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2013年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分。每小题只有一个正确选项，请将答题
卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）计算（+2）+（﹣3）所得的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．（3分）3tan30°的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．x≠0
4．（3分）若|a|＝﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
5．（3分）已知方程x2﹣2x﹣1＝0，则此方程（ ）
A．无实数根 B．两根之和为﹣2
C．两根之积为﹣1 D．有一根为﹣1+
6．（3分）一组数据按从小到大排列为2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数
据的众数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．在一个等式两边同时除以同一个数，结果仍为等式
B．两个相似图形一定是位似图形
C．平移后的图形与原来图形对应线段相等
D．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面一定朝上
8．（3分）用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半
径为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）化简 ÷ • ，其结果是（ ）
第1页（共23页）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
10．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD
和矩形AEFC的面积分别是S 、S 的大小关系是（ ）
1 2
A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．3S ＝2S
1 2 1 2 1 2 1 2
11．（3分）已知下列命题：
若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；
①
若a＞0，则 ＝a；
②
对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
③如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．
④其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： b＜0；
4a+2b+c＜0； a﹣b+c＞0； （a+c）2＜b2．其中正确的结论是（ ）①
② ③ ④
A． B． C． D．
二、填空①题②（共8小题，每小①题③3分，满分24分。请①把③答④案填在各题对应①的横②线③上④）
13．（3分）计算： ＝ ．
14．（3分）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8环，那么成
绩为9环的人数是 ．
环数 7 8 9
第2页（共23页）人数 3 4
15．（3分）如图，点A、B、C、D在 O上，OB⊥AC，若∠BOC＝56°，则∠ADB＝ 度．
⊙
16．（3分）不等式 （x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为 ．
17．（3分）设有反比例函数y＝ ，（x ，y ），（x ，y ）为其图象上两点，若x ＜0＜x ，y ＞y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
则k的取值范围 ．
18．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上
的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD＝BD，则折痕BE的长为 ．
19．（3分）如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴
分别交于点C、点D．若DB＝DC，则直线CD的函数解析式为 ．
20．（3分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋
转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝ 度．
第3页（共23页）三、解答题（本大题共6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在对应
位置）
21．（8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份
的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时
转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针
所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动
转盘．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
22．（8分）如图，一根长6 米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面
的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点
B′．
（1）求OB的长；
（2）当AA′＝1米时，求BB′的长．
23．（10分）某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产
第4页（共23页）品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180
元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．
（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若要使此车间每天获取利润为14400元，要派多少名工人去生产甲种产品？
（3）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种
产品才合适？
24．（10分）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA， O是△ABC的外接
圆，AD是 O的直径，且交BP于点E． ⊙
（1）求证：⊙PA是 O的切线；
（2）过点C作CF⊥⊙AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求 O的半径及sin∠ACE的值．
⊙
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动
点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图 ，当 时，求 的值；
①
（2）如图 当DE平分∠CDB时，求证：AF＝ OA；
②
（3）如图 ，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝ BG．
③
第5页（共23页）26．（12分）已知抛物线y＝x2﹣3x﹣ 的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B
的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（﹣ ，0）和点F（0，﹣ ），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．
点G是否在直线l上，请说明理由；
①在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M
②的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共23页）2013年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分。每小题只有一个正确选项，请将答题
卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．【分析】运用有理数的加法法则直接计算．
【解答】解：原式＝﹣（3﹣2）＝﹣1．故选B．
【点评】解此题关键是记住加法法则进行计算．
2．【分析】直接把tan30°＝ 代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝3× ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的
关键．
3．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．【分析】根据|a|＝﹣a，求出a的取值范围，再根据数轴的特点进行解答即可求出答案．
【解答】解：∵|a|＝﹣a，
∴a一定是非正数，
∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值与数轴，根据|a|≥0，然后利用熟知数轴的知识即可解答，是一
道基础题．
5．【分析】根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况．由根与系数的关系确定
第7页（共23页）两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根．
【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故本选
项错误；
B、设该方程的两根分别是 、 ，则 + ＝2．即两根之和为2，故本选项错误；
C、设该方程的两根分别是α、β，则α β＝﹣1．即两根之积为﹣1，故本选项正确；
α β αβ
D、根据求根公式x＝ ＝1± 知，原方程的两根是（1+ ）和（1﹣ ）．故本选项
错误；
故选：C．
【点评】本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用．利用根与系
数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义．
6．【分析】根据中位数为9，可求出x的值，继而可判断出众数．
【解答】解：由题意得，（8+x）÷2＝9，
解得：x＝10，
则这组数据中出现次数最多的是10，故众数为10．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数及众数的知识，属于基础题，掌握中位数及众数的定义是关键．
7．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、当除数为0时，结论不成立，是随机事件；
B、两个相似图形不一定是位似图形，是随机事件；
C、平移后的图形与原来图形对应线段相等，是必然事件；
D、随机抛出一枚质地均匀的硬币，落地后正面可能朝上，是随机事件．
故选：C．
【点评】本题考查了必然事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到
的知识点为：
必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
8．【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面
圆的周长，则2 r＝ ，然后解方程即可．
π
【解答】解：设圆锥底面的半径为r，
第8页（共23页）根据题意得2 r＝ ，解得：r＝ ．
π
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．【分析】原式先利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即
可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣ • • ＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的乘除法，分式的乘除法运算的关键是约分，约分的关键是找公
因式．
10．【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形
AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
【解答】解：矩形ABCD的面积S＝2S△ABC ，而S△ABC ＝ S矩形AEFC ，即S
1
＝S
2
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面
积的计算问题．
11．【分析】根据矩形的判定以及圆周角定理、不等式的性质和二次根式的性质分别判断得出
即可．
【解答】解： 若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；原命题与逆命题都是真命题；
①
若a＞0，则 ＝a；逆命题：若 ＝a，则a＞0，是假命题，故此选项错误；
②
对角线互相平分且相等的四边形是矩形；原命题是假命题，故此选项错误；
③如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，逆命题：相等的圆心角所对的弧相等，
④是假命题，故此选项错误，
故原命题与逆命题均为真命题的个数是1个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形、圆周角定理、二次根式、不等式的性质，熟练掌握相关性质
是解题关键．
12．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行
第9页（共23页）推理，利用图象将x＝1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．
【解答】解： 图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，﹣ ＞0，则b＜0，正确；
①
∵对称轴为直线x＝1，∴x＝2与x＝0时的函数值相等，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
②错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，正确；
③∵a﹣b+c＞0，∴a+c＞b；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b；∴b＜a+c＜﹣b，∴|
④a+c|＜|b|，∴（a+c）2＜b2，正确．
所以正确的结论是 ．
故选：C． ①③④
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的
关系，以及二次函数与方程之间的转换，将x＝1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解
题关键，得出b＜a+c＜﹣b是本题的难点．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案填在各题对应的横线上）
13．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝2 ﹣ +
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同
类二次根式的合并．
14．【分析】先设成绩为9环的人数是x，根据加权平均数的计算公式列出方程，求出x的值即
可．
【解答】解：设成绩为9环的人数是x，根据题意得：
（7×3+8×4+9•x）÷（3+4+x）＝8，
解得：x＝3，
则成绩为9环的人数是3；
故答案为：3．
【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式和已知条件列出方程，
是一道基础题．
第10页（共23页）15．【分析】根据垂径定理可得点B是 中点，由圆周角定理可得∠ADB＝ ∠BOC，继而得
出答案．
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴ ＝ ，
∴∠ADB＝ ∠BOC＝28°．
故答案为：28．
【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等
于这条弧所对的圆心角的一半．
16．【分析】先根据不等式的基本性质把不等式去分母、去括号、再移项、合并同类项求出x的
取值范围，再与已知解集相比较即可求出m的值．
【解答】解：去分母得，x﹣m＞3（3﹣m），
去括号得，x﹣m＞9﹣3m，
移项，合并同类项得，x＞9﹣2m，
∵此不等式的解集为x＞1，
∴9﹣2m＝1，
解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】考查了解一元一次不等式，解答此题的关键是掌握不等式的性质，
（1）不等式两边同加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边同乘（或同除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（2）不等式两边同乘（或同除以）同一个负数，不等号的方向改变．
17．【分析】根据已知条件“x ＜0＜x ，y ＞y ”可以推知该反比例函数的图象位于第二、四象
1 2 1 2
限，则k﹣2＜0．
【解答】解：∵（x ，y ），（x ，y ）为函数y＝ 图象上两点，若x ＜0＜x ，y ＞y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k+2＜0．
解得，k＜﹣2．
故填：k＜﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据已知条件推知已知反比例函数
第11页（共23页）图象所经过的象限是解题的难点．
18．【分析】先根据图形翻折变换的性质得出BC＝BD，∠BDE＝∠C＝90°，再根据AD＝BD
可知AB＝2BC，AE＝BE，故∠A＝30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE＝x，
则CE＝6﹣x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长．
【解答】解：∵△BDE由△BCE翻折而成，
∴BC＝BD，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AD＝BD，
∴AB＝2BC，AE＝BE，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABC中，
∵AC＝6，
∴BC＝AC•tan30°＝6× ＝2 ，
设BE＝x，则CE＝6﹣x，
在Rt△BCE中，
∵BC＝2 ，BE＝x，CE＝6﹣x，
∴BE2＝CE2+BC2，即x2＝（6﹣x）2+（2 ）2，解得x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
19．【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（0，2）、点B（1，0）代入，得 ，
解得 ，
故直线AB的解析式为y＝﹣2x+2；
将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB＝DC，
∴DO垂直平分BC，
∴OC＝OB，
∵直线CD由直线AB平移而成，
∴CD＝AB，
∴点D的坐标为（0，﹣2），
第12页（共23页）∵平移后的图形与原图形平行，
∴平移以后的函数解析式为：y＝﹣2x﹣2．
故答案为：y＝﹣2x﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，
求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，
只有b发生变化．
20．【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E
＝45°，即可得出答案．
【解答】解：连接EE′
∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′
∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，
∵△ABE与△CE′B全等
∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C
∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，
∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，
∴EC2＝E′C2+EE′2，
∴△EE′C是直角三角形，
∴∠EE′C＝90°，
∴∠AEB＝135°．
故答案为：135．
第13页（共23页）【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE′是直角三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在对应
位置）
21．【分析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的
结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率；
（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再
与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．
【解答】解：（1）列表如下：
∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，
∴P（甲） ＝ ＝ ；
（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，
∴P（乙） ＝ ＝ ；
∵ ，即P（甲） ≠P（乙） ，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等
就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】（1）由已知数据解直角三角形AOB即可；
第14页（共23页）（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长即可．
【解答】解：（1）根据题意可知：AB＝6 ，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，∵cos∠ABO＝ ，
∴OB＝ABcos∠ABO＝6 cos60°＝3 米，
∴OB的长为3 米；
（2）根据题意可知A′B′＝AB＝6 米，
在Rt△AOB中，∵sin∠ABO＝ ，
∴OA＝ABsin∠ABO＝6 sin60°＝9米，
∵OA′＝OA﹣AA′，AA′＝1米，
∴OA′＝8米，
在Rt△A′OB′中，OB′＝2 米，
∴BB′＝OB′﹣OB＝（2 ﹣3 ）米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用和特殊角的锐角三角函数，是中考常见题型．
23．【分析】（1）根据每个工人每天生产的产品个数以及每个产品的利润，表示出总利润即可；
（2）根据每天获取利润为14400元，则y＝14400，求出即可；
（3）根据每天获取利润不低于15600元即y≥15600，求出即可．
【解答】解：（1）根据题意得出：
y＝12x×100+10（10﹣x）×180
＝﹣600x+18000；
（2）当y＝14400时，有14400＝﹣600x+18000，
解得：x＝6，
故要派6名工人去生产甲种产品；
（3）根据题意可得，
y≥15600，
即﹣600x+18000≥15600，
解得：x≤4，
则10﹣x≥6，
第15页（共23页）故至少要派6名工人去生产乙种产品才合适．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用等知识，根据已知得
出y与x之间的函数关系是解题关键．
24．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ACD＝90°以及利用∠PAC＝∠PBA 得出
∠CAD+∠PAC＝90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2＝AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG＝ ，即可得出sin∠ADB＝ ，利
用∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，求出即可．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵AD是 O的直径，
∴∠ACD⊙＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
又∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC＝90°，
∴PA⊥OA，而AD是 O的直径，
∴PA是 O的切线；⊙
⊙
（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA＝∠PAC，又∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠GCA＝∠PBA，而∠CAG＝∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴ ＝ ，
即AC2＝AG•AB，
∵AG•AB＝12，
∴AC2＝12，
∴AC＝2 ；
（3）解：设AF＝x，∵AF：FD＝1：2，∴FD＝2x，
∴AD＝AF+FD＝3x，
第16页（共23页）在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2＝AF•AD，
即3x2＝12，
解得；x＝2，
∴AF＝2，AD＝6，∴ O半径为3，
在Rt△AFG中，∵AF＝⊙2，GF＝1，
根据勾股定理得：AG＝ ＝ ＝ ，
由（2）知，AG•AB＝12，
∴AB＝ ＝ ，
连接BD，
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD⊙＝90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB＝ ，AD＝6，
∴sin∠ADB＝ ，
∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴sin∠ACE＝ ．
【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已
知得出AG的长以及AB的长是解题关键．
25．【分析】（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则
面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF＝∠AFD，可以证得AD＝AF，在直角△AOD中，
利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证
第17页（共23页）△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．
【解答】（1）解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝（ ）＝ ；
（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF＝∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO＝∠FCD＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，而∠ADF＝∠ADO+∠ODF，∠AFD＝
∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD＝ ＝ OA，
∴AF＝ OA．
（3）证明：连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE＝ CD，
∴△OFE∽△CFD．
第18页（共23页）∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴ ＝ ＝ ．
在直角△FGC中，∵∠GCF＝45°．
∴CG＝GF，
又∵CD＝BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
∴CG＝ BG．
【点评】本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应
用，理解正方形的性质是关键．
26．【分析】（1）令y＝0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x＝0求出点C的坐标，
再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标；
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边
两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；
（3） 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线
l的解①析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；
设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和
②△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE＝∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而
第19页（共23页）得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称
点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点，再设直线DE的解析式为y＝
mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立
求解即可得到符合条件的点M．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣3x﹣ ＝0，整理得，4x2﹣12x﹣7＝0，
解得x ＝﹣ ，x ＝ ，
1 2
所以，A（﹣ ，0），B（ ，0），
令x＝0，则y＝﹣ ，
所以，C（0，﹣ ），
∵﹣ ＝﹣ ＝ ， ＝ ＝﹣4，
∴顶点D（ ，﹣4）；
（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为（0，y），
∵A（﹣ ，0），C（0，﹣ ），
∴OA＝ ，OC＝ ，OP＝y，
若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，
①
∴ ＝ ，
y＝OC＝ ，
此时点P（0， ），
若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，
②
∴ ＝ ，
第20页（共23页）即 ＝ ，
解得y＝ ，
此时点P（0， ），
所以，符合条件的点P有两个，P（0， ）或（0， ）；
（3） 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），
①
∵直线l经过点E（﹣ ，0）和点F（0，﹣ ），
∴ ，
解得 ，
所以，直线l的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
∵B（ ，0），D（ ，﹣4），
（ + ）＝ ， [0+（﹣4）]＝﹣2，
∴线段BD的中点G的坐标为（ ，﹣2），
当x＝ 时，y＝﹣ × ﹣ ＝﹣2，
所以，点G在直线l上；
在抛物线上存在符合条件的点M．
②
设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（ ，0），
第21页（共23页）∵E（﹣ ，0）、F（0，﹣ ），B（ ，0）、D（ ，﹣4），
∴OE＝ ，OF＝ ，HD＝4，HB＝ ﹣ ＝2，
∵ ＝ ＝ ，∠EOF＝∠BDH＝90°
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE＝∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE＝90°，
∴∠OEF+∠HBD＝90°，
∴∠EGB＝180°﹣（∠OEF+∠HBD）＝180°﹣90°＝90°，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴点D关于直线l的对称点就是点B，
∴点M就是直线DE与抛物线的交点，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
∵D（ ，﹣4），E（﹣ ，0），
∴ ，
解得 ，
所以，直线DE的解析式为y＝﹣ x﹣2，
联立 ，
解得 ， ，
∴符合条件的点M有两个，是（ ，﹣4）或（ ，﹣ ）．
第22页（共23页）【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐
标，待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立
两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同分情
况讨论，（3）求出直线l是线段BD的垂直平分线是解题的关键．
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