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2025-2026学年重庆市巴南区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，5，7 B．1，2，3 C．5，8，2 D．4，3，7
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．3a2b﹣a2b＝2
C．（a2）3＝a5 D．a（a+1）＝a2+a
4．（4分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，BF＝EC，那么添加下列一个条件后，仍无
法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．AC∥DF
|x|−3
5．（4分）若分式 的值等于0，则x的值为（ ）
x−3
A．0 B．﹣3 C．3 D．±3
.6．（4分）下列说法中错误的是（ ）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．等腰三角形的两个底角相等
C．等腰三角形的角平分线，中线、高线互相重合
D．有两条边相等的三角形是等腰三角形
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△A A A ，△A A A ，△A A A ，△A A A …都是等边三角形，
1 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9
且点A ，A ，A ，A ，A 坐标分别是A （3，0），A （2，0），A （4，0），A （1，0），A （5，
1 3 5 7 9 1 3 5 7 9
0），依据图形所反映的规律，则A 的坐标是（ ）
17
A．（7，0） B．（6，0） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）
8．（4分）一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的 150倍，用这台机器收割10公顷小麦比
100个农民人工收割这些小麦要少用1h．求一个农民每小时收割多少公顷小麦？设一个农民每小时收
割x公顷小麦，根据题意列方程为（ ）
10 10 10 10
A． − =1 B． + =1
150x 100x 100x 150x
10 10 10 10
C． = −1 D． = −1
100x 150x 150x 100x
9．（4分）如图，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为斜边作Rt△ABD，将△ABD沿
AB翻折得到△ABE，连接CE，已知AD＝3，CE＝4，则点A到CE的距离为（ ）
4 3 9
A． B． C． D．3
3 2 4
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】10．（4 分）若数 a 既使得关于 x 的不等式组
{x−a
+1≤
x+a
)无解，又使得关于 y 的分式方程
2 3
x−2a＞6
5 a−y
− =1的解为大于1的整数，则满足条件的所有整数a的积为（ ）
y−2 2−y
A．﹣15 B．﹣3 C．0 D．3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横
线上．
11．（4分）一张A4纸的规格为210毫米×297毫米，其中210毫米可以表示为0.00021千米．将数字
0.00021用科学记数法表示应为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠ABD是△ABC的一个外角，BE平分∠ABD，若∠ABE＝
50°，则∠A的度数为 ．
13．（4分）若|a﹣3|+（2+b）2＝0，则点A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为 ．
14．（4分）已知代数式4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为 ．
15．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的平分线AE，BD交于点F，过点F作GF⊥BD
交BC于点H，交AC的延长线于点G．则∠AFB的度数为 ；若BD＝6，且BF＝3DF，则
S△ADF ＝ ．
16．（8分）一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位
数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“顺利数”．如数4136，∵4＝1+3且6＝2×3，∴4136
是“顺利数”．如数 5186，∵5≠1+3，∴5186 不是“顺利数”．则最小的“顺利数”为：
；若N=abcd为“顺利数”，将N的千位和十位上的数字交换位置，百位和个位上的数字也交换位置，
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得到一个新数N′，记F(N)= ，将数N的千位数字和百位数字记为两位数n′=ab，十位数字
33
和个位数字记为两位数n″=cd，若F（N）+n′+n″能被7整除，则满足条件的 N的最大值为
．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）（1）计算：（x﹣2y）2﹣（2x+y）（x﹣y）；
3 m
（2）解方程： − =−2．
2−m m−2
18．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，交AB于点E．
（1）尺规作图：过点D作线段AC的垂线交AC于点F，连接EF；（基本作图，保留作图痕迹，不写
作法，不下结论）
（2）求证：AD垂直平分EF．
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ① ．
∴点D在线段EF的垂直平分线上．
在Rt△AED和Rt△AFD中，
{ DE=DF )
②
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）．
③
∴点A在线段EF的垂直平分线上．
∴ ④ ．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题8分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）先化简，再求值： x−3 x2+2x+1 （ 1 ），其中x 6．
⋅ − +1 =−
x2−1 x−3 x−1 5
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】20．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣3），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣2）．
（1）作出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′，并写出各点的坐标；
（2）连接BC′和BA′，求△BA′C′的面积．
21．（8分）如图，一块长为（3x+3y）cm，宽为（x+2y）cm的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相
同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为xcm的长方体状无盖纸盒．
（1）求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积；
（2）若该长方形纸板长为12cm，宽为7cm，求该长方体纸盒的体积．
22．（8分）如图，在△ABC中，BC＝AC，分别过点B和点A作BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，
AE，BD相交于点O，连接CO．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：CO平分∠ACB．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】23．（10分）列方程解下列问题：用程序控制甲、乙两架无人机，进行 80m竞速比赛赛前练习，当甲无
人机到达终点时，乙无人机离终点还差16m．已知甲无人机的平均速度为4m/s．
（1）求乙无人机的平均速度；
（2）如果两架无人机重新开始比赛，甲从起点向后退16m，两架无人机同时出发，甲依然先到达终点，
请调整甲的平均速度，使两架无人机能同时到达终点，求调整后甲的平均速度．
24．（10分）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再
对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式
x2y﹣4y，分解因式为y（x+2）（x﹣2），若取x＝15，y＝12，则因式码为12，17，13，排序后密码为
121317．请根据上述方法解决以下问题：
（1）填空：多项式x2y﹣4y，若取x＝14，y＝5，则对应的密码为 （直接填数字即可）；
（2）探究：已知多项式x4﹣16y4，x，y均为正整数．
①若取x＝10，y＝3，请按照上述方法生成对应的密码，并写出完整过程；
②若用上述方法生成的密码中，前两个因式码为8和16（因式码按从小到大排列），请求出第三个因
式码．
25．（10分）已知△ABC，点D是线段AB的中点．
（1）如图1，点E在线段AC上，连接BE，交CD于点F，延长FD至点H，使DH＝DF，连接AH．
若∠CAH＝70°，CA＝BF；求∠H的度数；
（2）如图2，点G在射线DC上，连接AG，点E在AG上，连接BE交DG于点F，连接AF，BF，FE
＝EG，F为GD的中点．用等式表示线段AF和BD之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若点H是线段DF的中点，∠FAB＝40°，MN垂直平分线段AF，在MN上有
一动点P，连接FP，HP，DP，当△FPH的周长取最小时，请直接写出∠NPD的度数．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B B C A D C B
27
11.2.1×10﹣4 12.60° 13.（3，2） 14.±12 15.135°， 16.4112；9624
16
选择题、填空题解法提示
10．解：
{x−a
+1≤
x+a
① ) ，
2 3
x−2a＞6②
由①得x≤5a﹣6，
由②得x＞2a+6，
由条件可知2a+6≥5a﹣6，
解得a≤4，
5 a−y
− =1，
y−2 2−y
5+a﹣y＝y﹣2，
7+a
y= ，
2
7+a
由条件可知 ＞1，
2
∴a＞﹣5，
7+a
∵y= ≠2，
2
∴a≠﹣3，
由条件可知a为奇数，
∴满足条件的所有整数a为3，1，﹣1，
∵3×1×（﹣1）＝﹣3，
∴满足条件的所有整数a的积是﹣3，
故选：B．
15．解：∵AE，BD为△ABC的平分线，
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∴∠FAB=∠CAF= ∠CAB，∠FBA= ∠CBA（角平分线的性质），
2 2
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
1 1
∴∠FAB+∠FBA= ∠CAB+ ∠CBA=45°，
2 2
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣45°＝135°；
如图，延长GF交AB于点M．
∵BD＝6，BF＝3DF，
1 3 3 9
∴DF= DB= ，BF= DB= ，
4 2 4 2
∵GF⊥BD
∴∠BFM＝90°，
∵∠AFB＝135°，
∴∠DFA＝180°﹣∠AFB＝180°﹣135°＝45°，∠AFM＝∠AFB﹣∠BFM＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DFA＝∠AFM，
在△ADF和△AMF中，
{∠FAD=∠FAM
)
AF=AF ，
∠AFD=∠AFM
∴△ADF≌△AMF（ASA），
3
∴DF=MF= （全等三角形对应边相等），S△ADF ＝S△AMF ，
2
1 1 3 9 27
∴S = FM⋅FB= × × = ．
△BFM 2 2 2 2 8
设点A到线段BD距离为h，
∵BF＝3DF，
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DF⋅h
S 2 1
∴ △ADF = = ，
S 1 3
△ABF BF⋅h
2
∴S 1，
△AMF =
S 3
△ABF
∴S 1，
△AMF =
S 2
△MBF
1 27
∴S = S = ，
△AMF 2 △MBF 16
27
∴S =S = ．
△ADF △AMF 16
27
故答案为：135°， ．
16
16．解：设这个四位数为abcd，则d＝2c，a＝b+3（1≤c≤4，1≤d≤9，1≤a≤9，1≤b≤6，），
当b最小为1时，a最小为4；c最小为1时，d最小为2，
所以，最小顺利数为4112；
根据题意得：N′＝1000c+100d+10a+b，N＝1000a+100b+10c+d，
N−N′
∴F(N)= =30a+3b−30c−3d，n′＝10a+b，n″＝10c+d，
33
∴F（N）+n′+n″＝30a+3b﹣30c﹣3d+10a+b+10c+d＝40a+4b﹣20c﹣2d，
∵a＝b+3，d＝2c（1≤c≤4，1≤d≤9，1≤a≤9，1≤b≤6），
∴F（N）+n′+n″＝40a+4b﹣20c﹣2d＝40（b+3）+4b﹣20c﹣4c＝（42b﹣21c+119）+（2b﹣
3c+1），
∵F（N）+n′+n″能被7整除，
∴2b﹣3c+1能被7整除，
要使得N最大，则a最大，即b最大，
当b取最大数6时，2b﹣3c+1＝12﹣3c+1＝13﹣3c能被7整除，
则c可取最大数为2，则此时a＝9，d＝2×2＝4，
∴若F（N）+n′+n″能被7整除，则满足条件的N的最大值为9624．
故答案为：4112；9624．
解答题参考答案
17．解：（1）（x﹣2y）2﹣（2x+y）（x﹣y）
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＝x2+4y2﹣4xy﹣2x2+2xy﹣xy+y2
＝﹣x2+5y2﹣3xy；
3 m
（2） − =−2，
2−m m−2
方程两边同乘（2﹣m）得：3+m＝﹣2（2﹣m），
整理得：3+m＝﹣4+2m，解得：m＝7，
检验：当m＝7时，2﹣m＝﹣5≠0，
所以m＝7是原分式方程的解．
18．解：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可，如图所示，即为所求；
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上．
{DE=DF)
在Rt△ADE和Rt△ADF中， ，
AD=AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上．
∴AD是线段EF的垂直平分线，
故答案为：①DE＝DF，②AD＝AD，③AE＝AF，④AD垂直平分EF．
19．解： x−3 x2+2x+1 （ 1 ），
⋅ − +1
x2−1 x−3 x−1
x−3 (x+1) 2 1+x−1．
= ⋅ −
(x+1)(x−1) x−3 x−1
x+1 x
= − ．
x−1 x−1
1
= ．
x−1
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6 = =−
当x=− 时，原式 6 11．
5 − −1
5
20．解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′，如图1即为所求；
由图可知，A′（1，3），B′（2，1），C′（﹣2，2）；
（2）如图2，
1 1 1 3 13
S =4×4− ×1×3− ×1×4− ×3×4=16− −2−6= ．
△BA′C′ 2 2 2 2 2
21．解：（1）根据题意可知：
阴影部分长方形的面积＝（x+3y）（2y﹣x）＝（﹣x2﹣xy+6y2）cm2；
{3x+3 y=12)
（2）由题意 ，
x+2y=7
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解得 ，
y=3
长方体体积＝x•（﹣x2﹣xy+6y2）＝﹣x3﹣x2y+6xy2；
当x＝1，y＝3时，
﹣x3﹣x2y+6xy2＝﹣13﹣12×3+6×1×32＝50（cm3）
答：长方体纸盒的体积为50cm3．
22．证明：（1）∵BC＝AC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠ADB＝∠BEA＝90°，
在△ABD和BAE中，
{∠ADB=∠BEA
)
∠CAB=∠CBA ，
AB=AB
∴△ABD≌BAE（AAS），
∴AD＝BE；
（2）∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠BDC＝90°，
∵BC＝AC，AD＝BE，
∴CD＝CE，
在Rt△COD和Rt△COE中，
{OC=OC)
，
CD=CE
∴Rt△COD≌Rt△COE（HL），
∴∠OCD＝∠OCE，
∴CO平分∠ACB．
23．解：（1）设乙无人机的平均速度为xm/s，
80 80−16
由题意得： = ，
4 x
解得：x＝3.2，
经检验：x＝3.2是分式方程的解，
答：乙无人机的平均速度为3.2m/s；
（2）设调整后甲的平均速度为ym/s，
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由题意得： = ，
y 3.2
解得：y＝3.84，
经检验：y＝3.84是分式方程的解，
答：调整后甲的平均速度为3.84m/s．
24．解：（1）x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2），
若取x＝14，y＝5，则因式码为5，16，12，
所以对应的密码为51216，
故答案为：51216；
（2）①x4﹣16y4＝（x2+4y2）（x2﹣4y2）＝（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y），
若取x＝10，y＝3，
则因式码为：x2+4y2＝102+4×32＝136，x+2y＝10+2×3＝16，x﹣2y＝10﹣2×3＝4，
所以对应的密码为416136；
②∵x，y均为正整数，
∴x﹣2y＜x+2y＜x2+4y2，
又∵前两个因式码为8和16，
{x−2y=8)
∴ ，
x+2y=16
{x=12)
解得： ，
y=2
∴若用上述方法生成的密码中，前两个因式码为8和16（因式码按从小到大排列），则第三个因式码
为：x2+4y2＝122+4×22＝160．
25．解：（1）∵点D是线段AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADH和△BDF中，
{
AD=DB
)
∠ADH=∠BDF ，
DF=DH
∴△ADH≌△BDF（SAS），
∴AH＝BF，
又∵CA＝BF，
∴CA＝AH，
∴∠ACH＝∠AHC，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵∠CAH＝70°，
1
∴∠ACH=∠AHC= (180°−∠CAH)=55°，
2
即∠H＝55°．
（2）AF＝BD，
证明如下：如图，延长FD使FD＝DH，连接AH，
∵点D为AB中点，
∴AD＝DB，
在△ADH和△BDF中，
{
AD=DB
)
∠ADH=∠BDF ，
FD=DH
∴△ADH≌△BDF（SAS），
∴AH＝BF，∠AHD＝∠DFB，
又∵FE＝EG，
∴∠EGF＝∠EFG，
∵∠EFG＝∠DFB，
∴∠EGF＝∠DFB，
∴∠EGF＝∠AHD，
∴AG＝AH，
∵AH＝BF，
∴AG＝BF，
∵F为GD的中点，
∴FG＝FD，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】{
AG=BF
)
在△AGF和△BFD中， ∠AGF=∠BFD ，
FG=FD
∴△AGF≌△BFD（SAS），
∴AF＝BD；
（3）由（2）知，AF＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵点P为MN上的动点，F，H为定点，
如图，连接AH，AH与MN交点P，
∵MN垂直平分线段AF，点P在MN上，
∴FP＝AP，
∴FP+FH+PH＝AP+PH+FH＝AH+FH，
∴△FPH周长的最小值为AH+FH，
∵H为DF的中点，AF＝AD，
1
∴∠FAH=∠DAH= ∠FAD=20°，HF＝HD，AH⊥DF，
2
∵MN⊥AF，∠FAB＝40°，
180°−∠FAB
∴∠AFD=∠ADF= =70°，∠MNA＝90°﹣∠FAB＝50°，
2
∵点P在AH上，
∴PF＝PD，
∴∠PFH＝∠PDH，
∵点P在AF的垂直平分线上，
∴∠MAP＝∠MFP＝20°，
∴∠PFH＝∠AFH﹣∠MFP＝50°，
∴∠PDH＝50°，
∴∠PDN＝∠ADH﹣∠PDH＝20°，
∴在（2）的条件下，若点H是线段DF的中点，∠FAB＝40°，当△FPH的周长取最小时，则∠NPD＝
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∠MNA﹣∠PDN＝30°.
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