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2025-2026学年内蒙古赤峰市松山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，
请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.）
1．（3分）在美术字中，有些汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列算式中，计算正确的是（ ）
A．3x3+2x3＝5x6 B．x3•x3＝x9
C．（2x2）3＝6x6 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
3．（3分）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如
图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长
度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
4．（3分）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，
将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅
有0.00000000034m，请将0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×109 B．0.34×10﹣9 C．3.4×1010 D．3.4×10﹣10
5．（3分）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（ ）
A． B．
.C． D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以 O为圆心，适当长为半径画弧，交 x轴负半轴于点M，交y
1
轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．
2
若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（ ）
A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0
ab
7．（3分）把分式 中的a，b都扩大3倍，那么分式的值（ ）
a+b
A．不变 B．扩大为原来的3倍
1
C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的
3
8．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，
PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC ＝S△MAP +S△NCP ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）
9．（3分）赤峰城区中学附近新建若干过街天桥，天桥的桥梁拉杆，都是三角形结构，这是利用三角形
的 性．
10．（3分）因式分解﹣2x3+8x＝ ．
a 2 1
11 ． （ 3 分 ） 已 知 关 于 x 的 分 式 方 程 + = 的 解 为 正 数 ， 关 于 y 的 不 等 式 组
x−3 3−x 2
{y−1
−2＜
7−2y
) 恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的积是 ．
2 2
2y−1≥a−2y
12．（3分）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，
制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为 4a2b，底面长方形的一边长为 b（b＜
4a），则这个长方形纸板的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分64分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤）
a a 4a
13．（10分）（1）化简： ÷( + )，在﹣2≤a≤2的整数范围内选择你最喜欢的a的值
a−2 a−2 4−a2
代入式子中，求出代数式的值；
1 3−x
（2）解分式方程： +2= ．
x−2 2−x
14．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A B C ，（画三角形时，三条边要用中性笔描黑）并写出点
1 1 1
A 、B 、C 的坐标；
1 1 1
（2）点A关于x轴的对称点为点D，E为x轴上一点，且S△ADE ＝6，求点E的坐标．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】15．（10分）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△BCD的周长为19，求BC的长．
16．（10分）随着人口的增加和城市化进程的加快，为了预防污水排放量不断增加而导致水体污染，高
新区进行了污水治理，现需铺设一段全场为4600米的污水排放管道，铺了1600米后，为了尽量减少
施工对城市交通所造成的影响，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了 25%，共用50
天完成了全部任务．
（1）求原来每天铺设多少米管道？
（2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工
资224000元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？
17．（12分）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延
长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，求：线段DE的长（用含a的代数式表示）．
18．（12分）某数学活动小组在做三角板游戏时，发现把两个大小不同的含有45°角的三角板△ABC和
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】△DCE如图摆放时（∠BCA＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CE＝CD）有以下规律：如果作CF⊥BD，垂足
为F．那么就会有如下结论：（1）△AEC≌△BDC；（2）BE＝2DF+AE．你同意这个小组的结论吗？
请说明理由．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D D C B D
9.稳定 10.﹣2x（x﹣2）（x+2） 11.3 12.12a2+6ab
选择题、填空题解法提示
8．解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
{PM=PD)
，
PA=PA
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
1
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
2
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD ＝S△APM ，S△CPD ＝S△CPN ，
∴S△APM +S△CPN ＝S△APC ，故④正确，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】故选：D．
12．解：设长方体底面的另一边长为x，
则根据长方体的体积公式可得，4a2b＝abx，
解得x＝4a，
所以长方形纸板的长为4a+a+a＝6a，
长方形纸板的面积是＝6a×（2a+b）＝12a2+6ab，
故答案为：12a2+6ab．
解答题参考答案
a a 4a
13．解：（1）原式= ÷( − )
a−2 a−2 a2−4
a a(a+2) 4a
= ÷[ − ]
a−2 a2−4 a2−4
a a(a+2) 4a
= ÷[ − ]
a−2 (a+2)(a−2) (a+2)(a−2)
a a(a−2)
= ÷
a−2 (a+2)(a−2)
a (a+2) (a−2)
= ×
a−2 a (a−2)
a+2
= ，
a−2
根据分式有意义的条件可知a≠±2且a≠0，
1+2 3
当a＝1时，原式= = =−3；
1−2 −1
1 3−x
（2）原方程可化为 +2=− ，
x−2 x−2
两边同时乘以（x﹣2）得：1+2（x﹣2）＝﹣（3﹣x），
去括号得：1+2x﹣4＝﹣3+x，
整理得：x＝0，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】检验：当x＝0时，x﹣2≠0，
∴原方程的解为x＝0．
14．解：（1）△ABC关于y轴对称的△A B C ，如图即为所求；
1 1 1
由图可知，A （﹣1，1），B （﹣4，2），C （﹣3，4）；
1 1 1
（2）∵点A（1，1），点A关于x轴的对称点为点D，
∴D（1，﹣1），
∴AD＝2，
∵E为x轴上一点，
∴设E（x，0），
1
∴S = ×2×|x−1|=6，
△ADE 2
∴|x﹣1|＝6，
解得：x＝﹣5或x＝7，
∴E（﹣5，0）或E（7，0）．
15．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵MN垂直平分AB，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴AB＝2AE，AD＝BD．
∵AE＝6，
∴AC＝AB＝2AE＝12，
∵BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝19，
∴BC＝19﹣12＝7．
16．解：（1）设原来每天铺设x米管道，由题意得，
1600 3000
+ =50，
x (1+25%)x
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天铺设80米管道；
（2）设安排工人加班前每天应支付工人y元，由题意得，
1600
y+30(1+20%)y=224000，
80
解得y＝4000，
答：安排工人加班前每天应支付工人4000元．
17．解：如图，过P点作PN∥BC交AC于点N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵PN∥BC，
∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠ACB，
∴∠APN＝∠PAN＝∠A＝60°，
∴△PNA是等边三角形，
∴AP＝PN，
∵AP＝CQ，
∴PN＝CQ，
∵PN∥CQ，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠Q＝∠NPD，
∴△PND≌△QCD（AAS），
∴ND＝CD，
∵PE⊥AN，
∴AE＝EN，
1
∴AE+CD=EN+ND= CA，
2
1
即DE= CA，
2
∵AC＝a，
1
∴DE= a．
2
18．解：（1）∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠DCB＝90°．
∴∠ACE＝∠DCB．
在△AEC和△BDC中，
{
AC=BC
)
∠ACE=∠BCD ，
EC=DC
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）同意，理由如图：
如图，延长DF至点G，使FG＝DF，连接CG．
由条件可知CD＝CG，
∴∠CDF＝∠G．
∵△AEC≌△BDC（SAS），
∴EC＝DC，∠A＝∠DBC，∠AEC＝∠BDC，AE＝BD，∠ACE＝∠BCD，
∴CG＝EC，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝45°+∠ACE，∠CDF＝∠CBD+∠BCD＝45°+∠BCD，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠BEC＝∠CDF，
∴∠G＝∠BEC．
∴∠A＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠DBC，
在△CBG和△CBE中，
{∠GBC=∠EBC
)
∠G=∠BEC ，
CG=CE
∴△CGB≌△CEB（AAS）．
∴BG＝BE．
∵BG＝BD+DF+FG＝BD+2DF，
∴BE＝2DF+AE．
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