文档内容
2016 年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分。
1．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣5 D．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A．2+ =2 B． =2 C．（﹣2a2）3=﹣6a6 D．（a+1）2=a2+1
3．不等式 ﹣ ≤1的解集是（ ）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
4．一组数据2，3，5，4，4，6的中位数和平均数分别是（ ）
A．4.5和4 B．4和4 C．4和4.8 D．5和4
5．120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
6．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的方程x2+（m+1）x+ =0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ 或 D．1
8．化简（ ） •ab，其结果是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面
积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，
点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）
1A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣ ，0）
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，
CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）
A．CE= DE B．CE= DE C．CE=3DE D．CE=2DE
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分
13．据统计，2015年，我国发明专利申请受理量达1102000件，连续5年居世界首位，将
1102000用科学记数法表示为 ．
14．若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣4x+6y的值为 ．
15．计算：6 ﹣（ +1）2= ．
16．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若
∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接
AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ．
219．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比
例函数y= （x＜0）的图象经过点A，若S = ，则k的值为 ．
△ABO
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至
点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：
①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S =S +S ；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是
△ABC △ACF △DCF
．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有6小题，共60分。
21．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1
个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 ．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概
率．（请结合树状图或列表解答）
22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延
长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA= ，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
323．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．
设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上
一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
25．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边
上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S
四边形
=3S ，求AE的长；
ECBF △EDF
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使
MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE= ，求 的值．
426．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，
0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点
F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，
设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
52016年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分。
1．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣5 D．
【考点】解一元一次方程；相反数．
【分析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵2（a+3）的值与4互为相反数，
∴2（a+3）+4=0，
∴a=﹣5，
故选C
2．下列计算结果正确的是（ ）
A．2+ =2 B． =2 C．（﹣2a2）3=﹣6a6D．（a+1）2=a2+1
【考点】二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算．
【解答】解：A、2+ 不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误；
B、 =2，所以B正确；
C、（﹣2a2）3=﹣8a6≠﹣6a6，所以C错误；
D、（a+1）2=a2+2a+1≠a2+1，所以D错误．
故选B
3．不等式 ﹣ ≤1的解集是（ ）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得．
【解答】解：去分母，得：3x﹣2（x﹣1）≤6，
去括号，得：3x﹣2x+2≤6，
移项、合并，得：x≤4，
故选：A．
4．一组数据2，3，5，4，4，6的中位数和平均数分别是（ ）
A．4.5和4 B．4和4 C．4和4.8 D．5和4
【考点】中位数；算术平均数．
【分析】根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可．
【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，6，
故中位数为：（4+4）÷2=4；
平均数为：（2+3+4+4+5+6）÷6=4．
故选：B．
65．120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
【考点】弧长的计算．
【分析】根据弧长的计算公式l= ，将n及l的值代入即可得出半径r的值．
【解答】解：根据弧长的公式l= ，
得到：6π= ，
解得r=9．
故选C．
6．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币
正面向上的概率．
【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：
∴至少有两枚硬币正面向上的概率是： = ，
故选D．
7．若关于x的方程x2+（m+1）x+ =0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ 或 D．1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由根与系数的关系可得：x+x=﹣（m+1），x•x= ，又知个实数根的倒数恰是它本身，
1 2 1 2
则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值．
【解答】解：由根与系数的关系可得：
x+x=﹣（m+1），x•x= ，
1 2 1 2
又知个实数根的倒数恰是它本身，
则该实根为1或﹣1，
7若是1时，即1+x=﹣（m+1），而x= ，解得m=﹣ ；
2 2
若是﹣1时，则m= ．
故选：C．
8．化简（ ） •ab，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的混合运算．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式= • •ab= ，
故选B
9．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】角平分线的性质；特殊角的三角函数值．
【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A，再由特殊角的
三角函数的定义求得结论．
【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×=180°﹣2×=60°，
∴tanA=tan60°= ，
故选A．
10．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面
积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】命题与定理．
【分析】交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、
全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质判断各命题的真假．
8【解答】解：当a=0，b=﹣1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为
若a2＞b2；，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a=﹣2，b=﹣1；
若a＞1，则（a﹣1）0=1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a﹣1）0=1，则a＞1，此逆命题为
假命题，因为（a﹣1）0=1，则a≠1；
两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此
逆命题为假命题；
四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命
题为真命题．
故选D．
11．如图，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，
点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣ ，0）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据
对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求
出x的值，从而得出点P的坐标．
【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图
所示．
令y= x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y= x+4中y=0，则 x+4=0，解得：x=﹣6，
9∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有 ，解得： ，
∴直线CD′的解析式为y=﹣ x﹣2．
令y=﹣ x﹣2中y=0，则0=﹣ x﹣2，解得：x=﹣ ，
∴点P的坐标为（﹣ ，0）．
故选C．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，
CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）
A．CE= DE B．CE= DE C．CE=3DE D．CE=2DE
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．
【分析】过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得
△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE 的关系．
【解答】解：过点D作DH⊥BC，
∵AD=1，BC=2，
∴CH=1，
DH=AB= = =2 ，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
10∴ ，
设BE=x，则AE=2 ，
即 ，
解得x= ，
∴ ，
∴CE= ，
故选B．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分
13．据统计，2015年，我国发明专利申请受理量达1102000件，连续5年居世界首位，将
1102000用科学记数法表示为 1.102×1 0 6 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1102000用科学记数法表示为 1.102×106，
故答案为：1.102×106．
14．若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣4x+6y的值为 3 ．
【考点】代数式求值．
【分析】首先利用已知得出2x﹣3y=1，再将原式变形进而求出答案．
【解答】解：∵2x﹣3y﹣1=0，
∴2x﹣3y=1，
∴5﹣4x+6y=5﹣2（2x﹣3y）
=5﹣2×1
=3．
故答案为：3．
15．计算：6 ﹣（ +1）2= ﹣ 4 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．
11【解答】解：原式=6× ﹣（3+2 +1）
=2 ﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
16．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为 2 ．
【考点】方差．
【分析】先求出这5个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．
【解答】解：平均数为=（1+2+3+4+5）÷5=3，
S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．
故答案为：2．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若
∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 22. 5 度．
【考点】矩形的性质．
【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，
∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
故答案为22.5°．
1218．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接
AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ．
【考点】切线的性质．
【分析】在RT△POC中，根据∠P=30°，PC=3，求出OC、OP即可解决问题．
【解答】解：∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°= ，PC=2OC=2 ，
∴PB=PO﹣OB= ，
故答案为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比
例函数y= （x＜0）的图象经过点A，若S = ，则k的值为 ﹣ 3 ．
△ABO
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，由∠AOB=30°可得出 = ，由此可是点A的坐标为（﹣
3a， a），根据S = 结合三角形的面积公式可用a表示出线段OB的长，再由勾股定理
△ABO
可用含a的代数式表示出线段BD的长，由此即可得出关于a的无理方程，解方程即可得出结
论．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．
13∵∠AOB=30°，AD⊥OD，
∴ =tan∠AOB= ，
∴设点A的坐标为（﹣3a， a）．
∵S = OB•AD= ，
△ABO
∴OB= ．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD= a，AB=OB= ，
∴BD2=AB2﹣AD2= ﹣3a2，BD= ．
∵OD=OB+BD=3a，即3a= + ，
解得：a=1或a=﹣1（舍去）．
∴点A的坐标为（﹣3， ），
∴k=﹣3× =﹣3 ．
故答案为：﹣3 ．
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至
点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：
①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S =S +S ；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是
△ABC △ACF △DCF
①②③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】①正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．
②正确．只要证明四边形ABDF是平行四边形即可．
③正确．只要证明△BCE≌△FDC．
④正确．只要证明△BDE∽△FGE，得 = ，由此即可证明．
14【解答】解：①正确．∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE=DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，
∵EF=AE，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE，∠EAF=60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF，故①正确．
②正确．∵∠ABC=∠FDC，
∴AB∥DF，
∵∠EAF=∠ACB=60°，
∴AB∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=BC，故②正确．
③正确．∵△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，S =S ，
△ABE △AFC
在△BCE和△FDC中，
，
∴△BCE≌△FDC，
∴S =S ，
△BCE △FDC
∴S =S +S =S +S =S =S +S ，故③正确．
△ABC △ABE △BCE △ACF △BCE △ABC △ACF △DCF
④正确．∵△BCE≌△FDC，
∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴ = ，
∴ = ，
∵BD=2DC，DC=DE，
∴ =2，
∴FG=2EG．故④正确．
15三、解答题：本大题共有6小题，共60分。
21．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1
个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 ．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概
率．（请结合树状图或列表解答）
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程： = ，解此方程即
可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色
的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得： = ，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为： ．
22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延
长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA= ，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】解直角三角形．
16【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题
得以解决；
（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解
决．
【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA= ，
∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6 ，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE= ，∠E=30°，
∴CE= =8，
∴BC=BE﹣CE=6 ﹣8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA= = ，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE= = = = ，
解得，DE= ，
∴AD=AE﹣DE=10﹣ = ，
即AD的长是 ．
23．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．
设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为 xcm，根据：三条彩条面积=横
彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
17（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的 ，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可
得．
【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为 xcm，
∴y=20× x+2×12•x﹣2× x•x=﹣3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；
（2）根据题意，得：﹣3x2+54x= ×20×12，
整理，得：x2﹣18x+32=0，
解得：x=2，x=16（舍），
1 2
∴ x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上
一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆
的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，得到AD=DC=BD= AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到
一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可
得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰
直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等
两直线平行即可得证；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的
长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与
三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
18在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴AD=DC=BD= AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°，
∵∠EDA+∠BDG=90°，
∴∠EDA=∠FDB，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE=BF；
（2）证明：连接EF，BG，
∵△AED≌△BFD，
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠G=∠A=45°，
∴∠G=∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）∵AE=BF，AE=1，
∴BF=1，
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，
∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，
∵EB=2，BF=1，
∴EF= = ，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴cos∠DEF= ，
∵EF= ，
∴DE= × = ，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，
∴△GEB∽△AED，
∴ = ，即GE•ED=AE•EB，
19∴ •GE=2，即GE= ，
则GD=GE+ED= ．
25．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边
上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S
四边形
=3S ，求AE的长；
ECBF △EDF
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使
MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE= ，求 的值．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S ≌S ，则易得
△AEF △DEF
S =4S ，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到 =（ ）2，
△ABC △AEF
再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到 =
= ，解出x后计算出CM= ，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算
EF；
20（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，
NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x=
，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出
的值．
【解答】解：（1）如图①，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S ≌S ，
△AEF △DEF
∵S =3S ，
四边形ECBF △EDF
∴S =4S ，
△ABC △AEF
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= =5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴ =（ ）2，即（ ）2= ，
∴AE= ；
（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，
设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴ = = ，即 = = ，解得x= ，CM= ，
在Rt△ACM中，AM= = = ，
∵S = EF•AM=AE•CM，
菱形AEMF
21∴EF=2× = ；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN：NH=CE：FH，即1：NH= ：FH，
∴FH：NH=4：7，
设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x= ，
∴FH=4x= ，BH=4﹣7x= ，
在Rt△BFH中，BF= =2，
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，
∴ = ．
2226．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，
0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点
F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，
设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出GH，点F的坐标，用三角形的面积公式计算即可；
（3）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；
（4）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴
∴ ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ （x﹣2）2+ ；
（2）如图1，
23过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，
由（1）有，C（0，﹣2），
∵B（0，3），
∴直线BC解析式为y= x﹣2，
∵H（1，y）在直线BC上，
∴y=﹣ ，
∴H（1，﹣ ），
∵B（3，0），E（0，﹣1），
∴直线BE解析式为y=﹣ x﹣1，
∴G（1，﹣ ），
∴GH= ，
∵直线BE：y=﹣ x﹣1与抛物线y=﹣ x2+ x﹣2相较于F，B，
∴F（ ，﹣ ），
∴S = GH×|x﹣x|+ GH×|x﹣x|
△FHB G F B G
= GH×|x﹣x|
B F
= × ×（3﹣ ）
= ．
（3）如图2，
24由（1）有y=﹣ x2+ x﹣2，
∵D为抛物线的顶点，
∴D（2， ），
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴设M（2，m），（m＞ ），
∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM2+BM2=AB2，
∴m2+4+m2+1=9，
∴m= 或m=﹣ （舍），
∴M（0， ），
∴MD= ﹣ ，
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴t= ﹣ ；
（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，
如图3，
∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，﹣1），
∴在y轴上取一点N（0，1），
∵B（3，0），
∴直线BN的解析式为y=﹣ x+1①，
25∵点P在抛物线y=﹣ x2+ x﹣2②上，
联立①②得， 或 （舍），
∴P（ ， ），
即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（ ， ）．
26
