文档内容
2019年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．（3分）计算|﹣ |+（ ）﹣1的结果是（ ）
A．0 B． C． D．6
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣a＜b
3．（3分）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4 B． C．5 D．
4．（3分）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（ ）
A．24 B．24 C．96 D．96
π π
5．（3分）在函数y＝ ﹣ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的数一定是1和0
B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C．在函数y＝kx+b（k≠0）中，y的值随着x值的增大而增大
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC
于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交
第1页（共28页）边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以BC为直径作半圆，交AB于
点D，则阴影部分的面积是（ ）
A． ﹣1 B．4﹣ C． D．2
9．（3π分）下列命题： π
若x2+kx+ 是完全平方式，则k＝1；
①
若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；
②等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
③一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．
④其中真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣
12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF
＝60°，则CF的长是（ ）
第2页（共28页）A． B． C． ﹣1 D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段
AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝
kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.
13．（3分）2018年我国国内生产总值（GDP）是900309亿元，首次突破90万亿大关，90万亿
用科学记数法表示为 ．
14．（3分）已知不等式组 的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 ．
15．（3分）化简：1﹣ ÷ ＝ ．
16．（3分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级 参赛人数 平均数 中位数 方差
甲 45 83 86 82
乙 45 83 84 135
某同学分析上表后得到如下结论：
甲、乙两班学生的平均成绩相同；
①乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；
②甲班成绩的波动性比乙班小．
③上述结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
第3页（共28页）17．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆
时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是 ．
18．（3分）如图，BD是 O的直径，A是 O外一点，点C在 O上，AC与 O相切于点C，
∠CAB＝90°，若BD⊙＝6，AB＝4，∠A⊙BC＝∠CBD，则弦⊙BC的长为 ⊙ ．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后
得到△ABC，若反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点C，则k＝ ．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是
BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，
下列结论：
若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；
①
若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝ ；
②
△ABD和△CBE一定相似；
③若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝ ．
④其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
第4页（共28页）三、解答题：本大题共有6小题，共60分.
21．（8分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标
项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：
测试成绩（分） 23 25 26 28 30
人数（人） 4 18 15 8 5
（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；
（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，
要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，
∠ABD＝30°，AD＝ ，求线段AC和BE的长．
（注： ＝ ＝ ）
23．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺
季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 ．据统计，淡季该公司平均每天有
10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总
收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会
减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收
入最高？
第5页（共28页）24．（10分）如图，在 O中，B是 O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2 ，弦BM平分
∠ABC交AC于点D⊙，连接MA，⊙MC．
（1）求 O半径的长；
（2）求⊙证：AB+BC＝BM．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜
BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
（1）如图 ，求证：MA＝MN；
①
（2）如图 ，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当 时，
②
求AN和PM的长；
（3）如图 ，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2 时，求△HMN的面积．
③
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，
0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求
△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说
第6页（共28页）明理由．
第7页（共28页）2019年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．【分析】先根据二次根式的性质，绝对值的秘技，负指数幂的法则进行计算，然后进行有理
数的加法运算．
【解答】解：原式＝3+3＝6．
故选：D．
【点评】本题是实数的运算，主要考查了二次根式的性质，绝对值的性质，负指数幂的运算，
有理数的加法，关键是熟记法则．
2．【分析】根据数轴可以发现a＜b，且﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，由此即可判断以上选项正确与
否．
【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴答案A错误；
∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，∴a＜﹣b，∴答案B错误；
∴﹣a＞b，故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是
解决问题的关键．
3．【分析】根据题意由众数是4，可知x＝4，然后根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵这组数据的众数4，
∴x＝4，
将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9
则中位数为：4.5．
故选：B．
【点评】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．
4．【分析】由已知三视图为圆柱，首先得到圆柱底面半径，从而根据圆柱体积＝底面积乘高求
出它的体积．
【解答】解：由三视图可知圆柱的底面直径为4，高为6，
∴底面半径为2，
∴V＝ r2h＝22×6• ＝24 ，
π π π
第8页（共28页）故选：B．
【点评】此题考查的是圆柱的体积及由三视图判断几何体，关键是先判断圆柱的底面半径
和高，然后求其体积．
5．【分析】根据分母不等于0和二次根式的被开方数非负，列出不等式组，进行解答便可．
【解答】解：根据题意得，
，
解得，x≥﹣1，且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．二次根式有意义，被开方数是非负
数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义： 当表达式的分母不含有
自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． 当表达①式的分母中含有自变量时，
自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． 当函②数的表达式是偶次根式时，自变量
的取值范围必须使被开方数不小于零． 对于实③际问题中的函数关系式，自变量的取值
除必须使表达式有意义外，还要保证实际④问题有意义．
6．【分析】根据立方根的定义，中点四边形，一次函数的性质，弧，弦，圆心角的关系即可得到
结论
【解答】解：A、立方根等于它本身的数一定是±1和0，故错误；
B、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故正确；
C、在函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大，故错误；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查了立方根的定义，中点四边形，一次函数的性质，弧，弦，圆心角的关系，
熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为
1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝ ×4×1＝2．
故选：C．
第9页（共28页）【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了交平分线的性质．
8．【分析】连接CD，根据圆周角定理得到CD⊥AB，推出△ACB是等腰直角三角形，得到CD
＝BD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵BC是半圆的直径，
∴CD⊥AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝2，
∴阴影部分的面积＝ ＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解
题的关键．
9．【分析】利用完全平方公式对 进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求
出m，则可对 进行判断；根①据等腰三角形的性质对 进行判断；根据多边形的内角和和
外角和对 进②行判断． ③
④
【解答】解：若x2+kx+ 是完全平方式，则k＝±1，所以 错误；
①
若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为y＝x+4，则x＝1
时，m＝5，所以 正确；
等腰三角形底边上②的中线所在的直线是它的对称轴，所以 错误；
一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是③六边形，所以 正确．
故选：B． ④
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命
第10页（共28页）题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，
只需举出一个反例即可．
10．【分析】分三种情况讨论， 当a＝4时， 当b＝4时， 当a＝b时；结合韦达定理即可
求解； ① ② ③
【解答】解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，
结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．
11．【分析】由正方形的性质得出∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，证明
Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE＝∠DAF，求出∠DAF＝15°，在AD上取一点G，使∠GFA
＝∠DAF＝15°，则AG＝FG，∠DGF＝30°，由直角三角形的性质得出DF＝ FG＝ AG，
DG＝ DF，设DF＝x，则DG＝ x，AG＝FG＝2x，则2x+ x＝1，解得：x＝2﹣ ，得
出DF＝2﹣ ，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，
第11页（共28页）∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝ FG＝ AG，DG＝ DF，
设DF＝x，则DG＝ x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+ x＝1，
解得：x＝2﹣ ，
∴DF＝2﹣ ，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣ ）＝ ﹣1；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三
角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．【分析】当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，
定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐
标，而直线y＝kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应
边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
【解答】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMC＝∠MNB，
∴△AMC∽△NBM，
第12页（共28页）∴ ，
设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，
∴ ，
即：y＝ x2+ x
∴当x＝﹣ ＝﹣ 时，y最大 ＝ ×（ ）2+ ＝ ，
∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）
当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，
∴ON＝OB﹣BN＝2﹣ ＝ ，
此时，N（0， ）
b的最大值为 ．
故选：A．
【点评】综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的
性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．
二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.
13．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：90万亿用科学记数法表示成：9.0×1013，
故答案为：9.0×1013．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
第13页（共28页）14．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：
由 得x＞﹣1；
由①得x＞k+1．
②
∵不等式组 的解集为x＞﹣1，
∴k+1≤﹣1，
解得k≤﹣2．
故答案为k≤﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和
已知得出关于k的不等式，难度适中．
15．【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：1﹣ ÷ ＝1﹣ • ＝1﹣ ＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟记法则是解题的关键．
16．【分析】根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；
【解答】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动性比乙班小．
故 正确，
故①答案②为③： ．
【点评】本题①考②查③平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
17．【分析】根据旋转的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC＝55°，
又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，
第14页（共28页）∴∠ACB＝∠AED＝100°，
∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，
∴tan∠DEC＝tan45°＝1，
故答案为：1
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质，本题属于中等题型．
18．【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BCD＝90°＝∠CAB，证明△ABC∽△CBD，得出
＝ ，即可得出结果．
【解答】解：连接CD，如图：
∵BD是 O的直径，
∴∠BCD⊙＝90°＝∠CAB，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ ＝ ，
∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，
∴BC＝ ＝2 ；
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三
角形相似是解题的关键．
19．【分析】由A（﹣1，0），B（0，2），可知OA，OB，由折叠得OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，要求k
的值只要求出点C的坐标即可，因此过点C作垂线，构造相似三角形，得出线段之间的关
系，设合适的未知数，在直角三角形中由勾股定理，解出未知数，进而确定点C的坐标，最
终求出k的值．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴，过点B作BE⊥y轴，与DC的延长线相交于点E，
由折叠得：OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，
∵∠E＝∠CDA＝∠ACB＝90°，
第15页（共28页）∴∠ECB+∠EBC＝90°，∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∴△ACD∽△CBE，
∴ ，
设CD＝m，则BE＝2m，CE＝2﹣m，AD＝2m﹣1
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即：m2+（2m﹣1）2＝12，解得：m ＝ ，m2＝0（舍去）；
1
∴CD＝ ，BE＝OD＝ ，
∴C（ ， ）代入y＝ 得，k＝ ＝ ，
故答案为：
【点评】考查折叠得性质、相似三角形的性质、直角三角形的勾股定理、反比例函数图象上
点的坐标特征等知识，求出点C的坐标是解决问题的关键．．
20．【分析】 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD＝BD，由BF＝CF，BD＝
CD得DE①是BC的垂直平分线，得BE＝CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的
正误；
证明△ABC∽△DBE，求得BE，再证明DE∥AB，得DE垂直平分BC，得CE＝BE，便可
②判断结论的正误；
证明∠ABD＝∠CBE，再证明BE与BC或BC与BE两边的比不一定等于AB与BD的
③比，便可判断结论正误；
先求出AC，进而得BD，再在Rt△BCE中，求得BE，进而由勾股定理求得结果，便可判
④断正误．
【解答】解： ∵∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，
∴AD＝BD＝C①D，
第16页（共28页）∵BF＝CF，
∴DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∵BE⊥BD，
∴BD2+BE2＝DE2，
∴CE2+AD2＝DE2，
故 正确；
①∵AB＝4，BC＝3，
②
∴AC＝ ，
∴ ，
∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴ ，
即 ．
∴BE＝ ，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝∠BDE，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠CDE，
∴DE∥AB，
∴DE⊥BC，
∵BD＝CD，
∴DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴CE＝ ，
故 正确；
②
第17页（共28页）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
③∴∠ABD＝∠CBE，
∵ ，
但随着F点运动，BE的长度会改变，而BC＝3，
∴ 或 不一定等于 ，
∴△ABD和△CBE不一定相似，
故 错误；
③∵∠A＝30°，BC＝3，
④∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6，
∴BD＝ ，
∵BC＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝ ，
∵∴ ，
故 正确；
故④答案为： ．
①②④
【点评】本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，全
等三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性
质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应用以上性质灵活解题．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分.
21．【分析】（1）由总人数乘以25分的学生所占的比例即可；
第18页（共28页）（2）画树状图可知：共有12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4个，由概
率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）450× ＝162（人），
答：该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，
∵丙丁分到一组时，甲乙也恰好在同一组，
∴甲和乙恰好分在同一组的结果有4个，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，统计表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
22．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 ＝ ，进而得出AC，BE的长．
【解答】解：在Rt△ABD中
∵∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AD＝ ，
∴tan∠ABD＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3，
∴AC＝ ＝3 ，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
第19页（共28页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
设DE＝ x，则BE＝3x，
∴BD＝DE+BE＝（ +3）x，
∴ ＝ ，
∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝2 ，
∴DE＝2 × ，
∴DE＝3﹣ ，
∴BE＝ （3﹣ ）＝3 ﹣3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出DE，BD之间关系是解题关
键．
23．【分析】（1）根据题意可以列出方程，进而求得结论；
（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本
题．
【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有x辆，
根据题意得， ，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是分式方程的根，
∴1500÷（20﹣10）＝150（元），
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；
（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，
根据题意得，W＝[a+150×（1+ ）]×（20﹣ ），
第20页（共28页）∴W＝﹣ a2+10a+4000＝﹣ （a﹣100）2+4500，
∵﹣ ＜0，
∴当a＝100时，W有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用二次函数的性质解答．
24．【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，
再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，
进而得结论．
【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝ ∠AOC＝60°，
∵AH＝ AC＝ ，
∴OA＝ ，
故 O的半径为2．
⊙
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
第21页（共28页）∵∠MBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，
角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内
容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角
形．
25．【分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD＝
∠DBC＝45°，由角平分线的性质得出MF＝MG，证得四边形FBGM是正方形，得出
∠FMG＝90°，证出∠AMF＝∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；
（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出 ＝（ ）2，求出AN＝2 ，由勾股定理得出
第22页（共28页）BN＝ ＝4，由直角三角形的性质得出 OM＝OA＝ON＝ AN＝ ，
OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出 ＝ ，求出OP＝ ，即可得出结果；
（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF＝MH，求出AF＝ BD＝ ×6
＝3 ，得出MH＝3 ，MN＝2 ，由勾股定理得出HN＝ ＝ ，由三角
形面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图 所示：
∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°， ①
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵MF⊥AB，MG⊥BC，
∴MF＝MG，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FBGM是正方形，
∴∠FMG＝90°，
∴∠FMN+∠NMG＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMF+∠FMN＝90°，
∴∠AMF＝∠NMG，
在△AMF和△NMG中， ，
∴△AMF≌△NMG（ASA），
∴MA＝MN；
（2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN，
∴∠MAN＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠MAN＝∠DBC，
∴Rt△AMN∽Rt△BCD，
第23页（共28页）∴ ＝（ ）2，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
∴BD＝6 ，
∴ ＝ ，
解得：AN＝2 ，
∴在Rt△ABN中，BN＝ ＝ ＝4，
∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点，
∴OM＝OA＝ON＝ AN＝ ，OM⊥AN，
∴∠AOP＝90°，
∴∠AOP＝∠ABN，
∵∠PAO＝∠NAB，
∴△PAO∽△NAB，
∴ ＝ ，即： ＝ ，
解得：OP＝ ，
∴PM＝OM+OP＝ + ＝ ；
（3）解：过点A作AF⊥BD于F，如图 所示：
∴∠AFM＝90°， ③
∴∠FAM+∠AMF＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF+∠HMN＝90°，
∴∠FAM＝∠HMN，
∵NH⊥BD，
∴∠AFM＝∠MHN＝90°，
第24页（共28页）在△AFM和△MHN中， ，
∴△AFM≌△MHN（AAS），
∴AF＝MH，
在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD，
∴AF＝ BD＝ ×6 ＝3 ，
∴MH＝3 ，
∵AM＝2 ，
∴MN＝2 ，
∴HN＝ ＝ ＝ ，
∴S△HMN ＝ MH•HN＝ ×3 × ＝3，
∴△HMN的面积为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题
综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
26．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2即可；
（2）过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，设点D（1，y），在Rt△CGD中，CD2＝
CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，可以证明CD＝BD，即可
第25页（共28页）求y的值；
（3）过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，证明
四边形QRPE是矩形，根据S△CEF ＝S矩形QRPE ﹣S△CRF ﹣S△EFP +S△CQE ，代入边即可；
（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点
的四边形是平行四边形，点M（2，2）或M（4，﹣ ）或M（﹣2，﹣ ）；
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2
可得a＝﹣ ，b＝ ，
∴y＝﹣ x2+ x+2；
∴对称轴x＝1；
（2）如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，
设点D（1，y），
∵C（0，2），B（3，0），
∴在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，
∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，
在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，
∴CD＝BD，
∴CD2＝BD2，
∴（2﹣y）2+1＝4+y2，
∴y＝ ，
∴D（1， ）；
（3）如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于
P，
∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°，
∴四边形QRPE是矩形，
∵S△CEF ＝S矩形QRPE ﹣S△CRF ﹣S△EFP +S△CQE
∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），
第26页（共28页）∴S△CEF ＝EQ•QR+ ×EQ•QC﹣ CR•RF﹣ FP•EP，
∴S△CEF ＝x（y﹣1）+ x（2﹣y）﹣ ×1×1﹣ （x﹣1）（y﹣1），
∵y＝﹣ x2+ x+2，
∴S△CEF ＝﹣ x2+ x，
∴当x＝ 时，面积有最大值 ，
此时E（ ， ）；
（4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
设N（1，n），M（x，y），
四边形CMNB是平行四边形时，CM∥NB，CN∥MN，
①
＝ ，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣ ）；
四边形CNBM是平行四边形时，CN∥BM，CM∥BN，
②
＝ ，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
四边形CNMB是平行四边形时，CM∥MN，NC∥BM，
③
＝ ，
∴x＝4，
∴M（4，﹣ ）；
综上所述：M（2，2）或M（4，﹣ ）或M（﹣2，﹣ ）；
第27页（共28页）【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，灵活运用勾股定理
求边长，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/8/18 22:05:58；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第28页（共28页）
