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2025-2026学年内蒙古包头市八年级（上）期末数学试卷
一、单选题(本题包括1-8题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意，请将答题卡上对应
题目的答案标号涂黑)
1．（3分）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化
规律所形成的知识体系和社会实践．是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为
“中国的第五大发明”．如图四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”，其中对应图形
是轴对称图形的是（ ）
A． 立春 B． 小满 C． 惊蛰 D． 芒种
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．x2•x5＝x7 B．（3x2）2＝6x4
C．x6÷x3＝x2 D．2x2+3x2＝5x4
3．（3分）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
4．（3分）如图，已知直线m∥n，线段AC分别与直线m，n相交于点B、点C，以点A为圆心，AB的
长为半径画弧交直线m于点B，点D．若∠A＝70°，则 的度数为（ ）
α
A．45° B．50° C．55° D．60°
2 m
5．（3分）若关于x的方程 =1− 无解，则m的值是（ ）
x−3 x−3
.A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB＝12，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点
A、B与点C重合，则△NCF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．17
7．（3分）某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多 25%，结
果提前2天完成任务．设原计划每天生产x个零件，可列方程为（ ）
300 300 300 300
A． − =2 B． − =2
x (1+25%)x (1+25%)x x
300 300 300 300
C． − =2 D． − =2
x x+25% x+25% x
8．（3分）如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E、F分别在射线OA和
射线OB上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF是等边三角形；②当DE⊥OA时，△DEF的周长
最小；③当DE∥OB时，∠DFB＝60°，其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(本题包括9-14题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卡对应题号的横线上)
9．（3分）因式分解：a3﹣4ab2＝ ．
10．（3分）科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约 0.00000000028米，其中0.00000000028用科
学记数法表示为 ．
11．（3分）已知8×2m×16m＝28，则m的值为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F，分别为BC，AD，BE的中点，S△BFD ＝1，则S△ABC 的值为
．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】13．（3分）已知4x2+kx+9是一个完全平方式，那么k的值为 ．
14．（3分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，
动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，
当t的值为 秒时，△ABP和△DCE全等．
三、解答题(本题包括15-20题，共58分．请将答案填写在答题卡对应题号的空白处，请勿将答案书写在
密封线内)
15．（9分）计算与解方程：
（1）（x﹣3y）（xy2）2；
（2）（x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣2y）2；
x−2 3
（3） = +1．
x+3 x−3
16．（9分）先化简，再求值： 3 a2−4 ，其中a＝﹣3．
(a+1− )÷
a−1 a2−2a+1
17．（9分）如图，在一个10×6的正方形网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成
作图（仅用无刻度的直尺）及填空．
（1）画出△ABC关于直线DE对称的△A B C ；
1 1 1
（2）若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有 个，请画出；
（3）在DE上找一点M，使MB+MC最小．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】18．（9分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F使得EF＝ED，
连接CF．
（1）求证：AB∥CF；
（2）若BD＝4，CF＝3，AC平分∠BCF，求线段BC的长度．
19．（9分）2026年元旦节即将来临，校团委准备订购一批具有陶味的文创产品．经过一系列的筛选，
最终决定由甲、乙两个厂家共同生产，并在元旦前赶制完成陶味文创产品共 14100件．经考察，乙工
厂生产陶味文创产品的数量比甲工厂生产陶味文创产品的数量的1.5倍少900件．
（1）求甲、乙两工厂各生产陶味文创产品多少件？
（2）在生产过程中，乙工厂每天生产陶味文创产品的数量是甲工厂每天生产陶味文创产品数量的1.2
倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5天完成制作，求乙工厂每天生产多少件陶味
文创产品？
20．（13分）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“中点”“中线”等条
件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法”，并
且该方法有着广泛的应用．
【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题：
（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，D是BC的中点，求AD的取值范围．
解决思路：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，构造△ADC≌△EDB．通过求出线段AE的取值范
围即可解决该问题．请你直接写出AD的取值范围为 ；
（2）如图2，点D为BC的中点，∠ABD＝∠ECD＝∠ADE＝90°，AB＝10，CE＝22，求AE；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（3）如图3，在△ABD和△ACE中，∠DAB＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE．连接DE，BC，作
BC边上的中线AF．请猜想DE和AF的数量关系并说明理由．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A C D A A D
9.a（a+2b）（a﹣2b） 10.2.8×10﹣10 11.1 12.8 13.±12 14.1或7
选择题、填空题解法提示
8．解：如图所示，过点D作DM⊥OA于点M，作DN⊥OB于点N，
∴∠OMD＝∠OND＝90°，
∴∠MDN＝360°﹣∠OMD﹣∠OND﹣∠AOB＝60°，
∴∠MDE+∠EDN＝∠EDN+∠NDF＝60°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵点D是∠AOB的平分线上的一个定点，DN⊥OB，DM⊥OA，
∴DM＝DN，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴∠EDF＝60°，DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形，故①正确，符合题意；
根据点到直线垂线段最短可知当DE⊥OA时，DE的值最小，
∵△DEF是等边三角形，
∴△DEF的周长为3DE，此时周长最小，故②正确，符合题意；
当DE∥OB时，
∵∠AOB＝120°，∴∠DEO＝180°﹣120°＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EFD＝60°，DE＝EF＝EO，即点F，O重合，
∴∠DFB＝∠AOB﹣∠EFD＝120°﹣60°＝60°，故③正确，符合题意；
故选：D．
14．解：设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；
当点P在线段AD上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝6，CD＝4，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为：1或7．
解答题参考答案
15．解：（1）原式＝（x﹣3y）•x2y4
＝x3y4﹣3x2y5；
（2）原式＝x2﹣xy+2xy﹣2y2﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝x2﹣xy+2xy﹣2y2﹣x2+4xy﹣4y2
＝5xy﹣6y2；
（3）原方程去分母得：（x﹣2）（x﹣3）＝3（x+3）+（x+3）（x﹣3），
整理得：8x＝6，
3
解得：x= ，
4
3
经检验，当x= 时，（x+3）（x﹣3）≠0，
4
3
∴原分式方程的解为x= ．
4
16．解：原式 a2−1 3 a2−4 a2−4 a2−4
=( − )÷ = ÷
a−1 a−1 a2−2a+1 a−1 a2−2a+1
a2−4 a2−2a+1 a2−4 (a−1) 2
= ⋅ = ⋅
a−1 a2−4 a−1 a2−4
＝a﹣1，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】当a＝﹣3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
17．解：（1）△ABC关于直线DE对称的△A B C ，如图1即为所求；
1 1 1
（2）如图2，P ，P ，P ，P 即为所求，则网格中满足条件的格点P共有4个，
1 2 3 4
故答案为：4；
（3）使MB+MC最小的点M，如图3即为所求．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】18．（1）证明：∵点E为AC中点，
∴CE＝AE，
在△CEF和△AED中，
{
CE=AE
)
∠CEF=∠AED ，
EF=ED
∴△CEF≌△AED（SAS），
∴∠ECF＝∠A，
∴AB∥CF；
（2）解：延长CF与BE的延长相交于点H，如图所示：
由（1）的结论得：AB∥CH，
∴∠H＝∠DBE，
在△EFH和△EDB中，
{
∠H=∠DBE
)
∠FEH=∠DEB ，
EF=ED
∴△EFH≌△EDB（AAS），
∴HF＝BD，
∴HC＝CF+HF＝CF+BD，
∵BD＝4，CF＝3，
∴HC＝CF+BD＝7，
∵AC平分∠BCF，
∴∠DBE＝∠CBH，
∴∠H＝∠CBH，
∴BC＝HC＝7，
即线段BC的长为7．
19．解：（1）设甲工厂生产陶味文创产品x件，则乙工厂生产陶味文创产品（1.5x﹣900）件，
由题意得：x+（1.5x﹣900）＝14100，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】解得：x＝6000，
∴1.5x﹣900＝1.5×6000﹣900＝8100，
答：甲工厂生产陶味文创产品6000件，则乙工厂生产陶味文创产品8100件；
（2）设甲工厂每天生产陶味文创产品y件，则乙工厂每天生产陶味文创产品1.2y件，
8100 6000
由题意得： − =5，
1.2y y
解得：y＝150，
经检验，y＝150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×150＝180，
答：乙工厂每天生产陶味文创产品180件．
20．解：（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
{
BD=CD
)
∠BDE=∠CDA ，
DE=AD
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝9，
∵AB＝5，AC＝9，
由三角形三边关系可知，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即9﹣5＜AE＜9+5，
∴4＜AE＜14，
∵DE＝AD，
∴AE＝2AD，
∴4＜2AD＜14，
∴2＜AD＜7；
（2）延长ED交AB的延长线于H，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠HBD＝∠ECD＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDE中，
{∠HBD=∠ECD=90°
)
BD=CD ，
∠BDH=∠CDE
∴△BDH≌△CDE（ASA），
∴BH＝CE，DH＝DE，
∴AH＝AB+BH＝AB+CE，
∵AB＝10，CE＝22，
∴AH＝10+22＝32，
∵∠ADE＝90°，∴AD⊥EH，
∵DH＝DE，
∴AD为线段EH的垂直平分线，
∴AE＝AH＝32；
（3）DE＝2AF，理由：
延长AF到P，使FP＝FA，连接BP，延长FA，与DE相交于点G，如图3，
∴AP＝2AF，
∵点F是BC的中点，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴BF＝CF，
在△BFP和△CFA中，
{
BF=CF
)
∠BFP=∠CFA ，
FP=FA
∴△BFP≌△CFA（SAS），
∴∠P＝∠CAF，BP＝AC，
∴BP∥AC，
∴∠ABP+∠BAC＝180°，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△ACE为等腰直角三角形，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝180°，
∴∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠ABP＝∠DAE，
∵BP＝AC，AC＝AE，
∴BP＝AE，
在△ABP和△DAE中，
{
AB=AD
)
∠ABP=∠DAE ，
BP=AE
∴△ABP≌△DAE（SAS），
∴AP＝DE，∠BAP＝∠ADE，
∵AP＝2AF，
∴DE＝2AF．
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