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2025-2026学年广东省广州市海珠区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝54°，则△ABC的外角∠ACD的度数是（ ）
A．109° B．119° C．129° D．139°
2．（4分）据研究，甲型流感病毒一般呈球状或丝状，其中球状甲型流感病毒的直径大约为0.000000103
米，该直径用科学记数法表示为（ ）米．
A．1.03×10﹣7 B．1.03×10﹣8
C．10.3×10﹣7 D．0.103×10﹣8
3．（4分）若三角形三边的长分别是3，7，a，则a的取值不可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
4．（4分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．AB＝AE C．∠B＝∠ADE D．∠B＝∠AED
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．a3+a4＝a7
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，若∠B＝40°，则∠CAD的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（4分）若a＝10﹣b，ab＝16，则a2+b2＝（ ）
A．36 B．68 C．84 D．100
.8．（4分）如图，在△ABC中，AD经过△ABC的重心G交BC于点D，若△ABC的面积为16cm2，则阴
影部分的面积为（ ）
16
A．8cm2 B．7cm2 C．6cm2 D． cm2
5
9．（4分）若x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（ ）
A．12 B．6 C．±12 D．±6
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，且AD＝CD，若∠CBD＝m，则∠ADC一定等
于（ ）
A．3m B．90°+2m C．180°﹣2m D．180°﹣m
二、填空题（每小题4分，满分24分）
1
11．（4分）若分式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
x+6
12．（4分）点A（﹣1，5）关于y轴对称的点B的坐标为 ．
13．（4分）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、
1
N，再分别以M、N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．若
2
AB＝12，△AEB的面积为24，则CE＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为23cm，则△ABC
的周长为 cm．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】16．（4分）若1+a+a2+a3+a4＝0，则1+a+a2+a3+a4+a5+…+a2024+a2025的值为 ．
三、解答题（共9小题，满分86分）
1 −1
17．（6分）（1）计算：−( ) +(−2025) 0；
3
（2）因式分解：3ax2﹣12ay2．
18．（6分）如图，已知点A、D、C、E在同一直线上，AC＝DE，AB＝DF，AB∥DF．求证：∠B＝
∠F．
19．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A，B，C三点都在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，点A、B、C的对应点分别为A 、B 、C ；
1 1 1 1 1 1
（2）点B 的坐标为 ；
1
（3）△ACC 的面积为 ．
1
1
20．（8分）先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a= ，b＝﹣1．
2
21．（8分）某文化科技有限公司为了配合“活力大湾区”宣传活动，共推出 A和B两款文创产品，已知
每个A产品的成本比每个B产品的成本便宜18元，该公司用24000元制作A产品的数量和用60000元
制作的B产品数量相同．求生产A产品的成本为每个多少元？
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】22．（10分）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算
{a c)=ac−(b+d)．
b d
例如，
{1
3 ) 1 ．
3 = ×3−(1−4)=4
3
1 −4
{x−3 x2+2x+1
)
先化简，再求值 x2−1 x−3 ，其中x满足方程（x﹣3）（x+5）＝x2+1．
1
1
x−1
23．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝45°，点E为AC边上一点，连接BE，过点C作
CD⊥BE与BE的延长线交于点D，与BA的延长线交于点F．
（1）AB与AC的数量关系为 ．
（2）尺规作图：在AB边上截取AG＝CE，过点G作GM⊥AB，垂足为G．
（3）在（2）的条件下，在GM上截取GH＝AC，连接BH，求证：BH＝CF．
24．（14分）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，∠ACB＝60°，D为AB的延长线上一点，E为线段BC，
BD的垂直平分线的交点，连接EC，EB，ED．
（1）如图1，BC的长为 ．
（2）如图2，连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由．
（3）如图3，过点B作直线BF，使得∠BFD＝∠BCE，P为直线BF上的一个动点，求PE﹣PD的最
大值．
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25．（14分）【阅读材料】如果三个实数m、n、k使得关于x的分式方程 =n+k的解和分式方程 =−
x x
n+k的解互为倒数，那么我们称实数对[m，n]是该组方程的一个“k的伴生数对”．例如：取m＝3，n
m 1 m
＝4，k＝5，分式方程 =n+k的解为x= ，而分式方程 =−n+k的解为x＝3，所以[3，4]是该组方程
x 3 x
m 1
的一个“5的伴生数对”；又如：取m＝5，n＝12，k＝13，分式方程 =n+k的解为x= ，而分式方
x 5
m
程 =−n+k的解为x＝5，所以[5，12]是该组方程的一个“13的伴生数对”．
x
【解决问题】
m m
（1）下列实数对是关于 x的分式方程 =n+k和分式方程 =−n+k的“10的伴生数对”的有
x x
（填序号）；
①[8，6]②[7，3]③[﹣4，﹣6]
m m
（2）若实数对[t﹣2，t+2]是关于x的分式方程 =n+k和分式方程 =−n+k的“20的伴生数对”，求
x x
t的值；
m m
（3）若整数对[n，n﹣5]是关于x的分式方程 =n+k和分式方程 =−n+k的“k的伴生数对”，且满
x x
足2k2﹣56n+200＝d2﹣114（d为整数），求整数n的值．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A． D C B C B A D C
11.x≠﹣6 12.（1，5） 13.（x﹣1）（a﹣3） 14.4 15.31 16.1
选择题、填空题解法提示
10．解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E＝∠BFD＝∠DFC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠ABD＝∠CBD＝ ，
在Rt△ADE和Rt△CDF中， α
{AD=CD)
，
DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADC＝∠CDF+∠ADF＝∠ADE+∠ADF＝∠EDF，
∵∠EDF＝360°﹣∠E﹣∠BFD﹣∠ABC＝180°﹣2m，
∴∠ADC＝180°﹣2m，
故选：C．
16．解：∵1+a+a2+a3+a4＝0，
∴1+a+a2+a3+a4+a5+…+a2024+a2025
＝（1+a+a2+a3+a4）+（a5+a6+a7+a8+a9）+…+（a2020+a2021+a2022+a2023+a2024）+a2025
＝（1+a+a2+a3+a4）+a5（1+a+a2+a3+a4）+…+a2020（1+a+a2+a3+a4）+a2025
＝0+0+…+0+a2025
＝a2025，
∵a5﹣1＝（a﹣1）（1+a+a2+a3+a4）＝0，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴a5＝1，
∴a2025＝（a5）405＝1，
故答案为：1．
解答题参考答案
1 −1
17．解：（1）−( ) +(−2025) 0
3
＝﹣3+1
＝﹣2；
（2）3ax2﹣12ay2
＝3a（x2﹣4y2）
＝3a（x+2y）（x﹣2y）．
18．证明：∵AB∥DF，
∴∠A＝∠FDE，
在△ABC和△DFE中，
{
AB=DF
)
∠A=∠FDE ，
AC=DE
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠B＝∠F．
19．解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）由图可得，点B 的坐标为（4，﹣3）．
1
故答案为：（4，﹣3）．
1
（3）△ACC 的面积为 ×2×3=3．
1
2
故答案为：3．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】20．解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2，
＝﹣2ab，
1 1
当a= ，b＝﹣1时，原式＝﹣2× ×（﹣1）＝1；
2 2
21．解：由题意，设生产A产品的成本为每个x元，则B产品的成本为每个（x+18）元，
24000 60000
∴ = ．
x x+18
∴x＝12．
24000
检验：将x＝12代入原方程分母，x＝12≠0，x+18＝30≠0，且此时A产品数量 =2000B产品数
12
60000
量 =2000，数量相等，
30
∴x＝12是原分式方程的解．
答：生产A产品的成本为每个12元．
x−3 x2+2x+1 1
22．解：原式= • −（ +1）
x2−1 x−3 x−1
x−3 (x+1) 2 1+x−1
= • −
(x+1)(x−1) x−3 x−1
x−3 (x+1) 2 x
= • −
(x+1)(x−1) x−3 x−1
x+1 x
= −
x−1 x−1
1
= ；
x−1
（x﹣3）（x+5）＝x2+1，
整理得：2x﹣15＝1，
解得：x＝8，
1 1
原式= = ．
8−1 7
23．（1）解：∵∠CAB＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】故答案为：AB＝AC；
（2）解：如图所示，以A为圆心，CE为半径画弧交AB于G，
则AG＝CE；
∵CD⊥BE，
∴∠BAC＝∠FAC＝∠CDE＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴∠ABE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵FG＝AC，
∴AG＝CE；
（3）证明：∵AB＝FG，
∴AF＝BG，
∵MG⊥AB，
∴∠BGM＝∠FAC＝90°，
∵GH＝AC，
∴△BGH≌△FAC（SAS），
∴BH＝CF．
24．解：（1）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4，
故答案为：4；
（2）△CDE是等边三角形，
理由：∵E为线段BC，BD的垂直平分线的交点，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴BE＝EC＝ED，
∴∠ECB＝∠ECA，∠ECD＝∠D，
∵∠CAB＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣30°＝150°，
∴∠ECB+∠CBD+∠D＝300°，
∴∠CED＝360°﹣300°＝60°，
∴△CDE是等边三角形；
（3）点P在ED'的延长线上时，PE﹣PD的值最大，理由如下：
如图3中，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'．
当点P在ED'的延长线上时，PE﹣PD的值最大，此时PE﹣PD＝ED'，
∵∠BFD+∠BFE＝180°，∠BFD＝∠BCE，
∴∠BCE+∠BFE＝180°，
∴∠CBF+∠CEF＝180°，
∵∠CED＝60°，
∴∠CBF＝120°，
∴∠CBA＝∠FBD＝30°，
∴∠DBF＝∠FBD'＝30°，
∴∠DBD'＝60°，
∵BD＝BD'，
∴△BDD′是等边三角形，
∴DB＝DD'，∠BDD'＝∠CDE＝60°，
∴∠CDB＝∠EDD'，
∵DC＝DE，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴△CDB≌△EDD'（SAS），
∴CB＝ED'，
∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，
∴CB＝2AC，
∴PE﹣PD＝2AC＝4．
∴点P在ED'的延长线上时，PE﹣PD的值最大，最大值为4，
m m
25．解：（1）设关于x的分式方程 =n+k的解为x ，分式方程 =−n+k的解为x ，
1 2
x x
m m
则x = ，x = ，
1 n+k 2 k−n
m m
∵关于x的分式方程 =n+k和分式方程 =−n+k的“k的伴生数对”，
x x
∴x x ＝1，
1 2
m m
∴ • =1，
n+k k−n
整理得：m2+n2＝k2，
m m
若关于x的分式方程 =n+k和分式方程 =−n+k的“10的伴生数对”，
x x
则m2+n2＝100，
∵82+62＝100，72+32≠100，（﹣4）2+（﹣6）2≠100，
m m
∴[8，6]是关于x的分式方程 =n+k和分式方程 =−n+k的“10的伴生数对”，
x x
故答案为：①；
m m
（2）∵实数对[t﹣2，t+2]是关于x的分式方程 =n+k和分式方程 =−n+k的“20的伴生数对”，
x x
∴（t﹣2）2+（t+2）2＝400，
整理得：2t2+8＝400，
解得：t＝±14；
m m
（3）∵整数对[n，n﹣5]是关于x的分式方程 =n+k和分式方程 =−n+k的“k的伴生数对”，
x x
∴n2+（n﹣5）2＝k2，
整理得：2n2﹣10n+25＝k2，
∵2k2﹣56n+200＝d2﹣114（d为整数），
∴2（2n2﹣10n+25）﹣56n+200＝d2﹣114，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】整理得：4n2﹣76n+364＝d2，
变形得：（2n﹣19）2+3＝d2，
那么（d+2n﹣19）（d﹣2n+19）＝3，
∵d，n均为整数，
∴d+2n﹣19＝1，d﹣2n+19＝3或d+2n﹣19＝3，d﹣2n+19＝1或d+2n﹣19＝﹣1，d﹣2n+19＝﹣3或
d+2n﹣19＝﹣3，d﹣2n+19＝﹣1，
解得：n＝9或10．
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