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2022-2023 学年北京市海淀区育英中学八年级（下）期末数学试卷
（五四学制）
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所
以不是轴对称图形，不符合题意；
B、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称
图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称
图形，不符合题意；
D、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现 14纳米量产，14纳米等于
0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.000014用科学记数法表示应为 ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．
3. 若分式 的值为0，则x的值为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
解得： ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零
且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5cm、7cm，则该三角形的周长是（ ）
A. B. C. 17cm或19cm D.
【答案】C
【解析】
【分析】分腰是5cm和7cm两种情况，先根据三角形的三边关系确定是否构成三角形，再求出其周长即可
得答案．
【详解】①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形，
∴其周长=5+5+7=17cm．
②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
∴其周长=5+7+7=19cm．
故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a5 B. （a3）2＝a5
C. （2ab2）3＝6a3b6 D. 3a2÷4a2＝ a
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方法则进行计算即可得出正确答案．
【详解】解：A、a2•a3=a5，故该选项正确，符合题意；
B、（a3）2=a6，故该选项错误，不符合题意；
C、（2ab2）3=8a3b6，故该选项错误，不符合题意；
D、3a2÷4a2= ，故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关
键．
6. 下列变形中是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式，直接判断即可得到答案．
【详解】解：由因式分解的定义可得，
A选项等式右边不是积的形式不是因式分解，不符合题意；
B选项是因式分解，符合题意；
C选项等式右边不是积的形式不是因式分解，不符合题意；
D选项等式右边不是积的形式不是因式分解，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解．
7. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明ΔABC≌ΔEDC，得到DE的长就等于AB
的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A. HL B. SAS C. SSS D. ASA
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，根据已知选择判断
方法．
【详解】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC=90 ，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选D
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL，
做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，
若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8. 已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形
【答案】B
【解析】
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解
方程就可以求出多边形的边数．
【详解】根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180=1080，
解得n=8，
∴这个多边形的边数是8，
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据
多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
9. 如图，在 ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点
△M、N；再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点
D，则下列说法中不正确的是（）
A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C. D. CD= BD
【答案】C
【解析】
【分析】A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；
B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可
判定；
C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.
【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S ＝2S ，所以C选项的结论错误．
ABD CBD
△ △
故选C．【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形
内角和进行计算.
10. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当
△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A. 140° B. 100° C. 50° D. 40°
【答案】B
【解析】
的
【分析】根据轴对称 性质证得△OCD是等腰三角形，求得得∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证明
△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，∠OPM=∠ODM=50°，再
由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
【详解】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连
接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值．
∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，
∴∠COD=2∠AOB=80°，
在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°，
∴∠OCD=∠ODC=50°；
在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，
∴△CON≌△PON，
∴∠OCN=∠NPO=50°，
同理∠OPM=∠ODM=50°，∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质
等知识点．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11. 若分式 有意义，则 的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
12. 因式分解： ______．
【答案】y（x+2）（x-2）
【解析】
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可
【详解】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．
为
故答案 ：y（x﹣2）（x+2）．
【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
13. 计算： ______．
【答案】 ##2+3a
【解析】
【分析】利用多项式的每一项除以单项式，即可得到答案．【详解】解： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
14. 已知 是完全平方式，则 的值为____________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据完全平方式的结构是：a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2两种，据此即可求解．
【详解】解：a＝（ ）2＝9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完
全平方式，掌握完全平方公式是解答本题的关键.
15. 展开后不含x的一次项，则m的值为________．
【答案】12
【解析】
【分析】把原式按照多项式乘法展开，合并同类项后令x的系数为0即可得到m的值.
【详解】解：原式
，
由已知可得 ，
∴ ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查多项式的应用，熟练掌握多项式乘法的方法和多项式系数的意义是解题关键．
16. 计算 的结果是_____．
【答案】
【解析】【详解】【分析】根据分式的加减法法则进行计算即可得答案．
【详解】原式=
=
= ，
故答案为 .
【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键，本题属于基础
题.
17. 如图， 的垂直平分线 交 于点D．则 的大小为 ___．
【答案】 ##30度
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出 及 的度数，再根据线段垂直
平分线的性质求出 的度数即可进行解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
18. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为 ， ，连接 ．点P在第二象限，
以点P，A，B为顶点的等腰直角三角形有___________个，任意写出其中一个点P坐标为___________．
【答案】 ①. 3 ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】分当 时，当 时，当 时，三种情况利用一线三垂直模型构
建全等三角形求解即可．
【详解】解：分三种情况讨论：
①如图1所示，当 时，过P作 轴，过P作 轴，则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
设 ，
又∵A，B两点的坐标分别为 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ；
②如图2所示，当 时，过点P作 轴于点D，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③如图3所示，当 时，过P作 轴于D，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴P的坐标为 ；
综上所述，点P坐标为 或 或 ．
故答案为：3， 或 或 （任意写一个即可）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论
的思想求解是解题的关键．
三、解答题（本题共46分，第19题4分，20-26题各5分，27题7分）19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】由乘方、负整数指数幂，零指数幂的运算法则进行化简，然后计算加减即可．
【详解】解：原式 ；
【点睛】本题考查了乘方、负整数指数幂，零指数幂的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行化简．
20. 已知：如图，点 ， ， 在同一直线上， ， ， ．求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质，得到内错角相等，即 ，再用 证明 ≌ ，再根
据全等三角形的对应边相等即可证明结论．
【详解】证明： ，
，
在 和 中，
，≌ ，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
21. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ； ．
【解析】
【分析】先利用乘法公式和多项式乘法法则展开，再合并得到 ，然后对已知条件变形，利用整
体代入的方法计算．
【详解】解： ，
= ，
= ，
= ，
因为 ，
所以 ，
所以原式= ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式
的值．
22. 化简求值： ，其中a＝2．
【答案】
【解析】【分析】先把除法转化为乘法,再把分子、分母因式分解,约分后化简得到原式= ,然后把a的值代入
计算即可.
【详解】解：原式= .
当 时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值,注意灵活运用因式分解先化简在求值.
23. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时乘以分母的最简公分母 ，将分式方程整理成一元一次方程，求解即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以 可得： ，
整理得： ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的求解方法是解题的关键，最后要记得验根．
24. 关于 的分式方程 的解是负数，求满足条件的整数 的最大值．
【答案】-4
【解析】
【分析】先解分式方程，求出x=2+m，根据方程的解是负数，且 ，列得2+m<0且 ，
求解即可．
【详解】解：
3x-m=2（x+1）3x-m=2x+2
x=2+m，
∵方程的解是负数，且 ，
∴2+m<0且 ，
解得m<-2且m -3．
的
∴满足条件 整数 的最大值-4．
【点睛】此题考查已知分式方程的解求未知数的取值范围，正确解分式方程且掌握分母不等于零是解题的
关键．
25. 创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实
际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．
【答案】200
【解析】
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树 棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结
合实际比原计划提前4天完成任务列出方程即可求解．
【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树 棵，
根据题意可得： ，
解得 ，
经检验得 是分式方程的解，
答：原计划每天植树200棵．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26. 如图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状
拼成一个正方形．（1）观察如图②，请你写出下列三个代数式 ， ，ab之间的等量关系为______；
（2）运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x、y为实数，且 ， ，试求 值；
（3）如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积
和 ，求图中阴影部分面积 ．
【答案】（1）
（2） 或
（3）图中阴影部分的面积
【解析】
的
【分析】（1）通过观察图形面积可得出（a+b）2，（a-b）2，ab之间 等量关系．
（2）运用（1）的结果导出（x+y）2的值，再求x+y．
（3）设 ， ，则 而 ， ，把问题转到完全平方公式
中来，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，大的正方形的面积为：
小的正方形的面积为： 4个长方形的面积为
；【小问2详解】
解：由（1）题所得 ，
∴ ，
∴当 ， 时， ，
∴ 或 ；
【小问3详解】
设 ， ，则
而 ， ，
又由 ，
得 ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积 ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系是
解决问题的前提．
27. 如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，
若EC=ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，
反称点D在直线OC上．
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐
标：___.
②若AE=2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直
线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围:P_____(用含n的代数式表示）．
【答案】（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．
【解析】
【分析】（1）①过点E作EF⊥OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF=FC= ，OF= ，即可求
OD=1，即可求点D坐标；
②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；
（2）分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求CF=DF
的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．
【详解】（1）①如图，过点E作EF⊥OC，垂足为F，
∵EC=ED，EF⊥OC
∴DF=FC，
∵点C的坐标为（2，0），
∴AO=CO=2，
∵点E是AO的中点，
∴OE=1，
∵∠AOC=60°，EF⊥OC，
∴∠OEF=30°，∴OE=2OF=1
∴OF= ，
∵OC=2，
∴CF= =DF，
∴DO=1
∴点D坐标（-1，0）
故答案为（-1，0）
②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），
∴OC=2．
∴AO=OC=2．
∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE=2，
∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，
如图，若点E与坐标原点O重合，
∵EC=ED，EC=2，
∴ED=2．
∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，
∴D点坐标为（-2，0）
如图，若点E在边OA的延长线上，且AE=2，∵AC=AE=2，
∴∠E=∠ACE．
∵△AOC为等边三角形，
∴∠OAC=∠ACO=60°．
∴∠E=∠ACE=30°．
∴∠OCE=90°．
∵EC=ED，
∴点D与点C重合．
这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，
综上所述：D（-2，0）
（2）∵B（n，0），C（n+1，0），
∴BC=1，
∴AB=AC=1
∵2≤AE＜3，
∴点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，
如图点E在AB的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD
∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH= ，
∵AH⊥BC，EF⊥BD
∴AH∥EF
∴ ,
若AE=2，AB=1
∴BE=1，
∴ =1
∴BH=BF=
∴CF= =DF
∴D的横坐标为：n- - =n-2，
若AE=3，AB=1
∴BE=2，
∴ =
∴BF=2BH=1
∴CF=DF=2
∴D的横坐标为：n-1-2=n-3，
∴点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2，
如图点E在BA的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD，同理可求：点D的横坐标t的取值范围：n+2≤t＜n+3，
综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．
故答案为n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．
【点睛】此题考查三角形综合题，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，解题关键在于理解题意作辅
助线，是中考压轴题．
