文档文本内容
2025-2026学年山西省朔州市部分学校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x•xy2＝2xy2 B．（﹣3x）2＝﹣9x2
C．6x3÷2x＝3x2 D．（xy2）2＝x3y4
3．（3分）如图，将△ABC纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，BC分别交于点E，D，连接
DE，AD，CE．下列线段中，是△BCE的高的是（ ）
A．线段AC B．线段AD C．线段ED D．线段CD
4．（3分）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（ ）
甲：4x3（x2+y）＝4x5+4x3y．
乙：4x2﹣8x+4＝4x（x﹣2）+4．
A．甲是整式的乘法，乙是因式分解
B．甲是因式分解，乙是整式的乘法
C．甲、乙均为因式分解
D．甲、乙均不是因式分解
5．（3分）几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组
成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，则证明
△ADE≌△ABC运用的三角形全等的判定方法是（ ）
.A．HL B．SAS C．AAS D．ASA
6．（3分）北京时间2025年10月7日17时45分，瑞典皇家科学院宣布，将2025年诺贝尔物理学奖授
予约翰•克拉克（JohnClarke）、米歇尔•H•德沃雷特（MichelH．Devoret）、约翰•M•马蒂尼斯
（JohnM．Martinis），以表彰他们“发现电路中宏观量子力学隧穿效应和能量量子化”．已知半导体
中的电子在10nm以下会出现量子隧穿效应，纳米是一种长度单位，1nm＝10﹣9m，用科学记数法表示
10nm为（ ）
A．1×10﹣8m B．10×10﹣9m
C．0.1×10﹣10m D．1×10﹣10m
7．（3分）如图1，这是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似地看成如图2所示的图形．若△ABC
是等腰三角形，∠BAC＝116°，则∠DBC的度数为（ ）
A．32° B．116° C．138° D．148°
8．（3分）如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方
形，先取1张甲纸片，再取16张乙纸片，则需取丙纸片的张数为（ ）
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x m
9．（3分）若关于x的分式方程 +2= 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
x−1 1−x
A．m＞2 B．m≤2且m≠﹣1 C．m＜2且m≠﹣1 D．m≥2且m≠﹣1
10．（3分）如图，已知△ABC，P为△ABC外一点（点P不在直线AB，BC，AC上），且在BC的上方，
连接PB，PC．若∠PBA＝ ，∠PCA＝ ，∠BAC＝ ，则∠BPC的度数不可能是（ ）
α β γ
A． + ﹣ B． + ﹣ C． ﹣ ﹣ D． ﹣ ﹣
二、填空β 题γ （α本大题共5个小α题γ，每β小题3分，共15γ分α） β β α γ
11．（3分）分解因式：2a2﹣6a＝ ．
12．（3分）写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ．
13．（3分）如图，∠MAN＝30°，C，D是射线AM上的点，B，E是射线AN上的点，且AC＝BC＝CD，
DE∥BC．若BD＝2，则DE的长为 ．
14．（3分）甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的
增收机会．如图，长方形ABCD为某村的一块甜菜种植基地，其中AB＝（a+4b）m，AD＝（3a﹣2b）
m．若该甜菜种植基地扩大为长方形AEFG，其中点B在AE上，点D在AG上，BE＝bm，DG＝am，
则长方形AEFG的面积比长方形ABCD的面积增加了 m2．
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15．（3分）如图，AP为△ABC的角平分线，∠C＝90°， = ，BC＝6，D为AB上一动点，连接
AB 13
PD，则PD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1 0 1
16．（9分）（1）计算：(−2) −2−( ) +|− |．
2 2
（2）分解因式：x2（2x﹣1）﹣4（2x﹣1）．
17．（9分）如图，点C在线段AD上，AC平分∠BAE，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE．
（2）若∠BAE＝120°，AB＝5，CE＝2，求CD的长．
18．（9分）已知a+b＝5，ab＝3，求下列各式的值．
（1）2a+b÷2．
（2）a2+b2．
2 2
（3） + ．
a b
19．（9分）高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站
原来只有动车，动车路程为810km．高铁开通后，路程缩短了90km，且高铁的平均速度是动车的平均
4
速度的 ，时间缩短了1.5h．求高铁的平均速度．
3
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】20．（9分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（3，
2），C（1，1）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ．（点A，B，C的对应点分别为点A ，B ，
1 1 1 1 1
C ）
1
（2）若点A关于一条平行于y轴的直线的对称点A′在y轴上，在图中画出点B关于这条直线的对称
点B′，连接B′C，交y轴于点D，并求OD的长．
（3）在（1）的条件下，请直接写出△A B C 重心的坐标．
1 1 1
21．（9分）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
大数值式子大小的比较问题
有些大数值式子大小的比较问题可以通过用字母代替数转化成整式或分式的简化运
算，再用作差法比较大小．
例1：若x＝6788×6787，y＝6789×6786，试比较x，y的大小．
解：设6788＝a，则x＝a（a﹣1）＝a2﹣a，y＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2．
∵x﹣y＝（a2﹣a）﹣（a2﹣a﹣2）＝2＞0，
∴x＞y．
2026 2025
例2：若x= ，y= ，试比较x，y的大小．
6789 6785
2026 2025
解：设6789＝a，则x= ，y= ．
a a−4
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∵x−y= − =⋯．
a a−4
任务：
（1）请将例2的解题过程补充完整．
2025 2026
（2）若x=− ，y=− ，请用小宣同学数学笔记中的方法，比较x，y的大小．
2026×2027 2027×2028
22．（9分）综合与实践
问题背景：若两个分式P与Q，满足P﹣Q＝k，k为整数且k≠0，则称Q为P的“差整分式”，k称为
2x+2 x
“差整值”．例如：分式P= ，Q= ，P﹣Q＝1，则Q为P的“差整分式”，“差整值”k
x+2 x+2
＝1．
探究1：
x+2 x−4 1−4x
（1）已知三个分式A= ，B= ，C= ，则下列结论中，正确的是 （填序
x−1 x−1 x−1
号）．
①A是B的“差整分式”；②A是C的“差整分式”；③B是C的“差整分式”．
探究2：
x−2 S
（2）已知分式M= ，N= （S是关于x的整式），若M为N的“差整分式”，且“差
2x−3 4x2−9
整值”k＝4，求整式S．
探究3：
ax−2 4x+b
（3）已知分式M= ，N= （a，b为整数），若M为N的“差整分式”，请直接写
x−1 x2−2x+1
出“差整值”k的值．
23．（12分）综合与探究
【模型感知】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中BC与DE是斜边，连接BD，CE，求证：
BD＝CE．
【模型构建】
（2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，其中BC是斜边，点D在AB的垂直平分线上，连接BD，
AD，且∠ADB＝135°．△ADE是斜边为DE的等腰直角三角形．
①请在图2中作斜边为DE的等腰直角三角形ADE．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
作出一种情况即可）
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】②设直线DE与直线AC交于点P，请直接写出∠CPE的度数．
【模型拓展】
（3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中BC与AE是斜边，延长BD至点F，使得
DF＝BD，连接CF，CE，EF，若CE＝6，求△CEF的面积．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D B A D B C D
11.2a（a﹣3） 12.两个锐角互余的三角形是直角三角形 13.4
5
14.（a2+8ab﹣2b2） 15.
3
选择题、填空题解法提示
10．解：如图，延长CA交PB于点D，
∵∠BDA是△PCD的外角，
∴∠BDA＝∠BPC+ ，
∵∠BAC是△ABD的β外角，∴ ＝ +∠BDA＝ +∠BPC+ ，
∴∠BPC＝ ﹣ ﹣ ； γ α α β
γ α β
如图，∠BPC+∠PDB+ ＝∠ADC+ + ，
∵∠PDB＝∠ADC， α β γ
∴∠BPC+ ＝ + ，
∴∠BPC＝α +β﹣γ ；
β γ α
如图， + +∠ADB＝∠BPC+ +∠PDC，
∵∠ADαB＝γ ∠PDC， β
∴ + ＝∠BPC+ ，
∴α∠BγPC＝ + ﹣β ；
α γ β
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】综上，∠BPC的度数可能是 + ﹣ ， + ﹣ 或 ﹣ ﹣ ，
结合选项可知，A、B、C选项β均γ不α符合α题γ意；β γ α β
故选：D．
15．解：如图所示，过点P作PE⊥AB于点E，
∵AP为△ABC的角平分线，∠C＝90°，PE⊥AB，
∴PC＝PE（角平分线的性质），
1
AC⋅PC
S 2 AC 5
∴ △ACP= = = ，
S 1 AB 13
△ABP AB⋅PE
2
1
PC⋅AC
S 2 PC
∵ △ACP= = ，
S 1 PB
△ABP PB⋅AC
2
PC 5
∴ = ，
PB 13
设PC＝5k，PB＝13k，
∵PC+PB＝BC，
∴5k+13k＝6，
整理得，18k＝6，
1
解得k= ，
3
5
∴PE=PC= ，
3
∵D为AB上一动点，
∴当PD⊥AB时，PD有最小值，此时点D与点E重合，
5
综上所述，PD的最小值为 ．
3
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故答案为： ．
3
解答题参考答案
1 1 1
16．解：（1）原式= −1+ =− ；
4 2 4
（2）原式＝（2x﹣1）（x2﹣4）＝（2x﹣1）（x+2）（x﹣2）．
17．（1）证明：∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
{∠BAC=∠DAE
)
∠B=∠D ，
BC=DE
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）解：∵AC平分∠BAE，∠BAE＝120°，
1 1
∴∠CAE= ∠BAE= ×120°=60°，
2 2
由（1）得，△ABC≌△ADE，且AB＝5，CE＝2，
∴AC＝AE，AD＝AB＝5，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝CE＝2，
∴CD＝AD﹣AC＝5﹣2＝3．
18．解：（1）原式＝25÷2
＝32÷2
＝16；
（2）原式＝a2+b2+2ab﹣2ab
＝（a+b）2﹣2ab
＝52﹣2×3
＝25﹣6
＝19；
2b+2a
（3）原式=
ab
2(b+a)
=
ab
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=
3
10
= ．
3
4
19．解：设动车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为 xkm/h，
3
810 810−90
= +1.5
根据题意列分式方程得， x 4 ，
x
3
整理得，1.5x＝270，
解得x＝180，
经检验，x＝180是原方程的解，且符合题意，
4 4
则 x= ×180=240，
3 3
答：高铁的平均速度为240km/h．
20．解：（1）如图所示，△A B C 即为所求：
1 1 1
（2）∵点A关于一条平行于y轴的直线的对称点A′在y轴上，A（2，3），
0+2
∴这条平行于y轴的直线为直线x= =1，
2
∵B（3，2），
∴B′（﹣1，2），
∴如图所示，点B′即为所求；
作CN⊥y轴于点N，B′M⊥y轴于点M，
则∠CND＝∠B′MD＝90°，
∵C（1，1），B′（﹣1，2），
∴N（0，1），M（0，2），
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴CN＝1，MN＝1，ON＝1，B′M＝1，
∴B′M＝CN，
又∵∠B′DM＝∠CDN，
∴△B′DM≌△CDN（AAS），
∴DM＝DN，
1 1
∴DN= MN= ，
2 2
1 3
∴OD=ON+DN=1+ = ；
2 2
（3）根据轴对称的性质得，B （3，﹣2），C （1，﹣1），A （2，﹣3），
1 1 1
如图，取B C 的中点F ，A C 的中点E ，连接A F ，B E 、
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3
则F (2，− )，E ( ，−2)，
1 2 1 2
∴中线B E 所在直线为直线y＝﹣2，中线A F 所在直线为直线x＝2，
1 1 1 1
∵直线y＝﹣2与直线x＝2的交点坐标为（2，﹣2），
∴△A B C 重心的坐标为（2，﹣2）．
1 1 1
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21．解：（1）设6789＝a，则x= ，y= ．
a a−4
2026 2025 2026(a−4) 2025a a−8104
∵x−y= − = − = ，
a a−4 a(a−4) a(a−4) a(a−4)
∴x﹣y＜0，
∴x＜y；
（2）设2027＝a，
a−2 a−1
则x=− ，y=− ，
a(a−1) a(a+1)
a−2 a−1
∵x−y=− −(− )
a(a−1) a(a+1)
(a−2)(a+1) (a−1) 2
=− +
a(a+1)(a−1) a(a+1)(a−1)
−a2+a+2+a2−2a+1
=
a(a+1)(a−1)
−a+3
= ，
a(a+1)(a−1)
又∵﹣a+3＜0，a（a+1）（a﹣1）＞0，
∴x﹣y＜0，
∴x＜y．
x−4 x+2 −6
22．解：（1）B−A= − = ，结果含分母，不是整数，故①错误；
x−1 x−1 x−1
1−4x x+2 −5x−1
C−A= − = ，结果含分母，不是整数，故②错误；
x−1 x−1 x−1
1−4x x−4
C−B= − =−5，结果为整数且非0，故③正确；
x−1 x−1
故答案为：③；
S x−2
（2）由条件可知N﹣M＝4，即 − =4，
4x2−9 2x−3
方程两边同时乘以（2x+3）（2x﹣3）得：S﹣（x﹣2）（2x+3）＝4（2x+3）（2x﹣3），
展开得：S﹣2x2+x+6＝16x2﹣36，
故整式S＝18x2﹣x﹣42；
4x+b ax−2
（3）根据题意 − =k，
(x−1) 2 x−1
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】通分合并分子得：4x+b﹣（ax﹣2）（x﹣1）＝k（x﹣1）2，
展开左边：﹣ax2+（a+6）x+（b﹣2），
展开右边：kx2﹣2kx+k，
比较系数得方程组：﹣a＝k，a+6＝﹣2k，
解得：k＝﹣6．
答：k＝﹣6．
23．（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：①当点E在AD右侧，如图所示，等腰直角三角形ADE即为所求：
当点E在AD左侧，如图所示，等腰直角三角形ADE即为所求：
②当点E在AD右侧，如图，
∵点D在AB的垂直平分线上，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴AD＝BD，
又∵∠ADB＝135°，
180°−∠ADB 180°−135°
∴∠ABD= = =22.5°，
2 2
∵斜边为DE的等腰直角三角形ADE，
∴∠ADE＝45°，
∴∠ADB+∠ADE＝180°，
∴B，D，E三点共线，
∵∠BAC＝90°，
∴∠APB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠CPE＝∠APB＝67.5°；
当点E在AD左侧，如图，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
又∵∠ADB＝135°，
180°−∠ADB 180°−135°
∴∠BAD= = =22.5°，
2 2
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP＝90°，
∴∠DAP＝∠BAP+∠BAD＝90°+22.5＝112.5°，
∵斜边为DE的等腰直角三角形ADE，
∴∠ADE＝45°，
∴∠CPE＝180°﹣∠DAP﹣∠ADE＝180°﹣112.5°﹣45°＝22.5°；
综上，∠CPE的度数为22.5°或67.5°；
（3）如图，延长AD至点G，使得GD＝AD，连接FG、EG，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】在△GDF与△ADB中，
{
DF=BD
)
∠GDF=∠ADB ，
GD=AD
∴△GDF≌△ADB（SAS），
∴FG＝AB，∠FGD＝∠BAD，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中BC与AE是斜边，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，
∴FG＝AC，DE⊥AG，∠BAD+∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE是AG的垂直平分线，
∴AE＝EG，
∴∠DGE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEG＝90°，∠FGD+∠FGE＝45°，
∴∠FGD+∠FGE＝∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠FGE＝∠CAE，
∴△FGE≌△CAE（SAS），
∴EF＝CE＝6，∠FEG＝∠CEA，
∴∠FEG+∠FEA＝∠CEA+∠FEA，即∠AEG＝∠CEF，
∴∠CEF＝90°，
1 1
∴S = CE⋅EF= ×6×6=18．
△CEF 2 2
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