文档内容
2011 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把该选项的序号填入题干后面的括号内）
1．（3分）如果a的相反数是2，那么a等于（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（3分）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（ ）
A．﹣6x5 B．6x5 C．﹣2x6 D．2x6
3．（3分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
4．（3分）用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似π值，其中错误的是（π ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001）
5．（3分）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性
大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm
8．（3分）已知一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一根为﹣3，在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上有
三点 、 、 ，y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
9．（3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（
第1页（共20页））
A． B． C． D．
10．（3分）下列判断正确的有（ ）
顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形；
①中心投影的投影线彼此平行；
②
在周长为定值 的扇形中，当半径为 时扇形的面积最大；
③ π
相等的角是对顶角的逆命题是真命题．
④A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.本题要求把正确结果填在每题的横线
上，不需要解答过程）
11．（3分）函数 中，自变量x的取值范围 ．
12．（3分）已知关于x的一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则 可化简为
．
13．（3分）一个样本为1、3、2、2、a，b，c．已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样
本的方差为 ．
14．（3分）在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的
概率为 ．（注： 取3）
π
15．（3分）若x2﹣3x+1＝0，则 的值为 ．
16．（3分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂
足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为 ．
第2页（共20页）三、解答题（本大题包括9个小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤，证明过程或文字）
17．（10分）（1）计算：
（2）化简： ．
18．（6分）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距
离．现测得AC＝30m，BC＝70m，∠CAB＝120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．
19．（7分）解方程组 ．
20．（7分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF＝90°，EF交正方
形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）求证：EG＝CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF
与EG的位置关系．
21．（8分）在同一直角坐标系中反比例函数 的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交，且
其中一个交点A的坐标为（﹣2，3），若一次函数的图象又与x轴相交于点B，且△AOB的
面积为6（点O为坐标原点）．求一次函数与反比例函数的解析式．
22．（8分）为了解我市3路公共汽车的运营情况，公交部门随机统计了某天3路公共汽车每
第3页（共20页）个运行班次的载客量，得到如下频数分布直方图．如果以各组的组中值代表各组实际数据，
请分析统计数据完成下列问题．
（1）找出这天载客量的中位数，说明这个中位数的意义；
（2）估计3路公共汽车平均每班的载客量大约是多少？
（3）计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数．
（注：一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数）
23．（6分）生活中，在分析研究比赛成绩时经常要考虑不等关系．例如：一射击运动员在一次
比赛中将进行10次射击，已知前7次射击共中61环，如果他要打破88环（每次射击以1
到10的整数环计数）的记录，问第8次射击不能少于多少环？
我们可以按以下思路分析：
首先根据最后二次射击的总成绩可能出现的情况，来确定要打破88环的记录，第8次射
击需要得到的成绩，并完成下表：
最后二次射击总成绩 第8次射击需得成绩
20环
19环
18环
根据以上分析可得如下解答：
解：设第8次射击的成绩为x环，则可列出一个关于x的不等式：
解得
所以第8次射击不能少于 环．
24．（8分）如图所示，AC为 O的直径且PA⊥AC，BC是 O的一条弦，直线PB交直线AC
⊙ ⊙
于点D， ．
（1）求证：直线PB是 O的切线；
⊙
第4页（共20页）（2）求cos∠BCA的值．
25．（12分）已知抛物线y ＝x2+4x+1的图象向上平移m个单位（m＞0）得到的新抛物线过点
1
（1，8）．
（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y ＝a（x﹣h）2+k的形式；
2
（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有
变化的部分构成一个新的图象．请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面
直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在﹣3＜x≤ 时对应的函数值y的取值范
围；
（3）设一次函数y ＝nx+3（n≠0），问是否存在正整数n使得（2）中函数的函数值y＝y 时，
3 3
对应的x的值为﹣1＜x＜0？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
第5页（共20页）2011 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把该选项的序号填入题干后面的括号内）
1．【分析】因为绝对值相等且符号不同的两个数互为相反数，根据题意可求得a的绝对值，再
根据相反数的概念不难求得a的值．
【解答】解：∵a的相反数是2，
∴|a|＝|2|＝2，
∴a＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对相反数的概念的理解及掌握情况．
2．【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．
【解答】解：2x2•（﹣3x3），
＝2×（﹣3）•（x2•x3），
＝﹣6x5．
故选：A．
【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．
3．【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周
长，即2 ，宽为母线长为2，
所以它的π面积为4 ．
故选：D． π
【点评】本题考查了圆柱的计算，掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点，是解决此类问
题的关键．
4．【分析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，故是0.1，故本选项正确；
B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，故是0.05，故本选项正确；
C、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误；
D、0.05049精确到0.001应是0.050，故本选项正确．
第6页（共20页）故选：C．
【点评】本题考查的是近似数与有效数字，即从一个数的左边第一个不是0的数字起到末
位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
5．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相
交于一点．
【解答】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且
D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．
故选：C．
【点评】考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及
位置．
6．【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的
多少即可．
【解答】解：列表得：
右 （直，右 ） （左，右） （右，右 ）
左 （直，左） （左，左） （右，左）
直 （直，直） （左，直） （右，直）
直 左 右
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数
与总情况数之比．
7．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．根据三角形三边
关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【解答】解：当6为腰，3为底时，6﹣3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3＝15；
当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成三角形．
故选：D．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲
目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的
舍去．
第7页（共20页）8．【分析】方法1、将x＝﹣3代入x2+bx﹣3＝0中，求b，得出二次函数y＝x2+bx﹣3的解析式，
再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y 、y 、y 的大小关系．
1 2 3
方法2，先求出b的值，代入抛物线解析式中，再将横坐标代入，求出y值，最后比较大小．
【解答】解：方法1、把x＝﹣3代入x2+bx﹣3＝0中，得9﹣3b﹣3＝0，解得b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，
∵﹣ ＜﹣1＜﹣ ＜ ，且﹣1﹣（﹣ ）＝ ，﹣ ﹣（﹣1）＝ ，而 ＞ ，
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选A．
方法2、把x＝﹣3代入x2+bx﹣3＝0中，得9﹣3b﹣3＝0，解得b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
当x＝﹣ 时，y ＝（﹣ ）2+2×（﹣ ）﹣3＝﹣3 ＝﹣3.96，
1
当x＝﹣ 时，y ＝（﹣ ）2+2×（﹣ ）﹣3＝﹣3 ＝﹣3.9375，
2
当x＝ 时，y ＝（ ）2+2× ﹣3＝﹣2 ，
3
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二
次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．
9．【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交 A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股
定理即可求出BD的长． ⊙
【解答】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交 A于F，连接DF．
∵DC∥AB， ⊙
∴ ＝ ，
∴DF＝CB＝1，BF＝2+2＝4，
∵FB是 A的直径，
∴∠FDB⊙＝90°，
∴BD＝ ＝ ．
第8页（共20页）故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直
角三角形，从而求解．
10．【分析】根据对顶角的性质、扇形面积的计算、中心投影、二次函数的最值等知识点判断各
命题的真假，即可得出答案．
【解答】解： 顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形，此
命题正确，故① 正确；
中心投影与①原物体所对应点的连线都相交于一点，平行投影与原物体所对应点的连线
②都相互平行，故 错误；
在周长为定值②的扇形中，当半径为 时扇形的面积最大；
③ π
设a为扇形圆心角，
s＝ ＝ ×r＝ （﹣2r2+ r），
π
根据二次函数极值公式
当r＝ 时扇形的面积最大，故 正确；
③
相等的角是对顶角的逆命题是：若两个角是对顶角，则这两个角相等，为真命题．故
④正确． ④
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值、对顶角的性质、扇形面积的计算、中心投影等知
识点，考查了学生对综合知识的掌握程度，属于中档题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.本题要求把正确结果填在每题的横线
上，不需要解答过程）
11．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以
第9页（共20页）求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+3≥0且x+3≠0，
解得：x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的
化简运算法则解得即可．
【解答】解：根据图示知，关于x的一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，
∴m＜0；
又∵关于x的一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于正半轴，
∴n＞0；
∴ ＝n﹣m﹣（﹣m）＝n．
故答案是：n．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简、一次函数图象与系数的关系．一次函数y
＝kx+b（k≠0，b≠0）的图象，当k＞0时，经过第一、二、三象限；当k＜0时，经过第一、二、
四象限．
13．【分析】因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为
三个，则可设a，b，c中有两个数值为3．另一个未知利用平均数定义求得，从而根据方差
公式求方差．
【解答】解：因为众数为3，可设a＝3，b＝3，c未知
平均数＝ （1+3+2+2+3+3+c）＝2，解得c＝0
根据方差公式S2＝ （[ 1﹣2）2+（3﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（3﹣2）2+（0﹣2）2]
＝
故填 ．
【点评】本题考查了众数、平均数和方差的定义．
14．【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的边长，进而得出正方形的面积，即可得
出落在正方形内的概率．
第10页（共20页）【解答】解：∵在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，
∴圆的面积为： ×22＝4 ≈12．
∵正方形的边长π为：AB2 π+BO2＝AO2，
∴2AB2＝4，
∴AB＝ ，
正方形边长为：2 ，
∴正方形面积为：8，
∴落在正方形内的概率为：8÷12＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了几何概率、圆的面积求法以及正方形的特殊性质，求出两图形的
面积是解决问题的关键．
15．【分析】将x2﹣3x+1＝0变换成x2＝3x﹣1代入 逐步降低x的次数出现公因式，
分子分母同时除以公因式．
【解答】解：由已知x2﹣3x+1＝0变换得x2＝3x﹣1
将x2＝3x﹣1代入 ＝ ＝ ＝ ＝
＝ ＝
故答案为 ．
【点评】解本类题主要是将未知数的高次逐步降低，从而求解．代入时机比较灵活
16．【分析】首先延长BA与CD，交于F，即可得△FAD∽△FBC与△BCE≌△FCE，然后
S△FAD ＝x，即可求得S△FBC ＝16x，S△BCE ＝S△FEC ＝8x，S四边形AECD ＝7x，又由四边形AECD
的面积为1，即可求得梯形ABCD的面积．
第11页（共20页）【解答】解：延长BA与CD，交于F，
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∵CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCE＝∠FCE，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°，
∵EC＝EC，
∴△BCE≌△FCE（ASA），
∴BE＝EF，
∴BF＝2BE，
∵BE＝2AE，
∴EF＝2AE，
∴AE＝AF，
∴BF＝4AE＝4AF，
∴ ，
设S△FAD ＝x，
∴S△FBC ＝16x，
∴S△BCE ＝S△FEC ＝8x，
∴S四边形AECD ＝7x，
∵四边形AECD的面积为1，
∴7x＝1，
∴x＝ ，
∴梯形ABCD的面积为：S△BCE +S四边形AECD ＝15x＝ ．
故答案为： ．
第12页（共20页）【点评】此题考查了梯形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等
知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题包括9个小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤，证明过程或文字）
17．【分析】（1）各项化为最简根式、去绝对值号、去括号，然后进行四则混合运算即可；
（2）先对各项化简，然后进行混合运算，最后再化简，化为最简分式
【解答】（1）
解：原式＝
＝
（2）
解：原式＝
＝
＝
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数幂，解题的关键
在于首先对各项进行化简，然后在进行运算
18．【分析】过C点作CD⊥AB于点D．先在Rt△CDA中求得AD、CD的长，再利用勾股定理
求得BD的长，AB＝BD﹣AD．
【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．
在Rt△CDA中，AC＝30m，∠CAD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣120°＝60°．
∴CD＝AC•sin∠CAD＝30•sin60°＝15 m．
AD＝AC•cos∠CAD＝30•cos60°＝15m．
在Rt△CDB中，∵BC＝70，BD2＝BC2﹣CD2，
第13页（共20页）∴BD＝ ＝65m．
∴AB＝BD﹣AD＝65﹣15＝50m．
答：A，B两个凉亭之间的距离为50m．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高
线．
19．【分析】首先对原方程组化简，然后 ×2运用加减消元法求解．
①
【解答】解：原方程组可化为： ，
×2+ 得11x＝22，
①∴x＝2②，
把x＝2代入 得：y＝3，
①
∴方程组的解为 ．
【点评】此题考查的是解二元一次方程组，关键是先化简在运用加减消元法解方程组．
20．【分析】（1）G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG＝EC，△BEG为等腰直
角三角形，则∠AGE＝180°﹣45°＝135°，而∠ECF＝90°+45°＝135°，得∠AGE＝∠ECF，
再利用互余关系，得∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，可证△AGE≌△ECF，得出结论；
（2）旋转后，∠C′AE＝∠CFE＝∠GEA，根据内错角相等，两直线平行，可判断旋转后CF
与EG平行．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG＝EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE＝180°﹣45°＝135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∴∠AGE＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，
第14页（共20页）∴△AGE≌△ECF，
∴EG＝CF；
（2）解：画图如图所示，
旋转后CF与EG平行．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质．关键是根据正
方形的性质寻找判定三角形全等的条件．
21．【分析】将点A（﹣2，3）代入 中得，得到m＝﹣2×3＝﹣6，即得到反比例函数的解析
式；由△AOB的面积为6，求出OB，得到B点坐标为（4，0）或（﹣4，0），然后分类讨论：
一次函数y＝kx+b过（﹣2，3）和（4，0）或一次函数y＝kx+b过（﹣2，3）和（﹣4，0），利用待
定系数法求出一次函数的解析式．
【解答】解：将点A（﹣2，3）代入 中得，m＝﹣2×3＝﹣6，
∴m＝﹣6
∴y＝﹣ ，
又∵△AOB的面积为6，
∴ •OB•3＝6，
∴OB＝4，
∴B点坐标为（4，0）或（﹣4，0），
当B（4，0）时，
①∵点A（﹣2，3）是两函数的交点，
∴ ，
解得k＝﹣ ，b＝2，
第15页（共20页）∴y＝﹣ x+2；
当B（﹣4，0）时，
②∵点A（﹣2，3）是两函数的交点，
∴ ，
解得k＝ ，b＝6，
∴y＝ x+6．
所以一次函数的解析式为y＝﹣ x+2或y＝ x+6；反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
【点评】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式；也考查了分类讨论思想的运用以及
三角形的面积公式．
22．【分析】（1）从图上可看出中位数是80，估计3路公共汽车每天大约有一半的班次的载客
量超过80人．
（2）求出平均数，可代表3路公共汽车平均每班的载客量大约是多少．
（3）找出在平均载客量以上的班次算出这些人数的和然后除以总人数就可以了．
【解答】解：（1）从图形上得出，10到30的有6人，30到50的有10人，50到70的有18人，
70到90的有22人，90到110的有20人，110到130的有4人，
所以，10到70的共有34人，90到130的有24人，把70到90得取出10人添加到90到
130中，两边刚好一样多，70到90的还有12人，
所以，这天载客量的中位数肯定在70到90中，
这天载客量的中位数为80人，估计3路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量超过80
人；
（2） ＝ ＝73（人），
因为样本平均数为73，
所以可以估计3路公共汽车平均每班的载客量大约是73人；
（3）在平均载客量以上的班次占总班次的百分数＝ ．
第16页（共20页）【点评】本题考查频数分布直方图，频数直方图表示每组数据里面的具体数是多少，以及
中位数的概念有样本估计总体等知识点．
23．【分析】（1）因为前7次的总成绩是61环，后面的两次分别是20，19或18时，且要打破
88环，可求出8次的射击成绩．
（2）设第8次射击的成绩为x环，则可列出一个关于x的不等式，根据已知前7次射击共
中61环，如果他要打破88环（每次射击以1到10的整数环计数）的记录，可列出不等式
求解．
【解答】解：表中依次填写：8环或9环或10环；9环或10环；10环．
设第8次射击的成绩为x环，则可列出一个关于x的不等式，
61+20+x＞88，
x＞7，
所以第8次射击不能少于8环．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键明白前7次的结果，要确定第8次，首先知道后两
次取不同值的情况，从而求出结果．
24．【分析】（1）连接OB、OP，由 ，且∠D＝∠D，根据三角形相似的判定得到
△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO＝∠PAO＝90°；
（2）设PB＝a，则BD＝2a，根据切线长定理得到PA＝PB＝a，根据勾股定理得到AD＝2
a，又BC∥OP，得到DC＝2CO，得到DC＝CA＝ ×2 a＝ a，则OA＝ a，利用
勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA＝cos∠POA的值．
【解答】（1）证明：连接OB、OP，如图，
∵ ，且∠D＝∠D，
第17页（共20页）∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC＝∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠BOP
而OB＝OC
∴∠OCB＝∠CBO
∴∠BOP＝∠POA
又∵OB＝OA，OP＝OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO＝∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO＝90°
∴直线PB是 O的切线；
⊙
（2）解：由（1）知∠BCO＝∠POA，
设PB＝a，则BD＝2a
又∵PA＝PB＝a
∴AD＝ ＝2 a，
又∵BC∥OP
∴DC＝2CO，
∴DC＝CA＝ ×2 a＝ a，
∴OA＝ a，
∴OP＝ ＝ ＝ a，
∴cos∠BCA＝cos∠POA＝ ＝ ．
第18页（共20页）【点评】本题考查了圆的切线的性质和判定：圆的切线垂直于过切点的半径；过半径的外
端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了三角形相似和全等的判定与性质以及三角
函数的定义．
25．【分析】（1）根据抛物线y ＝x2+4x+1的图象向上平移m个单位，可得y ＝x2+4x+1+m，再
1 2
利用又点（1，8）在图象上，求出m即可；
（2）根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点；
（3）根据当y＝y 且对应的﹣1＜x＜0时，x2+4x+3＝nx+3，得出n取值范围即可得出答案．
3
【解答】解：（1）由题意可得y ＝x2+4x+1+m，
2
又点（1，8）在图象上，
∴8＝1+4×1+1+m，
∴m＝2，
∴y ＝（x+2）2﹣1；
2
（2）
当 时，0＜y≤1；
（3）不存在，
理由：当y＝y 且对应的﹣1＜x＜0时，x2+4x+3＝nx+3，
3
∴x ＝0，x ＝n﹣4，
1 2
且﹣1＜n﹣4＜0得3＜n＜4，
∴不存在正整数n满足条件．
第19页（共20页）【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象交点求法，二次函数的综合应用是
初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应
重点掌握．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/8/18 21:53:22；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第20页（共20页）
