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2025-2026学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列体育运动的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，3），B（2，3），C（1，1），D（﹣1，1）．
下列说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称
B．点A与点B关于y轴对称
C．点A与点B关于直线OC对称
D．点A与点B关于直线OD对称
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a﹣4＝a﹣2 B．（a﹣3）2＝a9
C．（3a）2＝3a2 D．a9÷a3＝a3
4．（3分）芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为 0.000000000025米．某一层介质的厚度为a米．已
知该层介质的厚度是金属连线的宽度的20倍，则a的值用科学记数法表示应为（ ）
A．2.5×10﹣10 B．5.0×10﹣11 C．2.5×10﹣11 D．5.0×10﹣10
5．（3分）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．x+1
=
1 B．−xy
=
y C．y+1
=
y
+1
D．y3
=
y
x+2 2 −x2 x x x x3 x
6．（3分）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，若添加一个条件可使△ABC≌△A'B'C'，则添加
的这个条件不能是（ ）
A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A'
C．∠B＝∠B'＝90° D．∠C＝∠C′
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，AD是△ABC的角平分线，将△ACD沿AD所
在直线折叠，得到△AED，则∠BDE的大小为（ ）
.A．10° B．20° C．30° D．40°
8．（3分）过直线AB外一点C，用尺规作AB的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，
DE为半径的两弧的交点．若∠CDF＝130°，则∠ECF的大小为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
9．（3分）已知等腰三角形ABC的周长为30，则下列结论中错误的是（ ）
A．当∠A＝30°时，△ABC的形状、大小唯一确定
B．当∠A＝130°时，△ABC的形状、大小唯一确定
C．当AB＝4时，△ABC的形状、大小唯一确定
D．当AB边上的高为12时，△ABC的形状、大小唯一确定
10．（3分）如图1是一个3×3的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子；
②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色；
③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜．
如图2，甲先涂了 1号方格，乙随后涂了 2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】二、填空题（本大题共18分，每小题3分）
1
11．（3分）若分式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
2x+1
12．（3分）分解因式：12﹣3y2＝ ．
13．（3分）在△ABC中，设∠B，∠C的角平分线相交于点O．若点O也是△ABC的重心（三角形三条
中线的交点），则∠BOC＝ °．
3a b
14．（3分）化简： ⋅( ) 2= ．
2b 3a
15．（3分）如图，△ABC中，∠CAB＝60°，∠B＝15°，AC＝4，点D，E分别是线段CB，AB上的动点，
当AD+DE最小时，AE的长是 ．
16．（3分）某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同
一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才
能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间
如下：
修复师 清洁去污 结构修复与加固 画面修补与全色
甲 60天 30天 120天
乙 60天 20天 90天
丙 80天 20天 80天
在不考虑其他因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短 天可以修复一件文物；最短
天可以完成全部文物的修复工作．
三、解答题（本大题共52分，第17-19题，每小题4分，第20-23题，每小题4分，第24题6分，第25-
26题，每小题4分）
1
17．（4分）计算：(−1) 2+(π−2026) 0+( ) −1．
3
18．（4分）已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式（x+3）（x﹣1）+（x﹣3）2的值．
19．（4分）计算： 1 1 x2−2x ．
( + )÷
x+2 x−2 x2−4x+4
20．（5分）如图，P为∠AOB内部的一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N．写出命题“若
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∠AOP＝∠BOP，则PM＝PN”的逆命题，并证明该逆命题．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E；（保留作图
痕迹，不写作法，标明字母）
（2）用等式表示线段CE与BE的数量关系，并证明．
22．（5分）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增
柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成
立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答）
23．（5分）如图，AD与BC相交于点O，AB＝CD，∠OAB＝∠OCD，求证：AC∥BD．
24．（6分）若P和Q是关于x的两个分式，且P﹣Q＝k（k是一个整数），则称Q是P的“k相关分
9 3x
式”，例如：P= ，Q= ，则Q是P的“﹣3相关分式”．
x−3 x−3
A 2x
（1）若P= （A 是关于 x 的整式），Q= ，且 Q 是 P 的“2 相关分式”，则 A＝
4−x2 x−2
；
(x+a+1)(x+b) (x+c)(x+1)
（2）若P= ，Q= （a，b，c都是整数，且a＜b），且Q是P的“5相
x x
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25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和线段CD给出如下定义：若存在点P（不在直线
AB和直线CD上），使得∠PAB，∠PBA，∠PCD，∠PDC的大小均不超过 ，则称AB和CD具有性
质P ． θ
（1）θ 如图1，点A（﹣2，0），B（1，0），C （0，1），D （2，1），C （0，2），D （2，2），
1 1 2 2
1 1
C (0，− )， D (2，− )．在线段 C D ，C D ，C D 中，和 AB 具有性质 P °的是
3 2 3 2 1 1 2 2 3 3 45
；
（2）如图2，点A（2，0），B（4，0），点C，D在第一象限内以原点为端点的同一条射线上，且
∠AOC＝60°，点C，D的横坐标分别记为u，v，满足0＜u＜v．
1
①若AB和CD具有性质P °，则当u= 时，v的取值范围是 ；
60
2
②若AB和CD具有性质P °，且不具有性质P °，直接写出u，v还应满足的关系．
90 60
26．（7分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，过点A作
AE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）①依题意补全图形；
②求证：∠BAE+∠CAE＝180°；
（2）若AB+2AC＝AE，求∠ABC的大小．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D B D B D A D
b
11.x≠﹣0.5 12.3（2+y）（2﹣y） 13.120 14. 15.2 16.160；300
6a
选择题、填空题解法提示
10．解：如图：
∵甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，
∴甲第2次只能涂3号方格，
当乙第2次涂4号方格时，甲第3次只能涂5号方格，游戏结束；
当乙第2次涂5号方格时，甲第3次只能涂4号方格，游戏结束；
∴最多次数是甲涂了3次获胜；
故选：B．
15．解：将△ABC沿BC翻折得到△A′BC，则∠A′BC＝∠ABC＝15°，∠CA′B＝∠CAB＝60°，
连接A′C并延长交AB于F，连接A′D，
由轴对称的性质可知A′D＝AD，
∴AD+DE＝A′D+DE≥A′E，
∴当A、D、E共线时，且AE⊥AB时，AD+DE的值最小，
∵∠A′BF＝∠A′BC+∠ABC＝30°，∠CA′B＝60°，
∴∠A′FB＝90°，
∴AF⊥AB，
∴E与F重合时，AD+DE的值最小，此时AE＝AF，
在Rt△ACF中，∠CAB＝60°，
∴∠ACF＝30°，
1 1
∴AF= AC= ×4=2，
2 2
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故答案为：2．
解答题参考答案
17．解：原式＝1+1+3
＝2+3
＝5．
18．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
原式＝x2﹣x+3x﹣3+x2﹣6x+9
＝2x2﹣4x+6
＝2（x2﹣2x）+6
＝2×1+6
＝2+6
＝8．
19．解：原式 x−2 x+2 x(x−2)
=[ + )÷
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2) (x−2) 2
2x x
= ÷
(x+2)(x−2) x−2
2x x−2
= ⋅
(x+2)(x−2) x
2
= ．
x+2
20．解：命题“若∠AOP＝∠BOP，则PM＝PN”的逆命题是：P为∠AOB内部的一点，PM⊥OA，
PN⊥OB，垂足分别为M，N，“若PM＝PN，则∠AOP＝∠BOP”，
证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠ONP＝∠OMP＝90°，
在Rt△ONP和Rt△OMP中，
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，
OP=OP
∴Rt△ONP≌Rt△OMP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP．
21．解：（1）如图所示；
（2）CE＝2BE，理由如下：
连接AE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
1
∴∠B＝∠C= ×（180°﹣120°）＝30°，
2
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝90°，
∴CE＝2AE，
∴CE＝2BE．
22．解：设该村成立合作社前柿子的种植面积为 x 亩，则该村成立合作社后柿子的种植面积为
（x+300）亩，
90 135
根据题意得： = ，
x x+300
解得：x＝600，
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．
答：该村成立合作社前柿子的种植面积为600亩．
23．证明：在△OAB和△OCD中，
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)
∠OAB=∠OCD ，
AB=CD
∴△OAB≌△OCD（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OBD＝∠ODB，
∵∠AOB＝∠OAC+∠OCA＝∠OBD+∠ODB，
∴∠OAC＝∠ODB，
∴AC∥BD．
24．解：（1）∵Q是P的“2相关分式”，
∴P﹣Q＝2，
A 2x
即 − =2，
4−x2 x−2
整理得A＝﹣4x2﹣4x+8，
故答案为：﹣4x2﹣4x+8；
（2）∵Q是P的“5相关分式”，
∴P﹣Q＝5，
(x+a+1)(x+b) (x+c)(x+1)
即 − =5，
x x
整理得（a+b﹣c）x+（ab+b﹣c）＝5x，
∴a+b﹣c＝5，ab+b﹣c＝0，
∴c＝a+b﹣5，
代入ab+b﹣c＝0中，得ab+b﹣（a+b﹣5）＝0，
整理得a（b﹣1）＝﹣5，
∵a，b都是整数，且a＜b，
∴a，b﹣1都是整数，
∴当a＝1时，b﹣1＝﹣5，此时b＝﹣4，不满足a＜b，舍去，
当a＝5时，b﹣1＝﹣1，此时b＝0，不满足a＜b，舍去，
当a＝﹣1时，b﹣1＝5，此时b＝6，满足a＜b，
当a＝﹣5时，b﹣1＝1，此时b＝2，满足a＜b，
综上，b的可能取值为6或2．
25．解：（1）∵存在点P，使得∠PAB，∠PBA的大小均不超过45°，
∴点P在以AB为对角线的正方形的边上或内部．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵∠PCD，∠PDC的大小均不超过45°，
∴点P在以CD为对角线的正方形的边上及内部，
∴两个正方形有公共点，即满足AB和CD具有性质P °．
45
如图，
∴线段C D 、C D 和AB具有性质P °；
1 1 3 3 45
故答案为：C D 、C D ；
1 1 3 3
（2）①∵ ＝60°，
∴点P在以θAB和CD分别为边的上下两个等边三角形的边上及内部，
如图，
∵AB和CD具有性质P °，
60
∴点P为以AB为边的等边三角形和以CD为边的等边三角形的交点．
∵0＜u＜v，
∴点D在点C的右上方，点C是定点，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】当点D运动时，以CD为边的两个等边三角形随着CD的增大而变大．
当等边三角形CDF的顶点F落在AE上时，是v的最小值．
作D H⊥x轴于点H，交CF于点G，过点C作CK⊥x轴于点K．
1
∵CF＝OA＝2，
∴CG＝1，KH＝1，
3
∴OH= ，
2
3
∴v≥ ；
2
3
故答案为：v≥ ；
2
②过点A、B分别作x轴的垂线，则两条垂线及垂线之间的部分满足∠PAB≥90°，∠PBA≥90°，
过点C、D分别作直线OC的垂线，则两条垂线及垂线之间的部分满足∠PCD≥90°，∠PDC≥90°，
∴两个区域的公共部分即为性质P 对应的点P的轨迹．
90
∵AB和CD不具有性质P ，
60
∴△CDF与△ABE无公共点；
当点F与点E重合时，OC＝2，u＝1．
∵AB和CD具有性质P ，且不具有性质P ，
90 60
∴当0＜u≤1时，u＜v＜u+1；
当u＞1时，v＞u，整理为u＞1或v﹣u＜1．
26．（1）①解：如图，即为补全的图形；
②证明：∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+90°，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣∠BAD．
∴∠BAE+∠CAE＝180°．
（2）解：如图，延长AC至点F，使得CF＝AC，延长C至点G，使得AG＝AB，连接EF，EG．
∵∠ACB＝90°：
∴CE垂直平分AF，
∴EF＝AE．
∴∠CAE＝∠F．
∵∠BAE+∠CAE＝180°，∠GAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAE＝∠GAE．
在△ABE和△AGE中，
{
AB=AG
)
∠BAE=∠GAE ，
AE=AE
∴△ABE≌△AGE（SAS）．
∴∠G＝∠ABE．
∵AB+2AC＝AE，GF＝AG+AC+CF＝AB+2AC，
∴EF＝AE＝GF．
∴∠GEF＝∠G＝∠ABE．
在△EGF中，∠G+∠F+∠GEF＝180°．
∴∠F＝180°﹣2∠ABE．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵∠CAE＝∠F
∴∠BAE＝180°﹣∠CAE＝2∠ABE．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝4∠ABE﹣180°．．
在Rt△ABC中，∠ABC+∠BAC＝90°．
∴∠ABC+4∠ABC﹣180°＝90°．
∴∠ABC＝54°．
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