文档文本内容
2025-2026学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天
安门广场隆重举行．受阅官兵齐声高喊“正义必胜、和平必胜、人民必胜”的口号，口号中的汉字有
些具有对称性，下列汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．和 B．平 C．必 D．胜
2
2．（3分）要使分式 有意义，则x的取值应满足（ ）
x+1
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1
3．（3分）点P（7，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣7，4） D．（4，7）
4．（3分）两根木棒的长分别是5cm和11cm．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则
第三根木棒长的取值可能是（ ）
A．16cm B．7cm C．6cm D．5cm
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
1
A．a2•a3＝a5 B．(2a) 2= C．（2a2）3＝6a6 D．a6÷a2＝a3
2a2
6．（3分）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A．a a2 B．a a+2
= =
b b2 b b+2
3b b −a+b a−b
C． = D． =−
3a+b a+b c c
7．（3分）如图，已知△ABC（AC＞AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，能判断
△ABP一定是等腰三角形的图形有（ ）个．
.A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请
仔细观察下列图形，其中能说明等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点．将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点
5
E恰好落在边AC上．若∠B= ∠A，则∠ADE的度数为（ ）
2
A．41° B．43° C．45° D．47°
2
10．（3分）已知a− =3，且a4+3a2x+4＝0，则x的值为（ ）
a
11 13
A．﹣4 B．− C．− D．4
3 3
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（﹣3）0＝ ．
12．（3分）制造高性能LED显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕（Eu）的超薄有机膜．经测量，
该薄膜的厚度非常薄，仅为0.0000405毫米，数0.0000405用科学记数法表示为 ．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】3a 3
13．（3分）分式 − 的计算结果是 ．
a−1 a−1
14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分
别交线段AC，BC于点N，Q，BC＝10，△APQ的周长为16，则PQ的长度为 ．
15．（3分）已知a+b＝m，ab＝n，下列结论：
①a2b+ab2＝mn；
b a 5
②若m＝3，n＝2，则 + = ；
a b 2
③无论a，b为何值，始终有m2≥4n；
a+b 1
④若关于x的方程 = 无解，则m＝0．
x x−1
其中正确的有 （请填写序号）．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝6，∠BAC＝90°，E，D分别为边AB，AC上的动点，且AE＝
CD，连接BD，CE．当CE+BD取最小值时，S△BDC +S△AEC ＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）﹣4x2（3x+1）；
（2）（y+2）（y﹣2）+（y﹣3）2．
18．（8分）分解因式：
（1）m2﹣4；
（2）3ax2﹣6ax+3a．
1 x2−1
19．（8分）先化简，再求值：(1+ )÷ ，其中x＝4．
x−2 2x−4
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】20．（8分）如图，在△ABC中，D为边CB上一点，F为CB延长线上一点，EF∥AC交AB的延长线于
点E，EF＝CD，CA＝FD．
（1）求证：△CAD≌△FDE；
（2）求证：CA＝CB．
21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的4×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC
的三个顶点都是格点，且AB＝5，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，
画图结果用实线表示．
（1）如图1，M是边AB上一点，先画出△ABC的中线BD，再在线段BC上画点N，使得∠BAN＝
∠BCM；
（2）如图2，H是边BC上一个格点，先画出△ABH的高HE，再在射线HE上画点F，使得AE＝
HF．
22．（10分）甲、乙两辆汽车从A地出发沿同一公路开往距离A地420km的B地，甲车的平均行驶速度
是xkm/h，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多10km/h．
（1）若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时 h，乙车到达B地用时
h，甲车用时是乙车用时的 倍；
（2）若甲车先行60km，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度；
（3）若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了akm（0＜a＜35）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，
取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结
果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是 km/h．（用含a的代数式表
示）．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】23．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，过点B作
BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE，∠CAD＝n∠BAD．
（1）如图1，若n＝1，点F为边AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
①求∠BGE的度数；
②猜想线段GE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若n＝2，点C与点Q关于AE对称，连接QE与AB交于点P，PE＝a．请直接写出AP﹣
BP的值．（用含a的代数式表示）．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，
且a，b满足：a2﹣2at+t2+|b﹣t|＝0．点C为边AB上一点，连接OC．过点B作BD⊥OC于点D（m，
n），点E在线段BD上，∠COE＝45°，连接AE交OC于点F．
（1）直接写出△OAB的形状；
（2）若点E的坐标为（17，7），求点D的坐标；
（3）①求证：BE＝2DF；
②△OFA的面积＝ ．（用含m，n的代数式表示）
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B A D A B C C
11.1 12.4.05×10﹣5 13.3 14.3 15.①②③ 16.18
选择题、填空题解法提示
2
10．解：∵a− =3，
a
2
∴（a− ）2＝9，
a
4
即a2﹣4 + = 9，
a2
4
∴a2+ = 13，
a2
∵a4+3a2x+4＝0，
∴3a2x＝﹣a4﹣4，
1 4 13
∴x=− （a2+ ）=− ，
3 a2 3
故选：C．
16．解：如图，在AC下方作CF⊥AC，且使得AC＝CF＝6，
则∠BAC＝∠DCF＝90°，AB∥CF，
又∵AE＝CD，
∴△ACE≌△CFD（SAS），
则S△AEC ＝S△DCF ，
∴CE＝FD，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】则CE+BD＝FD+BD≥BF，
即当点D在BF上时，CE+BD取得最小值，
1 1
此时，S +S =S +S =S = CF⋅AC= ×6×6=18，
△BDC △AEC △BDC △DCF △BCF 2 2
故答案为：18．
解答题参考答案
17．解：（1）原式＝﹣12x3﹣4x2；
（2）原式＝y2﹣4+（y2﹣6y+9）
＝y2﹣4+y2﹣6y+9
＝2y2﹣6y+5．
18．解：（1）m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）；
（2）3ax2﹣6ax+3a＝3a（x2﹣2x+1）＝3a（x﹣1）2．
x−2+1 2(x−2)
19．解：原式= •
x−2 (x+1)(x−1)
x−1 2(x−2)
= •
x−2 (x+1)(x−1)
2
= ，
x+1
2 2
当x＝4时，原式= = ．
4+1 5
20．证明：（1）∵EF∥AC，
∴∠C＝∠F，
在△CAD和△FDE中，
{
CD=EF
)
∠C=∠F ，
CA=FD
∴△CAD≌△FDE（SAS）；
（2）∵△CAD≌△FDE，
∴∠ADC＝∠DEF，AD＝DE，
∴∠DEA＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠DEF＝∠FEB+∠DEA，
∴∠ABC+∠BAD＝∠FEB+∠DEA，
∴∠ABC＝∠FEB，
∵EF∥AC，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠FEB＝∠CAB，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴CA＝CB．
21．解：（1）如图1中，线段BD，点N即为所求；
、、
（2）如图2中，线段HE，HF即为所求．
22．解：（1）∵甲车的平均行驶速度是 xkm/h，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多
10km/h，
∴乙车的平均行驶速度是（x+10）km/h，
420 420
∴甲车到达B地用时 h，乙车到达B地用时 h，
x x+10
420 420 x+10
∴甲车用时是乙车用时的 ÷ = 倍．
x x+10 x
420 420 x+10
故答案为： ， ， ；
x x+10 x
420−60 420
（2）根据题意得： = ，
x x+10
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：甲车的平均行驶速度为60km/h；
a a 420 420
（3）根据题意得： + + = ，
x x 1.2x x+10
10a+1750
解得：x= ，
35−a
10a+1750
经检验，x= 是所列方程的解，且符合题意，
35−a
2a+420 2a+420 10a+2100
= =
420 420 35−a
∴ （km/h），
x+10 10a+1750
+10
35−a
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】10a+2100
∴甲车的平均行驶速度是 km/h．
35−a
10a+2100
故答案为： ．
35−a
23．解：（1）①∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
1
∴∠GAB= ∠CAB＝22.5°，
2
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠BGE＝∠GAB+∠GBA＝45°；
1
②GE= AD，
2
理由如下：延长BE、AC交于点H，如图，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
{
AEB=∠AEH
)
AE=AE ，
∠BAE=∠HAE
∴△BAE≌△HAE（ASA），
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】1
∴BE＝HE= BH，
2
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
{∠BCH=∠ACD
)
在△BCH和△ACD中， BC=AC ，
∠CBH=∠CAD
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
1
∴BE= AD，
2
∵∠BGE＝45°，∠BEG＝90°，
∴BE＝GE，
1
∴GE= AD；
2
（2）如图，过C作CK⊥CE交AE于点K，
则∠ACB＝∠KCE＝90°，
∴∠ACK＝∠BCE＝90°﹣∠BCK，
∵∠ACD＝∠AEB＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAK＝∠CBE，
∵AC＝BC，
∴△ACK≌△BCE（ASA），
∴CK＝CE，∴∠CEA＝45°，
当n＝2时，则∠CAD＝2∠BAD，
∵∠CAD+∠BAD＝45°，
∴∠BAD＝15°，∠CAD＝30°，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】如图，连接CQ、CP，
由对称可知AC＝AQ，∠CAD＝∠QAD＝30°，∠CEA＝∠QEA＝45°，
∴∠CAQ＝60°，∠PAQ＝15°，
∴△ACQ为等边三角形，
∴AE＝CQ，∠AQC＝60°，
∵∠CEA＝∠QEA＝45°，
∴∠CEP＝90°，∠EPB＝∠BAD+∠QPE＝60°，
∴∠APQ＝60°，
在PA上截取PM＝PQ，连接MQ，
则△PMQ为等边三角形，
∴MQ＝PQ，∠PQM＝60°＝∠AQC，
∴∠AQM＝∠CQP，
∵AQ＝CQ，QM＝QP，
∴△AQM≌△CQP（SAS），
∴AM＝CP，∠QAM＝∠QCP＝15°，
∴∠BCP＝∠BCA﹣∠ACQ﹣∠QCP＝15°，
∴∠QCP＝∠BCP，
∵CQ＝CA＝CB，CP＝CP，
∴△QCP≌△BCP（SAS），
∴PQ＝PB＝PM，∠CPQ＝∠CPB，
∴AP﹣BP＝AP﹣PM＝AM＝CP，
∵∠CPQ＝∠CPB，∠EPB＝∠APQ＝60°，
∴∠CPE＝∠ACP＝60°，
在Rt△PCE中，∠PCE＝90°﹣∠CPE＝30°，PE＝a，
∴CP＝2a，则AM＝2a，
∴AP﹣BP＝2a．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】24．解：（1）∵a2﹣2at+t2+|b﹣t|＝（a﹣t）2+|b﹣t|＝0，
∴a﹣t＝0，b﹣t＝0，
解得a＝t，b＝t，
∴A（0，t），B（t，0），
即OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形；
（2）方法一：如图，过D作MN⊥x轴交y轴于点M，过E作EN⊥MN于点N，则∠OMD＝∠DNE＝
90°，
∵BD⊥OC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠ODM＝∠DEN＝90°﹣∠NDE，
∵∠COE＝45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴OD＝DE，
{∠OMD=∠DNE
)
在△OMD和△DNE中， ∠ODM=∠DEN ，
OD=DE
∴△OMD≌△DNE（AAS），
∴OM＝DN＝n，DM＝EN＝m，
∴E（17，7），
{n+m=17) {m=5)
∴ ，解得 ，
n−m=7 n=12
∴D（5，12）；
方法二：将△ODE关于OD对称得到△ODM，过M、E分别作MN⊥x轴、EH⊥x轴，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴△ODE≌△ODM，
∴∠DOE＝∠DOM＝45°，OE＝OM，即∠EOM＝90°，
∴∠MON+∠EOH＝90°，
又∠OEH+∠EOH＝90°，
∴∠OEH＝∠MON，
在△OEH和△MON中，
{∠OHE=∠MNO
)
∠OEH=∠MON ，
OE=OM
∴△OEH≌△MON（AAS），
∵E（17，7），
∴OH＝MN＝17，EH＝ON＝7，即M（﹣7，17），
17−7 7+17
由对称可知D为EM中点，则D( ， )，
2 2
即D（5，12）；
（3）①证明：过A作AH⊥OC，交OC延长线于点H，
则∠H＝∠ODB＝90°＝∠AOB，
∴∠AOH＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，
∵OA＝OB，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴△AOH△OBD（AAS），
∴OH＝BD，AH＝OD，
∵OD＝DE，
∴DH＝BF，
∵∠AHF＝∠EDF＝90°，∠AFH＝∠EFD，AH＝OD＝DE，
∴△AFH≌△EFD（AAS），
1
∴DF＝FH= DH，即DH＝2DF，
2
∴BE＝2DF；
②由（2）可得E（m+n，n﹣m），
m2+n2
由D、E、B三点共线可得B（ ，0），
m
m2+n2
∴OA＝OB= ，
m
由①可得△AFH≌△EFD，
∴AF＝EF，
1 1 1 (m2+n2 )(m+n)
∴S△OFA =
2
S△OEA =
2
×
2
OA•x
E
=
4m
．
(m2+n2 )(m+n)
故答案为： ．
4m
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