m≤﹣0.5或m≥1．
故答案为：m≤﹣0.5或m≥1．
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