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2025-2026学年广东省广州市白云区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1．（4分）下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2m
2．（4分）若分式 有意义，则m的取值应满足（ ）
3m+2
2
A．m≠0 B．m＞−
3
2 2
C．m≠− D．m＞− 且m≠0
3 3
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a5
C．（a3）2＝a5 D．a（a+1）＝a2+1
4．（4分）下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2+4x+5＝x（x+4）+5
5．（4分）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，
按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ）
A．三条中线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处
D．三条垂直平分线的交点处
x+ y
6．（4分）若把分式 中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
xy
A．扩大为原来的2倍 B．不变
.1 1
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
2 4
7．（4分）现有7根木棍，长度（单位：dm）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三
角形，其中最长的边为7dm，另两边的差大于2dm．这样的三角形一共有（ ）个．
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（4分）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB∥EF，且AB＝EF，从下列条件中补充一个条件
后，仍不能证明△ABC≌△FED的是（ ）
A．∠ACB＝∠FDE B．BC＝DE C．AD＝CF D．∠B＝∠E
9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC=BC=5❑√2，AB＝10，根据作图痕迹可知，△BDE的
周长是（ ）
A．5❑√2 B．10❑√2 C．10 D．12
10．（4分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，连接BE，CE，∠ABE＝15°，将△ABE
沿BE折叠，使点A落在点F处，连接AF，BF，CF．下列结论：①BE⊥AF；②△AEC≌△FEB；
③AF＝CF；④△AEF是等腰直角三角形；⑤S△ABF ＝2S△EFC ．其中，正确的结论个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）
11．（4分）点P（﹣5，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．（4分）流感病毒是常见的呼吸道病毒，它的形状一般为球形，直径大约为0.0000000103米，该直径
用科学记数法表示为 米．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】13．（4分）因式分解：x2+xy＝ ．
14．（4分）用长度为20cm的细绳围成一个有一边长为6cm的等腰三角形，三角形的三边长分别为
．
1 1 3ab
15．（4分）已知 − =3，则 的值为 ．
a b a−b+7ab
16．（4分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD＝30°，AC＝AE，且满足∠CAE＝
∠ABD，若S△ABC ＝25，则AB＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）分解因式：3y2﹣6y+3＝ ．
18．（6分）已知：如图，HM＝FG，EG＝NH，HM∥FG，求证：∠E＝∠N．
19．（8分）如图，∠B＝42°，∠A比∠ACB小20°，∠ACD＝59°．求证：AB∥CD．
20．（8分）已知： x2−2x+1 1−x x−1．
A= ⋅ ÷
x2−1 1+x x+1
（1）化简A；
（2）从﹣1≤x≤1中选一个合适的整数作为x的值，求A的值．
21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣
3，2）．
（1）若△ABC关于y轴对称的图形为△A B C ，在直角坐标系中画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）在x轴上是否存在点P，能使PA+PC 有最小值，如存在，请在图中找出点P的位置，如不存在，
1
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】请说明理由；
（3）△A B C 的面积为 ．
1 1 1
22．（10分）用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决
赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间
刚好与“和谐号”跑70米的时间相等．假设两车一直都是匀速行驶．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛？请说明理由．
23．（12分）观察下列等式：
①32﹣12＝9﹣1＝8＝8×1；
②52﹣32＝25﹣9＝16＝8×2；
③72﹣52＝49﹣25＝24＝8×3；
④92﹣72＝81﹣49＝32＝8×4．
请解答下列问题：
（1）按照上述规律，第⑤个等式为 ；第⑩个等式为
；
（2）猜想32﹣12+52﹣32+72﹣52+⋯+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的结果，并证明你的猜想；
（3）若对于用正整数n、k（k≥1）表示的两个奇数2n+2k﹣1和2n﹣1，它们的平方差结果为120．请
求出所有满足条件的（n，k）．
24．（14分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，CD平分∠ACB，BE⊥CD，与线段CD的延长线交于点E．
①证明：∠ACD＝∠EBD；
②试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
1
（2）如图 2，若点 M 是线段 BC 上的动点（不与点 B、C 重合），且∠BMN= ∠ACB，
2
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】BN
BN⊥MN，MN交AB于点G，在点M运动的过程中， 是否为定值？请说明理由．
MG
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D是AC上一定点．
（1）尺规作图：过点D作DE∥AB，交BC于点E（不用写作法，保留作图痕迹）；
（2）证明：△CDE是等边三角形；
（3）F是射线BC上的一动点（不与点B，C重合），以DF为一边，在DF的右侧作等边△DFG．
①当点F在线段BE上（不与点E重合）时，求证：CF＝CD+CG；
②当点F在射线EC上（不与点C重合）时，直接写出线段CF，CD，CG之间满足的数量关系．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C D C A B C B
11.（﹣5，4） 12.1.03×10﹣8 13.x（x+y） 14.6cm，6cm，8cm或7cm，7cm，
3
6cm 15. 16.10
4
选择题、填空题解法提示
10．解：①由折叠性质得：FB＝AB，AE＝FE，∠FBE＝∠ABE，∠FEB＝∠AEB，
∴△ABF是等腰三角形，BE是∠FBA的平分线，
根据等腰三角形的性质得：BE⊥AF，
故结论①正确；
②∵△ABC是等边三角形，且AD⊥BC，
1
∴AB＝CB＝AC＝FB，BD＝CD，∠ABC＝60°，∠BAD= ∠BAC＝30°，
2
∴AD是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，
在△AEC和△FEB中，
{AE=FE
)
AC=FB ，
AE=FE
∴△AEC≌△FEB（SSS），
故结论②正确；
③∵∠ABE＝15°，
∴∠FBE＝∠ABE＝15°，
∴∠ABF＝∠FBE+∠ABE＝30°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝30°，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
在△ABF和△CBF中，
{
AB=CB
)
∠ABF=∠CBF ，
BF=BF
∴△ABF≌△CBF（SAS），
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴AF＝CF，
故结论③正确；
④∵AE＝FE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故结论④正确；
⑤在△ABE中，∠ABE＝15°，∠BAD＝30°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAD）＝135°，
∴∠FEB＝∠AEB＝135°，
∴∠AEF＝360°﹣（∠FEB+∠AEB）＝90°，
∴FE⊥AD，
∵AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴△EFC和△EFB等底同高，
∴S△EFC ＝S△EFB ，
由折叠性质得：△EFB≌△EAB，
∴S△EFB ＝S△EAB ，
∴S△EFB +S△EAB ＝2S△EFB ＝2S△EFC ，
∵S△ABF ＞S△EFB +S△EAB ，
∴S△ABF ＞2S△EFC ，
故结论⑤不正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个．
故选：B．
16．解：过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，
∵∠AEM＝∠ABD+∠BAE，∠CAN＝∠CAE+∠BAE，且∠CAE＝∠ABD，
∴∠AEM＝∠CAN．
在△AEM和△CAN中，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】{∠AEM=∠CAN
)
AC=AE ，
∠AME=∠CNA
∴△AEM≌△CAN（ASA），
∴AM＝CN．
又∵∠ABD＝30°，
1
∴AM= AB，
2
1
∴CN= AB．
2
∵S△ABC ＝25，
1
∴ ⋅AB⋅CN=25，
2
则AB2＝100，
∴AB＝10．
故答案为：10．
解答题参考答案
17．解：3y2﹣6y+3
＝3（y2﹣2y+1）
＝3（y﹣1）2．
故答案为：3（y﹣1）2．
18．证明：∵HM∥FG，
∴∠FGE＝∠MHN，
在△FGE和△MHN中，
{
FG=HM
)
∠FGE=∠MHN ，
EG=NH
∴△FGE≌△MHN（SAS），
∴∠E＝∠N．
19．证明：∵∠B＝42°，
∴∠A+∠ACB＝180°﹣42°＝138°．
∵∠A＝∠ACB﹣20°，
∴∠ACB﹣20°+∠ACB＝138°，
∴∠ACB＝79°．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】又∵∠ACD＝59°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝59°+79°＝138°，
∴∠BCD+∠B＝138°+42°＝180°，
∴AB∥CD．
20．解：（1）原式 (x−1) 2 −(x−1) x+1
= ⋅ ⋅
(x+1)(x−1) x+1 x−1
1−x
= ；
x+1
（2）∵x+1≠0且x﹣1≠0，
∴x≠±1，
∵x为﹣1≤x≤1中的整数，
∴x＝0，
1−0
则A= =1．
0+1
21．解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图，取点A关于x轴的对称点A'，连接A'C ，交x轴于点P，连接AP，
1
此时PA+PC ＝PA'+PC ＝A'C ，为最小值，
1 1 1
则点P即为所求．
1 1 1 5
（3）△A B C 的面积为 ×(1+3)×3− ×1×1− ×3×2= ．
1 1 1
2 2 2 2
5
故答案为： ．
2
22．解：（1）设“和谐号”的平均速度为x米/秒，则“畅想号”的平均速度为（x+1）米/秒，
80 70
由题意得： = ，
x+1 x
解得：x＝7，
经检验，x＝7是原方程的解，且符合题意，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】答：“和谐号”的平均速度为7米/秒；
（2）“和谐号”赛车能赢得比赛，理由如下：
设“畅想号”需m秒到达终点，
由题意得：（7+1）m＝100，
解得：m＝12.5，
即“畅想号”需12.5秒到达终点，
“和谐号”先跑2秒，再跑12.5秒，路程为7×（2+12.5）＝101.5（米），
∵101.5＞100，
∴若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终“和谐号”赛车能赢得比赛．
23．解：（1）由题意可得：第⑤个等式为112﹣92＝121﹣81＝40＝8×5；
第⑩个等式为212﹣192＝441﹣361＝80＝8×10，
故答案为：112﹣92＝121﹣81＝40＝8×5；212﹣192＝441﹣361＝80＝8×10；
（2）猜想：32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n，
证明：32﹣12+52﹣32+72﹣52+⋯+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝﹣12+（2n+1）2
＝（2n+1）2﹣12
＝4n2+4n+1﹣1
＝4n2+4n；
（3）由题意可得：（2n+2k﹣1）2﹣（2n﹣1）2＝120，
∴（2n+2k﹣1+2n﹣1）（2n+2k﹣1﹣2n+1）＝120，
∴（4n+2k﹣2）2k＝120，
∴k（2n+k﹣1）＝30，
∵n、k（k≥1）都为正整数，
当k＝1时，2n+1﹣1＝30，此时n＝15，
当k＝2时，2n+2﹣1＝15，此时n＝7，
当k＝3时，2n+3﹣1＝10，此时n＝4，
当k＝4时，2n+4﹣1＝7.5，此时n＝2.25（不合题意，舍去），
当k＝5时，2n+5﹣1＝6，此时n＝1，
当k＝6时，2n+6﹣1＝5，此时n＝0（不合题意，舍去），
此后当k越大n会越小，n都为负数，都不合题意，
综上所述，符合题意的（n，k）有：（15，1），（7，2），（4，3），（1，5）．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】24．（1）①证明：∵BE⊥CD，∠BAC＝90°，
∴∠E＝∠A＝90°，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠EBD＝180°﹣∠E﹣∠BDE＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝∠ACD，
即∠ACD＝∠EBD；
1
②解：BE= CD，理由如下：
2
延长BE、CA交于点F，如图，
则∠BAF＝180°﹣∠BAC＝90°，
∵BE⊥CD，
∴90°＝∠BED＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠ABF+∠BED＝∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD＝∠ABF，
又∵AB＝AC，
∴△ABF≌△ACD（ASA），
∴BF＝CD，
由问题情境可知，△BEC≌△FEC（ASA），
1
∴BE＝EF= BF，
2
1
∴BE= CD；
2
BN
（2） 为定值，
MG
理由：过点M作MD∥AC，交BN的延长线于点D，与AB相交于H，如图，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵MD∥AC，
∴∠BHM＝∠A＝90°，∠DMB＝∠C，
1
∵∠NMB= ∠C，
2
1
∴∠NMB＝∠NMD= ∠C，
2
∵BN⊥MN，
∴∠BNM＝90°，
∴∠BHM＝∠BNM，
∵∠HGM＝∠NGB，
∴∠NBG＝∠HMG，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠DMB＝45°，
则BH＝MH，
在△BDH和△MGH中，
{∠HBD=∠HMG
)
BH=MH ，
∠BHD=∠GHM
∴△BDH≌△MGH（ASA），
∴BD＝GM，
根据解析（1）可知：△BNM≌△DNM，
∴BN＝DN，
∴BD＝GM＝2BN＝GM，
BN 1
∴ = ．
MG 2
25．（1）解：以点D为顶点，DC为一边在AC的左侧作∠CDN＝∠A，DN的延长线交BC于点E，
则DE∥AB，如图（1）所示：
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
由作图可知：∠CQE＝∠A＝60°，
∴∠C＝∠CQE＝60°，
∴△CDE是等边三角形；
（3）①证明：当点F在线段BE上（不与点E重合）时，如图2所示：
∵△DFG是等边三角形，
∴DF＝DG，∠FDG＝60°，
由（2）可知：△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，∠EDC＝60°，
∴∠FDG＝∠EDC＝60°，
∴∠FDG﹣∠EDG＝∠EDC﹣∠EDG，
∴∠FDE＝∠GDC，
在△FDE和△GDC中，
{
DF=DG
)
∠FDE=∠GDC ，
DE=CD
∴△FDE≌△GDC（SAS），
∴FE＝GC，
∵CF＝CE+FE，CE＝CD，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴CF＝CD+CG；
②解：当点F在射线EC上（不与点C重合）时，有以下两种情况：
（ⅰ）当点F在线段EC上时，如图3所示：
∵△DFG是等边三角形，
∴DF＝DG，∠FDG＝60°，
由（2）可知：△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，∠EDC＝60°，
∴∠FDG＝∠EDC＝60°，
∴∠FDG﹣∠CDF＝∠EDC﹣∠CDF，
∴∠CDG＝∠EDF，
在△CDG和△EDF中，
{
DF=DG
)
∠CDG=∠EDF ，
DE=CD
∴△CDG≌△EDF（SAS），
∴CG＝FE，
∴CE＝CF+FE，CE＝CD，
∴CD＝CF+CG，
即CF＝CD﹣CG；
（ⅱ）当点F在EC的延长线上时，如图4所示：
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵△DFG是等边三角形，
∴DG＝DF，∠FDG＝60°，
由（2）可知：△CDE是等边三角形，
∴CD＝DE＝CE，∠EDC＝60°，
∴∠FDG＝∠EDC＝60°，
∴∠FDG+∠CDF＝∠EDC+∠CDF，
∴∠CDG＝∠EDF，
在△CDG和△EDF中，
{
DG=DF
)
∠CDG=∠EDF ，
CD=DE
∴△CDG≌△EDF（SAS），
∴CG＝FE，
∵FE＝CF+CE，CD＝CE，
∴CG＝CF+CD，
即CF＝CG﹣CD，
综上所述：线段CF，CD，CG之间满足的数量关系是：CF＝CD﹣CG或CF＝CG﹣CD．
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