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2023~2024 学年北京市海淀区八年级上学期期末考试
数 学
2024.01
学校_____________ 班级______________ 姓名______________
1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题。满分100分。考试时间90分钟。
考
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名。
生
3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答。
须
知
4．考试结束，请将本试卷交回。
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观.下列
榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是
A．
B． C． D．
2.杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度
很小，1 cm3甲醇的质量约为0.000 79 kg，将0.000 79用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
3.下列运算正确的是
A. B. C. D.
4.如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A=∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是
A. AC∥DF B. AB=DE
C. EC=BF D. AC=DF
5.若正多边形的一个外角是72°，则该正多边形的边数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.如图是折叠凳及其侧面示意图. 若AC=BC=18 cm，则折叠凳的宽 可能为
A．70 cm B．55 cm
C．40 cm D．25 cm
7.下列各式从左到右变形正确的是
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内一点，点D,E,F分别是点P关于
直线AC,AB,BC的对称点，给出下面三个结论：
① AE=AD；
学科网（北京）股份有限公司② ∠DPE=90°；
③ ∠ADC+∠BFC+∠BEA=270°.
上述结论中，所有正确结论的序号是
A.①② B.①③ C.②③ D. ①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.若代数式 有意义，则实数 的取值范围是___________.
10.分解因式： .
11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，-1）关于 轴的对称点 的坐标 为
____________.
12.计算： _____________.
13.已知等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角度数为_____________°．
14.如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线. 若AB=8，AC=13，则
△ABD的周长为____________.
15.把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示.若
∠BAC=35°，则∠CBD=_____________°.
16.请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐 数
我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”.
a. 分子和分母均为正整数；
b. 分子小于分母；
c. 分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等.
例如： 去掉相同的数字6之后，得到的分数 恰好与原来的分数相等，则 是一个“乐数”.
（1）判断： ___________（填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”_____________.
三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26
题每题7分）
17.计算： ．
18.（1）已知 ，求代数式
x(x−2)+(x+3) 2
的值．
（2）计算： .
学科网（北京）股份有限公司19.小明用自制工具测量花瓶内底的宽.他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO=CO,BO=DO），如
图所示放入花瓶内底. 此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论.
20.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.在线段AC上求作一点D，使得CD= AD.
小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D，点D即为所求.
（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
ABC＝_________°.
∴∠
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°.
∴∠ABD＝∠A.
AD=_________.
∴
在Rt△BCD中，∠CBD =30°，
CD= BD (____________________________________________)(填推理依据).
∴
CD= AD.
∴
21. 如图所示的4×4网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形. 如图
1，△ABC为格点三角形.
（1）∠ABC=__________°;
（2）在图2和图3中分别画出一个以点 , 为顶点，与△ABC全等，且位置互不相同的格点三角形.
22．列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园区使用1辆无人配送
车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍.要配送6 000件包裹，使用1辆无
人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
23.如图，四边形ABCD中，AB=AC，∠D=90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF.
学科网（北京）股份有限公司（1）求证：AF=AD；
（2）若BF=7, DE=3，求CE的长.
24.小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为
. 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水.
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次
性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.
三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案 第一次过滤 第一次过滤后 第二次过滤 第二次过滤后
编号 用净水材料的单位量 水中杂质含量 用净水材料的单位量 水中杂质含量
A 6a
B 5a a
C 4a 2a
① 请将表格中方案C的数据填写完整；
② 通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水
材料用量定为________________（用含a的式子表示）.
25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=BC，作直线AP，使得45°＜∠PAC＜90°.过点B作BD⊥AP于
D，在DA的延长线上取点E，使DE=BD. 连接BE，CE.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ABD=α，求∠CBE（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明.
学科网（北京）股份有限公司26.在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°. 对于点P和x
轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ
为等边三角形，则称点P为M，N的n°点.
（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ.
①∠POQ=________________°；
②求点P的纵坐标；
（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）.
①当t=2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为-2，则m=____________________；
②当m=-2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t=___________________.
学科网（北京）股份有限公司参考答案
一、选择题 （共24分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A A B D C A
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. ； 10. ； 11. ；
12. ； 13. 或 ； 14. 21；
15. ； 16.（1）不是；（2） （答案不唯一）.
三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26
题每题7分）
17．（本题满分5分）
解：原式= ………………………………………………………………4分
=12 . …………………………………………………………………………5分
18．（1）（本题满分5分）
解：原式= ………………………………………………………2分
= . ………………………………………………………………3分
∵ ，
∴ . ………………………………………………………………4分
∴ .
∴原式= . ………………………………………………………………5分
（2）（本题满分5分）
解：原式= ……………………………………3分
= …………………………………………………4分
= . ………………………………………………………………5分
19．（本题满分5分）
解：C, D ; …………………………………………………………………………1分
理由如下：
连接 . D C
在△ 和△ 中，
O
A B
学科网（北京）股份有限公司∴△ ≌△ （SAS）. …………………………………………………4分
∴ .
∴点 与点 的距离为该花瓶内底的宽. …………………………………5分
20．（本题满分5分）
解：（1）
B
C D A
…………………………………………………2分
∴点 即为所求.
（2） ； ……………………………………………………………………………3分
； …………………………………………………………………………4分
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
…………………………………………………………………5分
21．（本题满分5分）
解：（1）90； …………………………………………………………………………2分
（2）答案不唯一.
…………………………………………5分
22．（本题满分5分）
解：设1名快递员平均每天配送包裹 件. ……………………………………………1分
依题意，得 . ………………………………………………………3分
解得 . …………………………………………………………4分
经检验， 是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹 件．…………………………………………5分
23．（本题满分5分）
（1）证明：∵∠D=90°,
∴AD⊥ED.
A
D
∵BE⊥AC于点F, EA平分∠DEF，
∴AF=AD. …………………2分 E
F
（2）解：∵BE⊥AC于点F,
B C
学科网（北京）股份有限公司∴∠AFB=90°.
在Rt△AFB和Rt△ADC中，
∴△AFB≌△ADC（HL）. ………………………………………………3分
∴BF=CD.
∵BF=7，
∴CD =7. ………………………………………………………………4分
∵DE=3,
∴CE=CD DE=7 3=4. …………………………………………………5分
24.（本题满分6分）
（1） ; …………………………………………………………………………………1分
（2）① ， ; ……………………………………………………3分
② 解： = .
∵ ，
∴ ， .
∴ .
∴ .
同理，可得 .
∴ .
∴方案C的最终过滤效果最好. ………………………………………………5分
（3）3a. …………………………………………………………………………………6分
25.（本题满分7分）
（1）依题意补全图形
学科网（北京）股份有限公司D
A
E
P
B
C
…………………………………………………………1分
（2）解：∵BD⊥AP于D，
∴∠BDE＝90°.
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝45°.
∵∠ABD＝ ，
∴∠ABE＝∠DBE ∠ABD＝45° .
∵∠ABC＝90°,
∴∠CBE＝∠ABC ∠ABE＝45°+ .…………………………………………………3分
（3）AE+CE=2DE. ……………………………………………………………………4分
证明：如图，在AD延长线上取点F，使DF=AD，连接BF.
∵BD⊥AP，AD=DF，
∴BA=BF.
F
D
∴∠FBD＝∠ABD＝ .
A
∵∠DBE＝45°,
E
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝45°+ .
P
∴∠EBF＝∠CBE.
B
∵AB=BC,
∴BF=BC.
∵BE=BE,
∴△BEF≌△BEC（SAS）. C
∴FE =CE.
∵AE＝DE AD, CE＝FE＝DE+DF, AD＝DF,
∴AE+CE＝2DE. ………………………………………………………………………7分
26.（本题满分7分）
（1）①∠POQ=30°; ………………………………………………………………………1分
②解：过点P作PA⊥y轴于A，过点Q作QB⊥x轴于B，
∴∠PAO=∠QBO=90°.
∵点P为线段MN的45°点,
∴PO=QO，∠AOC=∠BOC=45°，∠POC=∠QOC.
∴∠AOP=∠BOQ.
在△OPA和△OQB中， .
A C
B
∴△OPA≌△OQB（AAS）.
∴AO=BO.
∵△MNQ是等边三角形，点M（2,0）,点N（4,0）,
∴OM=MN=2.
学科网（北京）股份有限公司∵QB⊥MN，
∴ .
∴AO=BO=3.
∴P点纵坐标为3. ………………………………………………………………………4分
（2）① m=6； ………………………………………………………………………5分
② t=3或t=-6. ………………………………………………………………………7分
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