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2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，请将正确答案涂到答题卡中。
1．（3分）汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要
阶段．在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出
了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（ ）
A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点
B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点
C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点
D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点
4．（3分）2025年9月3日，我国隆重举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵
式，多种自主研发新型装备首次亮相．如图，以重型歼﹣20战斗机D，E所在的直线为x轴、过点A
且垂直于DE的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy．若中型歼﹣35A战斗机所在位置为点B（m，
.n），歼﹣16D电子战飞机所在位置C与点B到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，则歼﹣16D电
子战斗机所在位置C的坐标为（ ）
A．（m，n） B．（﹣m，﹣n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，n）
5．（3分）下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若阴影部分的面积为4，则
△ABC的面积是（ ）
A．32 B．36 C．28 D．30
7．（3分）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝19米，PB＝10
米，那么A，B间的距离不可能是（ ）
A．11米 B．15.8米 C．26米 D．30.5米
8．（3分）如图是某海域内三处观测站A，C，E的分布图，经测量可得C处在A处的南偏西40°方向，
在A处向南偏东25°方向可观测到E处，而E处在C处的北偏东80°方向，则在E处观测A处和C处的
视线夹角∠AEC为（ ）
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】A．60° B．70° C．75° D．80°
9．（3分）如图，△ABC中，外角∠MAC，∠ACN的角平分线AD，CD交于点D，点P在BN上，
∠BAD+∠DPB＝180°，过点 D作DE⊥AB，垂足为 E，连接 BD，则下列结论中不一定正确的是
（ ）
A．BD平分∠ABC B．DC平分∠ADP
C．BP﹣2AE＝AB D．S△DAB ：S△DBC ＝AB：BC
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，
连接MD，过点D作DM⊥DN，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列
结论中正确的有（ ）
①AD＝DE；
②DM＝DN；
③∠AMD＝45°；
④EM：MC：NE＝1：2：3．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3 分）如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使
△ABC≌△ADE，则需添加的条件是 ．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】12．（3分）如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直
角坐标系，若火焰顶部P点的坐标是（3，1.5），则对应虚像火焰顶部Q点的坐标是
．
13．（3分）在△ABC中，AB＝3，BC边上的中线AD＝4，则边AC的取值范围是 ．
14．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线
OP为∠AOB的平分线的有 ．
15．（3分）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，
若MN＝2，△PMN的面积是4，△OMN的面积是6，则OM+ON的长是 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣5，﹣2），C
（﹣2，﹣4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，写出点B 的坐标；
1 1 1 1
（2）求出△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最小，并写出点P的坐标．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】17．（8分）风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分
构成．如图所示，风筝的两侧骨架 AC＝AD，底部骨架BC＝BD，点E在AB的延长线上．求证：
∠CBE＝∠DBE．
18．（8分）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．
（1）求∠E的度数．
（2）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）求证：BM＝EM．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直
平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求∠FAN的度数；
（2）求证：点P在线段BC的垂直平分线上．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】20．（10分）如图，在△ABC中，D为△ABC外一点，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝
180°．
（1）求证：BC＝CD；
（2）若∠ACB＝90°，连接CD，AB＝8，BE＝2，∠ABD＝30°，求AD的长．
21．（10分）【材料阅读】
已知直线l同侧有两个点A，B，要在l上确定一个点C，使得AC+CB最短．小明的做法如下：作A关
于直线l的对称点A'，根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有AC＝A'C，因此连接A′B与直
线l的交点即为所求点C，A′B＝AC+BC，此时AC+BC最短．
（1）上述材料中小明判断AC+BC最短的依据是 ；
【知识应用】
（2）如图2，有两条河AO和BO在村庄O处交汇，它们的夹角∠AOB＝30°，距离村庄500米处有一
个种植园P，现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，P﹣M﹣N﹣P，则水渠总长度最短为
米；
【拓展应用】
（3）如图4，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，M，N分别是
AD，AC边上的动点，求CM+MN的最小值．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】22．（11分）【问题背景】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转
或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，
解决问题．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD
上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．
（1）探究发现：小雨同学的方法是延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，
再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论： ；
（2）拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上
1
的点，且∠EAF= ∠BAD，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成
2
立，请说明理由．
23．（12分）【数学建模】
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图 1，已知：在△ABC中，
∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l、CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．
（1）请直接写出DE，BD和CE之间的关系 ．
【变式探究】
（2）小丽认为当△ABC不是直角三角形时，上述结论仍然成立．如图2，在△ABC中，AB＝AC，D，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，可得DE＝BD+CE．你同意小丽的说法吗？
请说明理由．
【拓展应用】
（3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，△ABF和△ACF均为等边三角形，
点D，A，E是同一直线l上不重合的三点，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请说明△DEF为等腰三角形．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A D C A D C B D
11.AC＝AE或∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED 12.（﹣3，1.5） 13.5＜AC＜11
14.①②③④ 15. 16.②③
选择题、填空题解法提示
10．解：①∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDA＝∠BDE＝90°，
∴△CDA和△BDE都是直角三角形，
在△BCD中，∠BDE＝90°，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD，
∵BM⊥AC于点M，
∴∠AMB＝90°，
∴△ABM是直角三角形，
∴∠A+∠DBE＝90°，
在Rt△CDA中，∠A+∠DCA＝90°，
∴∠DCA＝∠DBE，
在△DCA和△DBE中，
{∠CDA=∠BDE
)
CD=BD ，
∠DCA=∠DBE
∴△DCA≌△DBE（ASA），
∴AD＝DE，
故结论①正确；
②∵DM⊥DN，
∴∠NDM＝∠BDC＝90°，
∵∠NDM﹣∠NDE＝∠BDC﹣∠NDE，
∴∠MDC＝∠NDB，
∵∠DCA＝∠DBE，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠MCD＝∠NBD，
在△MDC和△NDB中，
{∠MDC=∠NDB
)
CD=BD ，
∠MCD=∠NBD
∴△MDC≌△NDB（ASA），
∴DM＝DN，
故结论②正确；
③在△DMN中，∠NDM＝90°，DM＝DN，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝∠DNM＝45°，
∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°，
故结论③正确；
④过点D作DH⊥MN于点H，如图所示：
∵BM⊥AC于点M，
∴∠DHE＝∠CME＝90°，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DHE和△CME中，
{∠DHE=∠CME=90°
)
∠DEH=∠CEM ，
DE=CE
∴△DHE≌△CME（AAS），
∴设EH＝EM，DH＝CM，
设EH＝EM＝a，
∴HM＝EH+EM＝2a，
∵△DMN是等腰直角三角形，
∴DH＝HN＝HM＝2a，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴NE＝HN+EH＝2a+a＝3a，DH＝CM＝2a，
∴EM：MC：NE＝a：2a：3a＝1：2：3，
故结论④正确，
综上所述：结论正确是：①②③④，
故选：D．
15．解：过P作PH⊥MN于H，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，连接PO，
∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，
∴PC＝PH，PD＝PH，
∴PC＝PD，
∵△PMN的面积＝MN•PH＝4，MN＝2，
∴PH＝4，
∴PC＝PD＝4，
∵△PMN的面积是4，△OMN的面积是6，
∴△POM+△PON＝4+6＝10，
1 1
∴ OM•PC+ ON•PD＝10，
2 2
∴（OM+ON）×4＝10×2，
∴OM+ON＝5．
故答案为：5．
解答题参考答案
16．解：（1）如图，△A B C ，即为所求，点B 的坐标（5，﹣2）；
1 1 1 1
1 1 1 13
（2）△ABC的面积＝3×5− ×2×3− ×1×5− ×2×3= ；
2 2 2 2
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（3）如图，点P即为所求．P（0，﹣2）．
17．证明：在△ABC和△ABD中，
{AC=AD
)
BC=BD ，
AB=AB
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠ABC＝∠ABD，
∵点E在AB的延长线上，
∴∠ABC+∠CBE＝180°，∠ABD+∠DBE＝180°，
∴∠CBE＝∠DBE．
18．（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又CD＝CE，∠ACB为△DCE的外角，
∴∠E＝∠CDE＝30°；
（2）如图所示：
（3）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，又∠E＝30°，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠DBC＝∠E，
∴BD＝ED，
又DM⊥BE，
∴BM＝EM．
19．（1）解：∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，
∴FA＝FB，NA＝NC，
∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠FAN＝130°﹣50°＝80°；
（2）证明：如图，连接PA、PB、PC，
∵EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线，
∴PB＝PA，PC＝PA，
∴PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
20．（1）证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
在△CFD和△CEB中，
{
∠CDF=∠B
)
∠CFD=∠CEB ，
CF=CE
∴△CFD≌△CEB（AAS），
∴BC＝CD；
（2）解：由（1）可知，△CFD≌△CEB，
∴DF＝BE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
{AC=AC)
，
CF=CE
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF＝AE，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AF+BE＝AD+DF+BE，
∴AB＝AD+2BE，
即8＝AD+2×2，
∴AD＝4，
答：AD的长为4．
21．解：（1）小明判断AC+BC最短的依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图2中，作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，
分别交OA、OB于M、N，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴MP＝MF，NP＝NG，
∴△PMN的周长的最小值为FG，
由轴对称的性质得：∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB，
OP＝OF，OP＝OG，
∵∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝500米，
∴∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝500米，
∴△FOG为边长为500米的等边三角形，
∴FG＝500米，
∴△PMN的周长的最小值为500米，
故答案为：500；
（3）如图，在AB上截取AP＝AN，连接MP，过点C作 CE⊥AB，垂足为E，
∵AD是∠BAC 的平分线，
∴∠MAN＝∠MAP．
在△AMN与△AMP中，
{
AN=AP
)
∠MAN=∠MAP ，
AM=AM
∴△AMN≌△AMP（SAS），
∴MN＝MP，
∴CM+MN＝CM+PM，
当C，M，P三点共线且CP⊥AB时，CM+PM最短，
∴这时CM+MN有最小值，即CE的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
1 1
∴S = AB⋅CE= AC⋅BC，
△ABC 2 2
24
∴CE= ，
5
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】24
∴CM+MN的最小值为 ．
5
22．解：（1）EF＝BE+FD．
延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图1，
∵∠ABE＝∠ADG＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠EAF＝60°．
∴∠GAF＝∠EAF＝60°．
又∵AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS）．
∴FG＝EF．
∵FG＝DF+DG．
∴EF＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2中，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】{
AB=AD
)
∠1=∠D ，
BM=DF
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
1
∴∠2+∠4= ∠BAD＝∠EAF，
2
∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME与△AFE中，
{
AM=AF
)
∠MAE=∠EAF ，
AE=AE
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，
∴EF＝BE+DF．
23．解：（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD；
在△ADB和△CEA中，
{∠ABD=∠CAE
)
∠BDA=∠CEA ，
AB=AC
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE，同意小丽的说法，理由如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝ ，
∴∠DBA+∠BAD＝∠αBAD+∠CAE＝180°﹣ ，
α
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
{∠BDA=∠CEA
)
∠ABD=∠CAE ，
AB=AC
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）由（2）可得AE＝BD，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，FB＝AF，
∴∠ABF+∠ABD＝∠CAF+∠EAC，
即∠DBF＝∠EAF，
在△FBD与△FAE中，
{
BF=AF
)
∠DBF=∠EAF ，
BD=AE
∴△FBD≌△FAE（SAS），
∴DF＝EF，
∴△DEF是等腰三角形．
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