文档内容
2015 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（
）
A．﹣3℃ B．15℃ C．﹣10℃ D．﹣1℃
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
4．（3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，
随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是
（ ）
A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3
6．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．m2+m2=m4 B．（m+ ）2=m2+
第1页（共31页）C．（3mn2）2=6m2n4 D．2m2n÷ =2mn2
7．（3分）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在
AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF
的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（3分）以下是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机
的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（ ）
A．4月份三星手机销售额为65万元
B．4月份三星手机销售额比3月份有所上升
C．4月份三星手机销售额比3月份有所下降
D．3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额
9．（3分）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为
（ ）
第2页（共31页）A．236π B．136π C．132π D．120π
10．（3分）函数y= 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科学记数法表示为
元．
12．（3分）分解因式：x3﹣x= ．
13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱
形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是 ．
14．（3分）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为 ．
15．（3分）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．
16．（3分）以下四个命题：
①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；
②边数相等的两个正多边形一定相似；
第3页（共31页）③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上的一点，若∠BAD=60°
且AD=AE，则∠EDC=30°；
④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．
其中正确命题的序号为 ．
三.解答题（共9个小题，满分72分）
17．（10分）计算：
（1）| ﹣3|﹣（ ）﹣1+
（2）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a= ，b=﹣ ．
18．（6分）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．
19．（6分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为
30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．
求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
第4页（共31页）20．（6分）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞﹣ ，求出
满足条件的m的所有正整数值．
21．（7分）某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超
过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变
量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘
制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10），请你结合表格和
图象：
付款金额 a 7.5 10 12 b
购买量（千克） 1 1.5 2 2.5 3
（1）指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x，并写出表中a、b的值；
（2）求出当x＞2时，y关于x的函数解析式；
（3）甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，
分别计算他们的购买量和付款金额．
第5页（共31页）22．（9分）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉
字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四
个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表：
选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这
一成绩看，应选派谁；
（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的
权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，
第6页（共31页）sin∠OAB= ，反比例函数y= 的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点
D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若函数y=3x与y= 的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB
的面积的比．
24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，
∠PAC=∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为 的中点，
且∠DCF=∠P，求证： = = ．
第7页（共31页）25．（12分）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y
随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛
物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变
量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求
出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
第8页（共31页）2015 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（
）
A．﹣3℃ B．15℃ C．﹣10℃ D．﹣1℃
【考点】18：有理数大小比较．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而
小，可得答案．
【解答】解：15℃＞﹣1℃＞﹣3℃＞﹣10℃，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，注意负数比较大小，绝对值大的负数反而
小．
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴
对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合
第9页（共31页）中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【考点】J2：对顶角、邻补角；JA：平行线的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．
【解答】解：如图，∵∠1=70°，
∴∠2=∠1=70°，
∵CD∥BE，
∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．
故选：C．
【点评】本题利用对顶角相等和平行线的性质，需要熟练掌握．
4．（3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，
随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球
恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
第10页（共31页）∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况，
∴两球恰好是一个黄球和一个红球的为： = ．
故选：A．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
5．（3分）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是
（ ）
A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3
【考点】E6：函数的图象．
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【分析】根据图象，找到y的最高点是（﹣2，3）及最低点是（1，0），确定函数值y的
取值范围．
【解答】解：∵图象的最高点是（﹣2，3），
∴y的最大值是3，
∵图象最低点是（1，0），
∴y的最小值是0，
∴函数值y的取值范围是0≤y≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是会观察图象，找到y的最高点
及最低点．
6．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
第11页（共31页）A．m2+m2=m4 B．（m+ ）2=m2+
C．（3mn2）2=6m2n4 D．2m2n÷ =2mn2
【考点】4I：整式的混合运算；6C：分式的混合运算．
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【分析】A：根据整式的混合运算方法计算即可．
B：根据完全平方公式的计算方法判断即可．
C：根据积的乘方的运算方法计算即可．
D：根据分式的混合运算方法计算即可．
【解答】解：∵m2+m2=2m2，
∴选项A错误；
∵（m+ ）2=m2+ +2，
∴选项B错误；
∵（3mn2）2=9m2n4，
∴选项C错误；
∵2m2n÷ =2mn2，
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了分式的混合运算，要注意运算顺序，分式与数有相同
的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）此题还考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘
方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理
数的混合运算顺序相似．
（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
7．（3分）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在
AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF
的面积为（ ）
第12页（共31页）A． B． C．2 D．4
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据折叠的性质，在图②中得到DB=8﹣6=2，∠EAD=45°；在图③中，得到
AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和
矩形的性质得到BF=AB=4，CF=BC﹣BF=6﹣4=2，EC=DB=2，最后根据三角形的面
积公式计算即可．
【解答】解：∵AB=8，AD=6，纸片折叠，使得AD边落在AB边上，
∴DB=8﹣6=2，∠EAD=45°，
又∵△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，
∴AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF为等腰直角三角形，
∴BF=AB=4，
∴CF=BC﹣BF=6﹣4=2，
而EC=DB=2， ×2×2=2．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对
应角相等．也考查了等腰三角形的性质和矩形的性质．
8．（3分）以下是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机
的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（ ）
第13页（共31页）A．4月份三星手机销售额为65万元
B．4月份三星手机销售额比3月份有所上升
C．4月份三星手机销售额比3月份有所下降
D．3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额
【考点】VC：条形统计图；VD：折线统计图．
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【分析】根据销售总额乘以三星所占的百分比，可得三星的销售额，根据有理数的
大小比较，可得答案．
【解答】解：A、4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故A错误；
B、3 月份三星手机的销售额 60×18%=10.8 万元，4 月份三星手机销售额为
65×17%=11.05万元，故B正确；
C、3 月份三星手机的销售额 60×18%=10.8 万元，4 月份三星手机销售额为
65×17%=11.05万元，故C错误；
D、3 月份三星手机的销售额 60×18%=10.8 万元，4 月份三星手机销售额为
65×17%=11.05万元，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了条形统计图，利用销售总额乘以三星所占的百分比得出三星
的销售额是解题关键．
9．（3分）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为
（ ）
第14页（共31页）A．236π B．136π C．132π D．120π
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由大小两个圆柱组成，从而根
据三视图的特点得知高和底面直径，代入体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是由大小两个圆柱组成，
故该几何体的体积为：π×22×2+π×42×8
=8π+128π
=136π．
故选：B．
【点评】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三
视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键，本题体现了数形结
合的数学思想．
10．（3分）函数y= 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】E6：函数的图象．
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【专题】16：压轴题．
【分析】从x＜0和x＞0两种情况进行分析，先化简函数关系式再确定函数图象即
可．
【解答】解：当x＜0时，函数解析式为：y=﹣x﹣2，
第15页（共31页）函数图象为：B、D，
当x＞0时，函数解析式为：y=x+2，
函数图象为：A、C、D，
故选：D．
【点评】本题考查的是函数图象，利用分情况讨论思想把函数关系式进行正确变
形是解题的关键，要能够根据函数的系数确定函数的大致图象．
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科学记数法表示为
4.1 × 10 6 元．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将4100000用科学记数法表示为4.1×106．
故答案为：4.1×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）分解因式：x3﹣x= x （ x + 1 ）（ x﹣1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】44：因式分解．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
=x（x2﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差
公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱
第16页（共31页）形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是 ．
【考点】L8：菱形的性质；LN：中点四边形；X5：几何概率．
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【分析】先求出阴影部分的面积与菱形的面积之比，再根据概率公式即可得出答
案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，
∴四边形HGFE的面积是菱形ABCD面积的 ，
∴米粒落到阴影区域内的概率是 ；
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一
般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比
例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14．（3分）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为 12π
．
【考点】MP：圆锥的计算．
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【分析】据扇形的面积公式求出扇形的圆心角，再利用弧长公式求出弧长，再利用
圆的面积公式求出底面半径，求得底面积后即可求得全面积．
【解答】解：∵ =8π，
∴解得n=180
则弧长= =4π
2πr=4π
解得r=2，
∴底面积为4π，
第17页（共31页）∴全面积为12π．
故答案是：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的侧面积公式得到
圆锥的底面半径的求法．
15．（3分）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ﹣ 或 1 ．
【考点】A9：换元法解一元二次方程．
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【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方
程来求x即（a+b）的值．
【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8=0，
整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，
分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，
解得：x =﹣ ，x =1．
1 2
则a+b的值是﹣ 或1．
故答案是：﹣ 或1．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替
它，实行等量替换．
16．（3分）以下四个命题：
①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；
②边数相等的两个正多边形一定相似；
③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上的一点，若∠BAD=60°
且AD=AE，则∠EDC=30°；
④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．
其中正确命题的序号为 ②③④ ．
【考点】O1：命题与定理．
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【专题】16：压轴题．
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举
第18页（共31页）反例排除不正确选项，从而得出正确选项．
【解答】解：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角相等
或互补，①错误；
②边数相等的两个正多边形一定相似，②正确；
③如图所示，∵∠AED=∠C+∠EDC=∠B+∠EDC，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠B+2∠EDC，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°，
∴∠B+2∠EDC=∠B+60°，
∴∠EDC=30°，
故③正确；
④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，④正确
故答案为②③④．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
三.解答题（共9个小题，满分72分）
17．（10分）计算：
（1）| ﹣3|﹣（ ）﹣1+
（2）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a= ，b=﹣ ．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂．
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【分析】（1）根据绝对值、负整数指数幂以及二次根式的化简进行计算即可；
（2）根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法，最后把a，b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式=3﹣ ﹣3+2
= ；
第19页（共31页）（2）原式=（ + ）÷ ，
= •
= ，
当a= ，b=﹣ 时，原式=﹣ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值、实数的运算以及负整数指数幂，熟练掌握运
算顺序是解题的关键．
18．（6分）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）先证出OE=OF，再由SAS即可证明△BOE≌△DOF；
（2）由对角线互相平分证出四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等，即可得
出四边形EBFD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，∴OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
第20页（共31页）∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的
判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
19．（6分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为
30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．
求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】要求楼高BC，即求出BD、CD的长度，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求出
BD和CD的长度，继而可求解．
【解答】解：在Rt△ABD中，
∵tan∠BAD= ，
∴BD=ADtan30°=120× =40 （米），
在Rt△ADC中，
∵tan∠CAD= ，
∴CD=ADtan65°=120tan65°，
∴BC=BD+CD=40 +120tan65°．
答：这栋高楼的高度为（40 +120tan65°）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角
三角形，利用三角函数求解．
20．（6分）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞﹣ ，求出
第21页（共31页）满足条件的m的所有正整数值．
【考点】97：二元一次方程组的解；C7：一元一次不等式的整数解．
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【专题】11：计算题．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正
整数值即可．
【解答】解： ，
①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，
代入不等式得：﹣m+2＞﹣ ，
解得：m＜ ，
则满足条件m的正整数值为1，2，3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．
21．（7分）某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超
过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变
量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘
制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10），请你结合表格和
图象：
付款金额 a 7.5 10 12 b
购买量（千克） 1 1.5 2 2.5 3
（1）指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x，并写出表中a、b的值；
（2）求出当x＞2时，y关于x的函数解析式；
（3）甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，
分别计算他们的购买量和付款金额．
第22页（共31页）【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据函数图象可得：购买量是函数的自变量x，也可看出2千克的金
额为10元，从而可求1千克的价格，即a的值，由表格可得出：当购买量大于
等于2千克时，购买量每增加0.5千克，价格增加2元，进而可求b的值；
（2）先设关系式为y=kx+b，然后将（2，10），且x=3时，y=14，代入关系式即可求出
k，b的值，从而确定关系式；
（3）当y=8.8时，单价为5元，此时购买量为8.8÷5，然后将x=4.165代入关系式计
算相应的y值．
【解答】解：（1）根据函数图象可得：购买量是函数的自变量x，
a=10÷2=5元，b=14；
（2）当x＞2时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
∵y=kx+b经过点（2，10），且x=3时，y=14，
∴ ，
解得： ，
∴当x＞2时，设y与x的函数关系式为：y=4x+2；
（3）当y=8.8时，x= ，
当x=4.165时，y=4×4.165+2=18.66，
∴甲农户的购买量为1.76千克，乙农户的付款金额为18.66元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式等知识
根据已知得出图表中点的坐标是解题关键．
22．（9分）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉
字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四
第23页（共31页）个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表：
选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这
一成绩看，应选派谁；
（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的
权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．
【考点】W1：算术平均数；W2：加权平均数．
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【分析】（1）先用算术平均数公式，计算乙的平均数，然后根据计算结果与甲的平
均成绩比较，结果大的胜出；
（2）先用加权平均数公式，计算甲、乙的平均数，然后根据计算结果，结果大的胜
出．
【解答】解：（1） =（73+80+82+83）÷4=79.5，
∵80.25＞79.5，
∴应选派甲；
（2） =（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5，
=（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4，
∵79.5＜80.4，
∴应选派乙．
【点评】此题考查了算术平均数与加权平均数，解题的关键是：熟记计算算术平均
数与加权平均数公式．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，
sin∠OAB= ，反比例函数y= 的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点
D．
（1）求反比例函数解析式；
第24页（共31页）（2）若函数y=3x与y= 的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB
的面积的比．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义，求出OA的值，然后根据勾股定理求出
AB的值，然后由C点是OA的中点，求出C点的坐标，然后将C的坐标代入反
比例函数y= 中，即可确定反比例函数解析式；
（2）先将y=3x与y= 联立成方程组，求出点M的坐标，然后求出点D的坐标，然
后连接BC，分别求出△OMB的面积，△OBC的面积，△BCD的面积，进而确定
四边形OCDB的面积，进而可求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．
【解答】解：（1）∵A点的坐标为（8，y），
∴OB=8，
∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB= ，
∴ ，
∴OA=10，
由勾股定理得：AB= ，
∵点C是OA的中点，且在第一象限内，
∴C（4，3），
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴k=12，
∴反比例函数解析式为：y= ；
第25页（共31页）（2）将y=3x与y= 联立成方程组，得：
，
解得： ， ，
∵M是直线与双曲线另一支的交点，
∴M（﹣2，﹣6），
∵点D在AB上，
∴点D的横坐标为8，
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
∴点D的纵坐标为 ，
∴D（8， ），
∴BD= ，
连接BC，如图所示，
∵S = •8•|﹣6|=24，
△MOB
S =S +S = •8•3+ =15，
四边形OCDB △OBC △BCD
∴ ．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例
函数的解析式及计算图形面积的问题．解题的关键是：确定交点的坐标．
第26页（共31页）24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，
∠PAC=∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为 的中点，
且∠DCF=∠P，求证： = = ．
【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）连接CM，根据圆周角定理得出∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，得出
∠PAC=∠M，由∠M+∠MAC=90°，得出∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，就
可证得结论；
（2）连接 AE，根据垂径定理得出 AM⊥BC，进而得出 AP∥BC，得出
△ ADP∽ △ CDB ， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得 出 = ， 然 后 证 得
△ADE∽△CDF，得出 = ，从而证得 = = ．
【解答】证明：（1）连接CM，
∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，
∴∠PAC=∠M，
∵AM是直径，
∴∠M+∠MAC=90°，
∴∠PAC+∠MAC=90°，
即：∠MAP=90°，
∴MA⊥AP，
∴MA⊥AP，
第27页（共31页）∴PA是⊙O的切线；
（2）连接AE，
∵M为 中点，AM为⊙O的直径，
∴AM⊥BC，
∵AM⊥AP，
∴AP∥BC，
∴△ADP∽△CDB，
∴ = ，
∵AP∥BC，
∴∠P=∠CBD，
∵∠CBD=∠CAE，
∴∠P=∠DCF，
∴∠DCF=∠CAE，
∵∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴ = ，
∴ = = ．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，切线的判定，垂径定理的应用，三角形相
似的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．
25．（12分）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y
随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛
第28页（共31页）物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变
量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求
出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得符合条
件的函数解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案；
（2）①根据BC关于对称轴对称，可得A点的纵坐标，根据矩形的周长公式，可得
答案；
②分类讨论A在对称轴左侧，A在对称轴右侧，根据对称，可得BC的长，AB的长，
根据周长公式，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点（0，0），
∴m2﹣1=0，
∴m=±1
∴y=x2+x或y=x2﹣3x，
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3；
（2）①如图1 ，
当BC=1时，由抛物线的对称性，得点A的纵坐标为﹣2，
∴矩形的周长为6；
②∵A的坐标为（a，b），
第29页（共31页）∴当点A在对称轴左侧时，如图2 ，
矩形ABCD的一边BC=3﹣2a，另一边AB=3a﹣a2，
周长L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜ ，当a= 时，L = ，A点坐标为（ ，﹣ ），
最大
当点A在对称轴右侧时如图3 ，
矩形的一边BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一边AB=3a﹣a2，
周长L=﹣2a2+10a﹣6，其中 ＜a＜3，当a= 时，L = ，A点坐标为（ ，﹣ ）；
最大
综上所述：当0＜a＜ 时，L=﹣2（a﹣ ）2+ ，
∴当a= 时，L = ，A点坐标为（ ，﹣ ），
最大
当 ＜a＜3时，L=﹣2（a﹣ ）2+ ，
∴当a= 时，L = ，A点坐标为（ ，﹣ ）．
最大
第30页（共31页）【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，利用
函数的增减性舍去不符合题意的函数解析式；（2）利用对称性得出BC的长，利
用矩形的周长公式得出二次函数解析式，利用二次函数的性质得出答案，分类
讨论是解题关键，以防遗漏．
第31页（共31页）
