文档内容
2014年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣1）﹣1＝1 B．（﹣1）0＝0 C．|﹣1|＝﹣1 D．﹣（﹣1）2＝﹣1
3．（3分）2013年我国GDP总值为56.9万亿元，增速达7.7%，将56.9万亿元用科学记数法表
示为（ ）
A．56.9×1012元 B．5.69×1013元
C．5.69×1012元 D．0.569×1013元
4．（3分）在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则
这6名学生成绩的中位数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（3分）计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．（3分）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．必然事件发生的概率为0
B．一组数据1，6，3，9，8的极差为7
C．“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件
D．“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x﹣1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为 ．若将BD绕点B旋转后，点D落在
BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
第1页（共25页）A． ﹣1 B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣2
π
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若
AD＝2BD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）已知下列命题：
若a＞b，则ac＞bc；
①若a＝1，则 ＝a；
②内错角相等；
③90°的圆周角所对的弦是直径．
④其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x ，x ，且x +x
1 2 1 2
＞0，x x ＞0，则m的取值范围是（ ）
1 2
A．m≤ B．m≤ 且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）计算： ﹣ ＝ ．
14．（3分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝73°，则∠4的度数为 度．
第2页（共25页）15．（3分）某学校举行演讲比赛，5位评委对某选手的打分如下（单位：分）9.5，9.4，9.4，9.5，
9.2，则这5个分数的平均分为 分．
16．（3分）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）＝ ．
17．（3分）方程 ﹣ ＝0的解为x＝ ．
18．（3分）如图，AB是 O的直径，BC是弦，点E是 的中点，OE交BC于点D．连接AC，
若BC＝6，DE＝1，⊙则AC的长为 ．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，
∠ABO＝90°，OA与反比例函数y＝ 的图象交于点D，且OD＝2AD，过点D作x轴的垂
线交x轴于点C．若S四边形ABCD ＝10，则k的值为 ．
20．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞
AE），下列结论：
∠AEF＝∠BCE；
①AF+BC＞CF；
②S△CEF ＝S△EAF +S△CBE ；
③
若 ＝ ，则△CEF≌△CDF．
④
第3页（共25页）其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
21．（8分）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相
同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字
记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．
（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y＝mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．
22．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝45°，点E在BC上，且
∠AEB＝60°．若AB＝2 ，AD＝1，求CD和CE的长．（注意：本题中的计算过程和结果
均保留根号）
23．（10分）甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定
的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠
条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y 元，乙商场收费为y 元．
1 2
（1）分别求出y ，y 与x之间的关系式；
1 2
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？
（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．
24．（10分）如图，已知AB，AC分别是 O的直径和弦，点G为 上一点，GE⊥AB，垂足为
点E，交AC于点D，过点C的切线与⊙AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连
接AG．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）若点D为AC的中点，且∠F＝30°，BF＝2，求△PCD的周长和AG的长．
第4页（共25页）25．（12分）如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点
B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON
方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E
到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF ＝ S四边形AEOF ？若存在，请
求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
26．（12分）已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，
该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）连接ON，AC，证明：∠NOB＝∠ACB；
（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为 时，求点
E的坐标；
（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称
吗？请说明理由．
第5页（共25页）第6页（共25页）2014年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解；A、是有理数，故A错误；
B、是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、 是无理数，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．
2．【分析】根据负整指数幂，可判断A，根据非0的0次幂，可判断B，根据负数的绝对值是正
数，可判断C，根据相反数，可判断D．
【解答】解：A、（﹣1）﹣1＝﹣1，故A错误；
B、（﹣1）0＝1，故B错误；
C、|﹣1|＝1，故C错误；
D、﹣（﹣1）2＝﹣1，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等
于1．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：56.9万亿元＝5.69×1013元，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据中位数的定义，把把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，10，
最中间两个数的平均数是（8+8）÷2＝8，
第7页（共25页）则中位数是8．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最
中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
5．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝（ ）2+ ×
＝ +
＝2．
故选：A．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
6．【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的
组数．
【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之
差小于第三边是解题的关键．
7．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，可得答案．
【解答】解：A、必然事件发生的概率为1，故A错误；
B、一组数据1，6，3，9，8的极差为8，故B错误；
C、面积相等两个三角形全等，是随机事件，故C错误；
D、“任意一个三角形的外角和等于180°”是不可能事件，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不
发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事．
8．【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y＝3x2的对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，
0），则抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直
线x＝1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2的对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，0），
第8页（共25页）∴抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x
＝1，顶点坐标为（1，2），
∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y＝a（x﹣
k）2+h，其中对称轴为直线x＝k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上
平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y＝a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理
解为把抛物线的顶点进行平移．
9．【分析】首先根据正方形的性质可得∠DBD′＝45°，BC＝CD，然后根据勾股定理可得
BC、CD长，再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBD′＝45°，BC＝CD，
∵BD的长为 ，
∴BC＝CD＝1，
∴S扇形BDD′ ＝ ＝ ，
S△CBD ＝ 1×1＝ ，
∴阴影部分的面积： ﹣ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇
形的面积公式：S＝ ．
10．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ＝ ＝ ＝2，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD，
∴ ＝ ＝2， ＝ ＝2，
∴ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截
第9页（共25页）得的对应线段成比例．
11．【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．
【解答】解； 若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；
若a＝1，则① ＝a是真命题，逆命题是假命题；
②内错角相等是假命题，逆命题是假命题；
③90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；
④其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；
故选：A．
【点评】主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个
命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两
个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要
熟悉课本中的性质定理．
12．【分析】先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x +x
1 2
＝﹣2（m﹣1），x x ＝m2，再由x +x ＞0，x x ＞0，解出不等式组即可．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：∵△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+4≥0，
∴m≤ ，
∵x +x ＝﹣2（m﹣1）＞0，x x ＝m2＞0
1 2 1 2
∴m＜1，m≠0
∴m≤ 且m≠0．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的
关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔ ⇔
（3）△＜0 方程没有实数根，根与系数的关系是x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
⇔
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案．
【解答】解： ﹣
＝ ×2 ﹣ ×
第10页（共25页）＝ ﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14．【分析】根据已知一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两
直线平行同旁内角互补得到一对角互补，再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠5+∠3＝180°，
∵∠4＝∠5，∠3＝73°，
∴∠4+∠3＝180°，
则∠4＝107°．
故答案为：107
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
15．【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：这5个分数的平均分为（9.5×2+9.4×2+9.2）÷5＝9.4；
故答案为：9.4．
【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公
式列出算式．
16．【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即
可得到结果．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2+4
＝2x+5．
故答案为：2x+5．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
第11页（共25页）17．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣3﹣x﹣1＝0，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故答案为：2
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．【分析】连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE＝∠COE，由于OB＝OC，根据
等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD＝CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出
OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．
【解答】解：连接OC，如图所示．
∵点E是 的中点，
∴∠BOE＝∠COE．
∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，BD＝DC．
∵BC＝6，
∴BD＝3．
设 O的半径为r，则OB＝OE＝r．
∵⊙DE＝1，
∴OD＝r﹣1．
∵OD⊥BC即∠BDO＝90°，
∴OB2＝BD2+OD2．
∵OB＝r，OD＝r﹣1，BD＝3，
∴r2＝32+（r﹣1）2．
解得：r＝5．
∴OD＝4．
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD＝ AC．
∴AC＝8．
第12页（共25页）【点评】本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定
理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．
19．【分析】证△DCO∽△ABO，推出 ＝ ＝ ＝ ，求出 ＝（ ）2＝ ，求出
S△ODC ＝8，根据三角形面积公式得出 OC×CD＝8，求出OC×CD＝16即可．
【解答】解：∵OD＝2AD，
∴ ＝ ，
∵∠ABO＝90°，DC⊥OB，
∴AB∥DC，
∴△DCO∽△ABO，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵S四边形ABCD ＝10，
∴S△ODC ＝8，
∴ OC×CD＝8，
OC×CD＝16，
∵双曲线在第二象限，
∴k＝﹣16，
故答案为：﹣16．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，
解此题的关键是求出△ODC的面积．
20．【分析】根据同角的余角相等可得∠AEF＝∠BCE，判断出 正确，然后求出△AEF和
第13页（共25页）
①△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得 ＝ ，然后根据两组边对边对应成比
例，两三角形相似求出△AEF和△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE＝
∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE＝
HE，利用“HL”证明△AEF和△HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF＝FH，同理可
得BC＝CH，然后求出AF+BC＝CF，判断出 错误；根据全等三角形的面积相等可得
S△CEF ＝S△EAF +S△CBE ，判断出 正确；根据锐角②三角函数的定义求出∠BCE＝30°，然后求
出∠DCF＝∠ECF＝30°，再利③用“角角边”证明即可．
【解答】解：∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC＝90°，
∵∠BEC+∠BCE＝90°，
∴∠AEF＝∠BCE，故 正确；
又∵∠A＝∠B＝90°，①
∴△AEF∽△BCE，
∴ ＝ ，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴ ＝ ，
又∵∠A＝∠CEF＝90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴∠AFE＝∠EFC，
过点E作EH⊥FC于H，
则AE＝HE，
在△AEF和△HEF中，
，
∴△AEF≌△HEF（HL），
∴AF＝FH，
同理可得△BCE≌△HCE，
∴BC＝CH，
第14页（共25页）∴AF+BC＝CF，故 错误；
∵△AEF≌△HEF，②△BCE≌△HCE，
∴S△CEF ＝S△EAF +S△CBE ，故 正确；
③
若 ＝ ，则cot∠BCE＝ ＝ ＝ ＝ ＝2× ＝ ，
∴∠BCE＝30°，
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
在△CEF和△CDF中，
，
∴△CEF≌△CDF（AAS），故 正确，
综上所述，正确的结论是 ④．
故答案为： ． ①③④
①③④
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解
直角三角形，熟记各性质是解题的关键，难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE
＝∠EFC．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
21．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y＝mx+n的图象经过第二、三、四象限的有：
（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
第15页（共25页）则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣
4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；
（2）∵所选出的m，n能使一次函数y＝mx+n的图象经过第第二、三、四象限的有：（﹣3，
﹣4），（﹣4，﹣3），
∴所选出的m，n能使一次函数y＝mx+n的图象经过第第二、三、四象限的概率为： ＝
．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】过点D作DF⊥BC，根据∠BCD＝45°，得DF＝CF，再由AB＝2 ，可得DF＝CF
＝2 ，由勾股定理得CD的长，因为AD＝1，所以BC＝2 +1，根据∠AEB＝60°，可得
BE，进而得出CE的长．
【解答】解：过点D作DF⊥BC，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∵∠BCD＝45°，
∴DF＝CF，
∵AB＝2 ，
∴DF＝CF＝2 ，
∴由勾股定理得CD＝2 ；
∵AD＝1，
∴BF＝1，
∴BC＝2 +1，
∵∠AEB＝60°，
∴tan60°＝ ，
∴ ＝ ，
∴BE＝2，
第16页（共25页）∴CE＝BC﹣BE＝2 +1﹣2＝2 ﹣1．
【点评】本题考查了梯形的计算以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
23．【分析】（1）根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；
（2）根据收费相同，列出方程求解即可；
（3）根据函数解析式分别求出x＝5时的函数值，即可得解．
【解答】解：（1）当x＝1时，y ＝3000；
1
当x＞1时，y ＝3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）＝2100x+900．
1
∴y ＝ ；
1
y ＝3000x（1﹣25%）＝2250x，
2
∴y ＝2250x；
2
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900＝2250x，
解得x＝6，
答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；
（3）x＝5时，y ＝2100x+900＝2100×5+900＝11400，
1
y ＝2250x＝2250×5＝11250，
2
∵11400＞11250，
∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的
关键．
24．【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得∠OCP＝90°，即∠1+∠PCD＝90°，由GE⊥AB
得∠GEA＝90°，则∠2+∠ADE＝90°，利用∠1＝∠2得到∠PCD＝∠ADE，根据对顶角相
等得∠ADE＝∠PDC，所以∠PCD＝∠PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD
是等腰三角形；
（2）连结OD，BG，在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC＝2，
第17页（共25页）由于∠FOC＝90°﹣∠F＝60°，根据三角形外角性质可计算出∠1＝∠2＝30°，则∠PCD＝
90°﹣∠1＝60°，可判断△PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，根据垂径定理得到
OD⊥AC，AD＝CD，在Rt△OCD中，可计算出OD＝ OC＝1，CD＝ OD＝ ，所以
△PCD的周长为3 ；然后在Rt△ADE中，计算出DE＝ AD＝ ，AE＝ DE＝ ，
根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB＝90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比
可计算出AG．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵PC为 O的切线，
∴OC⊥P⊙C，
∴∠OCP＝90°，即∠1+∠PCD＝90°，
∵GE⊥AB，
∴∠GEA＝90°，
∴∠2+∠ADE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
∴∠PCD＝∠ADE，
而∠ADE＝∠PDC，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形；
（2）解：连结OD，BG，如图，
在Rt△COF中，∠F＝30°，BF＝2，
∴OF＝2OC，即OB+2＝2OC，
而OB＝OC，
∴OC＝2，
∵∠FOC＝90°﹣∠F＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°，
∴∠PCD＝90°﹣∠1＝60°，
∴△PCD为等边三角形，
第18页（共25页）∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△OCD中，OD＝ OC＝1，
CD＝ OD＝ ，
∴△PCD的周长为3 ；
在Rt△ADE中，AD＝CD＝ ，
∴DE＝ AD＝ ，
AE＝ DE＝ ，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
而∠GAE＝∠BAG，
∴Rt△AGE∽Rt△ABG，
∴AG：AB＝AE：AG，
∴AG2＝AE•AB＝ ×4＝6，
∴AG＝ ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形
的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质．
25．【分析】（1）运用 ＝ 和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．
（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．
（3）根据S△AEF ＝S梯形ABOF ﹣S△FOE ﹣S△ABE 以及S四边形AEOF ＝S梯形ABOF ﹣S△ABE 可得到
S△AEF 与S四边形AEOF 关于t的表达式，进而可求出t的值．
第19页（共25页）【解答】解：（1）∵t＝1，
∴OE＝1.5厘米，OF＝2厘米，
∵AB＝3厘米，OB＝4厘米，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝
∵∠MON＝∠ABE＝90°，
∴△EOF∽△ABO．
（2）在运动过程中，OE＝1.5t，OF＝2t．
∵AB＝3，OB＝4．
∴ ．
又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB＝∠EFO．
∵∠AOB+∠FOC＝90°，
∴∠EFO+∠FOC＝90°，
∴EF⊥OA．
（3）如图，连接AF，
∵OE＝1.5t，OF＝2t，
∴BE＝4﹣1.5t
∴S△FOE ＝ OE•OF＝ ×1.5t×2t＝ t2，
S△ABE ＝ ×（4﹣1.5t）×3＝6﹣ t，
第20页（共25页）S梯形ABOF ＝ （2t+3）×4＝4t+6，
∴S△AEF ＝S梯形ABOF ﹣S△FOE ﹣S△ABE ＝4t+6﹣ t2﹣（6﹣ t）＝﹣ t2+ t，
S四边形AEOF ＝S梯形ABOF ﹣S△ABE ＝4t+6﹣（6﹣ t）＝ t，
∵S△AEF ＝ S四边形AEOF
∴﹣ t2+ t＝ × t，（0＜t＜ ）
解得t＝ 或t＝0（舍去）．
∴当t＝ 时，S△AEF ＝ S四边形AEOF ．
【点评】本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△AEF ＝ S四边形AEOF 求t的值．
26．【分析】方法一：
（1）利用待定系数法即可求得解析式，把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标．
（2）根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得△ABC∽△NBO，由三角形相似的
性质即可求得．
（3）作EQ⊥BC于Q，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性
质求得Q点的坐标，根据勾股定理即可求得．
（4）先求得直线EF的解析式，即可求得BC⊥EF，根据勾股定理求得EN＝FN，即可判定
E、F两点关于直线BC对称．
方法二：
（1）略．
（2）欲证∠NOB＝∠ACB，只需证明AB：BC＝BN：OB，因此分别求出AB，BC，BN，OB的
长度即可．
（3）利用面积公式可求出点E的坐标．
（4）求出点E，F，N坐标，再利用中点公式得出对称．
【解答】方法一：
解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴ ，
第21页（共25页）解得 ．
∴抛物线为y＝﹣x2+x+2；
∴抛物线为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴顶点M（ ， ）．
（2）如图1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），
∴直线BC为：y＝﹣x+2，
当x＝ 时，y＝ ，
∴N（ ， ），
∴AB＝3，BC＝2 ，OB＝2，BN＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∵∠ABC＝∠NBO，
∴△ABC∽△NBO，
∴∠NOB＝∠ACB；
（3）如图2，作EQ⊥BC于Q，
∵直线BC为y＝﹣x+2，
∴设E（m，﹣m2+m+2），
直线EQ的解析式为y＝x+b，
则直线EQ为y＝x+（﹣m2+2），
解
第22页（共25页）得 ，
∴Q（ m，﹣ m2+2），
∵EQ＝ ，
∴（m﹣ m2）2+（﹣ m2+2+m2﹣m﹣2）2＝（ ）2，
解得m＝1，
∴﹣m2+m+2＝2，
∴E（1，2），
（4）如图2，连接EN，并延长EN交y轴于点F，
∵E（1，2），N（ ， ），
设直线EN的解析式为y＝mx+n，
∴ ，解得 ，
∴直线EF为y＝x+1，
∴F（0，1），
∵直线BC和直线EF斜率互为负倒数，
∴EF⊥BC，
∴EN＝ ＝ ，FN＝ ＝ ，
∴EN＝FN，
∴E、F两点关于直线BC对称．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）连接EN交y轴于F，作EH⊥x轴交BC于H，
设E（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），
第23页（共25页）S△EBC ＝ （E
Y
﹣H
Y
）（B
X
﹣
X
）＝ BC×EN，
∁
∴2（﹣t2+t+2+t﹣2）＝2 × ，
∴t＝1，E（1，2）．
（4）∵E（1，2），N（ ， ），
∴l ：y＝x+1，
EN
当x＝0时，y＝1，
∴F（0，1），
∴K ×K ＝﹣1，
EN BC
∴EN⊥BC，
∵E（1，2），F（0，1），
∴线段EF中点为（ ， ），
即N（ ， ），
∴点E，点F关于直线BC对称．
第24页（共25页）【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点的求法，直线的交点问题，勾股定
理的应用等．
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