文档内容
2011 年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．﹣
2．（3分）3的平方根是（ ）
A．± B．9 C． D．±9
3．（3分）一元二次方程x2+x+ ＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠3 B．x≥2 C．x＞2 D．x≥2且x≠0
5．（3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系
是（ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
6．（3分）2008年6月1日起全国商品零售场所实行“塑料购物袋有偿使用制度”，截止到
2011年5月底全国大约节约塑料购物袋6.984亿个，这个数用科学记数法表示约为（保留
两个有效数字）（ ）
A．6.9×105 B．6.9×109 C．7×108 D．7.0×108
7．（3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不
到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
①③ ②③ 第1页（共24页）③④ ②④9．（3分）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的
面积是（ ）
A．16 B．16 C．8 D．8
10．（3分）已知下列命题：
若a＝b，则a2＝b2；
①若x＞0，则|x|＝x；
②一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形；
③一组对边平行且不相等的四边形是梯形．
④其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）已知AB是 O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作 O的切线，切点
为C，∠APC的平⊙分线交AC于点D，则∠CDP等于（ ） ⊙
A．30° B．60° C．45° D．50°
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x＝1；最值是15；二次函
数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是（ ）
A．4或﹣30 B．﹣30 C．4 D．6或﹣20
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．（3分）不等式组 的解集是 ．
14．（3分）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成
一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是 ．
第2页（共24页）15．（3分）化简二次根式： ＝ ．
16．（3分）随机掷一枚质地均匀的硬币三次，至少有一次正面朝上的概率是 ．
17．（3分）化简 ，其结果是 ．
18．（3分）如图，已知A（﹣1，m）与B（2，m+3 ）是反比例函数y＝ 的图象上的两个点，点
C是直线AB与x轴的交点，则点C的坐标是 ．
19．（3分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中： BE＝DC；
∠BOD＝60°； △BOD∽△COE．正确的序号是 ． ①
② ③
20．（3分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，
连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（1，2），则点D的
横坐标是 ．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）为了了解某水库养殖鱼的有关情况，从该水库多个不同位置捕捞出200条鱼，称得
每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，绘制了直方图
（1）根据直方图提供的信息，这组数据的中位数落在 范围内；
第3页（共24页）（2）估计数据落在1.00～1.15中的频率是 ；
（3）将上面捕捞的200条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同的位
置捕捞150条鱼，其中带有记号的鱼有10条，请根据这一情况估算该水库中鱼的总条数．
22．（8分）一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B，此时测得船和灯塔相距36
海里，船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处，此时望见灯塔在船的正
北方向．（参考数据sin24°≈0.4，cos24°≈0.9）
（1）求几点钟船到达C处；
（2）当船到达C处时，求船和灯塔的距离．
23．（10分）为了鼓励城市周边的农民的种菜的积极性，某公司计划新建A，B两种温室80栋，
将其中售给农民种菜．该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元．
且所筹资金全部用于新建温室．两种温室的成本和出售价如下表：
A型 B型
成本（万元/栋） 2.5 2.8
出售价（万元/栋） 3.1 3.5
（1）这两种温室有几种设计方案？
（2）根据市场调查，每栋A型温室的售价不会改变，每栋B型温室的售价可降低m万元（0
＜m＜0.7）且所建的两种温室可全部售出．为了减轻菜农负担，试问采用什么方案建设温
室可使利润最少．
24．（10分）在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，∠B＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在
第4页（共24页）斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长
线于E，F两点，如图（1）与（2）是旋转三角板所得图形的两种情况．
（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给
出△OFC是等腰直角三角形时BF的长）；若不能，请说明理由；
（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图（1）或（2）加以证明；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图（3）），当AP：AC＝1：4时，PE和
PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．
25．（12分）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F
是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点
D．
（1）如果BE＝15，CE＝9，求EF的长；
（2）证明： △CDF∽△BAF； CD＝CE；
（3）探求动点①F在什么位置时，相②应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC＝ CD，
请说明你的理由．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；
（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上
第5页（共24页）的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何
值时，满足条件的点E有两个？
第6页（共24页）2011 年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，解答即可；
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣ |＝ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对
值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】直接根据平方根的概念即可求解．
【解答】解：∵（ ）2＝3，
∴3的平方根是为 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方根的概念，比较简单．
3．【分析】先计算△＝b2﹣4ac，然后根据△的意义进行判断根的情况．
【解答】解：∵△＝b2﹣4ac＝12﹣4•1• ＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的根判别式△＝b2﹣4ac：当△
＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没
有实数根．
4．【分析】由于分子是二次根式，由此得到x﹣2是非负数，x+3是分母，由此得到x+3≠0，根
据这些即可求解．
【解答】解：依题意得
，
解之得x≥2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了确定函数的自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方
第7页（共24页）面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．【分析】由两圆的直径分别是2厘米与4厘米，求得两圆的半径分别是1厘米与2厘米，然
后由圆心距是3厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系
即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，
∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米，
∵圆心距是3厘米，1+2＝3，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选：B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r
的数量关系间的联系是解此题的关键．
6．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：6.984亿＝6.984×108≈7.0×108．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定
方法．
7．【分析】根据一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球，可以列
表得出，注意重复去掉．
【解答】解：∵一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球，
∴其中2个球的颜色相同的概率是： ＝ ．
故选：D．
红1 红2 红3 黄1 黄2
红1 ﹣ 红1红2 红1红3 红1黄1 红1黄2
红2 红2红1 ﹣ 红2红3 红2黄1 红2黄2
第8页（共24页）红3 红3红1 红3红2 ﹣ 红3黄1 红3黄2
黄1 黄1红1 黄1红2 黄1红3 ﹣ 黄1黄2
黄2 黄2红1 黄2红2 黄2红3 黄2黄1 ﹣
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列出图表注意重复的（例如红1红1）去掉是解决
问题的关键．
8．【分析】分别分析四个几何体的三视图，从中找出只有两个视图相同的几何体，可得出结论．
【解答】解： 正方形的主、左和俯视图都是正方形；
圆锥的主、①左视图是三角形，俯视图是显示圆心的圆；
②球体的主、左和俯视图都是圆形；
③圆柱的主、左视图是长方形，俯视图是圆；
④只有两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱体．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图，考查了学生的空间
想象能力．
9．【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA＝ AC，∠BAC＝ ∠BAD，然后
在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB
的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝ ×4＝2，∠BAC＝ ∠BAD＝ ×120°＝60°，
∴AC＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝4，OB＝2 ，
∴BD＝2OB＝4 ，
∴该菱形的面积是： AC•BD＝ ×4×4 ＝8 ．
故选：C．
第9页（共24页）【点评】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程
思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．
10．【分析】根据真假命题的定义，逐个选项进行分析即可得出答案．
【解答】解： 若a＝b，则a2＝b2，其逆命题为若a2＝b2，则a＝b，故本选项错误，
若x＞0，则①|x|＝x，其逆命题为若|x|＝x，则x＞0，故本选项错误，
②例如等腰梯形，满足一组对边平行且两条对角线相等，但它不是矩形，故本选项错误，
③一组对边平行且不相等的四边形是梯形，其逆命题为若四边形是梯形，则它的对边平
④行且不相等，故本选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了逆命题与真假命题的定义，需逐个选项进行分析，难度适中．
11．【分析】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO＝90°，可推出
∠DPA+∠A＝45°，即∠CDP＝45°．
【解答】解：如图，连接OC，
∵OC＝OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD＝∠DPA，∠A＝∠ACO，
∵PC为 O的切线，
∴OC⊥P⊙C，
∵∠CPO+∠COP＝90°，
∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）＝90°，
∴∠DPA+∠A＝45°，
即∠CDP＝45°．
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于作好辅
助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO＝90°，即可求出∠CDP＝45°．
12．【分析】由在x＝1时取得最大值15，可设解析式为：y＝a（x﹣1）2+15，只需求出a即可，又
与x轴交点横坐标的平方和为15﹣a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值．
第10页（共24页）【解答】解：解法一：∵x轴上点的纵坐标是0，
∴由题可设抛物线与x轴的交点为（ 1﹣t，0），（ 1+t，0），其中t＞0，
∵两个交点的横坐标的平方和等于15﹣a即：（1﹣t）2+（1+t）2＝15﹣a，
可得t＝ ，
由顶点为（1，15），
可设解析式为：y＝a（x﹣1）2+15，
将（1﹣ ，0）代入可得a＝﹣2或a＝15（不合题意，舍去）
∴y＝﹣2（x﹣1）2+15＝﹣2x2+4x+13，
∴b＝4；
解法二：∵对称轴是x＝1，最值是15，
∴设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+15，
∴y＝ax2﹣2ax+15+a，
设方程ax2﹣2ax+15+a＝0的两个根是x ，x ，
1 2
则x +x ＝﹣ ＝2，x •x ＝ ，
1 2 1 2
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，
（x ）2+（x ）2＝（x +x ）2﹣2x x ＝15﹣a，
1 2 1 2 1 2
∴22﹣ ＝15﹣a，
a2﹣13a﹣30＝0，
a ＝15（不合题意，舍去），a ＝﹣2，
1 2
∴y＝﹣2（x﹣1）2+15＝﹣2x2+4x+13；
∴b＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a的值．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组
的解集即可．
【解答】解： ，
第11页（共24页）由 得：x≥5，
由①得：x＜8．
∴②不等式组的解集是5≤x＜8，
故答案为：5≤x＜8．
【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识
点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
14．【分析】根据题意分别求得图1与图2中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可
求得答案．
【解答】解：根据题意得：
图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2；
图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
15．【分析】首先进行各项的化简，然后合并同类项即可．
【解答】解： ＝3 ﹣（ ）﹣2 ＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简、二次根式的混合运算，解题的关键在于对二次根
式进行化简，然后合并同类项．
16．【分析】根据随机掷一枚质地均匀的硬币三次，可以分别假设出三次情况，画出树状图即
可．
【解答】解：∵随机掷一枚质地均匀的硬币三次，
∴根据树状图可知至少有一次正面朝上的概率是： ．
故答案为： ．
第12页（共24页）【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据题意画出树状图是解决问题的关键．
17．【分析】运用平方差公式、平方公式分别将分式分解因式，将分式除法转换成乘法，再约分
化简，通分合并同类项得出最简值．
【解答】解：原式＝ • •（a+2）+
＝ +
＝
＝
＝ ．
故答案为：
【点评】本题主要考查分式的混合运算，其中涉及平方差公式、平方公式、约分、通分和合
并同类项等知识点．
18．【分析】根据反比例函数的性质，横纵坐标的乘积为定值，可得出关于k、m的两个方程，
即可得出反比例函数的解析式，从而得出点C的坐标．
【解答】解：∵A（﹣1，m）与B（2，m+3 ）是反比例函数y＝ 的图象上的两个点，
∴ ，
解得k＝2 ，m＝﹣2 ，
∴A（﹣1，﹣2 ）与B（2， ）
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y＝ x﹣ ，
令y＝0，解得x＝1，
∴点C的坐标是（1，0）．
第13页（共24页）故答案为（1，0）．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函
数的解析式；求一次函数和x轴的交点坐标．
19．【分析】利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，然后即可得出BE＝
DC．利用三角形的内角和即可得出 是正确的，不能证明 ．
【解答】解：∵△ABD、△AEC都是②等边三角形， ③
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC+60°，
∠BAE＝∠BAC+60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE＝DC．
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD+∠BDO+∠DBO＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO
＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）＝60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，
∵∠DBO＝∠ABD+∠ABE＝60°+∠ABE，∠OCE＝∠ACE+∠ACO＝60°+∠ACD，
∵∠ABE≠∠ACD，
∴∠DBO≠∠OCE，
∴两个三角形的最大角不相等，
∴△BOD不相似于△COE；
故答案为： ．
①②
【点评】此题考查学生对全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质的理解与掌握，难
度不大，是一道基础题．
20．【分析】首先过点D作DF⊥OA于F，由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得
第14页（共24页）△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长，然后由平行
线分线段成比例定理求得AF的长，即可得点D的横坐标．
【解答】解：过点D作DF⊥OA于F，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB，
根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠ECA＝∠EAC，
∴EC＝EA，
∵B（1，2），
∴AD＝AB＝2，
设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝2﹣x，
在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2，
即（2﹣x）2＝x2+1，
解得：x＝ ，
∴OE＝ ，AE＝ ，
∵DF⊥OA，OE⊥OA，
∴OE∥DF，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AF＝ ，DF＝ ，
∴OF＝AF﹣OA＝ ，
∴点D的横坐标为：﹣ ．
故答案为：﹣ ．
第15页（共24页）【点评】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质以及平行线分线
段成比例定理等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．【分析】（1）中位数是数据按照从小到大的顺序排列，位于数据中间位置的数．
（2）频率＝频数除以总数，可先算出频数，求出结果即可．
（3）先算出捞到记号鱼的频率被200除就可以就得结果．
【解答】解：（1）从直方图可得出这组数据的中位数位于1.10～1.15范围内．
（2）（10+40+56）÷200＝0.53，
频率是0.53．
（3）200÷（10÷150）＝3000，
故水库中的鱼大约有3000条．
故答案为：1.10～1.15；0.53．
【点评】本题考查频率分布直方图，以及频率，频数之间的关系和用样本估计总体的知识
点．
22．【分析】（1）要求几点到达C处，需要先求出AC的距离，根据时间＝距离除以速度，从而
求出解．
（2）船和灯塔的距离就是BC的长，作出CB的延长线交AD于E，根据直角三角形的角，
用三角函数可求出CE的长，减去BE就是BC的长．
【解答】解：（1）延长CB与AD交于点E．∴∠AEB＝90°，
∵∠BAE＝45°，AB＝36 ，
∴BE＝AE＝36．
根据题意得：∠C＝24°，
sin24°＝ ，
第16页（共24页）∴AC＝90．
90÷20＝4.5，
所以12点30分到达C处；
（2）在直角三角形ACE中，cos24°＝ ，
即cos24°＝ ，
BC＝45．
所以船到C处时，船和灯塔的距离是45海里．
【点评】本题考解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键理解西南方向，正北方向从而找
出角的度数，作出辅助线构成直角三角形从而可求出解．
23．【分析】（1）根据“该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元”，
列出不等式进行求解，确定建温室方案；
（2）利润W可以用含a的代数式表示出来，对m进行分类讨论．
【解答】解：（1）设A种户型的温室建x栋，则B种户型的温室建（80﹣x）栋．
由题意知209.6≤2.5x+2.8（80﹣x）≤210.2
解得46≤x≤48
∵x取非负整数，
∴x为46，47，48．
∴有三种建房方案：
方案一：A种温室的住房建46栋，B种温室的住房建34栋，
方案二：A种温室的住房建47栋，B种温室的住房建33栋，
方案三：A种温室的住房建48栋，B种温室的住房建32栋；
（2）设建温室利润为y万元，则
第17页（共24页）y＝（3.1﹣2.5）x+（3.5﹣2.8﹣m）（80﹣x），
即y＝（m﹣0.1）x+56﹣80m，
当m＝0.1时，无论x为何值，y恒为48万元；
①当0.1＜m＜0.7时，y随x的增大而增大，即x＝46时，y最小；
②当0＜m＜0.1时，y随x的增大而减小，即x＝48时，y最小
③综上，当m＝0.1时，三种方案所获利润一样；当0.1＜m＜0.7时，建A型温室46栋，B型温
室34栋利润最小；当0＜m＜0.1时，建A型温室48栋，B型温室32栋利润最小．
【点评】本题主要考查不等式在现实生活中的应用，是一个函数与不等式相结合的问题．
在运算过程中要注意对m进行分类讨论．
24．【分析】（1）由题意可知， 当F为BC的中点时，由AB＝BC＝5，可以推出CF和OF的
长度，即可推出BF的长度，① 当B与F重合时， 当OC＝FC时，根据直角三角形的相
关性质，即可推出OF的长度②，即可推出BF的长③度；
（2）连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE＝OF；
（3）过点P做PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△CPN，继而
推出PM：PN＝PE：PF，PM：PN＝AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC＝1：4得出PE：
PF＝1：3．
【解答】解：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，
当F为BC的中点时，
①∵O点为AC的中点，
∴OF∥AB，
∴CF＝OF＝ AB＝ ，
∵AB＝BC＝5，
∴BF＝ ，
当B与F重合时，
②
∵OF＝OC＝ ，
∴BF＝0；
（2）如图1，连接OB，
第18页（共24页）∵由（1）的结论可知，BO＝OC＝ ，
∵∠EOB＝∠FOC，∠EBO＝∠C，
∴△OEB≌△OFC（ASA），
∴OE＝OF．
（3）如图3，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN＝∠EPN+∠FPN＝90°，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵∠AMP＝∠FNP＝90°，
∴△PNF∽△PME，
∴PM：PN＝PE：PF，
∵△APM和△CPN为等腰直角三角形
∴△APM∽△CPN，
∴PM：PN＝AP：PC，
∵PA：AC＝1：4，
∴PE：PF＝1：3．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三
角形的性质、旋转的性质，解题的关键在于作好辅助线，构建相似三角形和全等的三角形．
25．【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE＝90°，∠BFC＝
第19页（共24页）∠CFE＝90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得
EF的长；
（2） 由∠FCD+∠FBC＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF
＝∠①FCD，同理可得∠AFB＝∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF；
由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得
②
，又由AB＝BC，即可证得CD＝CE；
（3）由CE＝CD，可得BC＝ CD＝ CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即
可求得∠CBE的度数，则可得F在 O的下半圆上，且 ＝ ．
⊙
【解答】（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．
∴∠BCE＝90°，
又∵BC为直径，
∴∠BFC＝∠CFE＝90°，
∵∠FEC＝∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴ ，
∵BE＝15，CE＝9，
即： ，
解得：EF＝ ；
（2）证明： ∵∠FCD+∠FBC＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，
∴∠ABF＝∠①FCD，
同理：∠AFB＝∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
∵△CDF∽△BAF，
②
∴ ，
又∵∠FCE＝∠CBF，∠BFC＝∠CFE＝90°，
第20页（共24页）∴△CEF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
又∵AB＝BC，
∴CE＝CD；
（3）解：∵CE＝CD，
∴BC＝ CD＝ CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE＝ ，
∴∠CBE＝30°，
故 为60°，
∴F在直径BC下方的圆弧上，且 ＝ ．
第21页（共24页）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角
函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
26．【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入y＝ax2+bx+c中，列方程组求抛物线解析式，再用配
方法求顶点式；
（2）当AP⊥CP时，分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，利用互余关系得
角相等，证明△AA′P∽△PC′C，利用相似比求P点坐标；
（3）四边形OEDC肯定的是凸四边形，点E在x轴上方且在直线BC的上方．
【解答】解：（1）将A，B，C三点坐标代入y＝ax2+bx+c中，得
，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+ x﹣2＝﹣ （x﹣ ）2+ ；
（2）设点P（ ，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得 ＝ ，即 ＝ ，
解得m ＝ ，m ＝﹣ ，
1 2
∴P（ ， ）或（ ，﹣ ）；
（3）由B（6，1），C（0，﹣2），得直线BC的解析式为y＝ x﹣2，
∴D（4，0），
第22页（共24页）∵令y＝0，即：﹣ x2+ x﹣2＝0，
∴x＝ ，
∴H（ ，0），
∵四边形OEDC肯定的是凸四边形，
∴点E在x轴上方且在直线BC的上方．时，即： ＜t＜ ，
Ⅰ、当E点为抛物线顶点时，在x轴上方满足条件的点E只有一个，
此时S＝ ×4×2+ ×4× ＝ ，
∵S△BOC ＝ ×2×6＝6，
∴当S＝6时，存在1个点E，这个点E落在点B关于抛物线对称轴对称的那个点上．
∴当6＜S＜ 时，x轴上方满足条件的点E有2个．
Ⅱ、当4＜S＜6时，会得到E点纵坐标0＜n＜1，因为是凸四边形，故点E只能落在H到点
B关于对称轴对称点B'之间，所以此时满足条件的E点只有一个．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛
第23页（共24页）物线的对称性，相似三角形的知识解题．
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