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2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ ﹣183 ﹣253 ﹣195.8 ﹣268
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气
2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC
的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4 B． • ＝1
C．﹣18+12÷（﹣ ）＝4 D． ﹣a﹣1＝5．已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣ B．a≥﹣2 C．a＞﹣ D．a＞﹣2
6．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇
形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、
牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形
ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）
A．y＝﹣ x+4 B．y＝﹣ x+4 C．y＝﹣ x+4 D．y＝4
8．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外
接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周
长近似代替其外接圆周长，便可估计 的值，下面d及 的值都正确的是（ ）
π π
A．d＝ ， ≈8sin22.5°
π
B．d＝ ， ≈4sin22.5°
πC．d＝ ， ≈8sin22.5°
π
D．d＝ ， ≈4sin22.5°
π
9．以下四个命题：
①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；
②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，
4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；
③两个正六边形一定位似；
④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数
不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与 x轴交于两点（m，0），（n，
0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值
范围是（ ）
A．0＜ab＜ B．0＜ab＜ C．0＜ab＜ D．0＜ab＜
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规
定的横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：x3y﹣4xy＝ ．
12．正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，若A点坐标为（ ，
1
﹣2 ），则k +k ＝ ．
1 2
13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 ．
（用含 的代数式表示），圆心角为 度．
14．动物学π家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为
0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20
岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
15．已知菱形ABCD的面积为2 ，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动
点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，
最大值为 ．16．若把第n个位置上的数记为x ，则称x ，x ，x ，…，x 有限个有序放置的数为一个数
n 1 2 3 n
列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y ，y ，y ，…，y ，其中y 是这个数列中第n
1 2 3 n n
个位置上的数，n＝1，2，…，k且y ＝ 并规定x ＝x ，x ＝x ．如
n 0 n n+1 1
果数列A只有四个数，且x ，x ，x ，x 依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是
1 2 3 4
．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算求解：
（1）计算（ ）﹣1﹣（ ﹣ ）÷ + tan30°；
（2）解方程组 ．
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需
说明理由）
19．（10分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二
年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试
成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描
述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，
25．
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成
绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级 平均数 众数 中位数 优秀率
大一 a b 43 m
大二 39.5 44 c n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ，n
；
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说
明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加
此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求
两人在同一年级的概率．
20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学
们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有
建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C
建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东
55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示
即可）
21．（7分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．探究3
电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式．
月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超时 被叫
min 费/（元/min）
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
考虑下列问题：
月使用费固定收：
主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．
（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在
不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计
算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起
计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函
数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的 ，y表示问题中的 ．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出
如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）22．（7分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展
了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A品牌足球
共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5
倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要
从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，
A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总
费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
23．（10分）已知AB是 O的任意一条直径．
（1）用图1，求证： ⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知 O的面积⊙为4 ，直线CD与 O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为
D，如图2．⊙ π ⊙
求证：① BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2 ．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 ，根据该抛物线在对称轴
两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 （填上方
或下方），即4ah﹣k2 0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必
有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x ，y ），B（x ，y ），分布在x轴的两侧，则抛物线顶
1 1 2 2点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，
对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x ＜x 且都不等于顶点的横坐
1 2
标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣
c）2＞4a（a+b+c）．2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ ﹣183 ﹣253 ﹣195.8 ﹣268
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气
【分析】根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解．
【解答】解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，
∴其中液化温度最低的气体是氦气．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC
的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据三角新内角和可以先求出∠BAC 的度数，再根据平角的定义，可知
∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，从而可以求得∠EAC的度数．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：D．
3．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4 B． • ＝1
C．﹣18+12÷（﹣ ）＝4 D． ﹣a﹣1＝
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：3a2+4a2＝7a2，故选项A错误；
当a＞0时， ＝a ＝1，当a＜0时， ＝﹣a ＝﹣1，故选项B错误；
﹣18+12÷（﹣ ）＝﹣18﹣18＝﹣36，故选项C错误；
﹣a﹣1＝ ﹣（a+1）＝ ＝ ＝ ，故选项D正确；
故选：D．
5．已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣ B．a≥﹣2 C．a＞﹣ D．a＞﹣2
【分析】分别解两个不等式，根据不等式组无实数解，得到关于a的不等式，解之即可．
【解答】解：解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，
解不等式 ﹣1≥ 得：x≥2a+2，
∵关于x的不等式组 无实数解，
∴不等式的解集为2a+2＞﹣2，
解得：a＞﹣2，
故选：D．
6．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇
形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、
牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据扇形统计图分别求出各组人数所占比例，进而得出答案．
【解答】解：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为：360°﹣90°﹣60°＝210°，
∴该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为90：60：210＝3：2：7，故①正确，
不符合题意；
若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为140÷ ＝840（人），
故②错误，符合题意；
120× ＝30（人），120× ＝20（人），
120× ＝70（人），
故③正确，不符合题意；
故选：C．
7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形
ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）
A．y＝﹣ x+4 B．y＝﹣ x+4 C．y＝﹣ x+4 D．y＝4
【分析】过D点作DH⊥x轴于H，如图，证明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH
＝OA＝3，则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．
【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，
∵点A（3，0），B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，
∴∠ABO＝∠DAH，
在△ABO和△DAH中，
，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，
∴D（7，3），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把D（7，3），B（0，4）代入得 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+4．
故选：A．8．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外
接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周
长近似代替其外接圆周长，便可估计 的值，下面d及 的值都正确的是（ ）
π π
A．d＝ ， ≈8sin22.5°
π
B．d＝ ， ≈4sin22.5°
π
C．d＝ ， ≈8sin22.5°
π
D．d＝ ， ≈4sin22.5°
π
【分析】根据外接圆的性质可知，圆心各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直
角三角形，再根据圆周长公式可求得．
【解答】解：如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，
则CP＝PD，且∠COP＝22.5°，设正八边形的边长为a，则a+2× a＝4，
解得a＝4（ ﹣1），
在Rt△OCP中，OC＝ ＝ ，
∴d＝2OC＝ ，
由 d≈8CD，
π
则 ≈32（ ﹣1），
π
∴ ≈8sin22.5°．
故π选：C．
9．以下四个命题：
①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；
②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，
4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；
③两个正六边形一定位似；
④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数
不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用三角形的中位线的性质、相似多边形的定义及平均数的知识分别判断后即
可确定正确的选项．
【解答】解：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分，正确，是真命
题，符合题意；
②由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛 5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A
队赛过，E队仅赛一场（即与A队赛过），所以E队还没有与B队赛过，故原命题错误，
是假命题，不符合题意．
③两个正六边形一定相似但不一定位似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数
不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少，正确，是真命题，符合题意，
正确的有2个，故选：B．
10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与 x轴交于两点（m，0），（n，
0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值
范围是（ ）
A．0＜ab＜ B．0＜ab＜ C．0＜ab＜ D．0＜ab＜
【分析】方法1、由二次项系数为1的抛物线判断出抛物线的开口向上，开口大小一定，
进而判断出ab＞0，再根据完全平方公式判断出a＝b，且抛物线与x轴只有一个交点时，
是ab的最大值的分界点，进而求出m＝n＝ ，进而求出a＝b＝ ，即可得出结论．
方法2、先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），进而得出ab＝[﹣（m﹣ ）2+ ][﹣
（n﹣ ）2+ ]，再判断出0＜﹣（m﹣ ）2+ ≤ ，0＜﹣（n﹣ ）2+ ≤ ，即可
得出结论．
【解答】解法1、∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，
∴此函数的开口向上，开口大小一定，
∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b时取等号），
即a2+b2≥2ab（当a＝b时取等号），
∴当a＝b时，ab才有可能最大，
∵二次函数过A（0，b），B（3，a）两点，
∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x＝1.5，
∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，
即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，
当抛物线与x轴只有一个交点时，此时m＝n＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣ ）2＝x2﹣3x+ ，∴a＝b＝ ，
∴ab＜（ ）2＝ ，
∴0＜ab＜ ，
故选：C．
解法2、∵二次函数的图象经过（0，b）和（3，a）两点，
∴b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），
∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m﹣ ）2+ ][﹣（n﹣
）2+ ]
∵0＜m＜n＜3，
∴0＜﹣（m﹣ ）2+ ≤ ，0＜﹣（n﹣ ）2+ ≤ ，
∵m＜n，
∴ab不能取 ，
∴0＜mn＜ ，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规
定的横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：x3y﹣4xy＝ x y （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．
【解答】解：x3y﹣4xy，
＝xy（x2﹣4），
＝xy（x+2）（x﹣2）．
12．正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，若A点坐标为（ ，
1
﹣2 ），则k +k ＝ ﹣ 8 ．
1 2【分析】根据待定系数法求得k 、k ，即可求得k +k 的值．
1 2 1 2
【解答】解：∵正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，若A点
1
坐标为（ ，﹣2 ），
∴﹣2 ＝ k ，﹣2 ＝ ，
1
∴k ＝﹣2，k ＝﹣6，
1 2
∴k +k ＝﹣8，
1 2
故答案为﹣8．
13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 1 2
．（用含 的代数式表示），圆心角为 21 6 度． π
【分析】根π据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．
【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r＝ ＝6，
∴2 r＝2 ×6＝12 ，
π π π
根据题意得2 ×6＝ ，
π
解得n＝216，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为：12 ，216．
14．动物学家通过π大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为
0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 0. 8 a 只，现年20岁
的这种动物活到25岁的概率是 ．
【分析】用概率乘以动物的总只数即可得出20年后存活的数量；先设出所有动物的只
数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，
设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.5x，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为 ＝ ，故答案为：0.8a， ．
15．已知菱形ABCD的面积为2 ，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动
点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，最大值为
2+ ．
【分析】由点E是一边BC上的中点及AE平分∠BAC，可得△ABC是等边三角形，根
据菱形ABCD的面积为2 ，可得菱形的边长为2；求PE+PC的最小值，点E和点C
是定点，点P是线段BD上动点，由轴对称最值问题，可求出最小值；求和的最大值，
观察图形可知，当PE和PC的长度最大时，和最大，即点P和点D重合时，PE+PC的
值最大．
【解答】解：根据图形可画出图形，如图所示，
过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，
∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，
∵点E是BC的中点，
∴△ACE≌△FBE（AAS），
∴BF＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF＝AC，
在菱形ABCD中，AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形；
∴∠ABC＝60°，设AB＝a，则BD＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝ AC•BD＝2 ，即 ＝2 ，
∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A和点C关于BD对称，
∴PE+PC＝AP+EP，
当点A，P，E三点共线时，AP+EP的和最小，此时AE＝ ；
点P和点D重合时，PE+PC的值最大，此时PC＝DC＝2，
过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DE，
∵AB∥CD，∠ABC＝60°，
∴∠DCG＝60°，
∴CG＝1，DG＝ ，
∴EG＝2，
∴DE＝ ＝ ，
此时PE+PC＝2+ ；
即线段PE与PC的和的最小值为 ；最大值为2+ ．
故答案为： ；2+ ．
16．若把第n个位置上的数记为x ，则称x ，x ，x ，…，x 有限个有序放置的数为一个数
n 1 2 3 n
列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y ，y ，y ，…，y ，其中y 是这个数列中第n
1 2 3 n n
个位置上的数，n＝1，2，…，k且y ＝ 并规定x ＝x ，x ＝x ．如
n 0 n n+1 1果数列A只有四个数，且x ，x ，x ，x 依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是
1 2 3 4
0 ， 1 ， 0 ， 1 ．
【分析】根据“伴生数列”的定义依次取n＝1，2，3，4，求出对应的y 即可．
n
【解答】解：当n＝1时，x ＝x ＝1＝x ，
0 4 2
∴y ＝0，
1
当n＝2时，x ≠x ，
1 3
∴y ＝1，
2
当n＝3时，x ＝x ，
2 4
∴y ＝0，
3
当n＝4时，x ≠x ＝x ，
3 5 1
∴y ＝1，
4
∴“伴生数列”B是：0，1，0，1，
故答案为0，1，0，1．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算求解：
（1）计算（ ）﹣1﹣（ ﹣ ）÷ + tan30°；
（2）解方程组 ．
【分析】（1）根据负整数指数幂、二次根式的除法法则和特殊角的三角函数值计算；
（2）先把原方程组化简，然后利用加减消元法解方程组．
【解答】解：（1）原式＝3﹣（ ﹣ ）+ ×
＝3﹣（4﹣2）+1
＝3﹣2+1
＝2；
（2）原方程整理为 ，
①×12﹣②得：13x＝3900，
解得x＝300，
把x＝300代入①得：y＝400，
∴方程组的解为 ．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需
说明理由）
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，再由BE∥DF，可
得∠AEB＝∠CFD，进而判断△ABE≌△CDF；
（2）
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
（2）连接ED，BF，BD，
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
1°当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，
2°当四边形ABCD是菱形时，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
19．（10分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二
年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试
成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描
述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，
25．
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成
绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
大一 a b 43 m
大二 39.5 44 c n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝ 41. 1 ，b＝ 4 3 ，c＝ 42. 5 ，m＝ 55% ，n ＝ 65% ；
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说
明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加
此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求
两人在同一年级的概率．
【分析】（1）由平均数、众数、中位数的定义求解即可，再由两个年级的优秀率进行
说明即可；
（2）先求出样本合格率，再由参加此次测试活动的总人数乘以合格率即可；
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，再由概率公
式求解即可．
【解答】解：（1）将一年级20名同学成绩整理如下表：
成绩 25 30 37 39 43 49 50
人数 1 2 4 2 5 4 2
'∴a＝ （25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，
c＝ ＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝
65%，
故答案为：41.1，43，42.5，55%，＝65%；
从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，因此估计二年级学生
的优秀率高，
所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好．
（2）∵样本合格率为： ＝92.5%，
∴估计总体的合格率大约为92.5%，
∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：1240×92.5＝1147（人），
∴估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过1000人；
（3）一年级满分有2人，记为A，B，二年级满分有3人，记为C，D，E，
画树状图如图：
共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，
∴两人在同一年级的概率为 ＝ ．20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学
们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有
建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C
建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东
55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示
即可）
【分析】过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米，根据直角
三角形的三角函数得出x，进而解答即可．
【解答】解：如图，
过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．
由题意知，△ACP为等腰直角三角形，
∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），
在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，
∴ ，
∴tan55°⋅x＝x+40，
∴（tan55°﹣1）⋅x＝40，
∴ ，
所以河宽为 米．答：河宽为 米．
21．（7分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．
探究3
电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式．
月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超时 被叫
min 费/（元/min）
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
考虑下列问题：
月使用费固定收：
主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．
（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在
不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计
算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起
计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函
数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的 主叫时间 ，y表示问题中的 计费 ．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出
如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）【分析】（1）由题意可知，x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；再根据分
段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法就可以得出结论；
（2）画出图象，再根据图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意，可得x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；
方式一：y＝ ；
方式二：y＝ ；
故答案为：主叫时间，计费；
（2）大致图象如下：由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270
分钟选方式二．
22．（7分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展
了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A品牌足球
共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5
倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要
从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，
A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总
费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
【分析】设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个，根据“购买A
品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍”列出分式方程 ，通过解方程求得
A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个；然后设今年购进B足球的个数为a个，
再根据“今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半”列出不等式并解
答即可．
【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．
由题意得： ，即 ，
∴96（x+12）＝120x，
∴x＝48．
经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．
∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．设 今 年 购 进 B 足 球 的 个 数 为 a 个 ， 则 有 ：
．
∴50.4×50﹣50.4a+54a≤26403．
∴6a≤120，
∴ ．
∴最多可购进33个B足球．
23．（10分）已知AB是 O的任意一条直径．
（1）用图1，求证： ⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知 O的面积⊙为4 ，直线CD与 O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为
D，如图2．⊙ π ⊙
求证：① BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2 ．
【分析】（1）过点P作PP′⊥AB，交 O于点P′，垂足为M，由垂径定理得出
△OPP'是等腰三角形，由轴对称的性质可得⊙出结论；
（2）①求出AB＝4，证明△ACB∽△CDB，由相似三角形的性质得出 ，则可
得出结论；
②证明四边形BOCD是边长为2的正方形，由正方形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，设P是 O上点A，B以外任意一点，
过点P作PP′⊥AB，交 O于点P′⊙，垂足为M，
若M与圆心O不重合， ⊙
连接OP，OP′，
在△OPP'中，∵OP＝OP′，
∴△OPP'是等腰三角形，
又PP′⊥AB，
∴PM＝MP′，
则AB是PP'的垂直平分线，
若M与圆心O重合，显然AB是PP'的垂直平分线，
这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P'，因此 O是以
直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形； ⊙
（2）①证明：设 O半径为r，
由 r2＝4 可得r＝⊙2，
∴AπB＝4，π
连接AC，则∠BCA＝90°，
∵C是切点，连接OC，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∴△ACB∽△CDB，
∴ ，
∴BC2＝AB•BD＝4BD，
∴ ；
②证明：由①证明可知∠CBD＝∠OBC，与切点C的位置无关，
又OD⊥BC，
∴BD＝OB，
又∵△OCB是等腰三角形，
∴BC与OD互相垂直平分，
又∠BDC＝90°，
∴四边形BOCD是边长为2的正方形，
∴ ．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 ，根据该抛物线在
对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 下方 （填上方或下
方），即4ah﹣k2 ＜ 0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x ，y ），B（x ，y ），分布在x轴的两侧，则抛物线顶
1 1 2 2
点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，
对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x ＜x 且都不等于顶点的横坐
1 2
标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣
c）2＞4a（a+b+c）．
【分析】（1）先提公因式a，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案；
（2）若设x ＜x 且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：①当A，
1 2B都在对称轴左侧时，②当A，B都在对称轴右侧时，③当A，B在对称轴两侧时，根
据二次函数性质可得答案；
（3）令 y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），根据点的特殊性得，y＝ax2+（b﹣c）x+
（a+b+c）上存在两点（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分别位于x轴两侧，然后根据
（1）（2）可得答案．
【解答】解：（1）y＝ax2+kx+h＝a（x2+ x）+h＝a[x x+（ ）2﹣（ ）2]+h＝a
（x+ ）2﹣ +h＝a（x+ ）2+ ，
∴顶点式为： ，当顶点在x轴下方时，即4ah﹣k2＜0（填大于
或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
故答案为： ，下方，＜；
（2）若设x ＜x 且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：
1 2
①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随x的增大而减小，所以点
A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．
如图所示：
②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随x的增大而增大，所以点
B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．
如图所示：③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴
下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同
①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：
（3）证明：令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），a＞0，
当x ＝0时，y ＝a+b+c；
1 1
当x ＝﹣1时，y ＝2（a+c）．
2 2
而（a+c）（a+b+c）＜0，
∴y 1⋅y
2
＜0，
∴y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在两点（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分别位于x
轴两侧，
∴由（1）（2）可知，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）顶点在x轴下方，
即 ，
又a＞0，
∴4a（a+b+c）﹣（b﹣c）2＜0，
即：（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
