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2021年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将
答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交
车46.61万辆，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（3分）（2021•包头）下列运算结果中，绝对值最大的是（ ）
A．1+（﹣4） B．（﹣1）4 C．（﹣5）﹣1 D．
3．（3分）（2021•包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，则线
段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
4．（3分）（2021•包头）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2只，那么取出
的鞋是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，BC＝2，以点A为圆心，
交AB于点D，交AC于点C，AC的长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面
积为（ ）
A．8﹣ B．4﹣ C．2﹣ D．1﹣
π π
6．（3分）（2021•包头）若x＝ +1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．3﹣2
7．（3分）（2021•包头）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式
第1页（共33页）x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
8．（3分）（2021•包头）如图，直线l ∥l ，直线l 交l 于点A，交l 于点B，过点B的直
1 2 3 1 2
线l 交l 于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（ ）
4 1
A．80° B．70° C．60° D．50°
9．（3分）（2021•包头）下列命题正确的是（ ）
A．在函数y＝﹣ 中，当x＞0时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则1+a＞1﹣a
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．各边相等的圆内接四边形是正方形
10．（3分）（2021•包头）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点
（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（3分）（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，
垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的OA边在x轴的正
第2页（共33页）半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝ （x＞0），与对角线OB交于点E，
与AB交于点F，DE，EF
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE ＝S△BEF ；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线
上。
13．（3分）（2021•包头）因式分解： +ax+a＝ ．
14．（3分）（2021•包头）化简： ＝ ．
15．（3分）（2021•包头）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为
．
16．（3分）（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数
据的中位数为8 ．
17．（3分）（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为B，且BD＝3，与
AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，则MN的长为 ．
18．（3分）（2021•包头）如图，在 ABCD中，AD＝12，连接OC．若OC＝AB，则
第3页（共33页）
▱ABCD的周长为 ．
▱
19．（3分）（2021•包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，连
接CE，EF，EF＝EC，则∠BAF的度数为 ．
20．（3分）（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B
的左侧）与y轴交于点C（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，△ACE
的面积为 ．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写
在答题卡的对应位置。
21．（8分）（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞
赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名（如图），已知竞赛成绩
满分为100分，统计表中a，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩（分） 70 80 90 100
人数 3 a b 5
（1）求统计表中a，b的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝
85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，请写出正确的算式并计算出结
果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．
第4页（共33页）22．（8分）（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同
一侧选定C，D两个观测点 km，CD长为 （ + ），BD长为 km，∠CDB＝
135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．
23．（10分）（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发
现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．
已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平
均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3分钟，他能否在上课前赶回学校？请
说明理由．
24．（10分）（2021•包头）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，交AC于
点F，过点F作FG⊥AB，交 于点G，交AD于点M，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
第5页（共33页）（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2
25．（12分）（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，
CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R 上时，连接AP，CD
＝AP，连接DP；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，连接EP并延长，交AC于点F，若 ，
求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，AB＝6a，MP＝ a ，△BCP的面
1
积为S ，求S ﹣S 的值（用含a的代数式表示）．
2 1 2
26．（12分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原
点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）
（1）如图1，当m＞0，n＞0，
①求点M的坐标；
第6页（共33页）②若点B（ ，y）在该抛物线上，连接OM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B
不重合），过点C作CD∥MO，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x， ），当m＞2，n＞0，过点
A作x轴的垂线，交直线EM于点N，点G的坐标为（0， ），连接GF．若EF+NF
＝2MF
第7页（共33页）2021年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将
答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交
车46.61万辆，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：因为46.61万＝466100＝4.661×105，
所以将46.61万用科学记数法表示为7.661×10n，则n等于5．
故选：B．
2．（3分）（2021•包头）下列运算结果中，绝对值最大的是（ ）
A．1+（﹣4） B．（﹣1）4 C．（﹣5）﹣1 D．
【解答】解：因为|1+（﹣4）|＝|﹣8|＝3，|（﹣1）5|＝|1|＝1，|（﹣6）﹣1|＝|﹣ |＝
，| ，
且 ＜6＜2＜3，
所以绝对值最大的是选项A．
故选：A．
3．（3分）（2021•包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，则线
段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【解答】解：根据题意分两种情况，
①如图1，
∵AB＝4，BC＝5，
∴AC＝AB﹣BC＝2，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝ ＝ ；
第8页（共33页）②如图2，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝ ＝ ×6＝3．
∴线段AD的长为2或3．
故选：C．
4．（3分）（2021•包头）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2只，那么取出
的鞋是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：两双不同的鞋用A、a、B、b表示、a表示同一双鞋，B，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4，
所以取出的鞋是同一双的概率＝ ＝ ．
故选：A．
5．（3分）（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，BC＝2，以点A为圆心，
交AB于点D，交AC于点C，AC的长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面
积为（ ）
第9页（共33页）A．8﹣ B．4﹣ C．2﹣ D．1﹣
π π
【解答】解：根据题意可知AC＝ ＝ ＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S 阴影部分 ＝S△ABC ﹣（S 扇形EBF +S 扇形DAC ）＝ ﹣（
＝1﹣ ，
故选：D．
6．（3分）（2021•包头）若x＝ +1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．3﹣2
【解答】解：∵x＝ +1，
∴x﹣4＝ ，
∴（x﹣1）8＝2，即x2﹣7x+1＝2，
∴x6﹣2x＝1，
∴x5﹣2x+2＝8+2＝3．
故选：C．
7．（3分）（2021•包头）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式
x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
第10页（共33页）【解答】解∵a b＝a﹣2b，
∴x⨂m═x﹣2m⊗．
∵x⨂m＞2，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣3，
∴2m+3＝﹣2，
∴m＝﹣2．
故选：B．
8．（3分）（2021•包头）如图，直线l ∥l ，直线l 交l 于点A，交l 于点B，过点B的直
1 2 3 1 2
线l 交l 于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（ ）
4 1
A．80° B．70° C．60° D．50°
【解答】解：如图，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠7+∠3＝180°，
∵∠1+∠7+∠3＝240°，
∴∠2＝240°﹣（∠5+∠3）＝60°，
∵∠3+∠6+∠5＝180°，∠3＝50°，
∴∠7＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，
∵l ∥l ，
7 2
∴∠4＝∠4＝70°，
第11页（共33页）故选：B．
9．（3分）（2021•包头）下列命题正确的是（ ）
A．在函数y＝﹣ 中，当x＞0时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则1+a＞1﹣a
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．各边相等的圆内接四边形是正方形
【解答】解：A、在函数y＝﹣ ＜0，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、若a＜6，故原命题错误；
C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，不符合题意；
D、各边相等的圆内接四边形是正方形，是真命题，
故选：D．
10．（3分）（2021•包头）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点
（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点（1，﹣b）在第一象限．
∴﹣b＞0．
∴b＜7．
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（3，﹣b）．
∴﹣b＝a﹣b+c．
∴a+c＝0．
∵a≠0．
∴ac＜6．
∴一次函数y＝bx﹣ac的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
11．（3分）（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，
垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则 的值为（ ）
第12页（共33页）A． B． C． D．
【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，
∴AC＝CD，AB＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，∠ACO＝∠DCO，
∴BD＝ ＝ ＝5，
∵CE⊥CD，
∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，
∴∠CAO＝∠ECO，
∴tan∠ECO＝ ＝ ，
∴ ，
∴EO＝ ，
∴AE＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
方法二，也可以通过证明△DCE∽△DOB．
故选：D．
12．（3分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的OA边在x轴的正
第13页（共33页）半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝ （x＞0），与对角线OB交于点E，
与AB交于点F，DE，EF
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE ＝S△BEF ；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①矩形OABC中，
∵B（4，2），
∴OA＝8，OC＝2，
由勾股定理得：OB＝ ＝4 ，
当y＝2时，8＝ ，
∴x＝1，
∴D（4，2），
∴CD＝1，
由勾股定理得：OD＝ ＝ ，
∴sin∠DOC＝ ＝ ＝ ，
cos∠BOC＝ ＝ ，
∴sin∠DOC＝cos∠BOC，
故①正确；
②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0），
把（7，2）代入得：4k＝3，
第14页（共33页）∴k＝ ，
∴y＝ x，
当 x＝ 时，
∴E（2，3），
∴E是OB的中点，
∴OE＝BE，
故②正确；
③当x＝4时，y＝ ，
∴F（4， ），
∴BF＝2﹣ ＝ ，
∴S△BEF ＝ （4﹣2）＝ ，
S△DOE ＝ ﹣ ﹣
＝4﹣4﹣
＝ ，
∴S△DOE ＝S△BEF ，
故③正确；
④由勾股定理得：DF＝ ＝ ，
∵OD＝ ，
∴ ＝ ，
即OD：DF＝2：3．
故④正确；
第15页（共33页）其中正确的结论有①②③④，共4个．
故选：A．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线
上。
13．（3分）（2021•包头）因式分解： +ax+a＝ a （ x +1 ） 2 ．
【解答】解：原式＝a（ x4+x+1）＝a（ x+1）2，
故答案为：a（ x+1）6．
14．（3分）（2021•包头）化简： ＝ 1 ．
【解答】解：原式＝ •（m+2）
＝
＝1．
故答案为2．
15．（3分）（2021•包头）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为
2 ．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+7，
∴2b﹣1+b+2＝0，
∴b＝﹣1．
∴b+6＝﹣1+4＝4，
∴a＝9．
∴a+b＝9+（﹣6）＝8，
∵8的立方根为4，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
16．（3分）（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数
据的中位数为8 3. 6 ．
第16页（共33页）【解答】解：根据题意，数据5，7，x，10的中位数为8，
则有x＝8，
这组数据的平均数为 （5+10+7+3+10）＝8，
则这组数据的方差S2＝ [（5﹣4）2+（10﹣8）7+（7﹣8）4+（8﹣8）4+（10﹣8）2]＝
3.6，
故答案为：3.5．
17．（3分）（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为B，且BD＝3，与
AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，则MN的长为 ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴MN＝ ．
故答案为： ．
18．（3分）（2021•包头）如图，在 ABCD中，AD＝12，连接OC．若OC＝AB，则
▱
ABCD的周长为 24+ 6 ．
▱
第17页（共33页）【解答】解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴∠EOD+∠OEC＝180°，
∵ O与BC相切于点E，
∴⊙OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°
∴∠EOD＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFO＝90°，
∴四边形OECF为矩形，
∴FC＝OE，
∵AD为直径，AD＝12，
∴FC＝OE＝OD＝ AD＝5，
∵OC＝AB，CF⊥AD，
∴OF＝ OD＝5，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
OC2＝OF2+FC2＝32+42＝45，
∴AB＝OC＝3 ，
第18页（共33页）∴ ABCD的周长为12+12+3 +6 ，
▱
故答案为：24+8 ．
19．（3分）（2021•包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，连
接CE，EF，EF＝EC，则∠BAF的度数为 22.5 ° ．
【解答】解：如右图，连接AE，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DEC＝∠DCE＝ ＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.3°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.3°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.7°＝22.5°，
∵AD＝DE，∠ADE＝45°，
∴∠AED＝ ＝67.6°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
第19页（共33页）∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.6°＝67.5°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.7°，
故答案为：22.5°．
20．（3分）（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B
的左侧）与y轴交于点C（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，△ACE
的面积为 4 ．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣4x﹣3＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，则A（﹣1，B（3，
2 2
抛物线的对称轴为直线x＝4，
当x＝0时，y＝x2﹣4x﹣3＝﹣3，则C（6，
当x＝4时，y＝x2﹣3x﹣3＝5，则D（2，
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，7），5）代入得 ，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+5＝2，2），
当x＝4时，y＝x+1＝1，5），
∴S△ACE ＝S△ACF +S△ECF ＝ ×8×1+ ．
第20页（共33页）故答案为4．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写
在答题卡的对应位置。
21．（8分）（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞
赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名（如图），已知竞赛成绩
满分为100分，统计表中a，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩（分） 70 80 90 100
人数 3 a b 5
（1）求统计表中a，b的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝
85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，请写出正确的算式并计算出结
果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．
第21页（共33页）【解答】解：（1）∵每组学生均为20名，
∴a+b＝20﹣3﹣5＝12（名），
∵b＝5a，
∴a＝4，b＝8；
（2）小明的计算不正确，
正确的计算为： ＝87.5（分）；
（3）竞赛成绩较好的是甲组，
理由：乙组 20名学生竞赛成绩的平均分：100× +90× +70×
，
80.5＜87.7，
∴竞赛成绩较好的是甲组．
22．（8分）（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同
一侧选定C，D两个观测点 km，CD长为 （ + ），BD长为 km，∠CDB＝
135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．
【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：
则∠AEC＝∠AED＝90°，
∵∠ACD＝60°，
第22页（共33页）∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝ AC＝ ，AE＝ （km），
∴DE＝CD﹣CE＝ （ + ）﹣ ＝ ，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝ AE＝ × ＝ ；
（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝ AE＝ ，∠ADE＝45°，
∵∠CDB＝135°，
∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝3（km），
即隧道AB的长度为3km．
23．（10分）（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发
现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．
已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平
均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3分钟，他能否在上课前赶回学校？请
说明理由．
【解答】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为
第23页（共33页）1.6x米/分，
根据题意，得 ，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的根，
所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）他不能在上课前赶回学校，理由如下：
由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），
骑自行车所用时间为12﹣4.5＝7.5（分），
∵在家取作业本和取自行车共用了3分，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+4.5+3＝22.7（分）．
又∵22.5＞20，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
24．（10分）（2021•包头）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，交AC于
点F，过点F作FG⊥AB，交 于点G，交AD于点M，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2
【解答】（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
第24页（共33页）∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，
连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴ ＝ ，
∵tan∠ABC＝ ＝2，
∴ ＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴ ＝ ＝5，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴ ＝5，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
第25页（共33页）在Rt△AHM中有：AH8+HM2＝AM2，
即（7x）2+x2＝8，解得x ＝ ，x ＝﹣ （舍去），
1 2
∴AH＝ ，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2 ，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF8，
即（ ）2+HF2＝（5 ）2，
解得HF＝ ，或HF＝﹣ ，
故HF的长为 ．
25．（12分）（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，
CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R 上时，连接AP，CD
＝AP，连接DP；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，连接EP并延长，交AC于点F，若 ，
求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，AB＝6a，MP＝ a ，△BCP的面
1
积为S ，求S ﹣S 的值（用含a的代数式表示）．
2 1 2
第26页（共33页）【解答】解：（1）如图1，连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
在△BAP和△BCD中，
，
∴△BAP≌△BCD（SAS），
∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，
∵∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠CBD+∠PBC＝60°，
即∠PBD＝60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴∠BPD＝60°，
∵BC是 O的直径，
∴∠BPC⊙＝90°，
∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；
（2）如图2，连接AP交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BP＝CP，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝ AB，
∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝ AB，
∵ AB＝4BP，
∴BP＝ AB，
∴PD＝ ＝ ＝ AB，
∴PD＝ AD，
第27页（共33页）∵EC＝3BE，
∴BE＝ BC，
∵BD＝ BC，
∴BE＝ BD，
∴EP是△ABD的中位线，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴6EF＝3AB；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，交AC于点F，
由（2）得：AD＝ AB＝3 a，BC＝AC＝AB＝6a，
∵∠CMP＝150°，
∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，
∵∠CHP＝90°，
∴PH＝PM•sin∠PMF＝ a•sin30°＝ a，
MH＝PM•cos∠PMF＝ a•cos30°＝ a，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CFE＝∠PMF，
∴PF＝PM＝ a，
∴FH＝PF•cos∠PFH＝ a•cos30°＝ a，
∵AM＝6MC，
∴CM＝ AC＝ ，
第28页（共33页）∴CF＝CM++MH+HF＝5a，
∴EF＝CF•sin∠ACB＝5a•sin60°＝ a，
∴PE＝EF﹣PF＝ a﹣ a，
∴S
1
﹣S
5
＝S△ABC ﹣S△BCP ＝ BC•AD﹣ BC•（AD﹣PE）＝ a﹣ a2．
26．（12分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原
点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）
（1）如图1，当m＞0，n＞0，
①求点M的坐标；
②若点B（ ，y）在该抛物线上，连接OM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B
不重合），过点C作CD∥MO，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
第29页（共33页）（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x， ），当m＞2，n＞0，过点
A作x轴的垂线，交直线EM于点N，点G的坐标为（0， ），连接GF．若EF+NF
＝2MF
【解答】解（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴n＝﹣m5+4m（Ⅰ），
∵n＝3m（Ⅱ），
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得， （舍去）或 ，
∴M（1，3）；
②OD＝MC，理由：
如图7，∵点B（ ，y）在该抛物线y＝﹣x2+5x上，
∴y＝﹣（ ）2+8× ＝ ，
∴B（ ， ），
由①知，M（5，
∴直线BM的解析式为y＝﹣ x+ ，
令y＝0，则﹣ ＝0，
∴x＝3，
延长MB交x轴于P，
第30页（共33页）∴P（5，0），
∴OP＝3，
∵M（1，3），
∴PM＝ ＝2＝OP，
∴∠POM＝∠PMO，
∵CD∥MO，
∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴PD＝PC，
∴PO﹣PD＝PM﹣PC，
∴OD＝MC；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣8）2+4，
∴E（6， ），
令y＝2，则﹣x2+4x＝4，
∴x＝0或x＝4，
∴A（6，0），
∵AN⊥x轴，
∴点N的横坐标为4，
由图知，NF＝EF+EM+MN，
∵EF+NF＝8MF，
∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM），
∴MN＝EM，
过点M作HM⊥x轴于H，
∴MH是梯形EKAN的中位线，
∴M的横坐标为3，
∵点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标为﹣32+4×5＝3，
∴M（3，6），
第31页（共33页）∵点E（2， ），
∴直线EF的解析式为y＝ x+4，
令y＝0，则 x+1＝0，
∴x＝﹣ ，
∴F（﹣ ，0），
∴OF＝ ，
∵令y＝0，则y＝1，
记直线EF与y轴的交点为L，
∴L（3，1），
∴OL＝1，
∵G（6， ），
∴OG＝ ，
∴LG＝OG﹣OL＝ ，
根据勾股定理得，FG＝ ＝ ＝ ，
过点L作LQ⊥FG于Q，
∴S△FLG ＝ FG•LQ＝ ，
∴LQ＝ ＝ ＝2＝OL，
∵OL⊥FA，LQ⊥FG，
∴FE平分∠AFG，
即射线FE平分∠AFG．
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日期：2021/9/13 17:08:53；用户：初中数学；邮箱：ydyd03@xyh.com；学号：22260282
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