文档内容
2020-2021 学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第
24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的
一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B． C．
D．
2． 型口罩能过滤空气中95%的粒径约为 m的非油性颗粒．用科学记
数法表示 是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的
大小为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页6．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知： ．
求作： ，使 ．
作法：（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）画一条射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；
（3）以点 为圆心， 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点 ；
（4）过点 画射线 ，则 ．
小聪作法正确的理由是（ ）
A．由 可得 ，进而可证
B．由 可得 ，进而可证
C．由 可得 ，进而可证
D．由“等边对等角”可得
7．如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．在 中， ，线段 ， ， 分别是 的高，中线，角平分线，
则点 ， ， 的位置关系为（ ）
A．点 总在点 ， 之间 B．点 总在点 ， 之间
C．点 总在点 ， 之间 D．三者的位置关系不确定
二、填空题
9．若分式 有意义，则x的取值范围是 ．
10．计算： ．
11．如图，在 中， ， ， ，垂足为 ．若
，则 的长为 ．
试卷第2页，共3页12．如图， ， ，垂足分别为 ， ．只需添加一个条件即可证明
，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
13．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心
有一座边长为 的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为
；
方案二：如图2，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台
的面积记为 ；
具体数据如图所示，则 ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
14．如图， 的垂直平分线 交 于点D．则 的大小
为 ．
试卷第3页，共3页15．在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 与点 关于 轴对称，点
在 轴上，若三角形ABC为等腰直角三角形，则点 的坐标为 ．
16．图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一
个整体抽象为 点，将膝盖抽象为 点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为
点，将自行车中轴位置记为 点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板
绕其旋转的部件），在骑行过程中，点 ， 的位置不变， ， 为动点．图2是抽
象出来的点和线．若AB=BC=40cm，CD=16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保
证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则 最长为 cm．
三、解答题
17．（1）计算： ；
（2）分解因式： ．
18．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．
19．如图，C是AB的中点，CD BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
20．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人
们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而
建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第
试卷第4页，共3页一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在 ABC中，AC＞AB．
求证： ． △
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图
形）
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ ．（ ）（填推理的依据）
∵∠ADB是 BCD的外角，
∴∠ADB＝∠△C+∠DBC．（ ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C．
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD．
∴∠ABC＞∠C．
21．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了
激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉
或橘子一份．近日，学校食堂花了 元和 元分别采购了香蕉和橘子，采购的
香蕉比橘子多 ，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低 ，求橘子每千克
的价格．
22．如图，在 中， ， ， 是 边上一点，连接 ，
，且 ， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
试卷第5页，共3页(2)当 时，求证： 平分 ．
23．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于 的多项式 ，
由于 ，所以当 取任意一对互为相反数的数时，多项式
的值是相等的，例如，当 ，即 或 时， 的值均为3；
当 ，即 或-1时， 的值均为6，于是小明给出一个定义：关于
的多项式，若当 取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项
式关于 对称，例如 关于 对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式 关于 ___________对称；
(2)若关于 的多项式 关于 对称，求 的值；
(3)若整式 关于 对称，试直接写出实数 的值．
24．已知 是等边三角形，点 在射线 上（与点 ， 不重合），点 关于直
线 的对称点为点 ，连接 ， ， ， ．
(1)如图1，当点 为线段 的中点时，求证： 是等边三角形；
(2)当点 在线段 的延长线上时，连接 ， 为线段 的中点，连接 ．根据
题意在图2中补全图形，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
25．在平面直角坐标系 中，直线 为过点 且与 轴垂直的直线．对某图形
上的点 作如下变换：当 时，作出点 关于直线 的对称点 ，称为Ⅰ
变换；当 时，作出点 关于 轴的对称点 ，称为Ⅱ 变换．若某个图形上既
试卷第6页，共3页有点作了Ⅰ 变换，又有点作了Ⅱ 变换，我们就称该图形为 双变换图形．例
如，已知 ， ，如图1所示，当 时，点 应作Ⅰ（2）变换，变换后
的坐标是 ；点 作Ⅱ（2）变换，变换后 的坐标是 ．请解决下面的问题：
(1)当 时，
①已知点 的坐标是 ，则点 作相应变换后的点的坐标是 ；
②若点 作相应变换后的点的坐标为 ，求点 的坐标；
(2)已知点 ， ，
①若线段 是 双变换图形，则 的取值范围是 ；
②已知点 在第一象限，若 及其内部（点 除外）组成的图形是 双变
换图形，且变换后所得图形记为 ，直接写出所有图形 所覆盖的区域的面积．
试卷第7页，共3页1．D
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完
全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，此项不符题意；
B、不是轴对称图形，此项不符题意；
C、不是轴对称图形，此项不符题意；
D、是轴对称图形，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．
2．D
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解
即可得到答案．
【详解】解： ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．B
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底
数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，原计算错误，该选项不符合题意；
B、 ，正确，该选项符合题意；
C、 ，原计算错误，该选项不符合题意；
D、 ，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则
是解答本题的关键．
4．C
答案第1页，共2页【详解】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项
式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、等式右边中的 不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解
答本题的关键．
5．B
【分析】根据正多边形的性质和内角和公式即可得．
【详解】 正九边形的内角和为 ，且每个内角都相等，
该正九边形的一个内角的大小为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
6．A
【分析】根据作图过程可得 ，再根据三角形全等的判定定
理与性质即可得出答案．
【详解】解：由作图过程可知： ，
，
，即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判断定理是解
题关键．
7．A
【分析】先化简代数式，再利用整体代入法计算即可．
【详解】解：原式
，
答案第2页，共2页当 时，原式 ．
故选：A．
【点睛】本题考查代数式运算，关键掌握运算法则，使用整体代入法计算．
8．C
【分析】延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形
的性质得到 ， ，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得
∠CAD>∠CAF>∠CAH，即可完成解答．
【详解】假设 ，如图所示，延长 至点 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
∵∠CAH+∠BAE=∠BAC
∴∠BAC>2∠CAH
∵AF平分∠BAC
∴
∴
∵AB∠ACB
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°>2∠ACB+∠BAC
∴
∴∠CAF<90°−∠ACB
答案第3页，共2页∵AD⊥BC
∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF
即∠CAD>∠CAF>∠CAH
∴点 总在点 ， 之间，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，
掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．
【分析】根据分式有意义的条件计算即可；
【详解】∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ；
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
10． ##2+3a
【分析】利用多项式的每一项除以单项式，即可得到答案．
【详解】解： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
11．3
【分析】利用互余计算 ，利用30°角的性质即可即可
【详解】解：在 中， ， ，
答案第4页，共2页，
，
，
，
，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，30°角所对直角边是斜边
的一半是解题的关键．
12． 或 或 或
【分析】根据题意直接由全等三角形的判定定理进行分析即可求解．
【详解】解：若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
故答案为： 或 或 或 （答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
13．＜
【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：方案一：如图1，
，
方案二：如图2， ，
，
．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了正方形的性质，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的
关键．
14． ##30度
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出 及 的度数，再根
答案第5页，共2页据线段垂直平分线的性质求出 的度数即可进行解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距
离相等．
15．（3，0），（﹣3，0）．
【分析】先求出B点的坐标为0，-3）即可得到AB=6，再利用直角三角形斜边的中线等于
斜边的一半即可得到OC=3，由此求解即可.
【详解】解：∵点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，
∴B（0，-3）
∴AB=6，
∵三角形ABC为等腰直角三角形，且C在x轴上，
∴AB只能是斜边，
∴AB=2OC，
∴OC=3，
∴C（3，0）或（-3，0），
故答案为：（3，0）或（-3，0）.
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，关于x对称的点的坐标关系，直角三角形的斜边中
线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16．64
【分析】根据已知条件得到当 时， 最长，根据线段的和差即可得到
结论．
【详解】 在骑行过程中脚总可以踩到踏板，
当 时， 最长，
则， 最长为 ，
故答案为：64．
答案第6页，共2页【点睛】本题考查了旋转的性质，知道当 时， 最长是解题的关键．
17．（1） ；（2）
【分析】（1）利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分
解的方法是解本题的关键．
18．-23
【分析】首先利用平方差公式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，
再代入求值即可．
【详解】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，
∵3x2﹣x﹣1＝0，
∴3x2﹣x＝1．
∴原式＝2(3x2﹣x)﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．
19．证明见解析
【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：∵C是AB的中点，
∴AC=CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD=∠B．
在△ACD和△CBE中，
答案第7页，共2页，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题．
应牢固掌握全等三角形的判定定理．
20．∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉
得性质解决问题即可．
【详解】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证：∠ABC＞∠C．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴∠ABC＞∠C．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的
三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21． 元
【分析】设橘子每千克的价格为 元，则香蕉每千克的价格为 元，然后根据学校食堂
花了 元和 元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多 列出方程求解即
答案第8页，共2页可．
【详解】解：设橘子每千克的价格为 元，则香蕉每千克的价格为 元．
根据题意，得 ，
解得 ．
经检验，当 时， ，且符合题意．
∴原分式方程的解为 ．
答：橘子每千克的价格为 元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解
题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 证明 ，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
【详解】（1） ， ，
，
在 和 中， ，
，
．
（2）如下图，
由（1）得 ，
， ，
答案第9页，共2页由（1）得 ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
平分 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，关键是根据 证明三
角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
23．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
（2）求出 的对称轴，令对称轴等于3即可；
（3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可．
【详解】（1）解： ，
假设 ，
则 或 ，
，
关于 对称．
（2）解： ，
关于 的多项式 关于 对称，
答案第10页，共2页关于 对称，
，
.
（3）解：
则原式关于 对称，
整式 关于 对称，
．
【点睛】本题考查了整式乘法，熟练掌握对配方法的理解和运用，以及整式加减相关的新
运算理解是解此题的关键．
24．(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】（1）由题意根据对称的性质得到 ， ，根据等边三角形的
性质得到 ， ．求得 ．根据等边三角形
的判定定理即可得到结论；
（2）根据题意延长 到点 ，使 ，连接 ．根据线段中点的定义得到
．根据全等三角形的性质得到 ， ．由对称的性质得到
， ．根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明： 点 ， 关于直线 对称，
， ，
是等边三角形，
， ．
答案第11页，共2页点 为线段 的中点，
．
．
．
，
是等边三角形；
（2）解：补全图形如图所示，
线段 与 的数量关系： ．
证明：延长 到点 ，使 ，连接 ．
为线段 的中点，
．
在 和 中，
，
， ．
．
是等边三角形，
， ．
．
点 ， 关于直线 对称，
， ．
， ，
．
答案第12页，共2页，
，
，
在 和 中，
．
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
25．(1)① ；② 或
(2)① 或 或m=0；②36
【分析】（1）①由题意根据变换的定义求解即可；
②根据题意分两种情形： ， ，分别构建不等式解决问题即可．
（2）①由题意根据 ， 两点的纵坐标，判断出 的范围即可；
②由题意可知满足条件的图形是平行四边形 ，变换后所有图形 所覆盖的区域的面
积 ．
【详解】（1）解：① ， ，
相应变换后的点的坐标是 ，
故答案为： ．
② ， 直线 为 轴．
若 ，则 作 变换，变换后的点为 ，
答案第13页，共2页且符合题意．
．
若 ，则 作 变换，变换后的点为 ，
且符合题意．
．
综上， 或 ．
（2）解：① 线段 是 双变换图形， ， ，
或 ．
故答案为： 或 或m=0．
②如图2中，由题意，满足条件的图形是平行四边形 ，
变换后所有图形 所覆盖的区域的面积 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查Ⅰ 变换，Ⅱ 变换， 双变换图形的定义，
解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
答案第14页，共2页答案第15页，共2页
