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2025-2026学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7 B．5，5，3 C．4，5，10 D．2，7，4
2．（2分）传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．小红设计了下
列窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）5＝a7
C．（3a4）2＝9a8 D．a4÷a4＝0
4．（2分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
x2+1 x+1 −3x 3x
A． = B． =
5x 5 −x+1 x−1
x2−y2 x x2
C． =x+ y D． =
x+ y y y2
5．（2分）如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作△ABC）放入正方形网格中，其三个顶点都在网
格线的交点上，在点D，E，F，G（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
.6．（2分）如图是“过直线AB外一点C作AB的平行线CD”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明
CD∥AB，证明过程中判定△CMN≌△EFG的依据是（ ）
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
7．（2分）八年级师生去距学校24km的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了 4min
学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的 1.2倍，
求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为xkm/h，那么下面所列方程中正确的是（ ）
24 24 4 24 24
A． = + B． =1.2×
x 1.2x 60 x x+4
24 24 4 24 24
C． = − D．1.2× =
x 1.2x 60 x x+4
8．（2分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，P，Q分别是边AC，BC上的两个动点，连接
BP，PQ．若当BP与PQ的和最小时，PQ的长为1，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共16分，每题2分）
1
9．（2分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
x−4
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣5，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
11．（2分）计算：（﹣2a2b）（﹣4abc）＝ ．
12．（2分）如图，点 C，D在线段AB上，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF．只需添加一个条件即可证明
△EAD≌△FCB，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】13．（2分）已知1个水分子的质量约是3×10﹣26kg．如果1滴水的质量约是6×10﹣5kg，那么这滴水中大
约有 个水分子（结果用科学记数法表示）．
14．（2分）如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形ABCDE表示帐篷，线段BF，BG
表示绳索，点F在AB的延长线上，且点F，G都在DC的延长线上．若∠ABC＝130°，∠BCD＝90°，
FG＝FB，则∠BGF＝ °．
15．（2分）如图，某街心公园有一块长为2am，宽为bm的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为2am，
宽为am的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为 bm的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与
绿地的宽的和为13m，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为194m2，那么绿地的面积为
m2．
16．（2分）如图，CD是△ABC的角平分线，点E在CD的延长线上，DC＝AC，EC＝BC，EF⊥BC，垂
足为F．有下列四个结论：
①△DAC与△DBC的面积相等；
②∠ADC＝∠BEC；
③2∠AEC+3∠BCE＝180°；
1
④FC= (EC+DC)．
2
其中所有正确结论的序号是 ．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题10分，第22-
24题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（8分）分解因式：
（1）5x2﹣10xy+5y2；
（2）a2（b+1）﹣9（b+1）．
18．（11分）（1）计算：（x+2y）（3x﹣y）；
（2）先化简，再求值： 2a a2−a ，其中a＝﹣3．
( −1)÷
a+1 a2+2a+1
3 2x
19．（7分）解方程： +2= ．
x x−1
20．（8分）如图，AB＝AC，DB⊥AB，EC⊥AC，垂足分别为B，C，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若∠BAD＝20°，∠DAE＝110°，求∠CED的度数．
21．（10分）已知在△ABC中，AB＜AC＜BC．
（1）如图1，在△ABC的边BC上求作一点D，使DA+DC＝BC．
①将下面的分析过程补充完整．
分析：点D在线段BC上，则DB+ ＝BC，
而要使DA+DC＝BC，即需要 ＝ ，
因此需要点D在线段 的垂直平分线上，
所以作出这条线段的垂直平分线，它与边BC的交点即为所求作的点D．
②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹；
（2）用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹：
在边BC上取一点E，使CE＝CA；作∠ACB的平分线交AB于点F，连接EF；
（3）在（2）的条件下，图2中线段 与线段AF相等，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则
△BEF的周长为 （用含a，b，c的式子表示）．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】22．（8分）有这样一组按规律依次排列的正整数：a ＝32﹣12，a ＝52﹣32，a ＝72﹣52，⋯其中每个数
1 2 3
都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第 n个
“特征数”为a （n为正整数）．
n
（1）将a 表示为两个连续正奇数的平方差：a ＝ ﹣ ；
6 6
（2）求证：对于任意的正整数n，a 一定能被8整除；
n
（3）已知t是第n个“特征数”，判断（2t+1）（2t﹣1）﹣t（4t﹣5）+9是否为“特征数”，如果是，
求出它是第几个“特征数”（用含n的式子表示）；如果不是，说明理由．
23．（8分）如图1，公园里有一条河，河岸线可看成两条平行的直线l ，l ，河的宽度为30m，景点A和
1 2
景点B分别位于河的两岸（正方形网格中小正方形的边长为10m，直线l ，l 都在网格线上，点A，B
1 2
都在网格线的交点上）．现要在河上造一座桥MN连通河的两岸，其中点M，N分别在直线l ，l 上．
1 2
（1）小明先将桥MN的桥形设计为一条线段，线段MN与直线l 垂直，且使得从景点A经桥MN走到
1
景点B的路径最短．他将点A沿与直线l 垂直的方向平移河的宽度得到点A′，从而将问题转化为在
1
直线l 上确定点N的位置，使A′N+NB最小．请在图1中画出小明设计的桥MN（保留画图痕迹）；
2
（2）小明又将桥MN设计成Ⅰ型（如图2）和Ⅱ型（如图3）两种桥形，这两种桥形都是由五条10m
长的线段组成的折线，其中以点M，N为端点的两条线段分别与直线l ，l 垂直，且相邻两条线段互相
1 2
垂直．
请在图4，图5中分别画出当采用Ⅰ型和Ⅱ型桥形时的桥MN，使得从景点A经桥MN走到景点B的路
径最短（保留画图痕迹）；
比较图4，图5可知，采用 型桥形，最短路径的长度更短（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（3）小明以直线l 为x轴，经过景点A且与直线l 垂直的直线为y轴（分别取向右、向上为正方向），
2 2
取1个单位长度代表1m长，建立平面直角坐标系．景点A的坐标为（0，50），另一景点C的坐标为
（t，﹣10）．若无论采用（2）单的I型或Ⅱ型桥形，从景点A经桥MN走到景点C的最短路径的长度
相等，则t的值为 ．
24．（8分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，射线AD与边BC交于点D，∠BAD＝ （0°＜
＜22.5°）．点E与点B关于直线AD对称，线段BE与射线AD交于点H，点F在线段AHα上，且
α∠BEF＝45°，连接BF．
（1）依题意补全图形，并求∠ABF的度数（用含 的式子表示）；
（2）连接AE，M是AE的中点，连接CM，FM，α探究线段CM与FM的数量关系和位置关系，并证明
你的结论．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25．（4分）在解关于x，y的方程组 { x+ y + x−y =6 ) 时，小天发现可以利用“换元法”求解，
3 2
3(x+ y)−2(x−y)=28
即设x+y＝a，x﹣y＝b，将原方程组转化为关于a，b的方程组 { a + b =6 ) ，求出a，b的值后，再
3 2
3a−2b=28
代回x+y＝a，x﹣y＝b，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】(a−2b+c) 2+4(a−b)(b−c)
（1）化简： ．
a−c
下面是小天解决此问题的思路，请补充完整．
解：设a﹣b＝x，b﹣c＝y，
则a﹣c＝x+y，a﹣2b+c＝ （用含x，y的式子表示）．
将原式转化为关于x，y的式子进行化简，
再将a﹣b＝x，b﹣c＝y代回，得到原式化简的结果为 ．
（2）比较（22025+32025）×（22026+32026）与（22025+32026）×（22026+32025）的大小，并说明理由．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l，线段AB和点C，给出如下定义：记点C关于直线l
的对称点为C′，若线段AB上存在点M，N，使得C′M＝C′N，且∠MC′N＝ ，则称点C是线段
AB的“l﹣ 可及点”． α
（1）如图α，直线l为y轴，点A（﹣1，﹣1），B（6，﹣1）．在点C
1
（﹣1，﹣2），C
2
（﹣3，
2），C （﹣5，3）中，线段AB的“l﹣90°可及点”是 ；
3
（2）已知点D（﹣6，﹣1），E（﹣2，﹣5），直线l经过点（﹣1，0）且垂直于x轴，点F（0，
m），G（4，m+4）．若线段DE上存在线段FG的“l﹣90°可及点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知△STR 是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为 S（﹣4，0），T（﹣2，0），
，直线 l经过点（t，0）且垂直于 x轴，点 ．当﹣
R(−3，❑√3) P(n，−❑√3)，Q(n+8，−❑√3)
1≤t≤0时，对于t的每一个值，△STR的三条边上的所有点都是线段PQ的“l﹣60°可及点”，直接写
出n的取值范围．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B A D A C
9.x≠4 10.（﹣5，1） 11.8a3b2c 12.AD＝CB（答案不唯一）
13.2×1021 14.20 15.72 16.②③④
选择题、填空题解法提示
8．解：作点B关于直线AC的对称点B′，过B′作B′Q⊥BC于Q，
则此时BP与PQ的和最小，
在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，
1
∴∠A＝∠C= ×（180°﹣120°）＝30°，
2
∵∠CQP＝90°，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠B′PH＝∠CPQ＝60°，
∵BP＝PB′，
∴∠BPH＝∠B′PH＝60°，
∴∠BPQ＝180°﹣∠BPH﹣∠CPQ＝60°，
∴PB＝PC＝2PQ＝2，
∴BC＝2CQ 2 ，
=❑√PC2−PQ2= ❑√3
1
∴BH= BC=❑√3，
2
∴CH 3，
=❑√BC2−BH2=
∵AB＝BC，BH⊥AC，
∴AC＝2CH＝6，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】故选：C．
16．解：如图，过点E作EM⊥CA交CA的延长线于点M．
假设△DAC与△DBC的面积相等，则BD＝AD，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴△ACB必须是等腰三角形，显然与题目矛盾，故①错误；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵CD＝CA．CE＝CB，
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEB＝∠CBE，
∵2∠CEB+∠DCB＝180°，2∠ADC+∠ACD＝180°，
∴∠CEB＝∠ADC，故②正确；
∵CA＝CD，∠ACE＝∠DCB，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴BD＝AE，
∵∠BED＝∠DAC，∠EDB＝∠CDA，
∴∠EBD＝∠ACD，
∴2∠BED+∠EBD＝180°，
∴∠BED＝∠BDE，
∴BE＝BD＝AE，
∴∠EBA＝∠EAB＝∠ACD，
∵∠CDA＝∠CAD＝∠AED+∠EAD＝∠AED+∠ACD，
∴2（∠AED+∠ACD）+∠ACD＝80°，
∴2∠AED+3∠ACD＝180°，故③正确；
∵CE平分∠ACB，EM⊥CM，EF⊥CB，
∴EM＝EF，
∴Rt△EMA≌Rt△EFB（HL），
∴AM＝BF，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵∠M＝∠EFC＝90°，CE＝CE，
∴△CEM≌△CEF（AAS），
∴CF＝CM，
∴CF+CM＝BC﹣BF+CA+AM＝AC+CB，
∴2CF＝EC+CD，
1
∴CF= （EC+CD），故④正确．
2
故答案为：②③④．
解答题参考答案
17．解：（1）5x2﹣10xy+5y2；
＝5（x2﹣2xy+y2）
＝5（x﹣y）2；
（2）a2（b+1）﹣9（b+1）
＝（b+1）（a2﹣9）
＝（b+1）（a+3）（a﹣3）．
18．解：（1）原式＝3x2﹣xy+6xy﹣2y2
＝3x2+5xy﹣2y2；
（2）原式 2a a+1 a(a−1)
=( − )÷
a+1 a+1 (a+1) 2
a−1 (a+1) 2
= ⋅
a+1 a(a−1)
a+1
= ，
a
当a＝﹣3时，
−3+1
原式=
−3
−2
=
−3
2
= ．
3
19．解：两边都乘以x（x﹣1），得：3（x﹣1）+2x（x﹣1）＝2x2，
解得：x＝3，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】经检验，x＝3是原分式方程的解．
20．（1）证明：∵DB⊥AB，EC⊥AC，垂足分别为B，C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{∠BAD=∠CAE
)
AB=AC ，
∠B=∠C
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE．
（2）解：∵∠B＝90°，∠BAD＝20°，
∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝70°，
由（1）得△ABD≌△ACE，AD＝AC，
∴∠ADB＝∠AEC＝70°，∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，且∠DAE＝110°，
∴2∠AED+110°＝180°，
∴∠AED＝35°，
∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝35°，
∴∠CED的度数是35°．
21．解：（1）①过程补充如下：
点D在线段BC上，则DB+DC＝BC，
而要使DA+DC＝BC，即需要DB＝DA，
因此需要点D在线段AB的垂直平分线上，
所以作出这条线段的垂直平分线，它与边BC的交点即为所求作的点D．
故答案为：DC，DB，DA，AB；
②如图点D即为所求；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（2）尺规作图，如图，
（3）∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF，
在△ACF和△ECF中，
{
CA=CE
)
∠ACF=∠ECF ，
CF=CF
∴△ACF≌△ECF（SAS），
∴AF＝EF，
由作图可知CE＝CA＝b，
∴BE＝a﹣b，
∴△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BE+BF+AF＝BE+AB＝a﹣b+c，
故答案为：EF，a﹣b+c．
22．解：（1）观察已知 ， ， ，
a =32−12 a =52−32 a =72−52
1 2 3
可知第n个“特征数”中，较小的正奇数为2n﹣1，较大的正奇数为2n+1（n为正整数），
当n＝6时，
较小的正奇数为2×6﹣1＝11，较大的正奇数为2×6+1＝13，
因此；
故答案为：132，112．
（2）由（1）的规律可得
a =(2n+3) 2−(2n+1) 2
n
＝[（2n+3）+（2n+1）][（2n+3）﹣（2n+1）]
＝（2n+3+2n+1）（2n+3﹣2n﹣1）
＝（4n+4）×2＝8（n+1），
因为n为正整数，所以8（n+1）能被8整除，
即对于任意正整数n，a 一定能被8整除；
n
（3）（2t+1）（2t﹣1）﹣t（4t﹣5）+9
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】＝4t2﹣1﹣4t2+5t+9
＝5t+8；
因为t是第n个“特征数”，
5t+8
＝5×8n+8
＝40n+8
＝8（5n+1），
设两个连续正奇数为2k+1和2k+3（k为正整数），
则它们的平方差为：
（2k+3）2﹣（2k+1）2
＝（2k+3+2k+1）（2k+3﹣2k﹣1）
＝8（k+1），
令8（k+1）＝8（5n+1），解得k＝5n，
因此两个连续正奇数为2×5n+1＝10n+1和2×5n+3＝10n+3，所以5t+8是“特征数”，且是第5n+1个
“特征数”．
23．解：（1）如图所示，MN即为所求；
（2）Ⅰ型的桥MN如图4，Ⅱ型桥如图5；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】由图明显可知图5的路径更短，
故采用Ⅱ型桥形，最短路径的长度更短，
故答案为：Ⅱ；
（3）如图，
结合（2）作图可知，要满足题意，则A'C＝A″C，
∴点C在A'A″的垂直平分线上，
∴C（10，﹣10），即t＝10；
故答案为：10．
24．解：（1）图形如图所示：
（2）结论：CM＝FM，CM⊥FM．
理由：如图，延长FM到J，使得MJ＝FM，连接AJ，CF，CJ，延长BF交AJ的延长线于点K．
∵E，B关于AH对称，
∴FE＝FB，
∴∠BEF＝∠EBF＝45°，
∴∠EFB＝90°，
∴EF⊥BF，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵MA＝ME，MJ＝MF，∠AMJ＝∠EMF，
∴△AMJ≌△EMF（SAS），
∴AJ＝EF，∠MAJ＝∠MEF，
∴AJ∥EF，
∴AK⊥BK，
∴∠K＝∠ACB＝90°，
∵∠AOK＝∠BOC，
∴∠JAC＝∠CBF，
∵AJ＝EF＝BF，CA＝BC，
∴△JAC≌△FBC（SAS），
∴CJ＝CF，∠ACJ＝∠BCF，
∴∠JCF＝∠ACB＝90°，
∴△CJF是等腰直角三角形，
∵JM＝JF，
∴CM＝MJ＝MF，CM⊥MF．
25．解：（1）设a﹣b＝x，b﹣c＝y，
则a﹣c＝x+y，a﹣2b+c＝x﹣y，
(x−y) 2+4xy
原式=
x+ y
x2−2xy+ y2+4xy
=
x+ y
(x+ y) 2
=
x+ y
＝x+y
＝a﹣c，
故答案为：x﹣y；a﹣c；
（2）（22025+32025）×（22026+32026）＜（22025+32026）×（22026+32025），理由如下：
设22025＝m，32025＝n，
则（22025+32025）×（22026+32026）＝（m+n）（2m+3n），（22025+32026）×（22026+32025）＝（m+3n）
（2m+n），
那么（22025+32025）×（22026+32026）﹣（22025+32026）×（22026+32025）
＝（m+n）（2m+3n）﹣（m+3n）（2m+n）
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】＝2m2+3mn+2mn+3n2﹣2m2﹣mn﹣6mn﹣3n2
＝﹣2mn
＝﹣2×22025×32025＜0，
即（22025+32025）×（22026+32026）＜（22025+32026）×（22026+32025）．
26．解：（1）如图1，
△EC F和△EC B是等腰直角三角形，点C 的对称点C ′，在AB上不存在两点M、N，满足C′M＝
1 2 3 3
C′N，且∠MC ′N＝90°，
3
故答案为：C 、C ；
1 2
（2）如图2，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】当点E关于直线x＝﹣1的对称点是FG的“l﹣90°可及点”时，F′0，﹣9），此时m＝﹣9，
当点D关于直线x＝﹣1的对称点是FG的“l﹣90°可及点”时，F（0，﹣1），此时m＝﹣1，
当点FG与D′E′重合时，线段DE上不存在线段FG的“l﹣90°可及点”，
∴﹣9≤m≤﹣1且m≠﹣5；
（3）如图3，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】″
{n≤−1 )
当t＝﹣1时，点T的对称点T′（0，0），点S的对称点S′（2，0），此时 ，
n+8≥3
∴﹣5≤n≤﹣1，
{ n≤1 )
当t＝0时，点T的对称点T″（2，0），点S对称点S″（4，0），此时 ，
n+8≥5
∴﹣3≤n≤1，
∴﹣3≤n≤﹣1．
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