文档文本内容
初中数学
2023年广东省广州市海珠区中考
一模数学试卷
新东方教育科技集团2023年广东省广州市海珠区中考一模
数学试卷
一、单选题
1 单选题
1
− 的相反数是( )
2
A. −2
B. 2
C. 1
−
2
D. 1
2
答案
D
解析
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为 0 即可求解.
1 1
【详解】解: 因为 − + =0,
2 2
1 1
所以 − 的相反数是 .
2 2
故选: D.
【点睛】本题考査求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键.
2 单选题
《新华字典》是新中国最有影响力的现代汉语字典，《新华字典》自1950年开始启动编写和出版工
作，至今已历经70余年，出版至第12版，从1953年版本收录单字6840个（含异体字），到12版收录
13000字，收字数增加了将近一倍，将“13000”用科学记数法表示为（ ）
A. 0.13×104
B. 1.3×106
C. 1.3×104
D. 13×103
答案
C
解析
根据科学记数法的定义即可得．
解：13000=1.3×104，
故选：C．
1/25本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成a×10n的形式，其中
1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3 单选题
下列运算正确的是（ ）
A. √9=±3
B. a6÷a2=a4
C. |3.14−π|=0
D. √2+√3=√5
答案
B
解析
根据同底数幂除法，二次根式的性质，实数的计算法则和二次根式的加法计算法则求解判断
即可．
解：A、√9=3，原式计算错误，不符合题意；
B、a6÷a2=a4，原式计算正确，符合题意；
C、|3.14−π|=π−3.14，原式计算错误，不符合题意；
D、√2与√3不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选B．
本题主要考查了同底数幂除法，化简二次根式，二次根式的加法，实数的计算，熟知相关计
算法则是解题的关键．
4 单选题
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠BOC =120∘，AB=3，则AC的长为
（ ）
A. 3
B. √3
C. 2√3
D. 6
2/25答案
D
解析
根据矩形的性质可得∠OBC =∠OCB=30∘，∠ABC =90∘，再根据直角三角形的性质可得
AC =2AB=6．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴∠OBC =∠OCB，
∵∠BOC =120∘，
∴∠ACB=30∘，
又∵∠ABC =90∘，AB=3，
∴AC =2AB=6，
故选：D．
本题考查矩形的性质、直角三角形的性质，熟练矩形的性质得到∠OBC =∠OCB，
∠ABC =90∘是解题的关键．
5 单选题
AD是Rt△ABC的角平分线，若AB=4，BD=3，则点D到AC距离为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案
A
解析
如图所示，过点D作DE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到DE =DB=3即可得到答案．
解：如图所示，过点D作DE⊥AC于E，
∵AD是Rt△ABC的角平分线，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE =DB=3，
∴点D到AC距离为3，
故选A．
3/25本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离，熟知角平分线上的点到角的两边的距离
相等是解题的关键．
6 单选题
如图，数轴上的点A可以用实数a表示，下面式子成立的是（ ）
A. |a|>1
B. |a−1|=a−1
C. a+1>0
D. 1
− <1
a
答案
C
解析
根据数轴上点的位置得到−1<a<0，据此逐一判断即可．
解：由题意得，−1<a<0，
1
∴|a|<1，a−1<0，a+1>0， <−1，
a
1
∴|a−1|=1−a，− >1，
a
∴四个选项中，只有C选项式子成立，
故选：C．
本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，实数的运算，灵活运用所学知识是解题的关
键．
7 单选题
某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行
了调查，并绘制出如下统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小时）的选项中，
错误的是（ ）
● ●
4/25● ●
A. 本次抽取共调查了40个学生
B. 中位数是6小时
C. 众数是5小时
D. 平均数是5.825小时
答案
B
解析
根据统计图所给的数据求出样本容量，中位数，众数和平均数即可得到答案．
解：A、本次抽取共调查了6+14+8+5+7=40个学生，原说法正确，不符合题意；
B、将阅读时间从低到高排列，处在第20名和第21名的阅读时间分别为5小时，6小时，则中位
5+6
数是 =5.5小时，原说法错误，符合题意；
2
C、阅读时间为5小时的人数为14人，人数最多，即众数为5小时，原说法正确，不符合题意；
4×6+14×5+8×6+5×7+7×8
D、平均数是 =5.825小时，原说法正确，不符合题
40
意；
故选：B．
本题主要考查了样本容量，中位数，众数和平均数，正确读懂统计图是解题的关键．
8 单选题
若点A（-1，y
1
），B（√2，y
2
），C(√3，y
3
)在反比例函数的图象y=
x
4上，则y
1
、y
2
、y
3
的大小
关系是（ ）
A. y ＞y ＞y
1 2 3
B. y ＞y ＞y
3 2 1
C. y ＞y ＞y
1 3 2
D. y ＞y ＞y
2 3 1
答案
D
5/25解析
解：∵反比例系数k=4＞0，
∴函数在第一、三象限，在每个象限内的函数值随x的增大而减小，
∵-1＜0＜√2＜√3，
∴y ＜0＜y ＜y ，
1 3 2
∴y ＞y ＞y ，
2 3 1
故选：D．
9 单选题
《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意
思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，求
1个大桶和1个小桶分别可以盛多少斛米？设1个大桶盛x斛米，1个小桶盛y斛米．可列方程组
（ ）
A. 5x+y=3
{x+5y=2
B. x+5y=3
{5x+y=2
C. 5x+3y=1
{x+2y=5
D. 3x+y=5
{2x+5y=1
答案
A
解析
设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1
个大桶加上5个小桶可以盛米2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
5x+y=3
根据题意得： ，
{x+5y=2
故选：A．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程
组是解题的关键．
10 单选题
已知二次函数y=ax2+bx+c，y与自变量x之间的部分对应值如下表所示．下列结论：① abc>0
；当②−2<x<1时，y>0；③4a+2b+c>0；④关于x的一元二次方程
ax2+bx+c+3=0(a≠0)的解是x =−3，x =1．其中正确的有（ ）
1 2
x…−3−2−10…
y…−3 0 1 0…
6/25A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案
A
解析
观察图表可知，开口向下，a<0，二次函数y=ax2+bx+c在x=−2与x=0时，y值相等，
得出对称轴为直线x=−1，即可得出b<0，在根据图象经过点(0,0)，得出c=0由此判断
①；根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的交点，即可判断②；根据x=2，y<0即可判
断③；根据抛物线的对称性求得点(−3,−3)关于直线x=−1的对称点是(1,−3)，即可判断
④．
解：①由表格可知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，
∴a<0，开口向下，
b 1
∵ 对称轴为直线x=− = (−2+0)=−1，
2a 2
∴b<0，
∵
图象经过点(0,0)，
∴c=0，
∴abc=0，故①说法错误；
②
∵
对称轴为直线x=−1，
∴
点(0,0)关于直线x=−1的对称点为(−2,0)，
∵a<0，开口向下，
∴
当−2<x<0时，y>0，当0<x<1时，y<0，故②说法错误；
③由对称性可得：当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故③说法错误；
④
∵
点(−3,−3)关于直线x=−1的对称点是(1,−3)，
∴
关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0(a≠0)，即ax2+bx+c=−3(a≠0)的解是
x =−3，x =1，故④说法正确．
1 2
即正确的说法有1个，
故选：A．
本题考查了二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线x=−1是解题的关
键．
二、填空题
7/2511 填空题
在实数范围内分解因式：3x−6= ．
答案
3(x−2)
解析
本题考查了实数范围内分解因式，找出公因式是解题的关键．提公因式3可得结论．
解：3x−6=3(x−2)．
故答案为：3(x−2)．
12 填空题
已知：如图，点D在边AB上，若∠1=∠ 时，则△ADC ∼△ACB．
答案
B
解析
根据相似三角形的判定条件求解即可．
解：当∠1=∠B时，△ADC ∼△ACB，理由如下，
∵∠A=∠A，∠1=∠B，
∴△ADC ∼△ACB，
故答案为：B．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键．
13 填空题
如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=38∘，则∠2= ．
8/25答案
52∘
解析
根据两直线平行同位角相等可得到∠3=∠1=38∘，再利用∠2与∠3互余关系即可求出∠2．
解：如图所示，
直尺两边互相平行，
∵
∴∠3=∠1=38∘，
∵∠3+∠2=180∘−90∘=90∘，
∴∠2=90∘−∠3=90∘−38∘=52∘，
故答案为：52∘
本题考查了平行线的性质，互余角关系，掌握相关知识是解题关键．
14 填空题
若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x−a2+1=0有一个根为0，则方程的另一个根为 ．
答案
1
− |−0.5
2
解析
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．
根据一元二次方程的解的定义．把x=0代入(a+1)x2+x−a2+1=0，再解关于a的方程，
然后利用一元二次方程的定义确定a的值．再根据根与系数关系即可求出方程的另一个根．
解：把x=0代入(a+1)x2+x−a2+1=0得−a2+1=0，
解得：a=±1，
而a+1≠0．
所以a=1．
1 1
令方程的另一个根为x ，则x +0=− =− ，
2 2 a+1 2
1
∴x =− ，
2 2
1
故答案为：− ．
2
9/2515 填空题
若直线y=2x和y=kx−2相交于点Q(−3,m)，则关于x的不等式(2−k)x<−2的解集是 ．
答案
x<−3
解析
本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式；
首先求得直线y=2x过原点，直线y=kx−2过(0,−2)，以及点Q的坐标，然后画出函数图
象，再对不等式变形后根据图象即可直接求得解集．
解：当x=0时，y=2x=0，y=kx−2=−2，
∴直线y=2x过原点，直线y=kx−2过(0,−2)，
把Q(−3,m)代入y=2x得m=−6，则Q的坐标是(−3,−6)，
画出函数图象如图：
对不等式(2−k)x<−2变形得：2x<kx−2，
根据图象，得：不等式2x<kx−2的解集是x<−3，
即不等式(2−k)x<−2的解集是x<−3，
故答案为：x<−3．
16 填空题
如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，
连接CE、CF，则当BD= 时，△CEF的面积为最小值 ．
10/25答案
9
2−√3 ； −2√3
2
解析
设BD=x，CD=4−x，根据勾股定理用含x代数式表示出正方形ADEF的面积，利用面积
1
关系S = S −S 表示出关于x的函数关系式，然后根据函数性质求出△CEF
△CEF
2
□ADEF △ACD
的面积最小值．
解：如图，过点A作AH⊥BC垂足为点H，
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
1 1 √3
∴BH =HC = BC = AB=2，AH =AB⋅sin60∘=4× =2√3，
2 2 2
设BD=x，则DH =2−x，CD=4−x，
2
S =AD2=DH2+AH2=(2−x)2+ 2√3 =x2−4x+16，
正方形ADEF ( )
1 1
S = CD⋅AH = ×2√3×(4−x)=4√3−√3x，
△ACD
2 2
如图，在正方形ADEF中，AD=DE =EF =AF，过点C作AF的垂线，交AF于点M，交
DE于点N，
∵AF ∥DE，MN⊥AF，
∴MN⊥DE，
∴ 四边形ADNM为矩形，MN =AD=DE =EF =AF，
1 1 1 1 1
∴S
△ACF
+S
△DCE
= AF ⋅MC+ DE⋅CN = DE(MC+CN)= DE⋅MN = D
2 2 2 2 2
1
E2= S
2
正方形ADEF
,
1
∴S
△ADC
+S
△EFC
=
2
S
正方形ADEF
，
1 1 1
S
△CEF
=
2
S
正方形ADEF
−S
△ACD
=
2
(x2−4x+16)−
(
4√3−√3x
)
=
2
x2−
(
2−√3
)
x
+8−4√3
11/25，
1 2 2 9
当x=2−√3时，S 的面积最小为 2−√3 − 2−√3 +8−4√3= −2√3，
△CEF 2( ) ( ) 2
9
故答案为：2−√3， −2√3
2
本题考查了二次函数求最值的应用，等边三角形性质，三角函数，勾股定理，正方形性质等
知识，适当添加辅助线，采用数形结合并根据面积关系列出函数关系是解题关键．
三、解答题
17 解答题
x−3<2
解不等式组：
{1−2x≤3
答案
−1≤x<5
解析
分别解不等式，即可得到不等式组的解集．
x−3<2①
解： ，
{1−2x≤3②
解不等式①，得x<5；
解不等式②，得x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<5．
此题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式的解法及不等式组解集的确定法
则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，是解题的关键．
18 解答题
如图，⊙O中，AB=CD，求证：△ABE≌DCE．
答案
见解析
解析
解：由题意得：∠B=∠C，
在△ABE与△DCE中，
∠AEB=∠DEC
⎧∠B=∠C
⎨
AB=CD
⎩
12/25
⎪
⎪∴△ABE≌△DCE（AAS）．
19 解答题
a+b a2−b2
已知：M = ÷
2a2b−2ab2 a2−2ab+b2
(1) 化简 M；
(2) 如图，a、b分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为24π，求 M的值．
答案
1
(1)
2ab
1
(2)
48
解析
(1) a+b a2−b2
解：M = ÷
2a2b−2ab2 a2−2ab+b2
a+b (a+b)(a−b)
= ÷
2ab(a−b) (a−b)2
a+b (a−b)2
= ⋅
2ab(a−b) (a+b)(a−b)
1
= ．
2ab
(2) 解：
∵
圆锥侧面积为24π，
1
∴
×2πab=24π，
2
解得ab=24，
1 1
则M = = ．
2×24 48
20 解答题
梅雨季节来临，某电器店开始销售A、B两种型号的便携式小型除湿器，B型除湿器每台价格是A型
除湿器的1.5倍．销售若干周后，A型除湿器总销售额为20000元，B型除湿器销售额为45000元，其
中B型除湿器比A型除湿器多销售50台．求A型号的除湿器每台价格是多少元？
答案
200
解析
13/25设A型号的除湿器每台价格为x元，则B型除湿器每台价格是1.5x元，根据题意列出关于x的分
式方程，进行求解检验即可．
解：设A型号的除湿器每台价格为x元，则B型除湿器每台价格是1.5x元，
45000 20000
由题意可得： − =50，
1.5x x
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，
答：A型号的除湿器每台价格为200元．
本题考查分式方程的实际应用，明确题意列方程是解题的关键．
21 解答题
为锻炼学生的社会实践能力，某校开展五项社会实践活动，要求每名学生在规定时间内必须且只能
参加其中一项活动，该校从全体学生中调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如
下两幅不完整的统计图（五个综合实践活动分别用A，B，C，D，E表示）：
(1) 扇形统计图中的n%=________%，B项活动所在扇形的圆心角的大小是________∘．
(2) 甲同学想参加A、B、C三个活动中的一个，乙同学想参加B、C、E这三个活动中的一个，若
他们随机抽选其中一个活动的概率相同，请用列表法或画树状图法，求他们同时选中同一个活动
的概率．
答案
(1) 15， 72
2
(2)
9
解析
(1) 解：210÷10%=2100人，
∴这次参与调查的人数为2100人，
420
∴B活动的人数占比为 ×100%=20%，
2100
∴C活动的人数占比n%=1−10%−20%−25%−30%=15%；
360∘×20%=72∘，
∴B项活动所在扇形的圆心角的大小是72∘；
故答案为：15，72；
14/25(2) 解：列表如下：
A B C
B（A，B）（B，B）（C，B）
C（A，C）（B，C）（C，C）
E（A，E）（B，E）（C，E）
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选中同一个活动的结果数有2种，
2
∴他们同时选中同一个活动的概率为 ．
9
22 解答题
如图，△ABO中，A(0,4)，B(−3,0)，AB绕点B顺时针旋转与BC重合，点C在x轴上，连接AC，
m
若反比例函数y= 与直线AC仅有一个公共点E
x
m
(1) 求直线AC和反比例函数y= 的解析式；
x
(2) 把△ACB沿直线AC翻折到△ACD，AD与反比例函数交于点F，求△FCD的面积．
答案
2
(1) 直线 AC解析式为 y=−2x+4，反比例函数解析式为 y=
x
(2) 9
解析
(1) 解：∵A(0,4)，B(−3,0)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=√OA2+OB2=5，
由旋转的性质可得BC =AB=5，
又∵点C在x轴上，
∴OC =2，
∴C(2，0)，
设直线AC解析式为y=kx+b，
2k+b=0
∴ ，
{b=4
k=−2
∴ ，
{b=4
15/25∴直线AC解析式为y=−2x+4，
y=−2x+4
m
联立 m 得 =−2x+4，即2x2−4x+m=0，
y= x
{
x
m
∵反比例函数y= 与直线AC仅有一个公共点E，
x
∴方程2x2−4x+m=0只有一个实数根，
∴Δ=(−4)2−8m=0，
∴m=2，
2
∴反比例函数解析式为y= ；
x
(2) 解：由折叠的性质可得AB=AD，CB=CD，
又∵BC =AB=5，
∴AB=AD=CB=CD=5，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
2 1
在y= 中，当y=4时，x= ，
x 2
1
∴F ，4 ，
(2 )
9
∴DF =AD−AF = ，
2
1 1 9
∴S = DF ⋅OA= × ×4=9．
△FCD
2 2 2
23 解答题
已知：Rt△ABC中，∠C =90 ∘，BM⊥AB
(1) 尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S 和S ，且S :S =3:5；
1 2 1 2
条件②：△BOC和△AOC的周长为C 和C ，且C −C =AC．
1 2 1 2
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
16/25答案
(1) 见解析
4 4
(2) 条件①： ；②
5 5
解析
(1) 解：如图，即为所求；
(2) 条件①：∵Rt△ABC中，∠C =90 ∘，O为AB中点，
∴AO=CO=BO，
∴S =S ，
△AOC △BOC
∵△AOC和△BOD的面积为S 和S ，且S :S =3:5，
1 2 1 2
∴S :S =3:5
△BOC 2
OC OB 3
∴ = = ，
OD OD 5
设OB=3a,OD=5a，
∵BM⊥AB，
∴在Rt△BOD中，BD=√OD2−OB2=4a，
BD 4
∴cos∠BDC = = ；
OD 5
条件②：∵Rt△ABC中，∠C =90 ∘，O为AB中点，
∴AO=CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC，
∵△BOC和△AOC的周长为C 和C ，且C −C =AC，
1 2 1 2
∴OC+OB+BC−(OC+OA+AC)=AC，即BC =2AC，
设AC =m，则BC =2m,AB=√AC2+BC2=√5m，
√5
∴AO=CO=BO= m，
2
过点D作DE⊥CB于点E，
17/25则∠BDE+∠DBE =90∘，
∵BM⊥AB，
∵∠ABC+∠DBE =90∘，
∴∠ABC =∠BDE，
∵∠E =∠ACB=90∘，
∴△ACB∽△BED，
BE AC 1
∴ = = ，
DE BC 2
设BE =x，则DE =2x，
∵∠ABC =∠DCE，∠E =∠ACB=90∘，
∴△ACB∽△DEC
DE AC 1
∴ = = ，
CE BC 2
2x 1
∴ = ，
2m+x 2
2
解得x= m，
3
2 4
∴BE = m,DE = m，
3 3
2√5
∴BD=√BE2+DE2= m，
3
5√5
∴OD=√OB2+BD2= m，
6
2√5
m
BD 3 4
∴cos∠BDC = = = ．
OD 5√5 5
m
6
24 解答题
如图1，Rt△ABC中，∠BAC =90∘，AB边上找一点O，以BO为半径作圆．分别交BA，BC于点
D，E．AE是⊙O的切线．且 DE =3√5， CE =4√5，
(1) 证明：∠AEC =∠ACE
(2) 求⊙O的面积；
⌢
(3) 如图2，过点A作BC的平行线交⊙O点于点K，P为劣弧BK上一动点，连接AP，在AP上取
FH
点F，使得∠DFP =∠ABE，连接CF交AD于H，求 的最大值．
HC
答案
(1) 证明见解析
18/25225π
(2)
4
(3) √5−2
4
解析
(1) 证明，如图所示，连接OE，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OEA=90∘，
∴∠OEB+∠AEC =90∘，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠B，
∴∠B+∠AEC =90∘，
∵∠BAC =90∘，
∴∠B+∠ACB=90∘，
∴∠AEC =∠ACB；
(2) 解：如图所示，连接CD，过点A作AN⊥CE于N，交CD于M，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED=∠DEC =90∘，
在Rt△DEC中，由勾股定理得CD=√DE2+CE2=5√5；
由（1）得∠AEC =∠ACB，
∴AE =AC，
∵AN⊥CE，
1
∴CN =EN = CE =2√5，
2
∵∠BED=∠BNA=90∘，
∴DE ∥AN，
∴△CMN ∽△CDE，
CM CN MN 1
∴ = = = ，
CD CD DE 2
1 3√5
∴MN = DE = ，点M为DE的中点，
2 2
在Rt△DAC，∠DAC =90∘，
1 5√5
∴AM = CD= ，
2 2
∴AN =AM +MN =4√5，
同理可证△BDE ∽△BAN，
BE DE BE 3√5 3
∴ = ，即 = = ，
BN AN BE+EN 4√5 4
19/25又∵NE =2√5，
BE 3
∴ = ，
BE+2√5 4
∴BE =6√5，
在Rt△BDE中，由勾股定理得BD=√BE2+DE2=15，
15 2 225π
∴S =π× = ；
⊙O
( 2 ) 4
(3) 解：过点F作FQ⊥AD于Q，
由（2）得M是CD的中点，
1
∴在Rt△DCE中，EM = CD，
2
1
∴EM =CM =DM =AM = CD
2
∴A、D、C、E都在以M为圆心，以CD为直径的圆上，
∵∠DFP =∠ABE，
∴∠DFA=180∘−∠DFP =180∘−∠ABE，
∵∠OEA=∠OED+∠DEA=90∘，∠DEB=∠OED+∠OEB=90∘，
∴∠DEA=∠OEB=∠ABE，
∴∠DFA=180∘−∠DEA，即∠DFA+∠DEA=180∘，
∴点F也在以CD为直径的⊙M上，
∵FQ⊥AD，
∴∠FQH =∠CAH =90∘，
又∵∠FHQ=∠CHA，
∴△FHQ∽△CHA，
FH FQ
∴ = ；
CH CA
∵∠DEB=∠CAB=90∘，∠B=∠B，
∴△DEB∽△CAB，
BD DE BE 15
∴ = = = ，
BC CA AB 6√5+4√5
∴CA=10，AB=20，
FH FQ
∴ = ，
CH 10
FH
∴当FQ最大时， 才有最大值，
CH
如图所示，过点M作MG⊥AD于G，
1 AB−BD 5
∴DG= AD= = ，
2 2 2
在Rt△DMG中，MG=√MD2−DG2=5，
∵点F在劣弧AD上，FQ≤FG≤FM −MG，
20/255√5 5√5−10
∴FQ =FM −MG= −5= ，
最大值
2 2
5√5−10
FH 2 √5−2
∴ 的最大值为 = ．
CH 10 4
25 解答题
二次函数y =mx2−2mx−3的图象记为G ，其中m≠0．
1 1
(1) 请直接写出二次函数y =mx2−2mx−3与y轴的交点A及其对称轴；
1
(2) 若二次函数y =mx2−2mx−3过点B(−1,0)，其与x轴的另一个交点为C，抛物线G 上是否
1 1
存在点N，使△ACN是直角三角形，若存在，请求出点N的横坐标，若不存在，请说明理由；
(3) 在（2）的条件下，二次函数y =ax2+bx+c的图像为G ，且夹在直线 y=2x−7与抛物线
2 2
G 之间，二次函数y 同时符合以下三个条件：
1 2
①当p−4≤x≤2−p时，二次函数y =ax2+bx+c最大值与最小值之差为9；
2
②当−5≤x≤−2时，y 随x的增大而减小；
2
③若把图象G 向左平移3个单位，当−5≤x≤−2时，y 随x的增大而增大；求实数p的值．
2 2
答案
(1) A(0，−3)，对称轴为直线 x=1
(2) 1+√5 1−√5
−2或1或 或
2 2
(3) p=−2
解析
(1) 解：在y =mx2−2mx−3中，令x=0，则y =−3，
1 1
∴抛物线与y轴的交点A的坐标为(0，−3)，
∵抛物线G 解析式为y =mx2−2mx−3=m(x−1)2−3−m，
1 1
∴抛物线y =mx2−2mx−3的对称轴为直线x=1；
1
(2) 解：∵二次函数y =mx2−2mx−3过点B(−1,0)，
1
∴m+2m−3=0，
解得m=1，
∴抛物线G 解析式为y =x2−2x−3，
1 1
∵抛物线G 对称轴为直线x=1，
1
21/25∴抛物线G 与x轴的另一个交点C的坐标为(3，0)；
1
设直线AC的解析式为y=kx+b，
3k+b=0
∴ ，
{b=−3
k=1
∴ ，
{b=−3
∴直线AC的解析式为y=x−3；
设N(t，t2−2t−3)，
如图2-1所示，当∠ACN =90∘，过点N作NT⊥x轴于T，
∵OA=OC =3，
∴∠ACO=∠CAO=45∘，
∴∠NCO=45∘，
∴△NTC是等腰直角三角形，
∴NT =CT，
∴t2−2t−3=3−t，
解得t=−3或t=3（舍去），
∴点N的横坐标为−2；
如图2-2所示，当∠CAN =90∘时，过点N作NT⊥y轴于T，
∴∠NAT =45∘，
∴△NAT是等腰直角三角形，
∴AT =NT，
∴t=−3−(t2−2t−3)，
解得t=1或t=0（舍去），
∴点N的横坐标为1；
22/25∣ ∣
∣ ∣
如图2-3所示，当∠ANC =90∘时，过点N作NT⊥y轴于T，过点G作GM⊥TN交TN延长线
于M，
∴∠ATN =∠NMC =90∘，∠TNA+∠TAN =90∘=∠TNA+∠MNC，
∴∠TAN =∠MNC，
∴△TAN ∽△MNC，
AT NM −3−t2+2t+3 |3−t|
∴ = ，即 = ，
TN CM |t| |3+2t−t|
|t(t−2)| |3−t|
∴ = ，
|t| |(t−3)(t+1)|
1
∴|t−2|= ，
t+1
1 1
∴t−2= 或2−t= ，
t+1 t+1
∴t2−t−3=0或t2−t−1=0，
1±√5 1±√13
解得t= 或t= （舍去），
2 2
1+√5 1−√5
∴点N的横坐标为 或 ；
2 2
1+√5 1−√5
综上所述，点N的横坐标为−2或1或 或 ；
2 2
23/25b
(3) 解：二次函数y =ax2+bx+c的对称轴为直线x=− ，
2
2a
∵二次函数y =ax2+bx+c夹在直线 y=2x−7与抛物线G 之间，
2 1
∴抛物线开口向上，即a>0；
∵当−5≤x≤−2时，y 随x的增大而减小，
2
b b
∴− ≥−2，即 ≤2；
2a 2a
b
若把图象G 向左平移3个单位，则平移后的抛物线对称轴为直线x=− −3，
2
2a
∵平移过后的抛物线，当−5≤x≤−2时，y 随x的增大而增大，
2
b b
∴− −3≤−5，即 ≥2，
2a 2a
b
∴ =2，即b=4a；
2a
y =x2−2x−3
联立 1 得(x−2)2=0，
{y=2x−7
解得x=2
∴抛物线y =x2−2x−3与y=2x−7只有一个交点(2，−3)；
1
∵二次函数y =ax2+bx+c夹在直线 y=2x−7与抛物线G 之间，
2 1
∴点(2，−3)也在二次函数y =ax2+bx+c的图象上，
2
∴4a+2b+c=−3，
∴c=−3−4a−2b=−12a−3；
∵二次函数y =ax2+bx+c夹在直线 y=2x−7与抛物线G 之间，
2 1
∴不等式2x−7≤ax2+bx+c≤x2−2x−3对于一切实数都成立，
∴2x−7≤ax2+4ax−12a−3≤x2−2x−3对于一切实数都成立，
∴ax2+(4a−2)x−12a+4≥0，(a−1)x2+(4a+2)x−12a≤0对于一切实数都成立，
a>0 a−1<0
∴ 且
{Δ =(4a−2)2−4a(4−12a)≤0 {Δ =(4a+2)2−4(a−1)(−12a)≤0
1 2
a>0 a<1
∴ 且 ，
{(4a−1)2≤0 {(4a−1)2≤0
1
解得a= ，
4
1
∴y = x2+x−6，对称轴为直线x=−2，
2 4
∵p−4≤x≤2−p，
∴p−4≤2−p，即p≤3，
∴2−p≥−1≥−2，
1
当p−4≤−2，即p≤2时，对于y = x2+x−6而言，当x=−2时，y 有最小值，最小
2 4 2
值为−7，
∵−2−(p−4)−(2−p+2)=−2−p+4−2+p−2=−2<0，
1
∴当x=2−p时，y 有最大值，最大值为 (2−p)2+(2−p)−6，
2
4
1
∴ (2−p)2+(2−p)−6−(−7)=9，
4
解得p=−2或p=10（舍去）；
当p−4≥−2，即2≤p≤3时，y 随x增大而增大，
2
24/251
∴当x=p−4时y 有最小值，最小值为 (p−4)2+(p−4)−6，当x=2−p时，y 有最大
2 2
4
1
值，最大值为 (2−p)2+(2−p)−6，
4
1 1
∴ (2−p)2+(2−p)−6− (p−4)2+(p−4)−6 =9
4 [4 ]
解得p=−6（舍去）；
综上所述， p=−2．
25/25
