文档内容
北京市西城区 2022—2023 学年度第二学期期末试卷八年
级数学 2023.7
注意事项：
1．本试卷共8页，共两部分，四道大題，26道小题．其中第一大题至第三
大题为必做题，第四大道为选做道，计入总分，考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签
字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．2， ，3
3．下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C．对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
D．对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形
5．在 中， ， 为斜边 的中点．若 ， ，则
的长为（ ）
试卷第1页，共3页A．10 B．6 C．5 D．4
6．小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取
出一个含 角的菱形 （如图1所示）．若 的长度为 ，则菱形 的面
积为（ ）
A． B． C． D．
7．台风影响着人们的生产和生活．人们为研究台风，将研究条件进行一定的合理简化，
把近地面风速画在一个以台风中心为原点，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系
中，并在图中标注了该台风的 级、 级和7级风圈半径，如 级风圈半径是指近地
面风速衰减至 时，离台风中心的距离约为 ．那么以下关于这场台风的
说法中，正确的是（ ）
A．越靠近台风中心位置，风速越大
B．距台风中心 处，风速达到最大值
C． 级风圈半径约为
试卷第2页，共3页D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减
8．在平面直角坐标系 中，矩形 ， ， ， ，点 在边
上， ．点 在边 上运动，连接 ，点A关于直线 的对称点为 ．
若 ， ，下列图像能大致反映 与 的函数关系的是（ ）．
A． B．
C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题
9．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
试卷第3页，共3页10．若 ，则 ， ．
11．若 的周长为6，则以 三边的中点为顶点的三角形的周长等于 ．
12．某商场招聘员工，现有甲、乙两人参加竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项
测试，他们各自成绩（百分制）和各项占比如下表所示，那么从甲、乙两人各自的平
均成绩看，应该录取：
测试项目 计算机 语言 商品知识
在平均成绩中的占比 50% 30% 20%
甲的成绩 70 80 90
乙的成绩 90 80 70
13．如图，直线 与直线 的交点为A，则关于 ， 的方程组
的解是 ．
14．小杰利用教材中的剪纸活动设计了一个魔术．他将一个长方形纸片对折两次，剪
下一个 角（图1），展平后得到一个带正方形孔洞的魔术道具（图2），这个正方
形孔洞 的边长为 （图4）．他试图将一个直径为 的圆形铁环（铁环厚度
忽略不计）穿过这个孔洞，没有成功，于是他对这个道具进行折叠、旋转（图5、图
6），并调整纸片产生一个新的“孔洞”（图3）．请你计算调整前后的孔洞最“宽”
处的“宽度”来说明魔术的效果．图4中的“宽度” ；图6中的“宽
度” ．
试卷第4页，共3页15．如图，在 中， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点
， 与 的交点在 内．若 ， ，则 ．
16．在 中， ， 平分 交 于点 ， 交 于点 ，
交 于点 ．有以下结论：
①四边形 一定是平行四边形；
②连接 所得四边形 一定是平行四边形；
③保持 的大小不变，改变 的长度可使 成立；
④保持 的长度不变，改变 的大小可使 成立．
共中所有的正确结论是： ．（填序号即可）
试卷第5页，共3页三、解答题
17．计算：
(1) ；
(2) ．
18．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为
，将直线 向右平移3个单位长度得到直线 ．
(1)求点 ，点 的坐标，画出直线 及直线 ；
(2)求直线 的解析式；
(3)直线 还可以看作由直线 经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式．
19．尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线．
已知：如图，直线 及直线 外一点 ．
求作：直线 ，使得 ，且直线 经过点 ．；
作法：①在直线 上取一点 ，连接 ，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交直线
于点 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点 （不与点 重合）；
③经过 ， 两点作直线 ．直线 就是所求作的直线．
试卷第6页，共3页(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接 ．
∵ = = ，
∴四边形 是（填“矩形”“菱形”或“正方形”）
（ ）（填推理的依据）．
∴ （ ）（填推理的依据）．
20．如图，在 中， 于点 ， 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ， ，求 的长．
21．已知甲、乙两地相距 ，小徐和小马两人沿同一条公路从甲地到乙地，小徐骑
自行车 到达．小马骑摩托车比小徐晩 出发，骑行 时追上小徐，停留 后继
续以原速骑行．在整个行程中，两人与甲地的距离 与小徐骑行时间 的对应关系分
别如图中线段 和折线段 所示， 与 的交点为 ．
(1)线段 所对应的函数表达式为 ，相应自变量 的取值范围是 ，线段 所对应的
函数表达式为 ，相应自变量 的取值范围是 ；
(2)小马在 段的速度为 ， ；
(3)求小马第二次追上小徐时与乙地的距离．
22．某校为了解课外阅读情况，在初二年级的两个班中，各随机抽取部分学生调查了
他们一周的课外阅读时长（单位：小时），并对数据进行了整理、描述和分析．下面
给出了部分信息．
试卷第7页，共3页a．甲班学生课外阅读时长（单位：小时）：7，7，8，9，9，11，12
b．乙班学生课外阅读时长的折线图：
c．甲、乙两班学生阅读时长的平均数、众数、中位数：
平均数 中位数 众数
甲班 9
乙班 9 9
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 ， ， 的值；
(2)设甲、乙两班数据的方差分别为 ， ，则 （填“>”“=”或“<”）．
23．在平面直角坐标系 中，对于非零的实数 ，将点 变换为 称为
一次“ -变换”．例如，对点 作一次“3-变换”，得到点 ．已知直线
与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．若对直线 上的各点分别作同样的“ -
变换”，点 ， 变换后的对应点分别为 ， ．
(1)当 时，点 的坐标为 ；
(2)若点 的坐标为 ，则 的值为 ；
(3)以下三个结论：①线段 与线段 始终相等；② 与 始终相等；③
与 的面积始终相等．其中正确的是 （填写序号即可），并对正确的结
论加以证明．
24．在菱形 中， ， ， 两点分别在 ， 边上， ．
连接 ，取 的中点 ，连接 ， ．
试卷第8页，共3页(1)依题意补全图1，并写出 的度数；
(2)用等式表示线段 与 的数量关系，并证明；
(3)若 ， ， 的交点为 ，连接 ， ，四边形 能否成为平行四
边形？若能，求出此时 的长；若不能，请说明理由．
四、选做题
25．在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸四边形的顶点都是网格线交点，我
们称其为格点凸四边形．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的四个顶点分
别为 ， ， ， ．已知点 ， ， ．若点
在矩形 的内部，以 ， ， ， 四点为顶点的格点凸四边形的面积为6，所有
符合题意的点 的坐标为 ．
26．在平面直角坐标系 中，对于正方形 和它的边上的动点 ，作等边
，且 ， ， 三点按顺时针方向排列，称点 是点 关于正方形 的
“友好点”．已知 ， ， ， （其中 ）．
试卷第9页，共3页(1)如图1，若 ， 的中点为 ，当点 在正方形的边 上运动时，
①若点 和点 关于正方形 的“友好点”点 佮好都在正方形的边 上，则
点 的坐标为 ；点 关于正方形 的“友好点”点 的坐标为 ；
②若记点 关于正方形 的“友好点”为 ，直接写出 与 的关系式（不
要求写 的取值范围）；
(2)如图2， ， ．当点 在正方形 的四条边上运动时，若线段
上有且只有一个点 关于正方形 的“友好点”，求 的取值范围；
(3)当 时，直接写出所有正方形 的所有“友好点”组成图形的面积．
试卷第10页，共3页1．B
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A选项， ，故不符合题意；
B选项， 是最简二次根式，故符合题意；
C选项， ，故不符合题意；
D选项， ，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．D
【分析】欲求证是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为 ，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
B、因为 ，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
C、因为 ，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
D、因为 ，所以能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，解题关键是认真分析所给边的大小关系，确
定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．C
【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别计算即可做出判断．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项正确，符合题意；
答案第1页，共2页D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的性质和运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断．根据菱形的判定方法对②进行判断；
根据矩形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．
【详解】解：A. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A说法不正确；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B说法不正确；
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项C说法不正确；
D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形,说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题真假的判断以及平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，根据
定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
5．C
【分析】根据勾股定理求得 ，由斜边上中线等于斜边一半求得 ．
【详解】由勾股定理， ,
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形性质，由相关定理得出线段间数量关系是解题的
关键．
6．B
【分析】作出图形，利用 直角三角形的性质求出高，利用菱形的面积公式可求解．
【详解】解：如图所示，菱形 中， ， ，
过点A作 于点E，则 ，
答案第2页，共2页∴ ，
由勾股定理得 ，
∴菱形 的面积为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用 直角三角形的性质以及菱形的面积公式是
本题的关键．
7．D
【分析】根据所给直角坐标系，不能判断越靠近台风中心位置，风速越大，选项A说法错
误，不符合题意；距台风中心 处，风速没有达到最大值，选项B说法错误，不符合
题意； 级风圈半径不是 ，选项C说法错误，不符合题意；在某个台风半径达到最
大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减，选项D说法正确，符合题意；综上，
即可得．
【详解】解：A、根据所给直角坐标系，不能判断越靠近台风中心位置，风速越大，选项
说法错误，不符合题意；
B、距台风中心 处，风速没有达到最大值，选项说法错误，不符合题意；
C、 级风圈半径不是 ，选项说法错误，不符合题意；
D、在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减，选项说法
正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了从所给坐标系中获取相关的信息，解题的关键是理解题意，能够从所
给坐标系中获取相关的信息．
8．A
【分析】先根据坐标和轴对称的性质得到 ，进而得到 ，然后再根
据函数图像确定极值点的函数值，可排除D；然后再根据函数的线性关系即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ,
答案第3页，共2页∵
∴ ,
∵ ，
∴
当 时，A与 重合， ，此时， ；
当 时，P与B重合， 此时， ；
故可排除D选项.
在 中， ，则 的长度不随x线性变化，即y不随x线性变化，可
排除B、C．
故选A．
【点睛】本题主要考查了函数图像的确定，掌握排除法解答的方法是本题的关键．
9． ##
【分析】由 在实数范围内有意义，列不等式 ，再解不等式即可得到答案．
【详解】解：若 在实数范围内有意义，
则 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负
数”是解本题的关键．
10． 1
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：1， ．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
11．3
【分析】点D、E、F分别是 的中点则 ，根
答案第4页，共2页据 的周长为6，即可得 的周长 ．
【详解】解：如图所示，点D、E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 的周长为6，
∴ 的周长为： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，解题的关键是理解题意，掌握三角形的中位线．
12．乙
【分析】根据加权平均数的计算方法求解．
【详解】由题意知，甲平均成绩 ；
乙平均成绩 ；
乙的平均成绩好于甲；
故答案为：乙．
【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．
13．
【分析】根据两条直线的交点的意义即可解答．
【详解】解：由函数图像可知：直线 与直线 的交点为 ，
方程组 的解是 ．
故答案为： ．
答案第5页，共2页【点睛】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意
义是解题的关键．
14．
【分析】①根据正方形的性质及勾股定理可知 的长为 ；②由旋转性质及折叠的
性质可知 ．
【详解】解：∵正方形孔洞 的边长为 ，
∴对角线 的长为 ，
故答案为 ，
如图 ，由旋转性质可知 ，
如图 ，由折叠的性质可知 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握折叠的性
质及旋转的性质是解题的关键．
15．1
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，由角平分线可得 ，所
以 ，根据等角对等边可得 ，同理可得 ，则根据
即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，熟练
掌握相关性质是解题的关键．
答案第6页，共2页16．①③
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不
能证明四边形 一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变
的长度能使 成立，故可判断③；保持 的长度不变，改变 的大小不一定
能使 成立，故可判断④．
【详解】解： ，
四边形 是平行四边形，故①正确；
只有一组对边平行，不能证明四边形 一定是平行四边形，故②错误；
改变 的长度， 与 的交点为中点时，则 ,
即E为 的中点，
是 的中位线，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∴
∴ ，故③正确；
保持 的长度不变且 时，
∵ 平分 ，
∴D为 的中点，
同③，改变 的大小都能使 ，
但当 的长度不变且不等于3时，不可能使 成立，故④错误，
所以，正确的结论是①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的
性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
答案第7页，共2页17．(1)
(2)
【分析】（1）化简算术平方根，运算求解；
（2）应用平方差公式简化运算求解．
【详解】（1）
.
（2）
.
【点睛】本题考查实数的运算，灵活运用公式是解题的关键．
18．(1) ， ，见解析
(2)
(3)将直线 向下平移6个单位长度得到直线
【分析】（1）把 代入 ，得点 的横坐标，把 代入 ，得点
的纵坐标，然后标出点 ，点 的坐标即可作出直线 ，根据题意即可作出直线 ；
（2）根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得直线 的解析式；
（3）根据直线 和直线 的解析式特征，即可知道其中一种平移方式，此处答案不唯一，
合理即可．
【详解】（1）解：对于直线 ，
当 时，
当 时， ，解得 ，
答案第8页，共2页∴ ， ，
经过 ， 两点的直线即为直线 ，
然后将直线 向右平移3个单位长度得到直线 ，
所以 ，且直线 经过 ；
作出直线 及直线 的图象如图所示：
（2）解：因为直线 向右平移3个单位长度得到直线 ，
所以直线 ，
即直线 的解析式为 ；
（3）解：∵直线 ，直线 ，
∴直线 向下平移6个单位长度得到直线 （答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是一次函数图象、一次函数的解析式以及一次函数的平移性质等知识
内容，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2) ； ； ；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的对边平行；见解析
【详解】（1）如图，直线m即为所求作；
答案第9页，共2页（2）证明：连接 ，
∵ ，
∴四边形 是菱形.（四条边相等的四边形是菱形）.
∴ （菱形的对边平行）．
故答案为： ； ； ；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
【点睛】本题主要考查了作平行线，菱形的判定与性质，正确作出平行线是解答本题的关
键．
20．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）通过证明 ，证明四边形 是矩形．
（2）作 ，交 的延长线于点 ，根据 ， ，利用勾股
定理求得 ，得到 ，继而得到 长
【详解】（1）证明：如图3.
∵四边形 是平行四边形，
∴ .
∴ ，
∵ 于点 ， 于点 ，
∴ ， .
∴ .
∴ .
答案第10页，共2页∴四边形 是矩形．
（2）如图4，作 ，交 的延长线于点 .
∵在 中， ， ， ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
同理可得四边形 是矩形.
∴ .
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，含 的直
角三角形的性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
21．(1) ， ， ，
(2) ，
(3)小马第二次追上小徐时与乙地的距离为
【分析】（1）由题意得，线段 是小徐的函数图象，折线段 是小马的函数图象，
根据速度 路程 时间，求出小徐的速度，即可求出线段 所对应的函数表达式；再求出
小徐骑行 的时间，进而求出小马的骑行速度，从而求出线段 所对应的函数表达式，
再求出对应的自变量的取值范围即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）设小马在小徐出发t小时后第二次追上小徐，根据两人相遇时，所走的路程相同列出
方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，线段 是小徐的函数图象，折线段 是小马的函数图
象，
答案第11页，共2页∴小徐的骑行速度为 ，
∴线段 所对应的函数表达式为 ，其中相应自变量 的取值范围是 ；
在 中，当 ， ，
∴在小徐出发 时，小马追上小徐，
∴小马的骑行速度为 ，
∴线段 所对应的函数表达式为 ，其中相应自变量 的取值范围
是 ；
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：由（1）得小马在 段的速度为 ， ，
故答案为： ， ；
（3）解：设小马在小徐出发t小时后第二次追上小徐，
由题意得， ，
解得 ，
∴小马在小徐出发 小时后第二次追上小徐，
∴小马第二次追上小徐时与乙地的距离为 ．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数
图象是解题的关键．
22．(1) ， ，
(2)<
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数定义求解；
（2）根所方差的定义求解比较．
【详解】（1）平均数 ，故 ，出现次数最多的有7
和9，故 ；
由图知，乙班中位数为9，故 ．
（2）
答案第12页，共2页∴ ．
【点睛】本题考查中位数、众数，平均数和方差，掌握相关定义是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)③，见解析
【分析】（1）先求出点A的坐标，再按照“横坐标乘以a，纵坐标除以a”的变化方法代入
得到点 坐标；
（2）先求出点B的坐标，又知点B变换后的对应点 的坐标为 ，依据变化法则，列
方程求解a；
（3）利用三角形的面积公式分别求得其面积，即可判定
【详解】（1）直线 与 轴交于点 ，
令 ，即 ，解得 ，
，
当 时，点 的坐标为 ，即 ；
故答案为
（2）直线 与 轴交于点 ，
令 时， ,
,
若点 的坐标为 ，即 ，
，解得 ，
经检验 是分式方程的解，则 的值为 ；
故答案为
答案第13页，共2页（3）③正确，理由如下：
证明：∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
∴ ， .
∵点 ， 变抰后的对应点分别为 ， ，
∴ ， .
∵ ， ，
∴ ，即③正确.
故答案为③
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，三角形的面积公式，理解题意，熟
练掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
24．(1)见解析，
(2) ，见解析
(3)能，
【分析】（1）先根据题意补全图形，再根据菱形的性质证明 可得
， ，再证明 为等边三角形可得 、 ，
进而证明 可得 ,最后根据等腰三角形三线合一的性质即可解答；
（2）方法同（1）证得 可得 、 进而得到 为
等边三角形，说明 ，再结合（1） ，运用直角三角形的性质和勾股
定理即可解答；
（3）先说明 为 的中位线，即 ；再根据平行四边形的性质可得
，然后根据等量代换和已知条件即可解答．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：.
答案第14页，共2页延长 与 交于点 ，连接 ， ， .
∵在菱形 中， ，
∴ ， ， .
∴ .
为 的中点，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ， .
∴ ，即 .
∵ ， ，
∴ 为等边三角形.
∴ ， .
∴ ， ， .
∴ .
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ ,即 ．
（2）解： ，证明如下：
延长 与 交于点 ，连接 ， ， .
∵在菱形 中， ，
∴ ， ， .
∴ .
答案第15页，共2页∵ 为 的中点，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ， .
∴ ，即 .
∵ ， ，
∴ 为等边三角形.
∴ ， .
∴ ， ， .
∴ .
∴ .
∴ ， .
∵ ， ，
∴
∴ 为等边三角形， ，
在 中， ， ，可得 ,
∴
∴ ．
（3）解：如图：四边形 能成为平行四边形，理由如下：
∵菱形 的对角线 ， 的交点为 ，
∴ .
∵ 的中点为 ，
∴ 为 的中位线.
∴ .
答案第16页，共2页∵四边形 为平行四边形，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判
定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
25．
【分析】画出图形，运用分割法求出与P， ， ， 四点为顶点的格点凸四边形的面积
为6时的点 即可．
【详解】解：如图， , ,
∴ ，
此时，格点 的坐标为
过格点 作 的平行线，过格点 ,则有： ,
∴ , ,
∴
又
答案第17页，共2页∴
∴
所以，以 ， ， ， 四点为顶点的格点凸四边形的面积为6的点 有四处，坐标为
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，找准、找全点P的坐标是解答本题的关键．
26．(1)① ， ；②
(2)
(3)48
【分析】（1）①如图， ， 中， ，
解得 ，得 ；如图，过点 作 轴，垂足为F，则 ，
, ，得 ；②如图，直线 交x轴于点
G，可证 ，得 ， ,知点 在直
线 上,设直线解析式为 ,求得 ，于是 ;
（2）由（1）知若 ,则 ,求得点 ，可求得直线 解析
答案第18页，共2页式 , 经过 ，得 ，直线 解析式为 ,经过
，得 ；于是 .
（3）如图，分别求得 时， 时，点 轨迹所在四边形的面积，相减即得所有“友
好点”组成图形的面积为 ．
【详解】（1）① ； ；
如图，
∴ , ,
∴
∴ 中， ，
，解得
∴ ；
如图，过点 作 轴，垂足为F，则 ， ,
答案第19页，共2页∴
∴
∴
∴
② .
如图，直线 交x轴于点G，
∵
∴
即
又
∴
∴
∵ ,
∴ ,
点 在直线 上,设直线解析式为 ,则
解得
∴ ;
答案第20页，共2页（2）如上图,由（1）知若 ,则 ,
中, , ，解得 ，即点 ，由
（1）知点P在线段 上时，直线 与x轴相交锐角为 ，可设直线 为
,代入 ,解得 ,故点 在直线 上，即 解析式
为 ；
如下图所示，同理可得,直线 解析式为 ,经过 ，则
，解得 ；
如下图所示时，直线 的解析式为 ，经过 ，则 解得
.
答案第21页，共2页∴ .
（3）如图，当 时，点 轨迹所在四边形 的面积为 ，当 时，
点 轨迹所在四边形的面积为 ，
故 时，正方形 的所有“友好点”组成图形的面积为 ．
【点睛】本题考查图形变换旋转，全等三角形，一次函数，等边三角形性质，正方形性质，
勾股定理，具备动态思维能力，理解动点形成的图形的形状是解题的关键．
答案第22页，共2页
